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Gitta Maier
vor 6 Jahren
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1 Übungsblatt 6..7 ) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren: a) Die Strecke, die zwei Seitenmittelpunkte eines beliebigen Dreiecks verbindet, ist parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese. b) Die drei Seitenhalbierenden eines beliebigen Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jede Seitenhalbierende im Verhältnis : teilt (vom jeweiligen Eckpunkt aus gesehen). ) Gegeben sind die Punkte A = ( ), B = ( ), C = ( ) und D = (a b c). Berechnen Sie bzw. stellen Sie auf: a) die Vektoren x = AB, y = CB und z = BD b) den normierten Vektor â = a a c) die Gleichung der Geraden durch A und D. d) die Gleichung der Ebene durch A, C und D. mit a = CD. Zeigen Sie, daß â â = gilt. e) die Gleichung der Kugelfläche vom Radius 5 um C. ) Gegeben sind die Vektoren α =, β =, γ = Berechnen Sie: a) die normierten Vektoren ˆα = α γ, ˆγ = α γ b) die Vektoren δ = α β, und ζ = β + α c) die Skalarprodukte α β, β α, α γ d) die Vektorprodukte α β, β α, β β, e) die Spatprodukte α ( β γ), ( α β) γ, β ( γ α), 4) Gegeben sind die Vektoren 6 p =, q = 6, r =, s = Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren p und q, p und r, sowie p und s, jeweils einmal mit Hilfe des Skalarprodukts und einmal mit Hilfe des Vektorprodukts. 5) Finden Sie einen Vektor senkrecht zu den folgenden Vektoren und zeigen Sie anschließend die Orthogonalität mit Hilfe des Skalarprodukts:

2 a) n = (,, ) T und m = (,, ) T b) a = (,, ) T und b = (,, ) T c) x = (a,, b) T und y = (, c, d) T 6) Jeweils wo schneiden sich die Gerade g : r = (,, 4) T + λ(,, ) T und folgende Ebenen: a) e : 4x z = 5 b) e : x z = 5 c) e : x z = Interpretieren Sie die Resultate geometrisch-anschaulich! 7) Berechnen Sie a) den Abstand der Gerade g : r = ( ) ( ) + λ b) den Abstand des Punkts P ( ) von der Ebene e : r = + λ + µ vom Ursprung. 8) (Klausuraufgabe Mathematik für Chemiker, Uni Kiel,..) Gegeben sind die vier Punkte A = ( ), B = (a a ), C = (a a ) und D = (a a ), mit a =. Verwenden Sie die in der Vorlesung eingeführten Methoden der Vektorrechnung für folgende Aufgaben: a) Gleichung der Ebene e durch die Punkte A,B,D und der Ebene e durch die Punkte A,C,D, jeweils in Parameterform. b) Gleichung der Schnittgeraden g dieser beiden Ebenen e und e in Parameterform. c) Beschreiben Sie die Lage dieser Geraden g im Raum mit Worten. Bestimmen Sie ihren Abstand vom Ursprung, entweder mit einer geeigneten Formel oder durch schriftlich begründete Einsicht. d) Normalenvektoren n bzw. n zu den Ebenen e bzw. e. e) Winkel zwischen den beiden Ebenen e bzw. e aus den Normalenvektoren n und n. f) Volumen des Spats, der von den Vektoren AB, AC und AD aufgespannt wird. 9) Ein km breiter Fluß mit einer Strömungsgeschwindigkeit von km/h (relativ zum Ufer) soll auf kürzestem Weg (senkrecht zu den Uferlinien) in möglichst kurzer Zeit überquert werden. Zur Verfügung steht Motorboot Anna mit einer Höchstgeschwindigkeit von 5 km/h (relativ zum Wasser) und Motorboot Berta mit einer Höchstgeschwindigkeit von km/h. Ermitteln Sie geometrisch und rechnerisch (mit Vektoren) für beide Boote, wie lange die Überquerung auf dem vorgeschriebenen Weg dauert.

3 Weitere Aufgaben.) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren: c) In jedem beliebigen Viereck halbieren sich die Strecken, die gegenüberliegende Seitenmitten verbinden. d) Die Summe der nach außen gerichteten Flächenvektoren eines (nicht notwendigerweise regulären) Tetraeders ist der Nullvektor..) Für zwei beliebige/allgemeine Vektoren a und b (ohne Bezug auf konkrete Komponenten): a) Was ist das Ergebnis der Operation ( a b) + ( a b)? b) Zeigen Sie, daß die Vektoren x = b a + a b und y = b a a b orthogonal sind..) Gegeben sind die Vektoren α = Berechnen Sie:, β = a) den normierten Vektor ˆβ = β β b) den Vektor ɛ = ( α + γ) c) die Skalarprodukte β γ und β β d) die Vektorprodukte α γ, und β γ e) die Spatprodukte γ ( β α) und β ( γ γ), γ =.4) Finden Sie zwei normierte Vektoren senkrecht zu den folgenden Vektoren: a) x = (,, ) T b) v = (,, ) T c) z = (a, b, c) T.5) Gegeben sind die folgenden Geraden bzw. Ebenen: ( ) g : r = λ ( ) ( ) g : a = + µ e : s = b + c

4 e : ρ = + x + y e : u = Berechnen Sie Schnittpunkte/-geraden zwischen a) g und g b) g und e c) g und e d) e und e e) e, e und e.6) (Klausuraufgabe MfC,..6) a) Gegeben sind die folgenden drei Vektoren: ( ) ( a = 4, b = ) ( ) 4 +, c = Berechnen Sie für alle drei möglichen Paare dieser Vektoren jeweils den Winkel, den das Vektorpaar aufspannt. b) Berechnen Sie den Schnittpunkt zwischen der angegebenen Gerade und Ebene: r g = + λ, r e = + µ + ν.7) (Klausuraufgabe MfC, Uni Stuttgart, ) a) Gegeben ist der Punkt P a = (d ). In der xy-ebene befinden sich zwei weitere Punkte P b und P c, die zusammen mit P a auf einem Kreis mit dem Radius d um den Ursprung liegen und diesen Kreis in drei gleiche Teile teilen. Wie lauten die Koordinaten der Punkte P b und P c? b) Finden Sie einen weiteren Punkt P d auf der positiven z-achse, sodaß die vier Punkte P a, P b, P c und P d ein reguläres Tetraeder bilden (alle Kanten gleich lang). Wie lauten die Koordinaten von P d? c) Eine Kugel um den Ursprung berührt gerade die drei Tetraederflächen, die nicht mit der xy-ebene zusammenfallen. Welchen Radius hat diese Kugel? d) Wie groß ist das Restvolumen des Tetraeders, das nicht durch die Kugel eingenommen wird? 4

5 .8) (Klausuraufgabe MfC, Uni Stuttgart, 5.7.) a) Zeigen Sie, daß die Ebene ax + by + cz = die x-, y-, z-achsenabschnitte /a, /b, /c hat. b) Die drei Schnittpunkte der Ebene aus Teilaufgabe (a) mit den Koordinatenachsen sowie der Ursprung bilden die vier Eckpunkte eines Tetraeders. Wie groß ist das Volumen des Tetraeders, unter Verwendung der allgemeinen Konstanten a, b, c? Welche beiden(!) möglichen Werte kann die Konstante c annehmen, wenn a = und b = gilt und das Tetraedervolumen den Wert v annehmen soll? c) Die beiden in Teilaufgabe (b) ermittelten Werte der Konstanten c definieren nach Teilaufgabe (a) zwei Ebenen e und e. Wie lauten die Gleichungen dieser Ebenen in Normalenform? Unter welchem Winkel β schneiden sich diese beiden Ebenen e und e? Wie groß muß das Tetraedervolumen v sein, damit β = 6 wird? d) Wie lautet die Gleichung einer weiteren Ebene e in Parameterform, wenn diese Ebene die z-achse enthalten soll und das Volumen der oben genannten Tetraeder jeweils halbiert? 5

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