Höhere Mathematik Vorlesung 4

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1 Höhere Mathematik Vorlesung 4 März 217

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3 In der Mathematik versteht man die inge nicht. Man gewöhnt sich nur an sie. John von Neumann 4 as oppelintegral Flächen, Volumen, Integrale Ob f für a x b definiert ist, zerlegen wir das Intervall [a, b] in n Teilintervalle [x i 1, x i ] mit der selben Länge x x i x i 1 b a n und wählen wir Zwischenpunkte x * i in dieser Teilintervalle. Im Fall f die Riemann-Summe n f(x * i )(x i x i 1 ) ist die Summe der Flächeninhalte der orangen Rechtecke: i1 as Integral b zwischen a und b an. Man sieht leicht an, dass: b a a f(x)dx lim f(x)dx gibt den Flächeninhalt unter der Kurve y f(x) n n i1 f(x * i ) x lim n i1 n f(x * i )(x i x i 1 ) Ähnlich wie im obigen eindimensionalen Fall definieren wir das oppel- 1

4 integral für eine Funktion f mit zwei Variablen. Sei f auf dem Rechteck: R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 : a x b, c y d} der xoy-ebene definiert und nicht negativ. Sei S der Körper zwischen R und dem Graph z f(x, y) der Funktion f : d.h.: S {(x, y, z) R 3 : z f(x, y)}. Wir zerlegen R durch achsenparallele Strecken in Teilrechtecke: R ij [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] {(x, y) : x i 1 x x i, y j 1 y y j }, jeder mit dem selben Flächeninhalt A x y. In jedem R ij wählen wir einen beliebigen Zwischenpunkt (x * ij, y* ij ), dann ist f(x * ij, y* ij ) A das Volumen des Quaders mit Grundfläche R ij und Höhe f(x * ij, y* ij ). 2

5 ie Riemann-Summe: m n f(x * ij, y ij) * A i1 j1 werden wir als eine Abschätzung des Volumens von S ansehen: Unsere Intuition sagt uns: erhöht man m und n, so die Abschätzung immer besser wird. efinition: as oppelintegral Wir definieren das oppelintegral einer Funktion f : [a, b] [c, d] R durch: [a,b] [c,d] f(x, y)da ob dieser Grenzwert existiert. lim m m,n i1 j1 n f(x * ij, y ij) * A 3

6 Bemerkungen: as mathematische Objekt da heisst das Flächenelement. Beispiel: Wir schätzen das Volumen des Körpers, der zwischen dem Rechteck R [, 2] [, 2] und dem elliptischen Paraboloid z 16 x 2 2y 2 liegt. Wir spalten R in vier Teilrechtecke und wählen wir die Zwischenpunkte oben rechts in der Ecke in jedem R ij aus. Also gilt: (x * 11, y * 11) (1, 1) (x * 21, y * 21) (2, 1) (x * 12, y * 12) (1, 2) (x * 22, y * 22) (2, 2) as Paraboloid ist der Graph von f(x, y) 16 x 2 2y 2 Flächeninhalt jedes Quadrats ist A 1. und der Nun schätzen wir das Volumen durch die Riemann-Summe mit m 2, n 2 ab: 2 2 V f(x * ij, y ij) A * i1 j1 f(1, 1) A + f(1, 2) A + f(2, 1) A + f(2, 2) A

7 Bessere Näherungen werden für grössere Werte von m, n erhalten: Grundeigenschaften von oppelintegralen: (i) das oppelintegral ist eine lineare Abbildung: αf + βg da α f da + β g da [a,b] [c,d] [a,b] [c,d] [a,b] [c,d] (ii) 1 da A(), R 2 beschränkt, wobei A() der Flächeninhalt von ist. (iii) für f g gilt: f da g da. [a,b] [c,d] [a,b] [c,d] Wie berechnet man ein oppelintegral? Triple is funny, ouble makes the money sagen die artsspieler. Umschreibend sage ich mal: ie efinition is funny aber Fubini makes the money Satz von Fubini: Sei f stetig auf dem Rechteck R {(x, y) : a x b, c y d}, dann gilt: [a,b] [c,d] f(x, y)da b d a c f(x, y)dydx d b c a f(x, y)dxdy 5

8 Folgerungen: Für eine Funktion mit getrennten Variablen f(x, y) f(x)g(y) gilt: b d f(x)g(y)da f(x)dx g(y)dy a c [a,b] [c,d] Schlichte Gebiete: as Gebiet definiert durch:. {(x, y) R 2 : a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} heisst Normalgebiet bezüglich x. Ist f stetig auf, dann: f(x, y)da b g2(x) a g 1(x) f(x, y)dydx as Gebiet definiert durch: {(x, y) R 2 : h 1 (y) x h 2 (y), c y d} heisst Normalgebiet bezüglich y. Ist f stetig auf, dann: f(x, y)da d h2(x) c h 1(x) f(x, y)dxdy 6

9 Beispiel: Normalgebiete in Natur: Bemerkungen: Im Allgemeinen: eine Verallgemeinerung der Normalgebiete sind die regulären Menge R 2 : die Menge ist selbst abgeschlossen und beschränkt ihr Inneres int() nicht leer ist ihr Rand aus endlich vielen stückweise glatten Kurven besteht. Beispiel: Um das genaue Volumen des letzten Beispiels zu berechnen, verwenden wir den Satz von Fubini: V [,2] [,2] x 2 2y 2 da ( 16x x3 3 2xy2 2 2 ) 2 dy ( ) y2 dy y 4y x 2 2y 2 dxdy 48 7

10 Additivität des oppelintegrals: Man kann den Integrationsbereich in kleinere, nicht überlappende bereiche 1, 2 aufteilen. a f auf stetig ist, ist f auch auf allen 1, 2 stetig. Es ist dann: f(x, y)da f(x, y)da + f(x, y)da Nicht-positive Integranden Was bedeutet b f(x)dx wenn f nicht positiv ist? a Antwort: b a f(x)dx graue Fläche rote Fläche. Gibt es dieselbe Situation für oppelintegrale und Volumen. Bemerkungen: er Ausdruck x 2 +y 2 schreit nach Polarkoordinaten x r cos θ und y r sin θ, mit r und θ [, 2π]. Umgekehrt ist: r x 2 + y 2, θ arccos x x2 + y arcsin y 2 x2 + y. 2 8

11 as oppelintegral in Polarkoordinaten: Ist f stetig auf einem Polarrechteck: {(r, θ) : a r b, α θ β} wobei β α 2π, dann gilt: f(x, y)da b β a α Ist f stetig auf einer Polarregion: f(r cos θ, r sin θ)rdθdr {(r, θ) : α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} dann gilt: f(x, y)da β h2(θ) α h 1(θ) f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ Beispiel: Wir berechnen den Flächeninhalt des Blumenblatts, das von der Kurve: (x 2 + y 2 ) 3 2 x 2 y 2 beigefügt wird. 9

12 In Polarkoordinaten die Gleichung der Kurve ist r cos 2θ. Für x r cos θ und y r sin θ gilt es x 2 y 2 r 2 cos 2θ und (x 2 + y 2 ) 3 2 r 3. as Blumenblatt ist die Polarregion: {(r, θ) : π 4 θ π 4, r cos 2θ} A() π 4 π 4 π 4 π 4 1dA r 2 2 cos 2θ π 4 π 4 dθ cos 2θ π 4 π cos 4θ dθ rdrdθ cos 2 (2θ) dθ 2 ( θ + sin 4θ 4 ) π 4 π 4 π 8 Integration durch Substitution: Entsteht der reguläre Bereich R 2 unter der Koordinaten-transformation x x(u, v), y y(u, v) aus B, dann gilt für jede auf stetige Funktion f die Transformationsformel: f(x, y)da f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv, wobei (x,y) (u,v) x y u v x y v u. B Anwendungen der oppelintegrale ie Masse M einer Platte B R 2 von variabler ichte ρ(x, y) ist gegeben durch: M B ρ(x, y) dxdy er Schwerpunkt G(x G, y G ) der Platte hat die Koordinaten: x G 1 M x ρ(x, y) dxdy, y G 1 M y ρ(x, y) dxdy B B 1

13 Trägheitsmoment einer Partikel um die x-achse: I x B x 2 ρ(x, y) dxdy Trägheitsmoment einer Partikel um die y-achse: I y B y 2 ρ(x, y) dxdy Trägheitsmoment einer Partikel um den Ursprung : I I x + I y B (x 2 + y 2 ) ρ(x, y) dxdy 11

14 Übungen mit Lösungen Aufgabe 1. Werten Sie das folgende Integral aus: (x + 2y)dA. Hier ist das Gebiet, das von den Parabeln y 2x 2 und y 1 + x 2 begrenzt wird. Lösung: ie Schnittpunkte der Parabeln sind die Punkte A( 1, 2) und B(1, 2). as Gebiet begrenzt durch die Parablen ist ein Normalgebiet bezüglich x. {(x, y) : 1 x 1, 2x 2 y 1 + x 2 } iese zieht nach sich: (x + 2y)dA 1 1+x x 2 (xy + y 2 ) (x + 2y)dydx 1+x2 2x 2 dx [x(1 + x 2 ) + (1 + x 2 ) 2 x(2x 2 ) (2x 2 ) 2 ]dx ( 3x 4 x 3 + 2x 2 + x + 1)dx ) ( 3 x5 5 x x3 3 + x2 2 + x Aufgabe 2. Sei das Gebiet, das von der Gerade y 2x und der Parabel y x 2 begrenzt wird. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der unter dem Paraboloid z x 2 + y 2 und über dem Gebiet liegt. 12

15 Lösung: 1. Methode: Man kann als ein Normalgebiet bezüglich x interpretieren: {(x, y) : x 2, 2x y x 2 } as Bild zeigt den Körper, der unter dem Paraboloid z x 2 + y 2 und über dem Gebiet liegt: as Volumen des Körpers ist: V 2 2 (x 2 + y 2 )da ( x 2 y + y x ) 2x dx x 2 ( x6 3 x4 + 14x3 3 x 2 2 ) dx (x 2 + y 2 )dydx ( x 2 (2x) x 4 + (2x)3 3 ( x7 21 x x4 6 ) 2. Methode: Simultan ist ein Normalgebiet bezüglich y : (x2 ) 3 ) dx {(x, y) : 1 2 y x y, y 4} 13

16 asselbe Volumen kann man berechnen durch: 4 y V (x 2 + y 2 )da (x 2 + y 2 )dxdy 1 2 y 4 ( ) x 3 y y2 x dy y 2 ( ) 2 15 y y y4 4 ( y y 5 y y ) dy 14

17 Übungsblatt 4 Aufgabe 3. Berechnen Sie das oppelintegral: xe y da, wo das Gebiet durch die Kurven y x und y x 2 begrenzt ist. Aufgabe 4. Berechnen Sie das oppelintegral: (x + y)da, wo der Bereich ein Quadrat mit den Eckpunkten (1, ), (, 1), ( 1, ) und (, 1) in der xy Ebene liegt. Aufgabe 5. Berechnen Sie das Integral der Funktion: f(x, y) xy über dem reiecksbereich mit den Eckpunkten A(1, 1), B(4, 5), C(4, 2). Aufgabe 6. Berechnen Sie das Volumen des gestumpften Zylinders, dessen Basisfläche der Kreis: { x 2 + y 2 1 z ist, und von oben durch die Ebene z x + y + 6 begrenzt ist. Aufgabe 7. Schreiben Sie : als eine Vereinigung mehrerer Normalgebiete und rechnen Sie die Integrale xda und yda aus. 15

18 16

19 Literaturverzeichnis [1] J. Stewart. Calculus, Thompson Brooks/Cole, 28. [2]. Ferus. Analysis II für Ingenieure, Technische Universität Berlin, 27. [3] C. I. Hedrea. Curs de Matematici speciale, 216. [4] O. Lipovan. Analiza matematica: Calcul Integral, Editura Politehnica,

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(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const.

(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const. 13 Flächenintegrale 64 13 Flächenintegrale Im letzten Abschnitt haben wir Integrale über Kurven betrachtet. Wir wollen uns nun mit Integralen über Flächen beschäftigen. Wir haben bisher zwei verschiedene

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