StrategiePortfolio Management for Long-TermInvestments:

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1 Diss. ETH No StrategiePortfolio Management for Long-TermInvestments: An Optimal Control Approach A dissertation submitted to the SWISS FEDERAL INSTITUTEOF TECHNOLOGY ZÜRICH for the degree of Doctor of Sciences ETH presented by Florian Herzog Dipl.-Ing. ETH M. Sc. Georgia Institute of Technology born 18 July 1975 from Germany aeeepted on the recommendationof Prof. Dr. H. P. Geering, ETH Zürich, examiner Prof. Dr. M. A. H. Dempster, University of Cambridge, UK, co-examiner Prof. Dr. M. Morari,ETH Zürich, co-examiner 2005

2 Abstract In this thesis, a Solution framework for the problem of strategic portfolio management for long-term Investments is of this work is proposed which uses an optimal control approach. The aim to develop and apply methods of control engineeringfor solving the prob lem of multi-periodportfolio optimization. The thesis introducesmathematical modeis in continuous and discrete time that describe the dynamics of assets. corresponding are optimized. feedback Controllers are derived such For these modeis, the that the objectives of the investors In continuoustime, the basic modelling and optimizationframeworkis introducedand the problem of portfolio optimization is discussed with respect to other well-known con trol Solutions. For asset price modeis where the expected returns are an affine function of economic factors, the portfolio optimizationproblem is solved analytically. The con ditions for solving this problem are also derived as well as the case where the economic factors are not directly observable. Since the analytical Solutions depend on restrictive assumptions, such as no constraints on the control variables, a numerical methodfor solv ing the stochastic optimal control problems is derivedand its convergence is proved. The continuous-timemethods are applied in two short case studies to German and US market data. In discrete time, modeis for the asset classes and the portfolio dynamics are intro duced. The modelling of non-gaussian asset distributions and the modelling of stochastic volatility (variance) is discussed. The problem of portfolio optimizationin discrete time is stated and the conditions of optimality, i.e., the dynamic programming algorithm, are explained. Since for realistic assumptions, such as constraints, and large problem sizes, the Solution of the dynamic programming algorithm is impractical and thus, two approx imation methods are suggested. The first method is a suboptimal control strategy which uses the ideas from deterministic model predictive control. Model predictive control solves the problem of finding an optimal Controller by consecutively solving the corresponding open-loop problem. The second method, called stochastic programming approximation, approximates the stochastic portfolio dynamicsby a finite number of scenarios and solves the feedback problem for the approximated dynamics. The two approximation methods are used to derive Solutions for portfolio optimizationsfor specific asset price modeis.

3 XIV With model predictive control, a Solution to the so-called linear Gaussian Factor model is derived and an extension to the model with time-varyingand stochastic covariance raatrices is given. For portfolio problems with transaction costs and liabilities, a stochastic programming Solution is explained. The methods for discrete-time portfolio optimizations are applied in three case studies to real-world asset data. In the first case study, the model predictive control method is applied to a problem of maximizingthe expected returns subjectedto a so-called coherent risk measureconstraint. The resultsof the out-of-sampletest with mostly US stock market data show that the realized portfolioreturns comply with the risk constraint. In the second case study, the problem of construction a balanced fund, which invests in Stocks, bonds, and cash, is solved. The portfoliooptimizationin this case study uses the analytical model predictive control Solution where a heuristic is used to periodically select factors for the expected returnpredictions. The results of the computed portfoliosshow that the method outperforms suitable benchmarks with respect to absolute and risk-adjusted returns. In the third case study, the asset allocation problem for a Swiss fund is considered which invests domesticallyand in the EU markets. The fund gives a Performance guarantee and is assumed to be large, such that it faces considerable transaction costs. The problem resembles the Situation that Swiss pension funds face for their asset allocation decisions. The case study shows that the computed strategy holds the portfolio values above the barrier of the Performance guarantee. Furthermore, the optimization adjusts the risk aversion depending on the distance between actual portfolio value and current minimum Performanceguarantee.

4 Zusammenfassung XV In der vorliegendendissertation wird eine Lösungsmöglichkeitfür das Problem des "Stra tegischen Portfolio Managements für langfristige Investitionen" vorgeschlagenmit Hilfe der Theorie der optimalen Regelung. Das Ziel der vorliegendenarbeit ist Methoden der Regelungstechnik für die Aufgabenstellung der MehrperiodenPortfoliooptimierung entwickeln and anzuwenden.die Arbeit führt in mathematischemodelle in kontinuierli cher und diskreter Zeit zur Beschreibung der Dynamik von Anlageklassen ein. Für diese Modelle werden die zugehörigen Regler hergeleitet, optimiert werden. zu so dass die Kriterien der Investoren In kontinuierlicher Zeit werden Basismethodender Modellierungund Optimierungfür Portfoliooptimierungsproblemediskutiert und in Bezug zu bekannten anderen Regelungs technik Methoden gesetzt. Für Modelle von Anlagen, bei welchen die erwarteten Rendi ten mit Hilfe einer affinen Funktion von ökonomischenfaktoren erklärt werden, wird das Problem der Portfoliooptimierunganalytisch gelöst. Die Bedingungenfür die Existenzder Lösung werden hergeleitet sowie der besondere Fall mit nicht messbaren Faktoren wird gelöst. Weil die analytischen Lösungen nur unter sehr restriktiven Annahmen gefunden werden können, wie z.b. keine Beschränkungen für die Steuervariablen, wird eine nume rische Methode zur Lösung der stochastischen optimalen Regelungsprobleme hergeleitet und deren Konvergenz bewiesen. Die Methoden in kontinuierlicher Zeit werden in zwei kurzen Fallstudien mit Deutschen und US Amerikanischen Daten angewandt. Für Methodenin diskreter Zeit werden die Modelle für Anlageklassen-und Portfolio dynamik eingeführt. Die Modellierung von Anlageklassenwelche nicht Gauss-verteilt sind und sowie die Modellierung von stochastischer Volatilität (Varianz) wird diskutiert. Problem der Portfoliooptimierungin diskreter Zeit wird diskutiert und die Bedingungen zur Berechnung einer Lösung mit der dynamischenprogrammierungwerden aufgezeigt. Da für realistischeannahmen,z.b. Restriktionen, und grossen Problemgrössen die Lösung mit Hilfe der dynamischenprogrammierung unpraktikabelist, werden zwei Approxima tionsmethodenvorgeschlagen. Die erste Methode ist eine suboptimale Regelungsstrategie welche die Ideen der deterministischen Das Model Predictive Control Methode benutzt. Mo del Predictive Control löst das Problem der optimalen Regelung indem konsekutiv das optimale Steuerungsproblem gewandt wird. Die zweite Methode, welche als Stochastic

5 XVI Programming Approximationbezeichnet wird, nähert man die stochastische Dynamik durch eine endliche Anzahl von Szenarien an. Im Folgenden, berechnet man die optima len Regler basierend auf die angenäherte Dynamik. Beide Methoden werden verwendet um für spezifische Anlageklassenmodelle die zugehörigen Portfoliooptimierungenzu fin den. Mit Hilfe der Model Predictive Control Methode wird für das so genannte lineare Gaussfaktormodel eine Lösung abgeleitet. Für das Portfolioproblemmit Handelskosten und ausstehenden finanziellen Verpflichtungen, rung mittels der Stochastic Programming Methode vorgeschlagen. wird eine Lösung der Portfoliooptimie Die Methoden in diskreter Zeit zur Portfoliooptimierung werden in drei Fallstudien mit realen Finanzdaten angewandt. In der ersten Fallstudie,wird die Predictive Control Methode auf ein Problem angewandt, bei welchem die erwarteten Renditen unter einer kohärenten Risikorestriktion optimiert werden. Die Resultateder historischen Simulation mit hauptsächlichdaten des US Amerikanischen Aktienmarktes zeigen dass die Renditen der berechneten Portfolios mit den Risikorestriktionen übereinstimmen. In einer zwei ten Fallstudie, wird das Problem eines gemischten Fonds, welcher in und Geldmarktinstrumente Aktien, Anleihen investieren kann, betrachtet. Die Portfoliooptimierungdieser Fallstudie benutzt die analytische Lösung der Model Predictive Control Methode, wobei eine Heuristik angewandt wird um die Faktoren zur Schätzung der erwarteten Rendi ten auszuwählen. Die Resultate dieser Methode zeigen, dass vergleichbare Indizes sowohl bezüglichder absoluten Renditen sowie der vom Risiko bereinigten Renditen geschlagen werden. In der dritten Fallstudie, wird das Problem eines Schweizer Anlagefonds analy siert, welcher in der Schweiz und der EU investiert. Der Fond gibt eine Renditegarantie ab und hat beträchtliche Handelskosten auf Grund seiner Grösse. Das Problem gleicht der Aufgabestellung im Anlagenmanagement einer SchweizerischenPensionskasse. In der Fallstudie wird gezeigt, dass die berechnete Strategie den Portfoliowert über der Garan tiegrenze hält. Im weiterem adjustiert die Methode die Risikofähigkeit in Abhängigkeit vom Portfolioergebnis und der Mindest-Garantie.