Institut für Allgemeine Mechanik der RWTH Aachen

Transkript

1 Prof Dr-Ing D Weichert 1Übung Mechanik II SS Aufgabe An einem ebenen Element wirken die Spannungen σ 1, σ 2 und τ (Die Voreichen der Spannungen sind den Skien u entnehmen Geg: Ges: 1 σ 1 = 5 MPa, σ 2 = 1 MPa, τ = 3 MPa 2 σ 1 = MPa, σ 2 = 2 MPa, τ = 1 MPa Bestimmen Sie mit Hilfe des Mohr schen Spannungskreises die Hauptspannungen und Hauptachsen Skiieren Sie das in den Hauptspannungsustand gedrehte Element 2 Aufgabe Ein Stahlband der Dicke δ wird spiralförmig u einem dünnwandigen Rohr (δ R verschweißt und mit einer Kraft F und einem Moment M belastet Geg: Ges: F = 2 kn, M = 15 knm, R = 1 mm, δ = 5 mm, α = 4 Bestimmen Sie: 1 die Spannungen an dem eingeeichneten Element, 2 die Hauptspannungen und die maimale Schubspannung mit dem Mohr schen Spannungskreis sowie 3 die Spannungen σ N und τ N in der Schweißnaht rechnerisch und grafisch mit dem Mohr schen Spannungskreis

2 3 Aufgabe Ein Kessel steht unter dem Innendruck p Geg: Ges: p = 3 bar, r = 1 mm, Wanddicke δ =, 6 mm, δ r Bestimmen Sie: 1 die Spannungen am geeichneten Element sowie 2 grafisch mit dem Mohr schen Spannungskreis die Spannungen in einem um 45 verdrehten Element

3 Lösungshilfen für 1 Übung Mechanik II SS 28 : Aufgabe 1: 1 σ = 61 MPa σ = 661 MPa ϕ = 28 2 σ = 241 MPa σ = 41 MPa ϕ = 22, 5 Aufgabe 2: 1 σ = σ = MPa σ = 63, 66 MPa τ = 47, 75 MPa 2 = 89 MPa I = 25 MPa ϕ = 62 τ ma = 58 MPa ϕ τma = 17 3 σ n = 9, 67 MPa τ n = 39, 64 MPa Aufgabe 3: 1 σ =, 3 MPa σ = 5 MPa σ 2 σ = σ = 37, 5 MPa τ = 12, 5 MPa = 25 MPa

4 Beispielaufgabe Der Spannungsustand in einem Punkt eines dreidimensionalen Körpers sei durch die in der Abbildung eingeeichneten Spannungskomponenten gegeben Geg: Ges: σ 11 = σ 22 = 2 σ, σ 33 = σ, τ 12 = τ 13 =, τ 23 = σ 22 1 Bestimmen Sie rechnerisch die Hauptspannungen und die Hauptspannungsrichtungen für den gegebenen Spannungsustand 2 Zeichnen Sie das Sstem der Mohr schen Spannungskreise für das räumliche Element 3 Geben Sie die maimal auftretende Schubspannung und die daugehörige Schnittebene an

5 Lösung der Beispielaufgabe 1 Rechnerische Bestimmung der Hauptspannungen und ihrer Richtungen: Zunächst werden aus den gegebenen Spannungen und den Pfeilrichtungen in der Zeichnung die Komponenten des Spannungstensor σ ermittelt: σ σ σ = σ 11 = 2σ = σ 22 = 2σ = σ 33 = σ τ = τ = τ 12 = τ = τ = τ 13 = τ σ = = τ = τ 23 = 2σ σ τ τ τ σ τ τ τ σ = 2σ 2σ 2σ 2σ σ τ σ τ τ σ τ Die drei gesuchten Hauptspannungen σ i, i = I, II, III, lassen sich durch Lösen des Eigenwertproblems des Spannungstensors bestimmen: det ( σ σ i Ī 2σ σ i = det 2σ σ i 2σ 2σ σ σ i = (2σ σ i [ (2σ σ i ( σ σ i 4σ 2] = (2σ σ i ( σ 2 i σσ i 6σ 2 = τ τ σ ersten Klammerausdruck Null seten σ i1 = 2σ weiten Klammerausdruck Null seten σ i2/3 = σ σ 2 ± σ2 = σ 2 ± 5σ 2 σ i2 = 3σ σ i3 = 2σ Mit I II folgen die Hauptspannungen σ i u: I II = 3σ = 2σ = 2σ Die Hauptspannungsrichtungen können unter Berücksichtigung der folgenden Bedingungen bestimmt werden: (a Für jeden Eigenwert σ i muss die Gleichung ( σ σ i Ī n i = erfüllt sein (b n I = n II = n III = 1 (c n I, n II und n III müssen paarweise senkrecht aufeinander stehen

6 Als erstes wird der Richtungsvektor n II für die Hauptspannung I bestimmt, da man bei Betrachtung von Punkt (a direkt wei Komponenten bestimmen kann für I = 2σ folgt: ( σ I Ī n II = = aus der 2 Zeile folgt: n II3 = damit in die 3 Zeile: n II2 = 2σ 2σ 2σ 2σ 2σ 2σ σ 2σ n II1 2σ n II2 =! 2σ 3σ n II3 n II1 n II2 n II3 und wenn man jett noch Punkt (b berücksichtigt folgt, dass n II1 = 1 ist 1 n II = Für = 3σ: ( σ Ī n I = = 2σ 3σ 2σ 3σ 2σ 2σ σ 3σ σ n I1 σ 2σ n I2 2σ 4σ n I3 = n I1 n I2 n I3 aus der 1 Zeile folgt: n I1 = Im nächsten Schritt muss ein beliebiger Wert für eine der beiden unbekannten Komponenten angenommen werden und die andere Komponente mit Zeile 2 oder 3 bestimmt werden Gewählt: n I2 = 2 n I3 = 1 Einen beliebigen Vektor normiert man, indem man seine Komponenten durch seinen Betrag teilt: 1 n I = 2 = Unter Berücksichtigung von Punkt (c erhält man n III mit dem Kreuprodukt: n III = n II n I = =

7 2 Sstem Mohr scher Spannungskreise: Bei einem räumlichen Spannungsustand ergibt sich für jede Koordinatenebene jeweils ein Mohr scher Spannungskreis, also für die -Ebene, - Ebene und die -Ebene Ein räumlicher Spannungsustand wird also in der σ τ-ebene allgemein durch ein Sstem von 3 Mohr schen Spannungskreisen dargestellt Die Schubspannung τ wurde bisher (-Ebene bei σ voreichenrichtig angetragen und entgegengesett bei σ Im dreidimensionalen Fall werden die Kreise für die restlichen Ebenen (- Ebene, -Ebene entsprechend mit klischer Vertauschung der Indies erstellt Falls die Zeilen und Spalten in einem Spannungstensor bis auf die Normalspannung gleich Null sind, ist diese Normalspannung eine Hauptspannung (hier σ Ein Sstem von Spannungskreisen kann mit Hilfe des Spannungstensors nur dann bestimmt werden, wenn mindestens eine Koordinatenachse eine Hauptspannungsrichtung ist klische Vertauschung: i j ( σ, τ τ ( σ τma,τ ma 2ϕ τ 2σ Ebene 2ϕ II σ σ σii Ebene σ abgelesen: Hauptspannungsst: = 3σ I II = 2σ = 2σ 2ϕ = 53 ϕ = 265 Element im Hauptspannungsustand: II Ebene ( σ, τ ma Schubspannung: τ ma = 5 2 σ 2ϕ τ = 37 ϕ τ = 18, 5 Element mit maimaler Schubspannung: Normalenvektor: n τ = sin ϕ τ = cos ϕ τ ϕ τ τ n τ σ τma τ ma, 317, 948 σii σ τma τ ma τ ma = ϕ II = τ τ ma σ τma σ τma τ