Aufgaben zur Ökonometrie I

Transkript

1 Aufgaben zur Ökonomerie I 4. Mulikollineariä 4. Worin beseh das Problem der Mulikollineariä? A. Perfeke Mulikollineariä Perfeke Mulikollineariä lieg dann vor, wenn zwei oder mehrere unabhängige Variable Korrelaionskoeffizienen von oder - aufweisen. Eine OLS-Schäzung is dann nich möglich, weil in diesem Fall Spalen der Beobachungsmarix X (=Variablenvekoren) linear abhängig sind. Die Produkmarix is dann X X singulär, kann also nich inverier werden, so dass der OLS-Schäzer βˆ, d.h. der Vekor der geschäzen Regressionskoeffizienen, nich berechnen läss. Perfeke Mulikollineariä komm in der Praxis eigenlich nur dann vor, wenn unabhängige Variablen durch eine definiorische Beziehung mieinander verknüpf sind. B. Nich-perfeke Mulikollineariä Unabhängige Variable sind sark mieinander korrelier, sie weisen aber keinen Korrelaionskoeffizienen von oder - auf. In diesem Fall läss sich der OLS-Schäzer βˆ zwar berechnen. Doch vereilen sich die Variablenwere z.b. bei k=3 Regressoren (einschl. der Scheinvariablen) nich über die gesame x,x -Ebene wie im Falle einer Unabhängigkei der erklärenden Variablen. Aufgrund ihrer Abhängigkei liegen sie relaiv eng um eine Gerade in dieser Ebene. Die Lage der zuschäzenden Regressionsebene im x,x,y-raum wird dadurch unsicherer, da sie bereis durch kleine Daenänderungen sark beeinfluss wird. Die größere Unsicherhei drück sich auch dadurch aus, dass die Sandardfehler der geschäzen Regressionskoeffizienen bei Mulikolineariä größer werden, so dass ihre Signifikanz schwieriger nachzuweisen is.

2 4. Welche Inerpreaionsprobleme ergeben sich im Falle von Mulikollineariä bei ökonomerischen Modellschäzungen? Der gemeinsam erkläre Einfluss läss sich nich exak in Einzeleinflüsse separieren. Da der Gesameinfluss weierhin korrek geschäz wird, geh eine Überschäzung des Einflusses einzelner Variablen mi einer Unerschäzung des Einflusses anderer Variablen einher. Die Aufeilung der Einzeleinflüsse und dami die Größe die Regressionskoeffizienen is von großer Unsicherhei gepräg. Bereis kleine Daenveränderungen können sich sark auf die geschäzen Regressionskoeffizienen auswirken. Die hohe Unsicherhei zeig sich auch daran, dass der Sandardfehler der Regressionskoeffizienen zunimm. Die absoluen Were der Prüfgrößen (-Were) werden dadurch endenziell kleiner, so dass die Signifikanz einzelner Regressoren schwieriger nachweisbar wird. Auch wenn die Nullhypohese des F-Tess über den Gesamzusammenhang verworfen wird, können die Ergebnisse der -Tess nich signifikan sein.

3 4.3 Nennen Sie Verfahren zur Aufdeckung von Mulikollineariä. Einfache Korrelaionsanalyse: Die einfachen Korrelaionskoeffizienen, die den Zusammenhang zwischen den unabhängigen Variablen messen, sollen absolu nich größer als 0,8 sein. Problem: Mulikollineariä, die durch die wechselseiige Abhängigkei mehrerer Regressoren versursach wird, läss sich möglicherweise hiermi nich aufdecken. Erweiere einfache Korrelaionsanalyse: Die einfachen Korrelaionskoeffizienen zwischen den Regressoren sollen nich größer sein als der muliple Korrelaionskoeffizien, der den Zusammenhang zwischen allen x-variablen und der y-variablen miss. Problem: siehe einfache Korrelaionsanalyse. Deerminane der Produkmarix X X oder der Korrelaionsmarix R: Die Deerminane der Produkmarix X X oder der Korrelaionsmarix R der exogenen Variablen lieg bei Mulikollineariä in der Nähe von null. Problem: Es is keine Fausregel vorhanden, bei welcher Abweichung von null ab von Mulikollineariä auszugehen is. Außerdem erhäl man keine Informaionen darüber, welche Varriablen die Mulikolineariä verursachen. Kondiionszahl der X X: Die Kondiionszahl der Produkmarix X X, die sich aus der Wurzel des Verhälnisses ihres größen und kleinsen Eigenwers ergib, solle nich größer als 30 sein. Problem: Man erhäl keine Informaionen darüber, welche Varriablen die Mulikolineariä verursachen. Verfahren der Hilfsregression: Jede der k- echen unabhängigen Variablen wird durch die übrigen unabhängigen Variablen mi einer linearen Regression erklär (=Hilfsregression). Bei der Regression der j- en x-variablen auf die übrigen x-variablen erhäl man den Deerminaionskoeffizienen R j. - F-Tes der Deerminaionskoeffizienen R j : Bei Signifikanz eines oder mehrerer Deerminaionskoeffizienen R j wird auf Mulikollineariä geschlossen. - Toleranzkoeffizien: ol j = R j Bei Mulikollineariä müsse der Toleranzkoeffizien nahe bei 0 liegen. Als Fausregel gil, dass ein Toleranzkoeffizien uner 0,0 auf Mulikollineariä schließen läss. - VIF-Koeffizien (Kehrwer des Toleranzkoeffizienen): Der Varianzinflaionsindex gib an, um wieviel Prozen die Varianz des j-en geschäzen Regressionskoeffizienen durch Mulikollineariä aufgebläh wird. Ein Wer über 0 läss auf Mulikollinieariä schließen.

4 4.4 Welche Probleme bringen die Verfahren der Variablenunerdrückung und Differenzenbildung zur Überwindung von Mulikollineariä mi sich? a) Verfahren der Variablenunerdrückung Von den Regressoren, die hoch mieinander korrelier sind, wird nur ein Regressor ins Regressionsmodell aufgenommen. Dami sind folgende Probleme verbunden: - Der Anwender muss feslegen, welche Regressoren ausgeschlossen werden. Der Ausschluss läss sich häufig inhallich schwer begründen und das Verfahren is dami subjekiv. - Durch den Ausschluss eines Regressors oder mehrerer Regressoren kann die Sörgröße Sysemaiken enhalen. Dami wären die Modellannahmen nich mehr erfüll. b) Verfahren der Differenzenbildung Mulikollineariä kann daran liegen, dass exogene Variablen rendbehafe sind. Die Mulikollineariä läss sich bei einem linearen Trend durch einfache Differenzenbildung ausschließen. Hier sind folgende Probleme zu nennen: - Begrenze Einsazmöglichkeien: Das Verfahren is nur dann einzusezen, wenn die korrelieren exogenen Variablen mi einem linearen Trend behafe sind. - Der Niveauzusammenhang zwischen den Variablen geh verloren, der gerade im Sinne der ökonomischen Theorie von Ineresse sein kann. - Die Differenzenbildung führ durch Einschränkung des Werebereichs endenziell zu einer Verminderung der Sreuung der Regressoren und dami zur einer Erhöhung des Sandardfehlers der geschäzen Regressionskoeffizienen. Die Prüfgröße des -Tes (empirischer -Wer) bleib dann weierhin niedrig. - Ein Beobachungwer geh durch die Differenzenbildung verloren, was insbesondere bei Jahresdaen ein Problem sein kann. - Wenn die Sörerme vorher unkorrelier waren, sind sie aufgrund der Differenzenbildung auokorrelier. Der BLUE-Eigenschaf des OLS-Schäzers geh dadurch verloren.

5 4.5 Die Korrelaionsmarix der erklärenden Variablen des Energiemodells III is durch GASPR FERNWPR VEINKR GASPR FERNWPR VEINKR gegeben. a) Beureilen Sie das Ausmaß der Mulikollineariä anhand einer erweieren einfachen Korrelaionsanalyse! Hinweis: Der Deerminaionskoeffizien im Energiemodell III beräg 0,796. Variablen: X : GASPR, X 3 : FERNWPR, X 4 : VEINKR Mulipler Korrelaionskoeffizien: R yxx3x4 = 0, 796 = 0,89 r 3 = 0,749 < 0,89 Kein Hinweis auf Mulikollineariä durch X und X 3 r 4 = 0,848 < 0,89 Kein Hinweis auf Mulikollineariä durch X und X 4 r 34 = 0,589 < 0,89 kein Hinweis auf Mulikollineariä durch X 3 und X 4

6 b) Beureilen Sie das Ausmaß der Mulikollineariä anhand der Deerminane der Korrelaionsmarix der exogenen Variablen! Korrelaionsmarix: R = r 3 r 4 r r 3 43 r 4 r = 0, ,8476 0,7489 0,5889 0,8476 0,5889 Bei einer 3 3 -Marix läss sich eine Deerminane am schnellsen mi der Sarrus schen Regel besimmen. Deerminane der Korrelaionsmarix (mi Erweierung) R = 0,7489 0,8476 0,7489 0,5889 0,8476 0,5889 0,7489 0,8476 0,7489 0,5889 Deerminane: R = + 0,7489 ( 0,5889) ( 0,8476) + ( 0,8476) 0,7489 ( 0,5889) [( 0,8476) ( 0,8476) + ( 0,5889) ( 0,5889) + 0,7489 0,7489] = + 0, ,3738 ( 0, , ,5609) =,7476,66 = 0, 5 Inerpreaion: Da die Deerminane deulich von null abweich, lieg keine Mulikollineariä vor.

7 c) Wie groß is die Korrelaion zwischen ˆβ und ˆβ 4? Was bedeue sie im Hinblick auf die Were der beiden Regressionskoeffizienen und ihre Signifikanz? Korrelaionskoeffizien der Regressionskoeffizienen ˆβ und ˆβ 4 : rˆ ˆ = r4 ββ4 Siuaion : = ( 0,848) = 0,848 Je höher β geschäz wird, deso höher wird β 4 aufgrund der Mulikollineariä (Fausregel: r 4 > 0,8) geschäz: βˆ (Überschäzung) βˆ 4 (Überschäzung) Während die Inflaionierung ( Aufblähung ) der Varianzschäzer für Var( ˆβ ) und Var( ˆβ 4 ) den Nachweis einer Signifikanz der Regressionskoeffizienen ˆβ und ˆβ 4 erschwer, bewirk ihre Überschäzung einen gegeneiligen Effek. Hierdurch wird der Aufblähungseffek verringer, jedoch nich nowendig vollsändig aufgehoben. Siuaion : Je niedriger β geschäz wird, deso niedriger wird β 4 aufgrund der Mulikollineariä (Fausregel: r 4 > 0,8) geschäz: β ˆ (Unerschäzung) βˆ 4 (Unerschäzung) In diesem Fall können die Regressionskoeffizienen ˆβ und 4 ˆβ nich nur die Inflaionierung ihrer geschäzen Varianzen, sondern auch aufgrund der negaiven Korrelaion zwischen X und X 4 insignifikan werden.

8 4.6 Die Anwendung des Verfahrens der Hilfsregressionen erbring im Energiemodell III folgende Schäzergebnisse: ^ GASP ^ FERNWP = 0,9 + 0,807 FERNWP 0,00050 VEINK, R = 0, 85 = 0, ,40 GASP + 0,00006 VEINK, R 3 = 0, 57 ^ VEINK = 44,304 6,33 GASP + 76,69 FERNWP. R 4 = 0, 73. Diagnosizieren Sie Mulikollineariä anhand der Toleranzkoeffizienen und der Varianzinflaionsfakoren (VIF)!. Hilfsregression: GASPR (X ) wird durch FERNWPR (X 3 ) und VEINKR (X 4 ) erklär Toleranzkoeffizien: ol = - R = 0,85 = 0,75 > 0,0 keine gravierende Mulikollineariä Varianzinflaionsfakor: VIF = / ol = / 0,75 = 5,74 Aufblähung der Varianz von ˆβ um den Fakor 5,74 gegenüber dem Fall einer fehlenden Korrelaion zwischen X mi X 3 und X 4. Hilfsregression: FERNWPR (X 3 ) wird durch GASPR (X ) und VEINKR (X 4 ) erklär Toleranzkoeffizien: ol 3 = - R 3 = 0,57 = 0,48 > 0,0 keine gravierende Mulikollineariä Varianzinflaionsfakor: VIF 3 = / ol 3 = / 0,48 =,336 Aufblähung der Varianz von ˆβ 3 um den Fakor,336 gegenüber dem Fall einer fehlenden Korrelaion zwischen X 3 mi X und X 4 3. Hilfsregression: VEINKR (X 4 ) wird durch GASPR (X ) und FERNWPR (X 3 ) erklär Toleranzkoeffizien ol 4 = - R 4 = 0,73 = 0,77 > 0,0 keine gravierende Mulikollineariä Varianzinflaionsfakor: VIF 4 = / ol 4 = / 0,77 = 3,60 Aufblähung der Varianz von 4 ˆβ um den Fakor 3,60 gegenüber dem Fall einer fehlenden Korrelaion zwischen X 4 mi X und X 3