Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

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1 (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete ist, so ädert sich im allgemeie die Wahrscheilichkeit für das Eitrete eies weitere Ereigisses B. Hat z.b. emad bereits das 60. Lebesahr erreicht (Ereigis A), so sid für ih im allgemeie die Chace besser, (midestes) 70 Jahre alt zu werde (Ereigis B), als für eie zufällig aus der Bevölkerug ausgewählte Perso. Dies führt zum Begriff der bedigte Wahrscheilichkeit. 3.1 Beispiel : Ei Pokerspieler ka für eie kurze Augeblick eiem Mitspieler i die Karte sehe. Dieser Momet ist zu kurz, um eizele Karte zu idetifiziere, aber er stellt fest, daß alle Karte dieses Mitspielers rot sid (d.h. die Farbe der Karte sid Herz oder Karo ). Er weiß u sicher, daß der Mitspieler icht alle vier Köige habe ka, ei Ereigis, das ursprüglich vo positiver Wahrscheilichkeit war. Ma hat auch das Gefühl, daß ei Flush (alle Karte gehöre eier Farbe a) u wahrscheilicher ist, als bevor die eue Iformatio erhalte wurde. Veraschauliche wir us die Situatio a Had der relative Häufigkeite. Es sei B (z.b. = Flush ) ei Ereigis, desse Chace eizutrete uter der Bedigug, daß ei Ereigis A (z.b. = rot ) beobachtet wurde, gemesse werde soll. Hierzu betrachte wir wieder eie Versuchsreihe der Läge ud studiere rh(b A) : = (B A), (A) die relative Häufigkeit vo B uter der Bedigug A, d.h. de Bruchteil der Versuche, bei dee B ud A zusamme eitrete, aus all deeige, bei dee A beobachtet wurde. Wir beötige (A) > 0, was, falls P(A) > 0, für hireiched große gewährleistet ist. rh(b A) hägt wiederum vo der eweilige Versuchsreihe ab, ud ist deshalb keie feste Maßzahl für die Chace des Eitretes vo B uter A. Hier hilft us folgede

2 (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) 3.2 Empirische Beobachtug : Wie die relative Häufigkeite stabilisiere sich auch die bedigte relative Häufigkeite rh(b A) für große um eie spezifische Wert zwische 0 ud 1. Dies führt i aheliegeder Weise zum Begriff der bedigte Wahrscheilichkeit vo B uter der Bedigug A, kurz P(B A), als Abstraktio der bedigte relative Häufigkeit rh(b A). Die relative Häufigkeite geüge der Gleichug : rh(b A) = (B A) (A) = rh(b A) rh(a). Wir forder deshalb im w-theoretische Modell folgede 3.3 Recheregel : P(B A) = P(B A) P(A), falls P(A) > 0, oder äquivalet dazu de 3.4 Multiplikatiossatz : P(B A) = P(B A)P(A). Hierdurch ist die Beziehug zwische bedigte ud eifache Wahrscheilichkeite geregelt. Der Multiplikatiossatz gilt ueigeschräkt, falls wir vo der Kovetio: P(B A)P(A) = 0 für P(A) = 0 Gebrauch mache, da i diesem Falle stets P(B A) = 0. Bemerkug : Die obige Recheregel wird meist als Defiitio der bedigte Wahrscheilichkeit verstade, ud da der Multiplikatiossatz hiervo abgeleitet. Dies führt edoch zu logische Ustimmigkeite, we ma, wie i viele Awedugsbeispiele, ei ubekates P(B A) aus bekate P(B A) ud P(A) mit Hilfe des Multiplikatiossatzes bereche will, wo doch da P(B A) erst via P(B A) ud P(A) defiiert ist.

3 (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) 3.5 Eiige Eigeschafte der bedigte Wahrscheilichkeite: (Ω, P) sei ei diskreter W-raum ud A Ω ei Ereigis mit P(A) > 0. a) P(. A) ist eie Wahrscheilichkeit auf Ω, die auf A kozetriert ist, d.h. P(A A) = 1. b) Isbesodere ist (A, P(. A)) ei diskreter W-raum. c) Falls A B =, da P(B A) = 0. d) P(B C A) = P(B A C) P(C A) e) A 1,..., A Ω seie Ereigisse. Es gilt: P(A 1... A ) = P(A 1 A 2... A ) P(A 2 A 3... A )... P(A -1 A ) P(A ) (mit etsprecheder Kovetio, falls P(A 2... A ) = 0). Beweis : Übug! Fortführug vo Beispiel 3.1: Poker : 52 Karte: 4 Farbe zu e 13 Karte. Ei Pokerblatt besteht aus 5 Karte. Falls edes mögliche Blatt gleich wahrscheilich ist, gilt: P(Flush) = 4 = , P(rot) = 5 5 P(Flush rot) = = , = , Die folgede zwei Sätze fide ihre Awedug vor allem bei sogeate zweistufige Experimete, bei dee die W-struktur der zweite Stufe vom Ausgag der erste Stufe abhägt, d.h. durch etsprechede bedigte Wahrscheilichkeite beschriebe wird. 3.6 Satz vo der totale Wahrscheilichkeit: A 1, A 2,... sei eie edliche oder abzählbare Zerlegug vo Ω, d.h. A i A = für i ud U A = Ω, da gilt für edes Ereigis B: P(B) = P(B A ) P(A )

4 Beweis : U (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) (B A ) = B UA = B. (B A i ) (B A ) = für i P(B) = P(B A ) = P(B A ) P(A ). 3.7 Bayessche Regel : A 1, A 2,... sei eie edliche oder abzählbare Zerlegug vo Ω, da gilt für edes Ereigis B mit P(B) > 0 : P(A B) = P(B A ) P(A ) P(B A ) P(A ) für alle. Beweis : P(A B) = P(B A P(B) ) = P(B A ) P(A ) Behauptug. P(B) 3.8 Defiitio : (P(A )) heißt a priori-verteilug (vor dem Eitrete vo B) ud (P(A B)) a posteriori-verteilug (ach dem Eitrete vo B). 3.9 Beispiel : I eier Stadt werde Tuberkulose - Utersuchuge durch Rötge Aufahme durchgeführt. Aahme : a) 90% der Krake werde als ifiziert erkat. b) 1% der Gesude werde als Tbc verdächtig registriert. c) 0,1% der gesamte Bevölkerug ist a Tbc erkrakt. Frage : Was ist die Wahrscheilichkeit dafür, daß α) ei Eiwoher als Tbc verdächtig registriert wird? β) ei als Tbc verdächtig registrierter Eiwoher wirklich krak ist? Lösug : Wir habe es mit eiem zweistufige Experimet zu tu. 1. Stufe : Ei Eiwoher ist etweder krak (Ereigis: A 1 ) oder gesud (Ereigis: A 2 ). 2. Stufe : Er wird etweder als Tbc verdächtig (Ereigis: B) registriert oder icht. Modell : Ω = {krak, gesud} {verdächtig, icht verdächtig}; Ω = A 1 A 2.

5 (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) P(A 1 ) = 0,001, P(A 2 ) = 0,999, P(B A 1 ) = 0,9, P(B A 2 ) = 0,01. α) Satz vo der totale Wahrscheilichkeit (ubedigte Wahrscheilichkeit vo B): P(B) = P(B A 1 ) P(A 1 ) + P(B A 2 ) P(A 2 ) = 0,9 0, ,01 0,999 = 0, ,01. β) Bayessche Regel (bedigte Wahrscheilichkeite der 1. Stufe, falls der Ausgag der 2. Stufe bekat) : P(B A1 ) P(A1) 90 P(A 1 B) = = 0,083. P(B) 1089 a priori-verteilug : (P(A 1 ), P(A 2 )) = (0,001; 0,999) a posteriori-verteilug : (P(A 1 B), P(A 2 B)) = (0,083;0,917) A ud B seie u Ereigisse mit P(A), P(B) > 0. (α) P(A B) > P(A) P(B A) > P(B) (β) P(A B) < P(A) P(B A) < P(B) (γ) P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Ma zeigt leicht: 3.10 Defiitio : Die Ereigisse A ud B heiße positiv(egativ) korreliert, falls (α) (falls (β)) zutrifft Beispiele : a) We 0 < P(A) < 1, da ist A mit sich selbst positiv korreliert : P(A A ) = 1 > P(A) ; A ud A sid egativ korreliert : P(A A ) = 0 < P(A). b) Beim Pokerspiel sid Flush ud rot positiv korreliert, währed vier Köige ud rot egativ korreliert sid. (γ) bedeutet, daß das Eitrete eies der beide Ereigisse keie Eifluß auf die Wahrscheilichkeit des Eitretes des adere hat. Nach dem Multiplikatiossatz gilt i diesem Falle: (δ) P(A B) = P(A) P(B).

6 (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Für (δ) wird die Eischräkug P(A), P(B) > 0 icht läger beötigt. Wir defiiere deshalb: 3.12 Defiitio : Ereigisse A ud B heiße (stochastisch) uabhägig, we P(A B) = P(A) P(B) Verallgemeierug der Defiitio : Ereigisse A 1, A 2,..., A heiße (vollstädig) uabhägig, we für alle 1 1 < 2 <... < k, 2 k, P(A A... A ) = P( A ) P( A 1 )... P( A 2 ). k 1 2 k Übug : Im Falle P(A A... A ) > 0 heißt das, 1 2 k daß P( A l k I m= 1 m l A m ) = P( A ). l 3.14 Bemerkug : Die (vollstädige) Uabhägigkeit vo A 1,..., A impliziert: (1) P(A 1... A ) = P(A 1 )... P(A ), ud (2) P(A i A ) = P(A i ) P(A ) für i (paarweise Uabhägigkeit) Weder (1) och (2), allei (we > 2) oder zusamme (we > 3), habe die (vollstädige) Uabhägigkeit zur Folge Übug : A 1,..., A sid geau da uabhägig, we P(B 1... B ) = P(B 1 )... P(B ) für ede mögliche Wahl vo B 1,..., B, wobei B = A oder A, Bemerkug : a) We Ereigisse bei eiem zufällige Experimet physisch (d.h. vo der Versuchsaordug her) uabhägig sid, da ist das beschreibede w-theoretische Modell ur da realistisch, we diese auch im Modell (stochastisch) uabhägig sid. Beispiel : Zweimaliges Würfel: Laplacescher W-raum mit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Ω = 36. Es seie A = 1. Wurf: 2, B = 2. Wurf: 5

7 (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) A ud B sid uabhägig: A = B = 6 P(A) = P(B) = = 6, P(A B) = P((2,5)) = 1 = P(A)P(B). 36 b) Adererseits braucht eier stochastische Uabhägigkeit im Modell icht ubedigt eie physische Uabhägigkeit i der Realität etspreche. Beispiel : Zweimaliges Würfel. Es sei C = Die Summe beider Würfe ist 7 C = {(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1) } C = 6 P(C) = 1 6. P(B C) = P((2,5)) = 1 = P(B)P(C), d.h. B ud C sid uabhägig. 36 Aalog : A ud C sid uabhägig, d.h. A,B,C sid paarweise uabhägig, aber icht (vollstädig) uabhägig: P(A B C) = P((2,5)) = 1 P(A) P(B) P(C). 36