10. Übung zur Linearen Algebra I -
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- Falko Hansl Brinkerhoff
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1 . Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@FU-Berlin.de FU Berlin. WS 29-. Aufgabe 37 i Für welche α R besitzt das lineare Gleichungssystem 4 αx + αx 2 = 4x + α + 2x 2 = α genau eine, keine bzw. mehr als eine? ii Man gebe ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten aus R an, dessen smenge ist. {,,, 2, + λ,, 2,, + λ 2 7, 7,, 4, λ, λ 2 R} Zu i: Das LGS besitzt genau eine falls für die Matrix der Koeffizienten, A, gilt: RgA = 2. A = 4 α α 4 α α α α + 2/4 α α + 24 α/4 α 4 α + 2/4 Im Fall α 4 ist also RgA = α α + 24 α/4 = und ansonsten RgA = 2. α α + 24 α/4 = α 2 + 2α 8 = α { 4, 2} Falls α = 4, dann ist A = α 4 6 RgA = 2 Es gibt daher genau eine, wenn RgA = 2 α R\{ 4, 2}. Für α = 2 gibt es unendlich viele en, da dann die erste Gleichung ein Vielfaches der zweiten ist.
2 Für α = 4 gibt es keine en, da dann die Koefizienten der beiden Gleichungen zwar Vielfache voneinander sind, die rechten Seiten aber nicht im selben Verhältnis stehen. D.h. man erhält eine Zeile der Form = 7. Zu ii: Gesucht ist ein LGS A, b, d.h. eine Matrix A und eine rechte Seite b, sodaß Ax = b. Das System ist nicht eindeutig, da man z.b. immer Vielfache einer Gleichung als neue Gleichung dazunehmen könnte und so ein neues System erhält, daß dieselbe smenge besitzt. Die smenge läßt sich als zu einem inhomogenen System gehörend zuordnen, da keine ist. Hätten wir ein LGS A, für die Homogene smenge, so bräuchten wir nur eine spezielle einsetzen, um b zu berechnen. Wie sehen die Komponenten a i der Matrix A aus? Wir fassen a i als Unbekannte eines Systems auf, daß wir erhalten, indem wir die zwei Basisvektoren der homogenen smenge in A einsetzen. a,..., a =, a,..., a = Die smenge aller brauchbaren Komponenten ist also {λ 2 + µ 6 + κ 5 } 2 und es gilt A = Zuletzt noch eine des inhomogenen Systems einsetzen, um b zu bestimmen: A 2 = 9 7 Ein mögliches LGS mit der gesuchten smenge ist also 7x 7x 2 + 2x 3 = 9 x + x 2 + 6x 4 = 5x + 5x 2 + 2x 5 = 7 Ergebnis prüfen: Wähle drei zufällig bestimmte Vektoren aus der gegebenen smenge aus, setzte sie in das berechnete LGS ein und prüfe, ob die Gleichungen wahr sind. 2
3 Aufgabe 38 Berechne Bezeichne M die gesuchte Matrix. Nach dem Standardverfahren durch Umformen der mit I n erweiterten Matrix: 2 /3 /2 /8 2/9 2 /3 /2 /8 2/9 /3 5/9 2/9 3 /3 2/9 / M = / Ergebnis prüfen: Gilt M M = I n? Aufgabe 39 Es sei M eine nicht reguläre n n-matrix. Nach Vorlesung existiert eine zu M äquivalente Matrix M der Form i Existiert ein s N, so dass M s die Nullmatrix ist? ii Existiert ein s N, so dass M s die Nullmatrix ist? Zu i: Ja, so ein s existiert. Beweis: Betrachte die Matrizen, die durch wiederholtes Quadrieren aus M hervorgehen M, M 2, M 4,.... Die Behauptung ist, daß bei jedem Quadrieren wieder eine Matrix derselben Form entsteht, aber insgesamt mehr Komponenten sind als vorher. Daraus folgt, daß nach endlichen 2k Schritten M = gilt. 3
4 Sei M eine Matrix mit der beschriebenen Form. Behauptung: M 2 ist dann wieder eine Matrix der in der Aufgabe beschriebenen Form, aber mit mehr Komponenten als M. Seien die ersten r Spalten von M gleich. Damit ist M auf der Diagonale von, r + nach n r, n gleich und sonst. In Spaltenschreibweise gilt M =,...,, e, e 2,..., e n r und in Zeilenschreibweise gilt M = e t r+, e t r+2,..., e t 2r,,...,. Das Quadrat ist also M 2 = e t i+r e j r, wobei e k = falls k < Da das Produkt e i e j = falls i = j und sonst, gilt M ij 2 = genau dann wenn i+r = j r. Wie sieht so eine Matrix aus? Die Positionen j i = 2r beschreiben genau die Diagonale von, 2r + nach n 2r, n. An all diesen Stellen für i, j n ist die Matrix und sonst. Damit ist die Behauptung gezeigt selbe Form, mehr Nullen. Zu ii: Nein, denn folgende Matrix ist ein einfaches Gegenbeispiel: Aufgabe 4 = i Gegeben seien die Permutationen π = und π 2 =, 4 4, 3 2, 5, 4, 3. Bestimmen Sie π π 2, π2, sgnπ 2. Schreiben Sie π 2 als Produkt elementefremder Zyklen und als Produkt von Transpositionen. Bestimmen Sie π2. ii Zeigen Sie, dass jedes Produkt zweier Transpositionen aus S n mit n 3 Produkt von Zyklen der Länge 3 ist. Zu i: π π 2 = , π =, 4 2, 3, 5, π 2 =, 4 2, 5, 3, π 2 =, 4 2, 5 5, 3 sgnπ 2 = 3 = Um π 2 zu bestimmen ist die Kommutativität von elementefremden Zyklen nützlich. Es gilt: π 2 =, 4 2, 5, 3 =, 4 2, 5, 3 =, , 5, , 5, 3 = 2, 5, 3 4
5 Zu ii: Es gibt 3 Fälle zu unterscheiden. Seien a i paarweise verschieden. Fall : a, a 2 a 3, a 4 = a 2, a, a 3 a 3, a 4, a Fall 2: a, a 2 a 2, a 3 = a, a 2, a 3 Fall 3: a, a 2 a, a 2 = a, a 2, a 3 3 5
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