Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2017/18

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1 Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 207/8 Blatt : Mathematische Grundlagen. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: (2x n ) 2 (x n ) x : (xn+ ) = 9 2 x n 2x 5p x p 4 = 4x v s u ta + b (a 2 c) a 2 64a +64b = 2. P Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: 8 < x 2 : x 2 xy # 9 "9 (x y) 2 2= 2 y ; : (2x) 5x 5y =. Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an: (x 6) 2 (9 2x) 2 =5 (x ) (x +) (x 2 )=0 p c) 4 5x +=0 d) p x 2 x 64 p x2 + =0 4. P Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an: x 2 x + + x 2x =+ x x 2 p 5x +0+x =8 WM Übungen Blatt WS 207/8

2 5. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: 6! 4!2! n! (n )! c) (2n)! (2n 2)!2! 6. Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über R an: x 2 2x < 0 x 5 x apple 8 x 2 7. P Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über R an: 2x x 8. Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R: x > 9. P Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R: x + 5 < 6x 0. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: log a (a log a (a2) )= e ln = e+ c) log (9) + log (27x) log (9x) =. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichungen nach der Variablen x auf: 2log 5 (x +)=log 5 (6x +0) x lnx+2 = e 2. P Bestimmen Sie die Definitionsmenge, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an: log 0 (5) + log 0 (0x) = log 0 (5x) WM Übungen Blatt 2 WS 207/8

3 . Berechnen Sie: X i 2 i+ i=0 X20 k= 5 4. P Berechnen Sie die folgenden Summen: k= k k + 5X i= (5 i)! ( i) i c) i 2 6 i 9X i (i 2) 5. Berechnen Sie die folgende Doppelsummen: X X k=0 0 i k + 6. P Berechnen Sie die folgende Doppelsumme: 4X i=2 4X (i ) j 7. Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens an c) a + aq + aq aq n + aq n j= 8. Wenn P und Q zwei Aussagen sind, so bedeutet P ) Q,,P impliziert Q oder,,aus P folgt Q oder,,wenn P, dann auch Q. Man nennt Gegeben sind nun die folgenden Aussagen: Peinehinreichende Bedingung für Q Qeinenotwendige Bedingung für P. A:,,Die Figur F ist ein Quadrat, B:,,Die Figur F hat vier gleich lange Seiten Welche der nachstehenden Behauptungen sind richtig? A ist notwendig für B B ist notwendig für A c) A ist hinreichend für B d) B ist hinreichend für A WM Übungen Blatt WS 207/8

4 9. Gegeben sind die Mengen A = {a, {, 2},b,c} und B = {a, b,, 2}. P(A) istdiepotenzmenge von A. Stimmen die folgenden Aussagen und wenn nicht, wie lautet eine wahre Aussage? {b} 2A {, 2} B c) {, 2} A d) {a, b} 2P(A) e) {a, b} 2A\B 20. P Geben Sie eine beschreibende Darstellung der Menge Geben Sie die Menge 2k k 2 Z ^ k 2 Z c) Entscheiden Sie für die Menge A = richtig sind. Begründen Sie Ihre Antwort! i. Jedes Element von A gehört zu Z. 0, 2,, 2 ii. 2isteineKonstante. iii. Die Menge, 0, 2, ist mit A identisch. 2 iv. Die Menge {{2}} ist eine Teilmenge von A., 4, 5, 6, 7 an. in aufzählender Darstellung an. welche der folgenden Aussagen 2. Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen sämtlich Teilmengen einer Grundmenge G im allgemeinsten Fall und schra eren Sie folgende Menge: (A \ (C\B)) [ (B\A) 22. Unter 90 Befragten waren 60 Personen, die gerne Ka ee trinken, 50 Personen, die gerne Tee trinken und 40 Personen, die gerne Milch trinken. Diese Zahlen schließen 5 Personen ein, die gerne Ka ee und Tee trinken, 25 Personen, die gerne Ka ee und Milch trinken und 20 Personen, die gerne Tee und Milch trinken. Diese Zahlen wiederum schließen 5 Personen ein, die gerne Ka ee, Tee und Milch trinken. Erstellen Sie ein Venn Diagramm des Sachverhaltes. Bestimmen Sie wie viele Personen keines der Getränke gern trinken! 2. P M und N sind nicht-disjunkte Teilmengen einer Grundmenge = {a, b, c, d, e, f, g} für die gilt: M = {a, c, e} N \ M = {b, d, f} \ N = {a, c, g} Skizzieren Sie M und N und die Grundmenge in einem Venn-Diagramm. Bestimmen Sie die Mengen i. M \ N ii. M [ N iii. M [ N WM Übungen Blatt 4 WS 207/8

5 24. Gegeben sind die folgenden vier Mengen: M = {x 2 R 0 <xapple 6} M 2 = {x 2 N x < 64} M =[;7] M 4 = {, 5} Skizzieren Sie diese Mengen auf einer Zahlengeraden der reellen Zahlen 4\ Bestimmen Sie den Durchschnitt M i aller vier Mengen! c) Bestimmen Sie die Vereinigung 4[ M i aller vier Mengen! d) Bestimmen Sie das kartesische Produkt von M 2 und M 4! e) Bestimmen Sie die Komplementmenge von M bezüglich R! f) Bestimmen Sie die symmetrische Di erenz von M und M! g) Bestimmen Sie - falls möglich - die Potenzmenge der Menge M = M 4 [{0}! 25. Zeichnen bzw. schra eren Sie die folgenden Mengen in R R. Welche dieser Mengen sind konvex? (Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei beliebigen Punkten auch deren ganze Verbindungsstrecke enthält.) A = {(x, y) 6x +y =2 ^ x>0} B = {(x, y) (y apple 2 x) ^ (x 0) ^ (y >0)} c) C = {(x, y) (x 5) 2 + y 2 25} 26. P Gegeben sind die Mengen A und B, diewiefolgtdefiniertsind: A = {(x, y) 2 [0, 2] [0, 2] x 2 + y 2 apple 4} B = {(x, y) 2 R + R + (2x <y) _ ( 2 x>y)} Skizzieren Sie die Mengen A und B in einem geeigneten Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie die Menge A \ B. IstdieseMengekonvex? Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren! WM Übungen Blatt 5 WS 207/8