2 Wachstumsverhalten von Funktionen

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1 Algorithmen und Datenstrukturen 40 2 Wachstumsverhalten von Funktionen Beim Vergleich der Worst-Case-Laufzeiten von Algorithmen in Abhängigkeit von der Größe n der Eingabedaten ist oft nur deren Verhalten für große Werte von n von Interesse, also deren asymptotisches Verhalten. In diesem Kapitel werden Begriffe und Notation zur Beschreibung dieses asymptotischen Verhaltens eingeführt sowie einige Hilfsmittel für die asymptotische Analyse vorgestellt. 2 Wachstumsverhalten von Funktionen TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

2 Algorithmen und Datenstrukturen Asymptotische Notation Wir betrachten Funktionen f, g,... deren Definitionsbereich die natürlichen Zahlen (N oder N 0 ) sind mit Werten in R (R + ) Die Θ-Notation Für eine gegebene Funktion g = g(n) ist Θ(g(n)) definiert als die Menge von Funktionen Θ(g(n)) := { f(n) : es existieren positive Konstanten c 1, c 2 sowie n 0, sodass 0 c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) n n 0 } Somit bezeichnet Θ(g(n)) alle Funktionen, deren asymptotisches Wachstumsverhalten bis auf multiplikative Konstanten gleich ist. 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

3 Algorithmen und Datenstrukturen 42 Bemerkungen Obgleich Θ(g(n)) eine Menge ist, wird Enthaltensein von f in Θ(g(n)) nicht durch f Θ(g(n)) sondern durch f = Θ(g(n)) ausgedrückt. Diese Abweichung von der üblichen Notation hat gewisse Vorteile. 2. Gemäß unserer Definition sind alle Funktionen in Θ(g(n)) asymptotisch nichtnegativ, d.h. f(n) 0 für alle hinreichend große n. Ferner muss g selbst asymptotisch nichtnegativ sein, da ansonsten die Menge leer wäre. Wir gehen daher bei unseren Betrachtungen stets von asymptotisch nichtnegativen Funktionen aus. 3. Für jedes Polynom p von exaktem Grad d N 0 gilt p(n) = Θ(n d ). Für jede Konstante c 0 gilt c = Θ(n 0 ) = Θ(1). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

4 Algorithmen und Datenstrukturen 43 Beispiel: Im vorigen Kapitel hatten wir informell die Θ-Notation so eingeführt, dass Terme niedriger Ordnung sowie multiplikative Konstanten einfach ignoriert werden. Wir überprüfen dieses Vorgehen und weisen anhand der Definition nach, dass 1 2 n2 3n = Θ(n 2 ). Gesucht: c 1, c 2, n 0 sodass Division durch n 2 (n 1) führt auf c 1 n n2 3n c 2 n 2 n n 0. c n c 2 n n 0, was z.b. für c 1 = 1/14, c 2 = 1/2 und n 0 = 7 erfüllt ist. (Die genaue Wahl ist uninteressant, wesentlich ist nur die Existenz solcher Konstanten.) Übung: 6n 3 Θ(n 2 ) 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

5 Algorithmen und Datenstrukturen Die O-Notation Die O-Notation a ist für den Fall, dass lediglich obere asymptotische Schranken vorliegen. Für eine gegebene Funktion g = g(n) ist O(g(n)) definiert als die Funktionenmenge O(g(n)) := { f(n) : Konstanten c, n 0 sodass 0 f(n) cg(n) n n 0 } Klar: mengentheoretisch gilt Θ(g(n)) O(g(n)), d.h. f = Θ(g(n)) impliziert f = O(g(n)). a gesprochen groß O von bzw. nur O von 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

6 Algorithmen und Datenstrukturen 45 Bemerkungen O(g(n)) enthält auch alle Funktionen mit niedrigerer Wachstumsordnung als g. So liegt neben g 1 (n) = an 2 + bn + c auch die Funktion g 2 (n) = an + b in O(n 2 ). 2. In der (vor allem älteren) Literatur wird die O-Notation oft anstelle der Θ-Notation verwendet, hier soll O aber ausschließlich asymptotische obere Schranken beschreiben. 3. Wort-Case-Laufzeit von O(g(n)) impliziert Laufzeit in O(g(n)) für alle möglichen Eingaben. Worst-Case-Laufzeit von Θ(g(n)) heißt dagegen nicht notwendig Laufzeit von Θ(g(n)) für alle möglichen Eingaben. (Gegenbeispiel: Insertion-Sort, mit einer Worst-Case-Laufzeit von Θ(n 2 ), aber einer Laufzeit von Θ(n) für bereits sortierte Eingabe.) 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

7 Algorithmen und Datenstrukturen 46 Beispiele: 2n 2 = O(n 3 ) mit c = 1 und n 0 = 2. Weitere Funktionen in O(n 2 ): n 2 n 2 + n n n 1000n n n n/1000 n n 2 / log log log n 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

8 Algorithmen und Datenstrukturen Die Ω-Notation Analog der asymptotischen oberen Schranke bei der O-Notation bezeichnet die Ω-Notation eine asymptotische untere Schranke: Ω(g(n)) := { f(n) : Konstanten c, n 0 sodass 0 cg(n) f(n) n n 0 } Gemäß der bisherigen Definitionen folgt sofort Satz 2.3 Für zwei Funktionen f und g gilt f(n) = Θ(g(n)) genau dann, wenn sowohl f(n) = O(g(n)) als auch f(n) = Ω(g(n)). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

9 Algorithmen und Datenstrukturen 48 Bemerkungen Da die Ω-Notation eine untere asymptotische Schranke angibt, setzen wir sie zur Beschreibung der Best-Case-Laufzeit von Algorithmen ein. Eine Ω-Schranke für die Laufzeit im günstigsten Fall liefert eine entsprechende Laufzeit für alle möglichen Eingaben. Beispiel: Best-Case-Laufzeit von Insertion-Sort: Ω(n), damit ist die Laufzeit von Insertion-Sort Ω(n). 2. Laufzeit von Insertion-Sort somit zwischen Ω(n) und O(n 2 ). Diese Schranken sind asymptotisch bestmöglich. 3. Man kann jedoch sagen: die Worst-Case-Laufzeit von Insertion-Sort ist Ω(n 2 ), da für gewisse Eingaben die Laufzeit Ω(n 2 ) ist. 4. Sprechweise Laufzeit eines Algorithmus ist Ω(g(n)) bedeutet: egal welche Eingabe der Länge n, die Laufzeit ist mindestens Konstante g(n) für n hinreichend groß. 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

10 Algorithmen und Datenstrukturen 49 Beispiele: n = Ω(log2 n) mit c = 1 und n 0 = 16. Weitere Funktionen in Ω(n 2 ): n 2 n 2 + n n 2 n n n 1000n n 1000n n n 3 n n 2 log log log n 2 2n 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

11 Algorithmen und Datenstrukturen Asymptotische Notation in Gleichungen und Ungleichungen Auf der rechten Seite einer (Un-)Gleichung: O(n 2 ) steht für eine beliebige Funktion f O(n 2 ). Beispiel: 2n 2 + 3n + 1 = 2n 2 + Θ(n) bedeutet 2n 2 + 3n + 1 = 2n 2 + f(n) mit f(n) Θ(n) (etwa f(n) = 3n + 1). Auf der linken Seite einer (Un-)Gleichung: Egal wie die anonyme Funktion auf der linken Seite gewählt wird, es gibt stets eine Wahl einer Funktion auf der rechten Seite, damit die (UN-)Gleichung wahr ist. Beispiel: 2n 2 + Θ(n) = Θ(n 2 ) bedeutet, dass für alle Funktionen f Θ(n) eine Funktion g(n) Θ(n 2 ) existiert mit 2n 2 + f(n) = g(n). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

12 Algorithmen und Datenstrukturen 51 Verkettung: 2n 2 + 3n + 1 = 2n 2 + Θ(n) = Θ(n 2 ) Interpretation: Erste Gleichung: es existiert f(n) Θ(n) sodass 2n 2 + 3n + 1 = 2n 2 + f(n). Zweite Gleichung: für jede Funktion g(n) Θ(n) (beispielsweise für die Funktion f(n) für welche die erste Gleichung gültig ist) existiert eine Funktion h(n) Θ(n 2 ) sodass 2n 2 + g(n) = h(n). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

13 Algorithmen und Datenstrukturen Die o-notation Asymptotische obere Schranken ausgedrückt in O-Notation sind nicht notwendig asymptotisch scharf. Dies ist etwa für 2n 2 = O(n 2 ) der Fall, nicht aber für 2n = O(n 2 ). Die o-notation beschreibt obere Schranken, die nicht asymptotisch scharf sind. Wir definieren o(g(n)) ( klein O von g von n ) als die Menge o(g(n)) := { f(n) : Konstanten c > 0, n 0 > 0 sodass 0 f(n) < cg(n) n n 0 } Beispiel: 2n = o(n 2 ), aber 2n 2 o(n 2 ). Intuitiv: für n hinreichend groß wird f(n) beliebig kleiner als g(n), oder lim n f(n) g(n) = Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

14 Algorithmen und Datenstrukturen 53 Beispiele: n = o(n 2 ) n 2 / log n = o(n 2 ) n 2 o(n 2 ) n 2 /1000 o(n 2 ) 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

15 Algorithmen und Datenstrukturen Die ω-notation Beschreibt nicht asymptotisch scharfe untere Schranken: ω(g(n)) := { f(n) : Konstanten c > 0, n 0 > 0 sodass 0 cg(n) < f(n) n n 0 } So gilt etwa n 2 /2 = ω(n), nicht aber n 2 /2 ω(n 2 ). Die Beziehung f(n) = ω(g(n)) impliziert lim n f(n) g(n) =, d.h. f(n) wird, sofern n hinreichend groß, beliebig größer als g(n). Beispiele: n = ω(n 2 ), n 2 log n = ω(n 2 ), n 2 ω(n 2 ). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

16 Algorithmen und Datenstrukturen Vergleich von Funktionen Viele Relationen zwischen reellen Zahlen gelten auch für asymptotische Vergleiche. Zunächst kann man folgende Analogien/Entsprechungen ausmachen: Sprechweisen: O Ω Θ = o < ω >. f(n) asymptotisch kleiner als g(n) falls f(n) = o(g(n)) f(n) asymptotisch größer als g(n) falls f(n) = ω(g(n)). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

17 Algorithmen und Datenstrukturen 56 Relationseigenschaften: Transitivität f(n) = Θ(g(n)) und g(n) = Θ(h(n)) f(n) = Θ(h(n)), analog für O, Ω, o, ω. Reflexivität f(n) = Θ(f(n)), analog für O, Ω. Symmetrie f(n) = Θ(g(n)) g(n) = Θ(f(n)). Transponierte Symmetrie f(n) = O(g(n)) g(n) = Ω(f(n)), f(n) = o(g(n)) g(n) = ω(f(n)). 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

18 Algorithmen und Datenstrukturen 57 Was nicht gilt: Trichotomie, d.h. für zwei reelle Zahlen a, b gilt stets eines von a < b, a = b oder a > b. Nicht alle Funktionen sind asymptotisch vergleichbar. Beispiel: Die Funktionen f(n) = n und g(n) = n 1+sin n sind nicht asymptotisch vergleichbar, da der Wert des Exponenten 1 + sin n zwischen 0 und 2 oszilliert und alle dazwischenliegenden Werte annimmt. 2.1 Asymptotische Notation TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

19 Algorithmen und Datenstrukturen Bezeichnungen und Wissenswertes Monotonie f ist monoton wachsend falls m n f(m) f(n). f ist monoton fallend falls m n f(m) f(n). f ist streng monoton wachsend falls m < n f(m) < f(n). f ist streng monoton fallend falls m < n f(m) > f(n). 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

20 Algorithmen und Datenstrukturen Floor- und Ceiling-Funktionen Für x R definieren wir die (monoton wachsenden) Funktionen x := max{z Z : z x}, x := min{z Z : z x}. Für alle x R gilt x 1 < x x x < x + 1. Für alle z Z gilt z/2 + z/2 = z. Für alle reellen x 0 und p, q Z gelten x/p /q = x/(pq), x/p /q = x/(pq), p/q (p + (q 1))/q, p/q (p (q 1))/q. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

21 Algorithmen und Datenstrukturen Restklassenarithmetik Für z Z und n N wird die Zahl z mod n definiert als Divisionsrest des Quotienten z/n, d.h. z mod n = z z/n n. Man sagt, zwei ganze Zahlen z 1, z 2 seien kongruent modulo n (für ein n N) falls diese bei Division durch n denselben Rest liefern. Wir schreiben z 1 z 2 mod n falls z 1 mod n = z 2 mod n Äquivalent: z 1 z 2 mod n genau dann, wenn n die Zahl z 2 z 1 teilt. Wir schreiben z 1 z 2 mod n falls z 1, z 2 nicht kongruent modulo n. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

22 Algorithmen und Datenstrukturen Polynome Ein Polynom vom Grad d (d N 0 ) ist ein Ausdruck der Form p(n) = d a j n j. j=0 Die Konstanten {a j } d j=0 heißen Koeffizienten des Polynoms. Das Polynom p ist von exaktem Grad d, falls a d 0 und ist in diesem Fall asymptotisch positiv genau dann, wenn a d > 0. Für ein asymptotisch positives Polynom p von exaktem Grad d gilt p(n) = Θ(n d ). Für jede reelle Zahl a 0 ist die Funktion n a monoton wachsend, für jede reelle Zahl a 0 ist n a monoton fallend. Wir nennen eine Funktion f polynomiell beschränkt, falls f(n) = O(n k ) für eine Konstante k. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

23 Algorithmen und Datenstrukturen Exponentialfunktionen Für alle n N 0 und a 1 ist a n eine monoton wachsende Funktion von n. Wir vereinbaren 0 0 := 1. Die Wachstumsraten von Polynomen und Exponentialfunktionen werden durch folgende Tatsache in Beziehung gesetzt: für alle reelle Konstanten a, b mit a > 1 gilt lim n n b a n = 0, d.h. nb = o(a n ). (2.1) Jede Exponentialfunktion zu einer Basis a > 1 wächst somit schneller als jedes Polynom. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

24 Algorithmen und Datenstrukturen 63 Die Exponentialfunktion e x besitzt die (auf ganz R konvergente) Potenzreihe e x x k = k! = 1 + x + x2 2 + x3 3! k=0 Für alle x R gilt e x 1 + x mit Gleichheit genau für x = 0. Ferner gilt 1 + x e x 1 + x + x 2 für alle x < 1. Für x 0 ist die Approximation von e x durch 1 + x recht gut, es gilt e x = 1 + x + Θ(x 2 ), wobei mit Θ(x 2 ) hier die Asymptotik im Grenzwert x 0 gemeint ist. Schließlich gilt für alle x R ( e x = lim 1 + x n. n n) 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

25 Algorithmen und Datenstrukturen Logarithmen Für alle reellen positiven Zahlen a, b, c und n N gelten a = b log b a, log c (ab) = log c a + log c b, log b a n = n log b a, log b a = log c a log c b, log b 1 a = log b a, log b a = 1 log a b, a log b c = c log b a. (In allen Gleichungen seien alle Basen 1.) 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

26 Algorithmen und Datenstrukturen 65 log b n = log a n/ log a b, d.h. bei asymptotischen Betrachtungen (n ) spielt Basis des Logarithmus keine Rolle. Informatik: Basis 2 von besonderer Bedeutung, da viele Algorithmen und Datenstrukturen auf Zerlegung von Problemen in zwei gleich große Teilprobleme beruhen. Potenzreihe: Ferner gilt für x > 1 log(1 + x) = x x2 2 + x3 3! x4 4! mit Gleichheit nur für x = 0. x 1 + x log(1 + x) x +..., x < Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

27 Algorithmen und Datenstrukturen 66 Wir nennen eine Funktion f polylogarithmisch beschränkt, falls a f(n) = O(log k n) für eine Konstante k. Der Vergleich zwischen den Wachstumsverhalten von Polynomen und Polylogarithmen ist gegeben durch (ersetze n durch log n in (2.1)) 0 = lim n log k n (e a = lim ) log n n für jede positive Konstante a. log k n n a und somit log k n = o(n a ) Somit wächst jede polylogarithmische Funktion langsamer als jedes positive Polynom. a Schreibweise: log k n := (log n) k 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

28 Algorithmen und Datenstrukturen Fakultäten Die Funktion n! ( n Fakultät ) ist definiert als n! = { 1 falls n = 0, n (n 1)!, falls n > 0. M.a.W. : n! = n. Eine offensichtliche obere Schranke für n! ist n! n n. Eine asymptotisch exakte Schranke liefert die Stirlingsche Approximation n! = ( n ) ( ( )) n 1 2πn 1 + Θ. e n Ferner gelten die asymptotischen Aussagen n! = o(n n ), n! = ω(2 n ), log(n!) = Θ(n log n). 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

29 Algorithmen und Datenstrukturen 68 Schließlich gilt für alle n 1 n! = ( n ) n 2πn e α n mit e 1 12n + 1 < α n < 1 12n. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

30 Algorithmen und Datenstrukturen Iteration von Funktionen Mit f (i) (n) bezeichnen die i-malige Anwendung der Funktion f auf das Argument n: f (i) (n) = { n falls i = 0, f(f (i 1) (n)) falls i > 0. Beispiel: für f(n) = 2n erhalten wir f (i) (n) = 2 i n. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

31 Algorithmen und Datenstrukturen Der iterierte Logarithmus Mit log n ( log Stern von n ) bezeichnen wir den iterierten Logarithmus, der wie folgt definiert ist: Sei log (i) n wie oben definiert mit f(n) = log n. Da Logarithmen nur für positive Argumente definiert sind, setzen wir log n := min{i 0 : log (i) n 1}. Beispiele: log 2 2 = 1, log 2 4 = 2, log 2 16 = 3, log = 4, log 2( ) = Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

32 Algorithmen und Datenstrukturen 71 An diesen Beispielen erkennt man, dass der iterierte Logarithmus extrem langsam anwächst. Da die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum auf etwa 2 80 geschätzt wird, eine Zahl die wesentlich kleiner ist als , sind Eingabegrößen n mit log n > 5 eher selten zu erwarten. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

33 Algorithmen und Datenstrukturen Fibonacci-Zahlen Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch die Rekursion 0 i = 0, F i = 1 i = 1, F i 1 + F i 2, (i 2). Ab i = 2 ist also jede Fibonacci-Zahl die Summe ihrer beiden Vorgänger, wir erhalten die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

34 Algorithmen und Datenstrukturen 73 Fibonacci-Zahlen sind verwandt mit dem goldenen Schnitt φ und dessen negativen Kehrwert φ gegeben durch Genauer: φ = φ = , F i = φi φ i 5. Wegen φ < 1 folgt φ i / 5 < 1/ 5 < 1/2. Somit ist F i gegeben durch φ i / 5 gerundet zur nächsten ganzen Zahl. Insbesondere wachsen die Fibonacci-Zahlen exponentiell. 2.2 Bezeichnungen und Wissenswertes TU Bergakademie Freiberg, WS 2005/06

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