11 Tests zur Überprüfung von Mittelwertsunterschieden

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1 11 Tests zur Überprüfung von Mittelwertsunterschieden 11.1 Der z Test (t Test) für verbundene Stichproben 11.2 Der z Test (t Test) für unabhängige Stichproben 11.3 Fehler 1. Art und 2. Art 11.4 Typische Fehler im Umgang mit statistischen Tests Appendix A: Überprüfung der Annahmen beim t Test Appendix B: t Test mit SPSS 11.1 Der z Test (t Test) für verbundene Stichproben Sei (X 1, X 2 ) ein Merkmalspaar und (x 11, x 21 ),..., (x 1n, x 2n ) eine verbundene (gepaarte) Stichprobe vom Umfang n. StatBio 288

2 Bezeichnen wieder d i = x 1i x 2i, i = 1,..., n die Paardifferenzen. Es wird angenommen, dass d 1,..., d n als einfache Stichprobe angesehen werden kann. Überprüft wird die Nullhypothese H 0 : µ 1 = µ 2 (kein Mittelwertsunterschied), also H 0 : µ d = 0 mit µ d = µ 1 µ 2 (Populationsmittelwert der Paardifferenzen ist Null). StatBio 289

3 Die Alternative ist H 1 : µ 1 µ 2 anders geschrieben H 1 : µ d 0 Eine naheliegende Prüfgröße wäre die Differenz d µ d = 1 n n i=1 d i µ d Um die Bedeutsamkeit dieser Differenz beurteilen zu können, wird sie in Relation zur (geschätzten) Streuung von d um µ d gesetzt. Als Prüfgröße wählt man somit d µ d s d / n (11.1) StatBio 290

4 Im Nenner steht der geschätzte Standardfehler von d (ESEM), wobei s d = 1 n 1 n (d i d) 2 i=1 wieder die Standardabweichung der Paardifferenzen d 1,..., d n bezeichnet. Unter (der Gültigkeitsannahme von) H 0 : µ d = 0 reduziert sich die Prüfgröße (11.1) zu d s d / n (11.2) Plausibel: Unter H 0 wird ein Prüfgrößenwert,,in der Nähe von Null erwartet. Ist daher die Abweichung des Prüfgrößenwertes von der Null,,zu groß, so wird die Gültigkeit der Nullhypothese in Zweifel gezogen. StatBio 291

5 Was heißt,,in der Nähe von Null? Oder anders gefragt: Ab wann gilt eine Abweichung als,,zu groß? Diese Fragen werden im Rahmen zweier zum gleichen Ziel führender Verfahren beantwortet: (1) Klassisches Testverfahren (2) p Wert Methode Beide Verfahren beurteilen mittels Wahrscheinlichkeiten, ob der Prüfgrößenwert (11.2) im Sinne der Nullhypothese plausibel oder unplausibel ist StatBio 292

6 Zunächst: In Kap. 10 wurde gesagt, dass H 0 zu verwerfen ist, falls etwas beobachtet wurde, also ein Ereignis eingetreten ist, das unter H 0 nur mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit hätte eintreten dürfen. Um Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, muss man die Stichprobenverteilung der Prüfgröße d unter H 0 kennen. s d / n StatBio 293

7 (A) Für hinreichend große Stichprobenumfänge (n 30) ist die Prüfgröße z = d s d / n nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd N(0, 1) verteilt (z Test für gepaarte Stichproben). (B) Unter der Normalverteilungsannahme ist die Prüfgröße d t = s d / n t verteilt mit n 1 Freiheitsgraden (t Test für gepaarte Stichproben). StatBio 294

8 (1) Das klassische Testverfahren Anmerkung: Die folgenden Ausführungen beziehen sich (zunächst) auf den z Test. Sie gelten völlig analog für den t Test. Das klassische Testverfahren gibt einen kritischen Wert z krit > 0 an, so dass,,in der Nähe von Null einen Prüfgrößenwert z meint, der im Intervall ( z krit, z krit ) liegt, für den also z krit < z < z krit gilt. Ein Prüfgrößenwert z außerhalb dieses Bereiches, für den also z z krit oder z krit z gilt, wird unter H 0 als unplausibel angesehen. StatBio 295

9 Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl: z Wert z Wert zu klein zu groß ] [ z krit 0 z krit Testentscheidung: Ablehnung von H 0, falls z im Ablehnungsbereich (Verwerfungsbereich), bestehend aus den beiden Intervallen (, z krit ] und [z krit, ) liegt (man spricht auch vom kritischen Bereich). Keine Ablehnung von H 0, falls z im Nichtablehnungsbereich liegt. ( z krit, z krit ) Frage: Wie ist der kritische Wert z krit festzulegen? StatBio 296

10 Dieser ist durch die Vorgabe einer kleinen Wahrscheinlichkeit α festgelegt, etwa α = 0.05 (α heißt Testniveau, Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit). Man wird z krit so festlegen, dass Folgendes gilt: Der erwartete Anteil von Prüfgrößenwerten z, die im Ablehnungsbereich liegen, also die Wahrscheinlichkeit, einen Prüfgrößenwert z mit z z krit oder z krit z zu beobachten, soll unter der Gültigkeitsannahme von H 0 (höchstens) mit Wahrscheinlichkeit 0.05 auftreten. z z krit z krit < z < z krit z krit z mit W mit W mit W ] [ z krit 0 z krit StatBio 297

11 Die Wahrscheinlichkeit, unter H 0 einen Prüfgrößenwert z im Nichtablehnungsbereich zu beobachten, ist ( z krit, z krit ) Φ(z krit ) Φ( z krit ) = 2 Φ(z krit ) 1 Denn: Unter H 0 ist die Stichprobenverteilung von z annähernd eine N(0, 1) Verteilung (falls n 30). Somit bestimmt sich z krit aus der Gleichung D. h. 2 Φ(z krit ) 1 = 0.95 Φ(z krit ) = = Damit ist z krit das Quantil der Standardnormalverteilung, also z = StatBio 298

12 Fazit: Unter H 0 führen nur 5% aller Stichproben (gleichen Umfangs) zu einem Prüfgrößenwert z mit z 1.96 oder z Ist das Ereignis z 1.96 oder z 1.96 eingetreten, so bedeutet dies, dass entweder ein seltener z Wert beobachtet wurde (mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 0.05) oder dass die Nullhypothese H 0 inkorrekt ist. Plausibler ist die Entscheidung, dass H 0 falsch ist. Damit lautet die Testentscheidung: StatBio 299

13 Ist z 1.96 oder z 1.96, so wird H 0 zum Signifikanzniveau 5% abgelehnt. Man spricht von einem signifikanten Testresultat. Ist 1.96 < z < 1.96, so wird H 0 zum Signifikanzniveau 5% nicht abgelehnt. Man spricht von einem nichtsignifikanten Testresultat. Anteil: 0.05/2 keine Anteil: 0.05/2 Ablehnung Ablehnung Ablehnung ] [ Abbildung 11 1 Verwerfungsbereich (z Test) zum Testniveau 0.05 zur Alternative µ d 0 StatBio 300

14 Nur in 5% aller Fälle kommt es unter der Gültigkeitsannahme von H 0 zu einer Fehlentscheidung (Entscheidung für H 1 ). Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art (Entscheidung für H 1 obwohl H 0 richtig ist) beträgt höchstens 5%. Mehr zum Fehler 1. Art in Abschnitt t Test Der t Test unterstellt die Normalverteilung der Paardifferenzen. In diesem Fall ist die Prüfgröße t = d s d / n unter H 0 t verteilt mit n 1 Freiheitsgraden (Abschnitt 8.3). Der kritische Wert zum 5% Testniveau ist das Quantil der t Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Bezeichnungsweise: t n 1;0.975 StatBio 301

15 Der Verwerfungsbereich zum 5% Testniveau besteht aus den beiden Intervallen (, t n 1;0.975 ] und [t n 1;0.975, ) Anteil: keine Anteil: Ablehnung Ablehnung Ablehnung ] [ t n 1; t n 1;0.975 Abbildung 11 2 Verwerfungsbereich (t Test) zum 5% Niveau zur Alternative µ d 0 Testentscheidung: Ablehnung von H 0, falls t t n 1;0.975 oder t n 1;0.975 t StatBio 302

16 Allgemein: Testet man zum Niveau α, so ist der kritische Wert das (1 α/2) Quantil Beim z Test ist es das (1 α/2) Quantil der Standard Normalverteilung. Bezeichnungsweise: z 1 α/2. Beim t Test ist es das (1 α/2) Quantil der t Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Bezeichnungsweise: t n 1;1 α/2. Ausgewählte (1 α) Quantile der N(0, 1) Verteilung und der t Verteilung finden sich in Tab In der Praxis sind die Werte α = 0.01, α = 0.05 und α = 0.1 gebräuchlich. StatBio 303

17 11.1 Beispiel: Man möchte feststellen, ob eine spezielle Diät zu einer Gewichtsabnahme führt. Bei 10 Personen wurde das Gewicht (in kg) vor der Diät (x 1i ) und nach der Diät (x 2i ) gemessen. Sei d i = x 1i x 2i, i = 1,..., 10. Person x i1 x 2i d i Kann H 0 : µ 1 = µ 2 zum Signifikanzniveau α = 0.05 abgelehnt werden? Der kritische Wert ist das (1 α/2) Quantil der t Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Hier ist StatBio 304

18 n = 10, α = 0.05 und man erhält t krit = t n 1;1 α/2 = t 9;0.975 = siehe Tab Damit lautet der Annahmebereich ( 2.262, 2.262) Wegen d = 4.8, s d = ergibt sich ein Prüfgrößenwert von t = / 10 = 3.91 Da t = 3.91 > kann H 0 zum Signifikanzniveau α = 0.05 abgelehnt werden. StatBio 305

19 Abbildung 11 3 t Verteilung mit df = 9; Fläche unterhalb von und oberhalb von ist 0.05 (graue Fläche) StatBio 306

20 Tabelle 11 1 (1 α) Quantile der t Verteilung t df;1 α für df = 1,..., 30 und α = 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, (in der letzten Zeile sind die entsprechenden Quantile z 1 α der Standard Normalverteilung) 1 α df Fortsetzung nächste Seite! StatBio 307

21 1 α df StatBio 308

22 (2) Die p Wert Methode Die Frage, ob die Daten mit der Nullhypothese verträglich sind, wird mit der klassischen Testmethode grob mit,,ja oder,,nein beantwortet.,,grob deswegen, weil, wie Bsp zeigt, auch ein kleinerer Wert als t = 3.91, etwa 2.34, zu einer Ablehnung von H 0 geführt hätte (zum Signifikanzniveau α = 0.05). Zur Erinnerung: Das Signifikanzniveau α = 0.05 führt zum Annahmebereich ( 2.262, 2.262) Selbst wenn die Stichprobe zu einem Prüfgrößenwert von t = geführt hätte, wäre H 0 (gerade noch) zum 5% Niveau abgelehnt worden. Intuitiv hat man aber bei einem Wert von 3.91 ein größeres Vertrauen in die Testentscheidung H 0 abzulehnen. Es wäre also informativer, ein StatBio 309

23 feineres Maß für die Verträglichkeit von Daten und Nullhypothese anzugeben. Statt von einem festen Signifikanzniveau auszugehen, z. B. α = 0.05 oder α = 0.01, und daraufhin einen kritischen Wert für die Prüfgröße zu bestimmen, geht die p Wert Methode vom konkret beobachteten Wert einer Prüfgröße aus, in Bsp t = Die wahrscheinlichkeitstheoretische Beurteilung, ob der Prüfgrößenwert 3.91 im Sinne der Nullhypothese extrem oder selten ist, erfolgt nicht über den Umweg kritischer Werte sondern direkt. Die p Wert Methode fragt nach der Wahrscheinlichkeit, einen Prüfgrößenwert t zu beobachten, der im Sinne der Nullhypothese noch extremer, noch seltener als 3.91 ist. Diese Wahrscheinlichkeit, unter H 0 einen Prüfgrößenwert t mit t 3.91 oder 3.91 t StatBio 310

24 zu beobachten ist der p Wert. Dieser wird in Abhängigkeit vom konkreten Prüfgrößenwert 3.91 mit p(3.91) bezeichnet. Der p Wert beträgt 1 p(3.91) = Abbildung 11 4 t Verteilung mit df = 9 und p Wert (graue Fläche) zu Bsp Hätte man bei der klassischen Testmethode ein Signifikanzniveau von 0.1% vorgegeben, dann 1 Der p Wert wird mittels statistischer Software, also mittels Computer, berechnet. StatBio 311

25 wäre der kritische Wert t krit = t 9; /2 = t 9; = 3.91 und der Ablehnungsbereich (, 3.91] und [3.91, ) Mit anderen Worten: Der p Wert ist das kleinste Signifikanzniveau, welches bei einem Prüfgrößenwert von t = 3.91 noch zu einer Ablehnung von H 0 führt. (Die Wahl eines kleineren Signifikanzniveaus als führt zu einem Ablehnungsbereich, der den Prüfgrößenwert von 3.91 nicht mehr enthält). Tatsächlich wäre man also bereit gewesen, zu einem kleineren Signifikanzniveau als 5%, nämlich zum 0.1% Niveau, H 0 abzulehnen. Man hat also ein größeres Vertrauen in die Entscheidung, H 0 abzulehnen. StatBio 312

26 Testentscheidung aufgrund des p Wertes Ein kleiner Wert p(t) bedeutet entweder, dass die Nullhypothese richtig ist und ein seltener t Wert beobachtet wurde oder dass die Nullhypothese falsch ist. Deshalb sprechen kleine p Werte gegen die Nullhypothese. Wie klein muss aber der p Wert sein, damit genügend Evidenz gegen H 0 vorliegt? Seit etwa 75 Jahren wird nach R. A. Fisher ( ) üblicherweise eine Nullhypothese als unannehmbar betrachtet, falls für den p Wert eines statistischen Tests gilt p Wert c mit 0.01 c 0.05 Man spricht von einem signifikanten Testresultat. StatBio 313

27 Andererseits herrscht im Allgemeinen Übereinstimmung darüber, dass zum Beispiel ein p Wert von 0.35 kaum ein Indiz gegen die Nullhypothese sein kann. Man spricht von einem nichtsignifikanten Testresultat. Wird H 0 zu einem p Wert abgelehnt, so bedeutet dies, dass man eine Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art in Höhe des p Wertes akzeptiert. Der p Wert wird auch exaktes oder tatsächliches Signifikanzniveau genannt. Hinweis: Die p Wert Methode beinhaltet das klassische Testen. Lautet (vor Durchführung des Tests!) die Entscheidungsvorschrift, die Nullhypothese ist abzulehnen, falls p Wert 0.05 so ist dies gleichbedeutend mit einem klassischen Testverfahren zu (vorgegebenem) Signifikanzni- StatBio 314

28 veau α = In beiden Fällen gelangt man zur gleichen Testentscheidung! Zusammenfassend lässt sich feststellen: Der p Wert ist ein Maß für die Glaubwürdigkeit einer Nullhypothese. Besser: Der p Wert ist ein Maß für die Verträglichkeit von Daten und Nullhypothese. Beim z Test lässt sich der p Wert aus Tabellen ablesen. Bei einem Prüfgrößenwert z ist der p Wert p(z) = { 2 (1 Φ(z)), z 0 2 Φ(z) = 2 (1 Φ( z)), z < 0 StatBio 315

29 Statistische Signifikanz und praktische Relevanz In Bsp konnte die Nullhypothese zum 5% Niveau verworfen werden. Man entscheidet sich für die Alternative, dass die zwei Populationen statistisch signifikante, unterschiedliche Mittelwerte haben. Es stellt sich die Frage, ob dieser Unterschied auch von praktischer Bedeutung ist. Zur Beantwortung dieser Frage sind Konfidenzintervalle hilfreich. Die Differenz der Stichprobenmittel ist x 1 x 2 = d = 4.8 und die Grenzen eines 95% Konfidenzintervalls für µ d sind gegeben durch d ± t 9;0.975 sd n = 4.8 ± = 4.8 ± 2.78 StatBio 316

30 Inwieweit die Unterschiedswerte im Konfidenzintervall (2.02, 7.58) als wesentlich beurteilt werden, hängt ausschließlich von sachlogischen Argumenten ab. Wäre beispielsweise ein Unterschied erst ab 8 kg interessant, so ist das Resultat signifikant, aber nicht relevant. Zwischen (praktischer) Relevanz und (statistischer) Signifikanz ist daher genau zu unterscheiden. Zusammenhang zwischen Test und Konfidenzintervall Ferner fällt auf, dass die 0 nicht im Konfidenzintervall liegt. In der Tat gilt: Die Nullhypothese H 0 : µ d = 0 wird genau dann zum Signifikanzniveau 5% verworfen, wenn die 0 nicht im 95% Konfidenzintervall für µ d liegt. Generell lässt sich Folgendes sagen: Wenn StatBio 317

31 man einen beliebigen Wert aus dem 0.95 Konfidenzintervall (2.02, 7.58) nimmt, dieser sei mit δ bezeichnet, dann würde der t Test die Nullhypothese H 0 : µ d = δ zum Signifikanzniveau 0.05 nicht ablehnen. Die Prüfgröße lautet in diesem Fall t = d δ s d / n StatBio 318

32 Achtung! Annahmebereich und Konfidenzintervall nicht verwechseln: Annahmebereich: festes, kein zufälliges Intervall, abhängig vom Testniveau α. Der Annahmebereich enthält den Wert einer Teststatistik mit Wahrscheinlichkeit 1 α, falls die Nullhypothese richtig ist. Konfidenzintervall: zufälliges, d.h. von den Daten abhängiges Intervall. Es enthält den wahren (aber unbekannten) Parameterwert mit einer vorgegebenen Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 α. StatBio 319

33 Einseitige und zweiseitige Alternativen Grundsätzlich unterscheidet man einseitige und zweiseitige Testprobleme. In der Praxis werden die folgenden Testprobleme betrachtet: (A) H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 (µ d 0) (B) H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 > µ 2 (µ d > 0) (C) H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 < µ 2 (µ d < 0) Das Testproblem (A) nennt man zweiseitig (two sided) oder ungerichtet (nondirectional), da die Alternative nicht spezifiziert, ob µ 1 größer als µ 2 oder µ 1 kleiner als µ 2 ist, oder anders formuliert, in welche Richtung µ d = µ 1 µ 2 von Null abweichen soll (größer oder kleiner). StatBio 320

34 Die Testprobleme (B) und (C) nennt man einseitig oder gerichtet, da die Alternative jetzt spezifiziert, in welche Richtung µ 1 von µ 2 abweichen soll (nur größer wie in (B) bzw. nur kleiner wie in (C)). Welches Testproblem zu wählen ist, hängt von der konkreten Fragestellung ab. Man wird immer einseitig testen, wenn man sicher ist, dass µ d nur in eine Richtung von der Null abweichen kann (nur größer bzw. nur kleiner). Einseitige Testpobleme verwenden wie im zweiseitigen Fall die Prüfgröße (11.2): d s d / n Für den einseitigen z Test zum Niveau α gilt folgendes: StatBio 321

35 Alternative H 1 : µ d > 0 Der kritische Wert ist das (1 α) Quantil der Standard Normalverteilung z krit = z 1 α Der einseitige Verwerfungsbereich ist das Intervall [z 1 α, ) Anteil: α keine Ablehnung Ablehnung [ 0 z 1 α Abbildung 11 5 Verwerfungsbereich (z Test) bei einseitiger Alternative µ d > 0. Testentscheidung: Ablehnung von H 0, falls z z 1 α p Wert (einseitig): p(z) = 1 Φ(z). StatBio 322

36 Alternative H 1 : µ d < 0 Der kritische Wert ist z krit = z 1 α Der einseitige Verwerfungsbereich ist das Intervall (, z 1 α ] Anteil: α Ablehnung keine Ablehnung ] z 1 α 0 Abbildung 11 6 Verwerfungsbereich (z Test) bei einseitiger Alternative µ d < 0 Testentscheidung: Ablehnung von H 0, falls z z 1 α p Wert (einseitig): p(z) = Φ(z) = 1 Φ( z). StatBio 323

37 Beim t Test sind t n 1;1 α und t n 1;1 α die kritischen Werte zu den einseitigen Alternativen H 1 : µ d > 0 bzw. H 1 : µ d < 0. Bemerkung: Bei symmetrischen Verteilungen (z. B. Normalverteilung, t Verteilung) gilt allgemein: p Wert (zweiseitig) = 2 p Wert (einseitig) Achtung! Ein einseitiger Test wird die Richtigkeit einer Alternative eher entdecken als ein zweiseitiger Test. Eine objektive Testentscheidung ist daher nur dann gewährleistet, wenn vorab festgelegt wird, ob einseitig oder zweiseitig getestet werden soll! StatBio 324

38 Hinweis: Bei den einseitigen Testproblemen (B) und (C) überprüft man automatisch die Nullhypothesen H 0 : µ d 0 bzw. H 0 : µ d 0 Fortsetzung von Bsp. 11.1: Es wird von vornherein (also vor Stichprobenerhebung) vermutet, dass sich die Diät positiv ausgewirkt hat. Daher soll das einseitige Testproblem H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 > µ 2 betrachtet werden. Das Signifikanzniveau sei α = StatBio 325

39 Die Prüfgröße hat den konkreten Wert t = / 10 = 3.91 Wegen t 9;0.950 = und t = 3.91 > kann H 0 zum Niveau 0.05 abgelehnt werden. Der p Wert (einseitig) ist praktisch Null: p(3.91) = 0 StatBio 326

40 Abbildung 11 7 Unter H 0 (Mittelwertsdifferenz=0): t Verteilung mit df = 9, t krit = t 9;0.95 = 1.833; Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art = 0.05 = graue Fläche = Fläche oberhalb von StatBio 327

41 11.2 Bemerkung: Es lassen sich auch Nullhypothesen der Form H 0 : µ = µ 0 überprüfen. Dabei ist µ 0 ein hypothetischer Populations Mittelwert (vgl. Übungsblatt 9). Ist x 1,..., x n eine Stichprobe, so ist das studentisierte Stichprobenmittel x µ 0 s/ (11.3) n eine geeignete Prüfgröße. Dabei bezeichnet wieder x das Stichprobenmittel und s die Stichprobenstandardabweichung. StatBio 328

42 Unter H 0 ist die Prüfgröße (11.3) annähernd standardnormalverteilt, falls n 30 (Ein Stichproben z Test). Unter der Normalverteilungsannahme ist die Prüfgröße (11.3) t verteilt mit n 1 Freiheitsgraden (Ein Stichproben t Test). Die Ablehnungsbereiche sind die gleichen wie im Fall einer gepaarten Stichprobe. StatBio 329

43 11.2 Der z Test (t Test) für unabhängige Stichproben Geprüft (widerlegt) werden soll die Nullhypothese: Gleichheit zweier Populationsmittelwerte µ 1 und µ 2. Das (zweiseitige) Testproblem lautet H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 Gegeben: Zwei unverbundene (ungepaarte) Stichproben Stichprobe von Stichprobe von Grundgesamtheit 1 Grundgesamtheit 2 x 11 x 21 x 12 x 22 x 13. x 23 x 1n1. x 2n2 StatBio 330

44 Im Fall der Varianzhomogenität lautet die Prüfgröße x 1 x 2 Standardfehler von x 1 x 2 = x 1 x 2 (11.4) s gepoolt n1 +n 2 n 1 n 2 Dabei bezeichnet wieder s 2 gepoolt = (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 die gepoolte Varianz (vgl. Abschnitt 9.3) als Schätzung für σ 2. StatBio 331

45 (A) Für hinreichend große Stichprobenumfänge (n 1 30, n 2 30) ist die Prüfgröße z = x 1 x 2 s gepoolt n1 +n 2 n 1 n 2 nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd N(0, 1) verteilt (Zwei Stichproben z Test). (B) Unter der Normalverteilungsannahme ist die Prüfgröße t = x 1 x 2 s gepoolt n1 +n 2 n 1 n 2 t verteilt mit n 1 +n 2 2 Freiheitsgraden (Zwei Stichproben t Test). StatBio 332

46 Zu einem vorgegebenen Testniveau α wird die Nullhypothese H 0 = µ 1 µ 2 = 0 bei zweiseitiger Alternative H 1 : µ 1 µ 2 abgelehnt, falls z z 1 α/2 oder z 1 α/2 z (z Test) bzw. falls t t n1 +n 2 2;1 α/2 oder (t Test). t n1 +n 2 2;1 α/2 t Bei der einseitigen Alternative H 1 : µ 1 > µ 2 wird H 0 abgelehnt, falls (z Test) bzw. z z 1 α t t n1 +n 2 2;1 α StatBio 333

47 (t Test). Entsprechend wird bei der einseitigen Alternative H 1 : µ 1 < µ 2 die Nullhypothese abgelehnt, falls z z 1 α (z Test) bzw. t t n1 +n 2 2;1 α (t Test). Fortsetzung von Bsp. 9.3: Unterscheidet sich die durchschnittliche Körpergröße männlicher Studenten (µ 1 ) von der durchschnittlichen Körpergröße weiblicher Studenten (µ 2 )? Geprüft werden soll die Nullhypothese H 0 : µ 1 = µ 2 StatBio 334

48 gegen die zweiseitige Alternative µ 1 µ 2 zum Testniveau α = Die Körpergrößen seien normalverteilt mit identischen Varianzen. Es wurden die Körpergrößen von 39 männlichen und von 30 weiblichen Studenten gemessen. Es ergaben sich die folgenden Werte (Stichprobe 1 = männlich, Stichprobe 2 = weiblich): x 1 = 182.5, s 1 = 6.7 x 2 = 168.3, s 2 = s gepoolt = = Die obigen Werte ergeben einen Prüfgrößenwert von t = = StatBio 335

49 Wegen t 67;0.975 z = und t = 9.59 > kann H 0 abgelehnt werden. Der p Wert ist praktisch Null: p(9.59) 0 Ungleiche Populations Varianzen Sind die Varianzen σ 2 1 und σ 2 2 der beiden (normalverteilten) Grundgesamtheiten verschieden, so muss die Prüfgröße (11.4) etwas modifiziert werden, da die gepoolte (Stichproben )Varianz als ein Schätzwert für zwei ungleiche Varianzen keinen Sinn mehr macht und daher nicht verwendet werden kann. Der geschätzte Stan- StatBio 336

50 dardfehler von x 1 x 2 ist s s2 2 n 1 n 2 (vgl. die Ausführungen in Abschnitt 9.3) und die (modifizierte) Prüfgröße ist die studentisierte Mittelwertdifferenz x 1 x 2 s s2 2 n 1 n 2 (11.5) Für Stichprobenumfänge n 1 30, n 2 30 ist diese Prüfgröße annähernd standardnormalverteilt. Unter der Normalverteilungsannahme ist die Prüfgröße (11.5) näherungsweise t verteilt, wobei die Anzahl der Freiheitsgrade aus den Daten heraus geschätzt werden muss (die genaue StatBio 337

51 Verteilung ist unbekannt (Behrens Fisher Problem), vgl. Abschnitt 9.3). Dies ist dann der sogenannte Welch Test. Statistische Softwarepakete berechnen den p Wert Fehler 1. Art und Fehler 2. Art Bei einem Test sind zwei Arten von Fehlentscheidungen möglich: Fehler 1. Art: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen wird mit α (alpha) bezeichnet. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese H 0 wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen wird mit β (beta) bezeichnet. StatBio 338

52 Testentscheidung Wirklichkeit H0 ist wahr H1 ist wahr keine Ablehnung richtige Ent- falsche Entvon H0 scheidung mit scheidung mit Wahrs. 1 α Wahrs. β Ablehnung falsche Ent- richtige Entvon H0 scheidung mit scheidung mit mit Wahrs. α Wahrs. 1 β StatBio 339

53 Das Risiko einer Fehlentscheidung lässt sich nicht ausschließen, aber in einem ganz bestimmten Sinne begrenzen. Es ist nun so, dass man die Fehler 1. Art und 2. Art nicht gleichzeitig kontrollieren kann. Die Fehlerwahrscheinlichkeiten α und β lassen sich nicht gleichzeitig minimieren. Eine Verkleinerung von α bedeutet eine Vergrößerung von β (α β ) und umgekehrt (α β ). Die Vorgehensweise ist nun die, dass man den Fehler 1. Art (Entscheidung für H 1, obwohl H 0 richtig ist) kontrolliert. Dies wird dadurch erreicht, indem man α klein wählt, üblicherweise fordert man α = 0.05 oder α = Für den p Wert bedeutet dies p 0.05 oder p Die Zahl α heißt Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau. StatBio 340

54 Interpretation (für α = 0.05): Berechnet man aus allen Stichproben (gleichen Umfangs) die Prüfgrößenwerte, so wird sich unter der Annahme der Gültigkeit von H 0 in 5% aller Fälle ein Widerspruch zu H 0 einstellen, in 95% der Fälle nicht. Die Forderung, den Fehler 1. Art zu kontrollieren, hat eine wichtige Konsequenz hinsichtlich der Hypothesen H 0 und H 1 : Durch die Wahl einer kleinen Zahl α wird eine richtige Nullhypothese H 0 nur mit einer geringen Fehlerwahrscheinlichkeit abgelehnt. Mat hat also ein gewisses Vertrauen in diese Entscheidung. StatBio 341

55 Dagegen kann man kein Vertrauen haben in die Entscheidung H 0 zu akzeptieren, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit β nicht kontrollierbar ist. Die Ablehnung der Nullhypothese ist die einzige Entscheidung, die mit einer geringen Fehlerwahrscheinlichkeit getroffen werden kann. (Deshalb wird man immer das in die Nullhypothese stecken, was man widerlegt haben möchte!) StatBio 342

56 Zusammenfassung: Fehler 1. Art (Type I error), α Fehler Die Nullhypothese wird fälschlicherweise abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird im Voraus (d. h. vor Testdurchführung) durch eine kleine Zahl α (alpha) festgelegt. α wird nicht durch den Stichprobenumfang beeinflusst. StatBio 343

57 Fehler 2. Art (Type II error), β Fehler Die Nullhypothese wird fälschlicherweise nicht abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wird mit β (beta) bezeichnet. β hängt vom Stichprobenumfang und α ab. Mit größerem Stichprobenumfang wird β kleiner (n β, in diesem Sinne lässt sich β kontrollieren). β ist für einseitige und zweiseitige Alternativen verschieden. β kann nur dann bestimmt werden, wenn die wahre Alternative, also der wahre Effekt bzw. Unterschied, bekannt ist oder hypothetisch festgelegt wird. StatBio 344

58 Fortsetzung von Bsp. 11.1: Frage: Wie groß ist β, falls tatsächlich µ 1 µ 2 = 2 ist? Also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Gültigkeit der Alternative µ 1 µ 2 = 2 einen t Wert zu beobachten, der kleiner als ist? Antwort: β = StatBio 345

59 Abbildung 11 8 Bild oben: Unter H 0 (Mittelwertdifferenz=0): t Verteilung mit df = 9, t krit = t 9;0.95 = 1.833; Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art = 0.05 = graue Fläche = Fläche oberhalb von 1.833; Bild unten: Alternative: t Verteilung mit df = 9 um 2 nach rechts verschoben (Mittelwertdifferenz=2), Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art β = graue Fläche = Fläche unterhalb von StatBio 346

60 Die Zahl 1 Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art = 1 β heißt Power, man sagt auch des Tests. Macht, Güte, Trennschärfe Dies ist die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von H 0, wenn H 1 richtig ist. Diese sollte natürlich möglichst groß sein, da die Entdeckung einer richtigen Alternative der eigentliche Zweck des Hypothesentestens ist. In den meisten praktischen Fragestellungen bleibt der Fehler 2. Art jedoch unberücksichtigt (man spricht dann von Signifikanztests). StatBio 347

61 11.4 Typische Fehler im Umgang mit statistischen Tests 1. Eine Hypothese kann aufgrund eines statistischen Tests weder (logisch),,widerlegt noch,,bewiesen werden. Zufallsbehaftete Daten können mit verschiedenen parametrischen Modellen,,in Einklang stehen! Liegt der beobachtete Prüfgrößenwert nicht im kritischen Bereich, so sagt man dazu, dass die Daten (Beobachtungen) nicht im Widerspruch zu H 0 stehen. Man spricht immer nur vom Ablehnen, Verwerfen oder Nichtablehnen, Nichtverwerfen der Nullhypothese. Ein Nichtverwerfen der Nullhypothese bedeutet nicht unbedingt, dass sie zutrifft, sondern nur, dass sie nicht genügend unplausibel ist, um verworfen zu werden! StatBio 348

62 2. Es ist ferner vom Grundprinzip statistischer Tests her unzulässig, eine Hypothese, die durch,,sichtung der Daten gewonnen wurde, anhand derselben Daten zu testen. Dem Test bleibt nichts anderes übrig, als dem Wunsch des,,hypothesen Formulierers entsprechend zu antworten. Es ist völlig legitim, aufgrund von Daten Hypothesen zu formulieren, zu generieren. Nur: Wer erst aufgrund eines Datensatzes zu einer Hypothese kommt, braucht neue Daten, um diese Hypothese zu bestätigen! 3. Ergibt ein Test zur Irrtumswahrscheinlichkeit α die Ablehnung von H 0, so ist eine Formulierung wie,,die Wahrscheinlichkeit ist höchstens α, dass aufgrund des Testergebnisses die Hypothese H 0 zutrifft sinnlos. Denn die Zahl α gibt nicht an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine aufgrund von Daten getroffene Entscheidung falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit α charakteri- StatBio 349

63 siert nur in dem Sinne das Testverfahren, dass bei Unterstellung der Gültigkeit von H 0 die Wahrscheinlichkeit für eine Ablehnung von H 0 höchstens α ist, d. h. in vielen Testdurchführungen wird es (unter der Gültigkeit von H 0 ) in etwa α 100% der Fälle zu einer Ablehnung von H 0 kommen. In jedem dieser Fälle wurde mit Sicherheit eine falsche Entscheidung getroffen. Aber: Diese,,Sicherheit war nur vorhanden, weil a priori die Gültigkeit von H 0 in allen Testdurchführungen unterstellt wurde!!! In gleicher Weise wird sich bei Unterstellung der Gültigkeit der Alternative H 1 ein gewisser Prozentsatz von signifikanten Ergebnissen, also Ablehnungen von H 0, einstellen. Hier hat man in jedem dieser Fälle eine richtige Entscheidung getroffen, weil die Gültigkeit von H 1 a priori unterstellt wurde. Im Allgemeinen besitzt man jedoch keinerlei Information darüber, ob bei der Testdurchführung H 0 oder H 1 zutrifft (sonst StatBio 350

64 könnte man sich das Testen ersparen)! Entsprechendes gilt für den p Wert. Zur Erinnerung: Der p Wert hängt vom Prüfgrößenwert und damit von den Daten ab. Ist wie in Bsp p(3.91) = 0.001, so sind Aussagen der Form,,die Nullhypothese hat die Wahrscheinlichkeit bzw.,,die Nullhypothese ist mit Wahrscheinlichkeit richtig falsch. Modelle haben selbst keine Wahrscheinlichkeiten, sie legen Wahrscheinlichkeiten für Beobachtungen und Teststatistiken fest! StatBio 351

65 Appendix A: Überprüfung der Annahmen Für große Stichprobenumfänge ist der t Test robust (unempfindlich) gegenüber Abweichungen der Normalverteilung: Dies bedeutet: Die Fehlerwahrscheinlichkeiten α und β bleiben nahezu unverändert. Für kleine Stichprobenumfänge muss im Allgemeinen die Normalverteilungsannahme geprüft werden. Histogramme geben einen ersten Hinweis, sind aber zur Prüfung nicht geeignet. Ein geeigneteres Instrument der graphischen Überprüfung auf Normalverteilung ist der sogenante Quantil Quantil Plot, kurz QQ Plot. Er vergleicht die Quantile der empirischen Verteilung mit den entsprechenden Quantilen der Normalverteilung. Zeigt dieser einen linearen Verlauf (Gerade), so deutet dies auf normalverteilte Daten hin. StatBio 352

66 Die Interpretation von QQ Plots erfordert jedoch einige Erfahrungen. Auf Normalität kann auch (statistisch) getestet werden. Geeignete Tests sind z. B. der Shapiro Wilk Test und der Kolmogorov Smirnov Test, korrigiert nach Lilliefors. Achtung! Klassische Tests wie der Chi Quadrat Anpassungstest und der (nicht korrigierte) Kolmogorov Smirnov Test sind ungeeignet!!! StatBio 353

67 Prüfung der Varianzhomogenität bei unabhängigen Stichproben: Levene Test (p Wert groß, etwa p > 0.05, Daten sprechen nicht gegen die Varianzhomogenität). Achtung! Der sogenannte F Test zur Überprüfung der Varianzhomogenität sollte nicht verwendet werden. Appendix B: t Test mit SPSS Fortsetzung von Aufgabe 4, Blatt 7 Dateneingabe: Sie erfolgt im Daten Editor Fenster nach folgendem Muster: StatBio 354

68 Befehle: Folgende Befehle sind aus der Menüleiste auszuwählen: Analysieren Mittelwerte vergleichen T Test für unabhängige Stichproben StatBio 355

69 Programm Output: 0.95 Konfidenzintervalle werden automatisch mitgeliefert. Da der Levene Test den p Wert liefert, sprechen die Daten nicht gegen die Annahme der Varianzhomogenität. StatBio 356