Das elektrochemische Potential

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1 11.1 Das elektrochemische Potential Die Trennung von Drift und Diffusionsströmen ist nur ein Hilfsmittel zur quantitativen Modellierung (ähnlich wie bei der Überlagerung von verschiedenen Kräften)! Woher soll das Elektron wissen, ob es diffundieren oder driften soll?? Gemeinsame Beschreibung durch die elektrochemischen Potentiale η e,h, welche identisch sind mit den (Quasi)FermiEnergien W F,e bzw. W F,h. Die QuasiFermiEnergie kann für Löcher und Elektronen unterschiedlich sein! (z. B. durch eine von aussen angelegte Spannung oder durch Beleuchtung,...) Dies ist die Grundlage nahezu aller Halbleiterbauelemente!

2 11.2 Diffusion am pnübergang Werden p und nhalbleiter zusammengebracht, so diffundieren Elektronen in den phalbleiter und Löcher in den nhalbleiter. phl nhl W W L W L W F,n W F,i W F,p W V W F,i W V x Löcher im pbereich: Majoritätsladungsträger Elektronen im pbereich: Minoritätsladungsträger Elektronen im nbereich: Majoritätsladungsträger Löcher im nbereich: Minoritätsladungsträger

3 11.3 Raumladungszone am pnübergang Diffusionsströme: Elektronen diffundieren aus dem nhl und hinterlassen positiv geladene Donatoren. Löcher diffundieren aus dem phl und hinterlassen negativ geladene Akzeptoren. Es bildet sich eine Raumladungszone (RLZ): In einer RLZ ist ρ 0. Positive Raumladung ρ>0 im nhl. Negative Raumladung ρ<0 im phl. Durch die neue Ladungsverteilung wird ein EFeld aufgebaut, das einen Driftstrom der Ladungsträger bewirkt, der wiederum dem Diffusionsstrom entgegenwirkt. E

4 11.4 Banddiagramm des pnübergangs W Energetisch niedriger gelegene Zustände für Elektronen e U D W L W F Energetisch niedriger gelegene Zustände für Löcher W i W V l p I n Das W(x)Banddiagramm zeigt die erlaubten Zustände der Ladungsträger als eine Funktion der Energie und des Ortes. Im Gleichgewicht kompensieren sich Drift und Diffusionsstrom gerade.

5 11.5 Diffusionsspannung? W Wie gross ist U D? e U D W L W F W i W V

6 11.6 Diffusionsspannung U D Die Diffusionsspannung wird ein entscheidender Parameter für die Beschreibung der nichtlinearen Kennlinie einer Diode sein. Ziel ist es nun, die Diffusionsspannung auf die Materialparameter wie Bandlücke und Dotierungsdichten zurückzuführen. Die Diffusionsspannung ergibt sich aus der energetischen Differenz der Leitungsbandunterkanten weit weg vom pnübergang: e U = W ( ) W ( ) D L L Für die Ladungsträgerdichten weit weg vom pnübergang gilt bei Störstellenerschöpfung: WF WV( ) (1) p = N exp = n kt p V A WL( ) WF (2) n = N exp = n kt n L D

7 11.7 Diffusionsspannung U D Multiplikation von (1) und (2) ergibt: nn WL( ) WV( ) = NN exp kt A D L V Mit W V =W L W G folgt: nn WG WL( ) WL( ) = NN exp exp kt kt A D L V = ni 2 (gemäß Massenwirkungsgesetz) eu kt D Auflösen nach U D ergibt: U D kt nn A D = ln 2 e ni Damit ist die Diffusionsspannung auf die intrinsische Ladungsträgerkonzentration und auf die Konzentrationen der Dotieratome (beides Materialparameter) zurückgeführt.

8 11.8 Diffusionsspannungen Die Diffusionsspannung hängt nur schwach von der Temperatur ab. Die Diffusionsspannung hängt nur schwach von den Dotierungen ab. Mit wachsender Dotierung geht

9 11.9 Diffusionsspannung Die Diffusionsspannung ist nicht an den Enden der p und nzonen messbar!! Meßbar ist nur die Differenz des elektrochemischen Potentials (des Fermi Niveaus). Dieses ist links und rechts exakt auf dem gleichen Niveau, daher kann keine Spannung abgegriffen werden. Wenn z.b. Metallkontakte aufgesetzt werden zur Spannungsmessung, so bilden sich wieder Diffusionsspannungen, die die eingebaute Spannung gerade kompensieren. Abb: Spannungsmessung mit zwei ndotierten Bereichen

10 11.10 Die pndiode Für eine quantitative Modellierung der pndiode fehlt jetzt nur noch der Potentialverlauf und die Größe der Raumladungszone

11 11.11 SchottkyModell der pndiode Annahme: Räumlich abrupter Übergang von neutralen zu vollständig ionisierten Störstellen ρ( x) 0 : x lp en : lp < x 0 A = end : 0 < x ln 0 : x > ln N A(D) : Dichte der Akzeptor (Donator) Atome Insgesamt Ladungsneutralität: na lp = ndln l p =w p, l n =w n

12 11.12 Berechnung des Bandverlaufs Berechnung des Bandverlaufs durch Integration der PoissionGlg.: e = p n n n ; E = ϕ εε (H5) ( ϕ ) D A 0 ρ( x) 0 : x lp en : lp < x 0 A = end : 0 < x ln 0 : x > ln 2 ϕ( x) E( x) 1 A = = 2 x x εε0 end 0 : x en : l < x : 0 < x l 0 : x > ln p l p n 0

13 11.13 SchottkyNäherung exakt SchottkyNäherung x 2 ϕ( x) = E( x) dx ϕ x 1 0 en en ( ) ( ) D ϕ x = x l ϕ( x) ( x l ) U 2εε = 2 2 A 2 p n D 0 εε0

14 11.14 Berechnung des Bandverlaufs eϕ(x) Für eine quantitative Beschreibung der Kennlinie und für das Ersatzschaltbild (insbesondere Kapazität) ist die Kenntnis der Ausdehnung l p l n der Raumladungszone von grosser Bedeutung. l p und l n sind allerdings bisher nur im Rahmen der Näherung SchottkyModell als zusätzliche Parameter ins Spiel gekommen, ohne diese auf schon bekannte Halbleiterparameter zurückzuführen. Die Ausdehnung kann aber nun berechnet werden. Hierzu wird die Ladungsneutralität ausgenutzt, sowie berücksichtigt, dass das elektrische Potential bei x=0 stetig sein muss:

15 11.15 Ausdehnung der RLZ Ladungsneutralität: n nl nl l l (4) D D n= A p p= n na Für den Potentialverlauf im p bzw. im n Bereich wurden oben explizite Ausdrücke abgeleitet. Aus der Forderung nach Stetigkeit von ϕ(x) an der Stelle x=0 folgt: en en l = l U 2εε 2 A 2 D 2 p n D 0 εε0 Durch Ausnutzen der Neutralitätsbedingung (4) kommt man zu: Auflösen nach l n liefert dann: Ebenso kann dann l p bestimmt werden: l n = l 2 n na 2εε0UD nd e n n 2 ena nd en D 2 = U 2εε0 na 2εε0 D A l p = nd 2εε0UD na e n n D A D

16 11.16 Ausdehnung der RLZ Die Gesamtausdehnung der Raumladungszone ergibt sich dann als Summe der einzelnen Breiten der RLZs: Mit ein bisschen Bruchrechnung kommt man zu: 2εε0UD 1 1 l = lp ln =... = e n n D A Generell gilt also, dass die RLZ umso dünner ist, je stärker die Dotierung der Halbleitermaterialien ist. Die nachfolgende Tabelle gibt einige konkrete Zahlenwerte für gängige Halbleitermaterialien an.

17 11.17 Ausdehnung der Raumladungszone Die Gesamtausdehnung der RLZ ist: Die Ausdehnung teilt sich wie folgt auf den nhl und den phl auf: Je nach Dotierung betragen die Ausdehnungen wenige Nanometer bis zu Mikrometern. Ist ein HL wesentlich schwächer dotiert als der andere, befindet sich die RLZ fast ausschließlich im schwach dotierten HL.

18 11.18

19 11.19 Der pnübergang bei Vorspannung Qualitatives Verhalten: Vorwärtsspannung schiebt Ladungsträger in RLZ hinein Spannung U führt zur Aufspaltung des Ferminiveaus in zwei QuasiFermiNiveaus

20 11.20 pnübergang nhalbleiter phalbleiter Polung in Vorwärtsrichtung: Elektronen und Löcher bewegen sich aufeinander zu

21 11.21 pnübergang 5.2 MetallHalbleiterkontakt Das Würfelsche Modell einer pndiode nhalbleiter phalbleiter Polung in Vorwärtsrichtung: Elektronen diffundieren in den phalbleiter und Löcher in den nhalbleiter

22 11.22 pnübergang nhalbleiter phalbleiter Polung in Vorwärtsrichtung: Elektronen rekombinieren mit Löchern und können z.b. Licht aussenden

23 11.23 pnübergang nhalbleiter phalbleiter Polung in Vorwärtsrichtung: Fehlende Elektronen im nhalbleiter und fehlende Löcher im phalbleiter fließen nach.

24 11.24 Der pnübergang bei Vorspannung ShockleyModell: Rekombination in der RLZ ist vernachlässigbar Stromfluß durch Änderung der Minoritätsladungsträgerdichten an den Rändern der RLZ Feldströme brauchen nicht betrachtet werden, denn gerade ausserhalb der RLZ ist das Feld und damit der Feldstrom = Null.

25 11.25 Der pnübergang bei Vorspannung z.b. Löcherdiffusionstrom am rechten Rand der RLZ: p J, ( x = d ) = ed = x pd n p x d n D.h. aus der Kenntnis von p(x=d n ) kann der Diffusionsstrom abgeleitet werden Für die Ortsabhängigkeit der Lochdichte gilt WF e( UD U) WV( ) pd ( n) = NV exp kt eu = pn exp( ) kt

26 11.26 Der pnübergang bei Vorspannung durch die geringere Potentialbarriere wird eine Überschussladungsträgerdichte von Minoritätsladungsträgern erzeugt Diese beträgt: pd p p eu kt 0 ( n) = n exp 1 Dies führt zur Ausbildung eines Dichteprofils gemäß (siehe Übung): x px ( ) = pd ( n )exp L = pd ( n )exp x D τ p p p

27 11.27 Der pnübergang bei Vorspannung dies wiederum erhält einen Diffusionsstrom aufrecht gemäß x JpD, ( dn) = edp p( dn)exp( ) x L Dp eu = e pn exp( ) 1 L kt p Eine analoge Betrachtung für die Elektronen ergibt: x JnD, ( dp) = edn n( dp)exp( ) x L Dn eu = e np exp( ) 1 L kt n p n

28 11.28 Diodenkennlinie Insgesamt ergibt sich damit die folgende Kennlinie: D D n p eu JU ( ) = e np pn exp( ) 1 Ln L p kt exponentieller Anstieg in Vorwärtsrichtung... und in Sperrrichtung?... die Formel bleibt richtig, nur U wird negativ.

29 11.29 pnübergang in Sperrrichtung nhalbleiter phalbleiter Polung in Sperrrichtung: Elektronen und Löcher bewegen sich voneinander weg.

30 11.30 pnübergang in Sperrrichtung nhalbleiter phalbleiter Polung in Sperrrichtung: Bei endlicher Temperatur können wenige Elektronen LochPaare generiert werden, so dass wenige Ladungen von der Grenzfläche her nachfließen können.

31 11.31 pnübergang in Sperrrichtung nhalbleiter phalbleiter Polung in Sperrrichtung: Durch die nachfließenden Ladungen kann ein geringer Strom durch die pndiode fließen.

32 11.32 Diodenkennlinie Insgesamt ergibt sich damit: D D n p eu JU ( ) = e np pn exp( ) 1 Ln L p kt exponentieller Anstieg in Vorwärtsrichtung schnelle Sättigung in Rückwärtsrichtung

33 11.33 LEDs für die Lichttechnik

34 11.34

35 11.35 Aktuelle Designs mit LEDs

36 11.36 Weitere automobile Festkörperelektronik