Bonusmaterial Integrale vom Sammeln und Bilanzieren

Transkript

1 Bonusmteril ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren Ws unterscheidet punktweise und gleichmäßige Konvergenz? Ws besgt der Konvergenzstz von Beppo Levi?. Beweise zur Lebesgue-Theorie m Buchbschnitt. wurde uf Beweise verzichtet, um usschließlich den Gednkengng, der zum ntegrlbegriff führt, heruszustellen. Dies wollen wir in diesem Abschnitt nchholen und dem interessierten Leser die mthemtische Herleitung des Begriffs und seine Konsequenzen nhebringen. D in der Litertur der für Anwendungen zentrle Begriff des Lebesgue-ntegrls meistens llgemeiner und bstrkter uf messbren Mengen in beliebigen Dimensionen eingeführt wird, erscheint uns eine solche Zusmmenstellung n dieser Stelle nützlich. Als weitere Litertur zu dem hier gewählten Zugng zum Lebesgue-ntegrl und einer Drstellung der Unterschiede zu nderen ntegrlbegriffen ist ds Lehrbuch Anlysis von H. Heuser pssend. Wir erspren uns eine Wiederholung des Abschnitts. und beschränken uns im Folgenden uf die Präsenttion der dort verwendeten Aussgen mit ihren Beweisen. Wir müssen mit den Nullmengen beginnen, bei denen die folgende Behuptung die ersten wesentlichen Beweisüberlegungen erfordert. Jede bzählbre Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge setzen können. Vereinigen wir ll diese ntervlle zu M = n= M n, so erhlten wir unter Ausnutzung der geometrischen Reihe für ds Mß der Menge die Abschätzung M k= J k = n= j= Jj n n= ε 2 n = ε. Somit ist J k eine Überdeckung der Vereinigungsmenge M mit einer Gesmtlänge kleiner ε. D wir diese Abschätzung für jeden beliebig kleinen Wert ε mchen können, folgt, dss die Vereinigung M eine Nullmenge ist. Bei der Betrchtung von Folgen von Treppenfunktionen und der resultierenden Definition von ntegrlen wird verwendet, dss für eine nichtnegtive Folge (ϕ n ) von Treppenfunktionen uf einem ntervll =[,b], die fst überll monoton fllend gegen Null konvergiert, d.h. ϕ n (x) = für fst lle x, uch die Folge der ntegrl konvergiert mit b ϕ n (x) dx =. Dies ist die nächste technische, ber gnz entscheidende Aussge, die für die Theorie benötig wird. Beweis: Wir bedienen uns des Cntor schen Digonlverfhrens, wie es im Bonusmteril zu Kpitel 2 vorgestellt wurde. Nehmen wir n, es sind Nullmengen M n R, n N, gegeben. Dnn lässt sich zu einem Wert ε>und den Mengen M n nch Definition eine Überdeckung durch ntervlle Jj n, j N, uswählen mit der Eigenschft j= J n j ε 2 n. Mit dem Digonlverfhren zählen wir lle ntervlle J k = Jj n. Durch nduktion lässt sich zeigen, dss wir ls Zähler k = (n + j 2)(n + j ) + j 2 Abbildung A. Eine monoton gegen null fllende Folge von Treppenfunktionen. Beweis: Geben wir einen Wert ε>vor und bezeichnen mit M die Menge ller Sprungstellen der Treppenfunktionen ϕ n, n N, vereinigt mit der Nullmenge, uf der keine Konvergenz vorliegt. Nch Vorussetzung ist M eine Nullmenge. f f 2 f 3 b

2 2 ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren Dher gibt es offene ntervlle U j R, j N, mit den Eigenschften M U j und U j ε. Die Vereinigung j= j= U j ist eine offene Menge. Dher ist ds Komplement, j= die Menge J := [,b] \ U j bgeschlossen. Außerdem j= ist die Menge J uch beschränkt. Sie ist lso kompkt. Es gilt J [,b]\m, sodss die Funktionen ϕ n uf der Menge J stetig sind, und für jede Zhl x J konvergieren die Funktionswerte ϕ n (x) monoton fllend, wenn n strebt. Die Funktionen ϕ n : J R sind stetige Funktionen uf einer kompkten Menge. Dher besitzen sie jeweils ein Mximum. n einem ersten Schritt zeigen wir durch einen Widerspruch für diese Mxim, dss mx ϕ n(x) für n gilt. x J Denn wäre ds nicht der Fll, so gäbe es einen Wert δ> und zu jedem n ein x n J mit ϕ n (x n ) δ. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß (siehe Buch Seite 64) gibt es eine konvergente Teilfolge (x nj ) von der Folge (x n ) dieser Zhlen. Wir benennen den Grenzwert dieser Teilfolge mit x n j = x J. j Wählen wir nun weiter eine feste Zhl m N, dnn folgt wegen der Monotonie für ndizes n j m die Abschätzung δ ϕ nj ( xnj ) ϕm ( xnj ). D ϕ m stetig ist, erhlten wir im Grenzwert j die Ungleichung δ ϕ m (x). Diese Abschätzung lässt sich für jede Zhl m N durchführen im Widerspruch zu ϕ m (x), m. Also gibt es ein n N mit mx ϕ n(x) ε für x J lle n n. m zweiten Schritt des Beweises zeigen wir nun noch, dss b ϕ n (x) dx (b + C)ε für lle n n ist, wobei C> eine Konstnte bezeichnet mit ϕ n (x) C für lle n N und für fst lle x [,b]. Zu dem im ersten Schritt ermittelten n N wählen wir n n. Die Treppenfunktion ϕ n ht die Form ϕ n (x) = c l für x ( z l,z l ), l =,...,N, wenn = z < < z N = b die zu ϕ n gehörende Zerlegung des ntervlls [,b] ist. Weiter definieren wir L := { l {,...,N}: ( z l,z l ) J = }. Dnn ist c l ε für l L, dϕ n (x) ε für x J gilt und ϕ n uf ( ) z l,z l konstnt mit Wert cl ist. Für l / L ist ( ) z l,z l U j, lso ist uch die Vereini- j= gung ( ) zl,z l U j. Dher ist l/ L j= z l z l U j ε. l/ L j= Letztendlich können wir mit der oben ngegebenen Konstnte C>bschätzen, b ϕ n (x) dx = l L c l z l z l + l/ L c l z l z l N ε z l z l +C z l z l l= l/ L ε(b ) + Cε = (b + C)ε. Dmit ist die Konvergenz der Folge der ntegrle gegen null gezeigt. Nun sind wichtige Vorrbeiten geleistet, um die Menge der integrierbren Funktionen zu definieren. Zunächst wird die Menge L und ds ntegrl für diese Funktionen eingeführt (s. Seite 343). Mit deren Hilfe werden dnn die Lebesgueintegrierbren Funktionen, L((, b)), chrkterisiert. ntegrle lssen sich entsprechend der ntegrnden bschätzen Um diese Definition mchen zu können, ist eine Montonieussge von wesentlicher Bedeutung. Betrchten wir zwei Funktionen f, g L (, b) zusmmen mit monoton von unten her pproximierenden Folgen von Treppenfunktionen (ϕ n ) n bzw. (ψ n ) n, für die die Ungleichung f(x) g(x) fst überll uf [,b] gilt. Dnn ist im Grenzwert uch b ϕ n (x) dx b ψ n (x) dx. (A.) Beweis: Die Abschätzung ist nheliegend, ber nicht ihr Beweis. Wir hlten m N fest und untersuchen die Folge von Treppenfunktionen ϕ m ψ n. Die Differenz ist monoton fllend und konvergiert fst überll mit [ ϕm (x) ψ n (x) ] = ϕ m (x) g(x) f(x) g(x) für fst lle x [,b]. Wir definieren { ϕm (x) ψ n (x) für ϕ m (x) ψ n (x) > ξ n (x) = sonst Dnn ist (ξ n ) eine Folge von nichtnegtiven, monoton fllenden Treppenfunktionen mit ξ n = f.ü., und es gilt die Abschätzung b b b ϕ m dx ψ n dx ξ n dx. Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

3 . Beweise zur Lebesgue-Theorie 3 Mit der uf Seite 5 gezeigten Konvergenz erhlten wir im Grenzfll b b ϕ m (x) dx ψ n (x) dx. D dies für jedes m N gilt, muss die Abschätzung uch für m gelten, und die Behuptung ist bewiesen. Aus dieser Eigenschft folgt, dss die Definition des ntegrls b b f(x)dx = ϕ n (x) dx für f L () unbhängig von der Whl der Treppenfunktionen ist. Denn wenn wir zwei Folgen (ϕ n ) und (ψ n ) von Treppenfunktionen hben, die monton wchsend gegen f konvergieren, erhlten wir die Ungleichung in beiden Richtungen, d. h., es gilt sowohl b ls uch b ϕ n (x) dx ψ n (x) dx b b Somit müssen die Grenzwerte gleich sein. ψ n (x) dx ϕ n (x) dx. Mit der Menge L ((, b)) ist dnn uch die Menge der Lebesgue-integrierbren Funktionen L((, b)) definiert. Wobei n dieser Stelle noch zu zeigen bleibt, dss bei der Definition durch eine Zerlegung f = f f 2 die Auswhl von pssenden Vertretern f,f 2 L ((, b)) keinen Einfluss uf ds ntegrl ht. Dss der ntegrlbegriff unbhängig von der Whl von f und f 2, lso wohldefiniert, ist, lässt sich wie folgt belegen: Mit f = f f 2 = g g 2 folgt f + g 2 = g + f 2 L (). Es bleibt somit zu zeigen, dss drus in L () uch b f (x) dx + b g 2(x) dx = b g (x) dx + b f 2(x) dx bzw. b b b b f (x) dx f 2 (x) dx = g (x) dx g 2 (x) dx. folgt. Dies hben wir eigentlich schon getn, denn mit der Abschätzung A. ergibt sich für die Funktionen (f + g ), (f 2 + g 2 ) L () mit f + g f 2 + g 2 uch b b (f + g )(x) dx (f 2 + g 2 )(x) dx. D sogr f + g = f 2 + g 2 ist, lssen sich die Rollen in der Abschätzung vertuschen, und wir erhlten die Gleichheit der ntegrle b b (f + g )(x) dx = (f 2 + g 2 )(x) dx. Die bisherigen Überlegungen wren nötig, um überhupt zu einer sinnvollen Definition des ntegrls zu kommen. Dmit ber mit diesem Begriff uch gerbeitet werden knn, sind nun us der Definition herus die Eigenschften zu beweisen, wie sie in der Übersicht uf Seite 346 zusmmengestellt sind. Die Eigenschften in der linken Splte der Übersicht insbesondere die Monotonie sind reltiv leichte Folgerungen us den bisherigen Überlegungen zum ntegrlbegriff. Aber die restlichen Aussgen der rechten Seite erfordern einige Gewöhnung im Umgng mit der Definition des ntegrls. Der Betrg einer Lebesgue-integrierbren Funktion ist integrierbr Wir beginnen mit der Aussgen, dss der Betrg f L((, b)) ist, wenn f L((, b)) gilt. Beweis: Für Funktionen f, g L () und zugehörige Folgen von Treppenfunktionen ϕ n,ψ n, ist mx(ϕ n,ψ n ) eine Treppenfunktion, die monoton und punktweise fst überll gegen mx(f, g) konvergiert. Wir definieren ϕ n = ϕ n ϕ und ψ n = ψ n ψ, so dss ϕ n, ψ n sind. Aus b b mx( ϕ n, ψ n ) dx ( ϕ n + ψ n ) dx b b (f ϕ ) dx + (g ψ ) dx sehen wir, dss die Folge der ntegrle b mx( ϕ n, ψ n ) dx beschränkt ist. Außerdem ist die Folge der ntegrle monoton wchsend. Somit ist ( b mx( ϕ n, ψ n ) dx) konvergent, und es folgt mx(f, g) L (). Anlog zeigen wir dies für die Funktion min(f, g). Drus ergibt sich f L(, b). Denn, d es eine Drstellung f = f f 2 mit f,f 2 L ((, b)) gibt, können wir den Betrg zerlegen in f =mx(f,f 2 ) min(f,f 2 ), lso in eine Differenz us zwei integrierbren Funktionen in L ((, b)). Die Dreiecksungleichung bei ntegrlen Als Nächstes bietet es sich n, die Dreieckungleichung b b f(x)dx f(x) dx. zu zeigen. Diese ergibt sich sofort us f f, f f und der Monotonie des ntegrls. Weiter ist mx(f, g) = 2 (f + g + f g ) und min(f, g) = 2 (f + g f g ) für Funktionen f, g L(, b). Also sind die Mximum- und die Minimumfunktion linere Kombintionen von integrierbren Funktionen und somit selbst wieder integrierbr. Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

4 4 ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren Kommentr: Übrigens können wir die obigen Drstellungen ls Definitionen für die Funktionen mx(f, g) und min(f, g) uffssen, d im Allgemeinen die punktweise Auswertung f (x), g(x) n einer Stelle x bei Lebesgueintegrierbren Funktionen keinen Sinn mcht. Sobld die Funktionen f, g zum Beispiel stetig sind, fällt die Definition mit der gewohnten Drstellung bzw. für x zusmmen. mx(f, g)(x) = mx{f (x), g(x)} min(f, g)(x) = min{f (x), g(x)} Die Eigenschft der Definitheit im Überblick uf Seite 346 erfordert den ufwendigsten Beweis. Es gilt, dss us b f(x)dx = für eine Funktion f L((, b)) mit f fst überll, folgt, dss f(x)= ist für fst lle x (, b). Beweis: Mit der Zerlegung f = f f 2 mit f,f 2 L ((, b)) ist zu zeigen, dss us f 2 f f.ü. und b f (x) dx = b f 2(x) dx die dentität f (x) = f 2 (x) für fst lle x [,b] folgt. Wir wählen (ϕ n ) bzw. (ψ n ) monoton wchsende Folgen von Treppenfunktionen, die fst überll gegen f bzw. f 2 konvergieren, und definieren M n,k ={x : f 2 (x)<ϕ n (x) k }. Dnn gilt M ={x : f 2 (x)<f (x)} = n,k= M n,k. Ein Widerspruch zur Annhme, dss M keine Nullmenge ist, zeigt die Aussge. Gehen wir nämlich dvon us, dss M keine Nullmenge ist. Dnn gibt es mindestens ein Pr von ndizes n,k N, so dss M n,k keine Nullmenge ist. Also existiert ein ε, so dss für jede Überdeckung von M n,k durch ntervlle m gilt m= m ε. Sei nun m ={x : ψ m (x)<ϕ n (x) k }. Dnn ist m eine Vereinigung von ntervllen und M n,k m. Also gilt insbesondere m ε. Aus den Eigenschften des ntegrls erhlten wir b ψ m (x) dx = ψ m (x) dx + ψ m (x) dx m \ m ϕ n (x) dx m + f 2 (x) dx m k \ m f (x) dx m + f (x) dx m k \ m b = f (x) dx ε b = f 2 (x) dx ε. k k D ber die linke Seite dieser Ungleichung für m gegen b f 2(x) dx strebt, ergibt sich ein Widerspruch. Dmit sind die wichtigsten Eigenschften des ntegrls belegt, und wir können uns den Huptsätzen zuwenden. n Abschnitt.2 sind beide Huptsätze hergeleitet worden. Der erste Huptstz besgt, dss F :[,b] R mit x F(x) = f(t)dt eine Stmmfunktion zum ntegrnden f :[,b] R ist, wenn f stetig ist. Bei der zweiten Aussge, b F (x) dx = F(x) b für stetige Funktionen F :[,b] R, die uf (, b) differenzierbr sind, fehlt noch ein vollständiger Beweis. Beweis: Beweis des zweiten Huptstzes: Bei der in Abschnitt.2 ufgezeigten Herleitung bleibt noch der Grenzfll α für den zweiten Huptstz zu zeigen. Der Grenzübergng x b ergibt sich nlog. D die rechte Seite in b F (x) dx = F(x) b α α stetig in α ist, genügt es, zu zeigen, dss b b F (x) dx = F (x) dx α α gilt. D F integrierbr ist, gilt F = f f 2 mit f,f 2 L ((, b)). Somit müssen wir wegen der llgemeinen Eigenschften von Grenzwerten die Konvergenz nur für Elemente in L ((, b)) beweisen. Wir gehen lso im Beweis von f L () us. Weiter können wir ohne Einschränkung nnehmen, dss f ist; denn nsonsten lässt sich die Funktion f ϕ betrchten, wobei ϕ die erste Treppenfunktion in einer monoton wchsenden, pproximierenden Folge von Treppenfunktion ist. Wenn mit (α m ) eine monoton fllende Folge von Zhlen in [,b] mit α m für m bezeichnet wird, so folgt wegen der vorusgesetzten Positivität von f die Abschätzung b b αm f(x)dx f(x)dx + f(x)dx α m α m α m+ b = f(x)dx. α m+ ( ) b D die Folge α m f(x)dx nicht nur monoton, sondern m N uch durch b f(x)dx beschränkt ist, ergibt sich mit dem Monotoniekriterium die Konvergenz b f(x)dx c R α m gegen einen Wert c b f(x)dx. Sei nun (ϕ n) eine monoton wchsende Folge von Treppenfunktionen, die gegen f Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

5 . Beweise zur Lebesgue-Theorie 5 fst überll punktweise konvergiert. Ohne die Bezeichnung zu wechseln, modifizieren wie die Folge von Treppenfunktionen, sodss ϕ n (x) = uf (, + n ) gilt. Bei festem ndex n N folgt b b ϕ n (x) dx = ϕ n (x) dx α m für lle hinreichend großen ndizes m M n, wobei die Zhl M n, b der die dentität gilt, von n bhängt. Wählen wir nun eine Folge (m n ) mit m n M n, die monoton wächst, so erhlten wir b f(x)dx = b b b ϕ n (x) dx = b α mn f(x)dx = c α mn ϕ n (x) dx f(x)dx. Also gilt Gleichheit, und insgesmt hben wir die Behuptung des zweiten Huptstzes gezeigt. Mit diesem Beweis ist nun uch der Buchbschnitt.2 vervollständigt, und wir können uns den Erweiterungen des ntegrtionsbegriffs uf unbeschränkten ntervllen oder für unbeschränkte Funktionen zuwenden. Treppenfunktionen uf unbeschränkten ntervllen Um ein ntegrl über unbeschränkte ntervlle, wie z. B. = (, ) zu definieren, verllgemeinern wir zunächst den Begriff der Treppenfunktion. Unter einer Treppenfunktion uf einem unbeschränkten ntervll versteht mn eine Funktion f, die uf einem beschränkten ntervll eine Treppenfunktion nch der Definition in Buchbschnitt. ist und ußerhlb, uf \, konstnt ist. () Eine Folge (f j ) j N von Funktionen uf heißt monoton wchsend (fllend), wenn f j+ (x) f j (x) ( bzw. fj+ (x) f j (x) ) für lle x ist. (b) Die Folge (f j ) j N heißt punktweise konvergent, wenn der Grenzwert für jedes x existiert. f j (x) =: f(x) j (c) Anlog sprechen wir von fst überll konvergent (bzw. monoton), wenn die Bedingungen in () bzw. (b) für fst lle x gelten, d.h. ußerhlb einer Nullmenge. Beispiel Durch die Prtilsummen f N (x) = N x n x n+, N N, n= ist eine Folge von Lebesgue-integrierbren Funktionen f N L([, ]) definiert. Es hndelt sich um eine Teleskopsumme, und wir sehen, dss ist. Mit f N (x) = x N+ f N (x) = x N= x N = f N (x) für x [, ] folgt, dss die Folge der Funktionen monoton wächst. Außerdem gilt {, für x [, ) f n(x) = N, für x = Somit können wir festhlten: Die Folge (f N ) N N ist fst überll streng monoton wchsend, nämlich mit Ausnhme der Stellen x = und x =. Außerdem ist die Folge fst überll punktweise gegen die konstnte Funktion mit f(x)= konvergent (siehe Abbildung A.3). Achtung: Es gibt verschiedene Konvergenzbegriffe zu Funktionenfolgen, die je nch Sitution zum Trgen kommen. Sie müssen stets deutlich unterschieden werden. So ist etw Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm, Abbildung A.2 Eine Treppenfunktion über den gesmten reellen Zhlen. Punktweise Konvergenz von Folgen von Treppenfunktionen hben wir bereits kennengelernt. Diese Art von Konvergenz betrchten wir nun llgemein für beliebige Funktionen. Wenn wir mit f j : R, j N, eine Folge von Funktionen uf einem ntervll R bezeichnen, so ist folgende Sprechweisen üblich: f := sup { f(x) x }, ein strengerer Begriff ls die punktweise Konvergenz. Es gibt lso Folgen von Funktionen, die zwr punktweise konvergieren, ber nicht in der Supremumsnorm. Zum Beispiel konvergiert f j (x) = x j uf (, ) punktweise gegen f(x) =, ber f j f = für lle j N. Die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm wird uch gleichmäßige Konvergenz gennnt (siehe Buch Seite 25ff). Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

6 6 ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren beliebig klein gewählt werden knn. Mit diesen Vorrbeiten lässt sich dnn im vierten Schritt die llgemeine Aussge herleiten. f f 2 f 5 i) Die erste Behuptung lutet: st (ϕ n ) eine Folge von Treppenfunktionen uf einem ntervll mit der Eigenschft, dss die ntegrle ϕ n (x) dx C für lle n N durch eine Konstnte C R > beschränkt sind, so gibt es eine Funktion f L () mit f Abbildung A.3 Eine Folge von Funktionen, die fst überll gegen konvergiert. Punktweise konvergente Folgen in L() Wie us der Definition des ntegrls zu erwrten ist, ist punktweise Konvergenz fst überll eine nützliche Eigenschft in der Klsse der integrierbren Funktionen. Die folgende grundlegende Aussge der Lebesgue-Theorie, die nch dem Mthemtiker Beppo Levi (875 96) bennnt wird, zeigt dies deutlich. Der Stz von Beppo Levi geht von einer fst überll monotonen Folge (f j ) von Lebesgue-integrierbrer Funktionen f j L() uf einem ntevll us. Wenn dnn die Zhlenfolge der ntegrle f j dx in R beschränkt ist, ( ) n N konvergiert die Funktionenfolge (f j ) punktweise fst überll gegen eine Funktion f L(), und es gilt f j dx = f dx. j Bechten Sie, dss dieser Stz nicht nur die Konvergenz der ntegrle beinhltet, sondern uch die Existenz der Grenzfunktion f L() klärt. Wir können die Aussge des Stzes ls Monotoniekriterium im Funktionenrum L() bezüglich der punktweisen Konvergenz uffssen. Drus lässt sich erhnen, welche zentrle Rolle dieser Stz in der Lebesgue-Theorie spielt, und ein Grund, diesen ufwendigeren Beweis hier vorzustellen. Beweis: Zum Beweis des Stzes gehen wir in vier Schritten vor. Zunächst zeigen wir, dss eine monoton wchsende Folge von Treppenfunktionen, deren ntegrle beschränkt bleiben, einen Grenzwert in L () besitzen. Dmit können wir im zweiten Schritt die Aussge des Stzes für beliebige Funktionen in L () zeigen. Zur Vorbereitung des llgemeinen Flls beweisen wir im dritten Schritt, dss zu einer Funktion f L() bei Zerlegung in eine Differenz us Elementen us L () der zweite Anteil ϕ n(x) = f(x) f.ü. und ϕ n (x) dx = f(x)dx. Betrchten wir eine solche monoton steigende Folge (ϕ n ) von Treppenfunktionen. Zu einem Wert ε>definieren wir die Menge { N n = x ϕ n (x) C } ε Diese Menge ist entweder leer oder besteht us endlich vielen ntervllen, und wir können die Gesmtlänge N n bschätzen durch C ε N n = C dx ϕ(x)dx ϕ n (x) C. ε N n N n Somit ist N n ε für lle n N. D die Monotonie ϕ n ϕ n+ f.ü. vorusgesetzt ist, gilt N n N n+, und wir können die Differenzmengen N n+ \N n ls Vereinigung endlich vieler disjunkter ntervlle nsehen. Deswegen ist die Vereinigung N = n= N n eine Vereinigung von höchstens bzählbr vielen ntervllen J,J 2,..., indem mn zunächst die endlich vielen ntervlle zur Drstellung von N 2 \N und dnn von N 3 \N 2 usw. zählt. Außerdem gilt ufgrund der Konstruktion J j ε. j= Nun betrchten wir die Menge M = {x (ϕ n (x)) n N ist unbeschränkt} Dnn ist M N für jedes ε>. Somit ist M eine Nullmenge. Für eine Stelle x \M ist die monoton wchsende Folge (ϕ n (x)) beschränkt und somit nch dem Monotoniekriterium konvergent. Bezeichnen wir den Grenzwert mit f(x) R, so bekommen wir durch { f(x)= ϕ n(x), für x \M, für x M eine Funktion f, die fst überll Grenzwert der Treppenfunktionen ϕ n ist. Also gilt f L (), ws wir im ersten Schritt zeigen wollten. Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

7 . Beweise zur Lebesgue-Theorie 7 ii) Wir betrchten die Aussge des Stzes im Spezilfll, dss eine monoton wchsende Folge (f j ) j N von Funktionen in L (D) gegeben ist, für die es eine obere Schrnke K>zu den ntegrlen f j (x) dx K für lle j N gibt. Es soll gezeigt werden, dss (f j ) punktweise fst überll gegen eine Funktion f L (D) konvergiert und für die ntegrle f j (x) dx = f(x)dx j gilt. Dzu wählen wir zu jedem f j eine monoton wchsende Folge von Treppenfunktionen (ϕ j k ) us, die für k punktweise fst überll gegen f j konvergiert. Wegen der Monotonie der Folge (f j ) j N gilt nch Konstruktion ϕ j k f j f k für j k. Definieren wir mit diesen Treppenfunktionen eine weitere Folge durch ψ n (x) = mx{ϕj k (x) k, j =,...,n}. Dnn gilt ψ n (x) dx f n (x) dx K. Die Folge der ntegrle über ψ n bleibt somit beschränkt. Nch Teil i) des Beweises gibt es eine Grenzfunktion f L (D) und es gilt ψ n (x) dx = f(x)dx. Weiter ist für j n uch ϕ j n ψ n. Diese Ungleichung bleibt im Grenzfll n bestehen, d. h., es ist f j f für lle j N. Aus der Ungleichungskette ψ j f j f und der punktweisen Konvergenz ψ j (x) f(x), f.ü., folgt f(x)dx = ψ j (x) dx j f j (x) dx j f(x)dx. Es ergibt sich, dss die Folge f j punktweise fst überll gegen f konvergiert und uch die ntegrle konvergieren. iii) Um nun dieses Resultt uch für beliebige Funktionen in L() herzuleiten, benötigen wir zunächst noch eine Aussge zur Auswhlmöglichkeit der Drstellung von Funktionen f L() durch Differenzen der Form f = g h mit g, h L (D). Und zwr lässt sich zu jedem ε > eine solche Zerlegung finden, bei der die Funktion h ist und h(x) dx ε gilt. Diese Behuptung zeigt mn, indem mn von einer beliebigen Zerlegung f = g h mit g,h L (D) strtet. Wegen der Definition der Menge L() muss es eine solche Drstellung geben. Zu h wählen wir eine pproximierende Folge von monoton wchsenden Treppenfunktionen (ϕ n ). Wählen wir weiter den ndex n so groß, dss h (x) dx ϕ n (x) dx ε ist und setzen wir { h (x) ψ h(x) := n (x), flls h (x) ψ(x), sonst. Dnn ist h L (D). Dh ψ n nur fst überll gilt, ist in der Definition von h uf der Nullmenge, wo diese Abschätzung nicht gilt, der Wert extr uf null gesetzt, so dss die resultierende Funktion die Bedingung h uf gnz erfüllt. Am ntegrlwert ändert sich durch diese Korrektur nichts, und es gilt h(x) dx ε. Außerdem ist mit g := g +ψ n = g +h h eine Funktion g L (D) gegeben, und wir erhlten mit f = g h = g + h h h = g h die gewünschte Zerlegung. iiii) Mit diesen Vorbereitungen lässt sich jetzt der llgemeine Stz von Beppo Levi beweisen. Es genügt, eine fst überll monoton wchsende Folge (f n ) n N von Funktionen in L() zu betrchten. Der Fll einer monoton fllenden Folge ist uch dmit bgedeckt, d mn in diesem Fll die Aussge für die steigende Folge ( f n ) ht. Außerdem nehmen wir n, dss f n fst überll gilt. Ansonsten betrchten wir einfch die Folge (f n f ), die ufgrund der Monotonie nichtnegtiv ist. Zu dieser Folge (f n ) können wir mit dem dritten Teil Funktionen g k,h k L (D) finden mit sodss h k und gilt. Offensichtlich ist uch f k f k+ = g k h k h k (x) dx 2 k g k = f k f }{{ k+ + h } k. }{{} Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

8 8 ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren Nun definieren wir weiter die Summen n n G n = g k und H n = h k. k= k= Die Folgen (G n ) und (H n ) sind monoton wchsende Folgen in L (D), und es gilt n f n = f k f k+ = G n H n. k= Außerdem folgt n n H n (x) dx = h k (x) dx k= 2 k k= mit der geometrischen Summe. Auch die Folge der ntegrle zu G n bleibt wegen G n (x) dx = f n (x) dx + H n (x) dx beschränkt, d nch Vorussetzung die ntegrle über f n beschränkt sind. Wir können die Aussge des zweiten Teils ii) nwenden uf G n L (D) und H n L (D). Diese besgt, dss beide Folgen punktweise fst überll gegen Funktionen G, H L (D) konvergieren, d. h., es existiert die Grenzfunktion mit f n = G n H n G H =: f L(), n punktweise fst überll, und es gilt f n (x) dx = G n (x) dx H n (x) dx = G(x) dx H(x)dx = f(x)dx. Dmit hben wir lle Beweisschritte bgeschlossen. Wichtig für uns ist eine Folgerung us dem Stz von Levi, die uns ein Kriterium liefert zur Entscheidung, ob ein ntegrl existiert. Ds uf Seite 356 ngegebene Konvergenzkriterium gibt uns die Möglichkeit, über die ntegrierbrkeit Aussgen zu treffen, uch wenn der ntegrnd n einer Stelle oder der ntegrtionsbereich unbeschränkt ist. Beweis: Um zu sehen, dss ds Konvergenzkriterium eine Folgerung des Stzes von Beppo Levi ist, nehmen wir zunächst f uf dem ntervll n und definieren die Folge { f(x), x j f j (x) =, sonst Die Funktionenfolge (f j ) konvergiert punktweise und monoton gegen f. D die Folge der ntegrle ( ) ( ) f j dx = f dx j nch Vorussetzung beschränkt ist, folgt nch dem Stz von Beppo Levi, dss f L() Lebesgue-integrierbr ist und f dx = f dx j j gilt. st nun f : R beliebig, so zerlegen wir f = f + f mit { f + f(x) für f(x) (x) = für f(x)< und { f für f(x) (x) = f(x) für f(x)<. Dmit lässt sich ds obige Resultt für positive Funktionen uf f + und f nwenden, und wir erhlten die Behuptung. Der Konvergenzstz liefert Bedingungen, unter denen ntegrtion und Grenzwert vertuschbr sind Eine weitere Folgerung us dem Stz von Beppo Levi werden wir später häufiger verwenden. Es ist der Lebesgue sche Konvergenzstz. Der Lebesgue sche Konvergenzstz Mit f n L(), n N, sei eine Folge von Lebesgueintegrierbren Funktionen uf einem ntervll R gegeben, die punktweise fst überll gegen eine Funktion f : R konvergiert. Wenn dzu eine Funktion g L() existiert mit f n (x) g(x) für fst lle x, dnn ist die Grenzfunktion f L() integrierbr, und es gilt f n (x) dx = f(x)dx. Beweis: Der Konvergenzstz lässt sich zeigen, indem wir zunächst für ein n N die Funktionenfolgen und g nj := min{f n,f n+,...,f n+j } h nj := mx{f n,f n+,...,f n+j } betrchten. D die Funktionen f n in L() liegen, gilt uch mit den llgemeinen Eigenschften des ntegrls, dss g nj L() und h nj L() bzgl. j N wieder Folgen integrierbrer Funktionen sind. Die Folge (g nj ) j N ist monoton fllend, denn, wenn wir von j zu j + übergehen, kommt eine weitere Funktion hinzu, sodss ds Minimum der Funktionen g n(j+) höchstens kleiner wird. Anlog ist die Folge h nj monoton wchsend. Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

9 . Beweise zur Lebesgue-Theorie 9 Nutzen wir nun noch, dss mit der im Stz vorusgesetzten integrierbren Mjornte g die Abschätzungen g(x) dx g nj (x) dx h nj (x) dx g(x) dx für lle n, j N gelten, so folgt mit dem Stz von Beppo Levi, dss die Folgen punktweise fst überll konvergieren mit Grenzfunktionen j g nj =: g n L() und j h nj =: h n L(). Es gilt g(x) dx g n (x) dx h n (x) dx g(x) dx. Für die so konstruierten Folgen integrierbrer Funktionen (g n ) und (h n ) wenden wir ein weiteres Ml den Stz von Beppo Levi n. Dzu müssen wir uns noch die Monotonie dieser Folgen bzgl. n N überlegen: Wenn mit M die Nullmenge bezeichnet ist, uf der die Folge (f n (x)) nicht punktweise gegen f(x)konvergiert, so gilt für eine Stelle x \M Konvergenz, d. h., zu jedem ε gibt es eine Zhl n N mit f n (x) f(x) εfür lle n n. Wegen der Konstruktion gilt diese Abschätzung uch für g n und h n nstelle von f n, wenn n n gewählt ist. Dies zeigt, dss die Folgen g n und h n punktweise fst überll, nämlich uf \M, gegen f konvergieren. Außerdem ist g n fst überll monoton steigend, d ds Minimum g n,j = min{f n,f n+,...,f nj } größer wird, wenn die erste Funktion gestrichen wird, d. h. bei Übergng von g nj zu g (n+)j. Genuso ist die Folge h n fst überll monoton fllend. Mit der oben ngegebenen Beschränkung der ntegrle folgt mit dem Stz von Levi, dss die Grenzfunktion f L() integrierbr ist mit g n(x) dx = f(x)dx und h n(x) dx = f(x)dx. Schließlich ergibt sich us den beiden Abschätzungen g n (x) dx f n (x) dx h n (x) dx für n N, uch die Konvergenz der ntegrle f n (x) dx = f(x)dx durch ds Einschließungskriterium zu Folgen (siehe Abschnitt 6.5 im Buch). Die Aussge des Konvergenzstzes gibt uns die Möglichkeit, zu entscheiden, ob ein Grenzprozess mit einer ntegrtion vertuscht werden drf. Wir werden dieser Sitution noch häufiger begegnen. Mit dem Konvergenzstz müssen wir dnn nur zeigen, dss es eine integrierbre Mjornte g gibt, wie sie im Stz vorusgesetzt wird. Beispiel Die Funktionenfolgen (f n ), (h n ) der integrierbren Funktionen f n,h n :[, ] R mit und f n (x) = h n (x) = { n, für x [, n ), für x [ n, ] { n, für x [, n ), für x [ n, ] konvergieren beide punktweise mit Ausnhme der Stelle x = gegen die konstnte Funktion f :[, ] R mit f(x)= (s. Abbildung.28) = = Abbildung A.4 Ein Beispiel und ein Gegenbeispiel zum Konvergenzstz. m ersten Fll können wir eine integrierbre Mjornte g :[, ] R mit g(x) = x ngeben. Dher besgt der Lebesgue sche Konvergenzstz, dss uch für die ntegrle f n (x) dx = f(x)dx = gilt. Ds Ergebnis können wir verifizieren, in dem wir n f n (x) dx = f n h n n dx = n = n n berechnen. m zweiten Fll gilt n h n (x) dx = n dx = n n = für lle n N. Der Lebesgue sche Konvergenzstz ist nicht nwendbr, = h n (x) dx = f(x)dx =. g Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28

10 ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren d sich keine integrierbre Mjornte g L((, )) finden lässt. Die Bedeutung des Konvergenzstzes zeigt sich bei Funktionen, die durch ntegrle definiert sind, wie zum Beispiel bei f : R > R mit f(s)= e st2 dt. Frgen wir uns, ob die Funktion n einer Stelle ŝ> stetig ist, so müssen wir prüfen, dss für eine Folge (s n ) R > mit s n ŝ für n gilt f(s n) = e s nt 2 dt = f(ŝ) = e ŝt2 dt. Ds bedeutet, wir müssen zeigen, dss der Grenzwert mit dem Bilden des ntegrls vertuschbr ist. Nch dem Konbergenzstz müssen wir nur eine integrierbre Mjornte finden, denn die ntegrnden h n (t) = e s nt 2 konvergieren offensichtlich wegen der Stetigkeit der Exponentilfunktion punktweise gegen e ŝt2. Eine Mjornte ist ber schnell gefunden, d wegen der Konvergenz von (s n ) sicherlich eine Schrnke c s n für lle n N existiert. Somit ist durch g(t) := e ct e snt eine integrierbre Mjornte gegeben. Der Konvergenzstz liefert lso die Stetigkeit der Funktion F n der Stelle ŝ R >. Übrigens, d wir in diesem Beispiel keine Stmmfunktionen ngeben können, ist die Anwendung des Konvergenzstzes nicht durch Berechnen einer Stmmfunktion in Abhängigkeit von s zu umgehen. Arens et l., Mthemtik, SBN: , Spektrum Akdemischer Verlg, 28