Lineare Algebra - Übungen 7 WS 2017/18

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1 Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Lineare Algebra - Übungen 7 WS 017/18 Aufgabe P0: Paulimatrizen Präsenzaufgaben 14. Dezember 017 Berechnen Sie für die Paulimatrizen σ 1 = ( ) 0 1, σ 1 0 = ( ) ( ) 0 i 1 0, σ i 0 = 0 1 jeweils die Spuren, Determinaten, Eigenwerte und (normierte) Eigenvektoren. Aufgabe P1: Dreiecksmatrizen Zeigen Sie, daß bei einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix die Diagonalelemente gleich den Eigenwerten sind. Aufgabe P: Reformulierungen Lösen Sie dieses Gleichungssystem durch eine Abfolge von Matrixmultiplikationen, und geben Sie alle Zwischenmatrizen an x y = x+y = 1 Geben Sie auch explizit das Inverse der Matrix M aus der Matrixvektorform M x = b an. 1

2 Aufgabe H19: Normen (8 Punkte) Hausübungen Zeigen Sie, daß in jedem Vektorraum, in dem eine Abbildung von zwei Vektoren v und w mit v w nach C existiert, die die Bedingungen für ein Skalarprodukt erfüllt, die Defintion v = + v v eine Norm ist. Aufgabe H0: Spuren, Determinanten und Kommutation (1+++1+=10 Punkte) Berechnen Sie für die folgenden Matrizen (a) Spuren und (b) Determinanten. Zeigen Sie außerdem durch explizites ausrechnen, dass (c) detab = detba und (d) trab = trba aber das (e) [A,B] 0 ist. 1 i i A = 1 4 1, B = 1 1 i i i Aufgabe H1: Mehr Eigenwerte (1+++=7 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen, jeweils getrennt über den reellen (sofern die Matrix reell ist) und komplexen Zahlen. a) (1) ( ) 1 b) c) ( ) i 1 d) i i Aufgabe H: Inversionen (1+1+=5 Punkte) Bestimmen Sie die inversen Matrizen für die folgenden Matrizen a) (i) ( ) 1 i b) i 1 1 c) Abgabetermin: in der jeweiligen Übungen an Ihren Betreuer. Bitte jedes Blatt mit Name, Name des Betreuers und Matrikelnummer versehen.

3 Hinweise. Ziehen Sie diese erst zu Rate wenn Sie ohne Sie während etwa 5% der für das Bearbeiten einer der Aufgaben verfügbaren Zeit keine Fortschritte erzielt haben. Legen Sie dazu vorab fest, wieviel Zeit Sie für die Bearbeitung einer Aufgabe verwenden wollen bzw. können, insbesondere bei den Hausübungen. Versuchen Sie die folgenden Teilfragen zu beantworten um einen Pfad zur Lösung zu finden. P0 P1 P H19 H0 H1 H Wie sind die allgemeinen Formeln für Determinanten und Spuren? Wie bestimmen Sie das charakteristische Polynom? Welche Eigenschaft haben Eigenvektoren? Was für eine Bestimmungsgleichung ergibt sich daraus für sie? Warum ist eine Normierung möglich? Gilt es in zwei und drei Dimensionen? Wie gehen die Diagonalelemente in das charakteristische Polynom ein? Gibt es eine vereinfachende Wahl bei der Aufstellung des charakteristischen Polynoms? Wie sieht die Gleichung in Matrix-Vektor Form aus? Wie kann eine Matrixmultiplikation auf diese Form wirken? Welche Arten von Matrizen sind für diesen Zweck nützlich? Was muß eine Norm erfüllen? Was erfüllt ein Skalarprodukt? Welche dieser Eigenschaften operieren auf derselben Anzahl an Vektoren und Körperelementen? Wie oft müssen Sie die Produkte AB und BA berechnen? Ist es einfacher zuerst den komplexen oder zuerst den reellen Fall zu betrachten? Welche Eigenschaften haben komplexe Eigenwerte reeller Matrizen notwendigerweise? Gibt es ggf. nützliche Wahlen wie man die Determinante entwickelt? Was wissen Sie über die Spezialfälle bei der Anzahl an Dimensionen? Kann es Ihnen helfen wenn eine Matrix viele Nullen enthält? Kann man das Verfahren aus P1 anwenden?

4 Lösungen: Aufgabe P0 Alle Paulimatrizen sind spurlos und alle ihre Determinanten sind -1. Die charakteristischen Polynome sind λ 1 = (λ+1)(λ 1) = 0 λ 1 = (λ+1)(λ 1) = 0 (1 λ)(1+λ) = 0, und daher alle gleich. Sie werden von λ 1, = ±1 gelöst. Für die Eigenvektoren gilt ( )( ) 0 1 x 1 0 y ( )( ) 0 i x i 0 y ( )( ) 1 0 x 0 1 y ( ) ( ) y x = = ± x y ( ) ( ) y x = i = ± x y ( ) ( ) x x = = ±. y y Die (normierten) Lösungen der Gleichungssysteme kann man direkt ablesen, und liefert (1,±1) T /, (1,±i) T / und (1,0) T und (0,1) T. Aufgabe P1 Die wesentliche Einsicht besteht darin, daß jeweils nach dem Diagonalelement zu entwickeln ist. Damit ist a 11 λ a 1... a 1n 0 a λ... a n det.... = Π i(a ii λ) a nn λ was die Behauptung beweist, da die Nullstellen dieses Polynoms gerade die a ii sind. Aufgabe P Die erste Matrix sollte dieersten zwei Zeilen von M x = b miteinander addieren, das erfolgt mit T 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) M x = x = = Der nächste Schritt erfolgt durch Reskalierung mit 1/ in der zweiten Gleichung durch E 1 ( ) ( ) ( ) T 0 1 M x = x = 1 0 4

5 Um die zweite Variable in der ersten Gleichung zu eliminieren wird jetzt das doppelte der zweiten Gleichung von der ersten abgezogen mit T ( ) ( ) ( ) E T 1 M x = x = 1 0 Das geht auch in zwei Schritten, da ( )( ) T = Zuletzt muss noch die erste Zeile mittels E mit 1 mulipliziert werden, und die Zeilen mittels ( ) 0 1 T x = 1 0 vertauscht werden T x E T E 1 T 1 M x = ( ) ( 1 0 ) x = 0 1 5, was damit auch das Endergbnis x = / und y = 5/ gibt. Die Inverse von M ist damit ). M 1 = T x E T E 1 T 1 = ( Aufgabe H19 Eine Norm muß die folgenden Anforderungen erfüllen, die sich durch die Eigenschaften des Skalarproduktes ablesen lassen: v 0 folgt da v v 0, und damit ist auch + v v 0 v = 0 v = 0 folgt da v v = 0 v = 0 und + 0 = 0 a v = a v folgt da av av = aa v v und + aa = a v+ w v + w folgt da v+w v+w = v v + w w +R( v w ). Damit ist die Behauptung + v v + w w +R( v w ) + v v + w w v v + w w +R( v w ) v v + w w + v v w w R( v w ) + v v w w Wäre die linke Seite negativ oder einer der Vektoren der Nullvektor ist alles gezeigt. Bleibt der Fall, daß sie positiv ist und mindestens einer der Vektoren nicht der Nullvektor. Dann folgt 0 v (R v w ) w = v (R v w ) w = v R v w w w v R v w w w 0. Und damit ist die Aussage bewiesen. + (R v w ) w 4 w 5

6 Aufgabe H0 Die SpurenundDeterminanten dermatrizen sindtra = +i, trb = i, deta = 4 6i und detb = 5 9i. Die beiden relevanten Produkte sind 1+i 1+i 5i AB = 8 9+i 8 1+i 1 +i i 4 BA = 5 6+i +i i 8i 1+i Damit ist bereites sicher AB BA. Es ergibt sich 1 i 5+i 5i [A,B] = AB BA = 6 i +4i 1+8i 10+i trab = 7+4i = trba wie zu erwarten war. Aufgabe H1 detab = 4 76i = detba a) Das charakteristische Polynom ist 1 λ = 0 und damit der Eigenwert 1. b) Das charakteristische Polynom ist 7 4λ+λ = 0 Es gibt nur die komplexen, und komplex konjugierten, Eigenwerte ±i. Im reellen gibt es daher keine Eigenwerte. c) Das charakteristische Polynom ist x( x +x ) = 0. Damit ist ein Eigenwert automatisch 0. Das ist im reellen der einzige Eigenwert, da die beiden übrigen Eigenwerte 1 ± i sind. d) Das charakteristische Polynom ist (1 i)+λ = 0 undhat als Lösungen diezwei Werte ± i 1, welche nicht zueinander komplex konjugiert sind. Aufgabe H a) Das Inverse ist die Matrix ( i). 6

7 b) Die allgemeine Formel aus der Vorlesung liefert, mit detb = B 1 = 1 ( ) i. i 1 c) Das kann wie in Aufgabe P durch die Abfolge von Matrixmultiplikation erreicht werden. Dabei nutzt man gezielt die mittlere Zeile aus: A = woraus folgt A = =