Übungen zur Linearen Algebra II

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1 Aufgabe 1.1. Sei n 1 eine natürliche Zahl, K ein Körper. Weiterhin seien n Elemente a 1, a 2,..., a n K von K gegeben. Wir betrachten die Matrix A Mat(n n, K): a 1 1 a n n a A = A(a 1, a 2,..., a n ) = E k,k+1 + a k E k,1 = 3 1 k=1 k= a n 1 1 a n 0 Beweisen Sie, dass det(a(a 1, a 2,..., a n ) te n ) = ( 1) n (t n n k=1 a kt n k ). Tipp: Induktion und Laplacescher Entwicklungssatz. Aufgabe 1.2. Ist die reelle Matrix A = Mat(5 5, R) diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Entscheidung! Aufgabe 1.3. Wir betrachten die reelle Matrix A := Entscheiden Sie, ob eine Matrix S Mat(3 3, R) existiert, so dass S 1 A S eine Diagonalmatrix ist! Begründen Sie Ihre Entscheidung und geben Sie ein solches S, sowie S 1 A S im Falle der Existenz an. ( ) t t Aufgabe 1.4. Berechnen Sie für alle t R die Matrix exp. 0 t (Zur Erinnerung: exp(a) = k 0 1 k! Ak.) Abgabe: Bis Mittwoch, 11. April 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

2 Aufgabe 2.1. Bestimmen Sie die Minimalpolynome der folgenden Matrizen: A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = Aufgabe 2.2. Das Minimalpolynom eines Vektors Sei v V \ {0} ein Vektor in einem endlichdimensionalen K-Vektorraum. Weiterhin sei ein Endomorphismus ϕ End K (V ) fixiert. Wir betrachen die folgende Abbildung ev ϕ,v : K[T ] V a i T i a i ϕ i (v), i 0 sowie den Unterraum span(v) ϕ := span(v, ϕ(v), ϕ 2 (v),...). (i) Zeigen Sie, dass ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom MinPol(ϕ, v, T ) K[T ] existiert mit i 0 ker(ev ϕ,v ) = (MinPol(ϕ, v, T )) := {f MinPol(ϕ, v, T ) f K[T ]} Dieses Polynom ist das Minimalpolynom von ϕ bezüglich v. Zeigen Sie, dass deg(minpol(ϕ, v, T )) = dim K (span(v) ϕ ) gilt. (iii) Berechnen ( Sie ) sowohl MinPol(ϕ, ( ) v i, T ), ( als) auch span(v i )( ϕ für) V = R 2, ϕ = und v =, v 0 2 = sowie v 1 3 =. 1 Aufgabe 2.3. Wir betrachten die Matrix A = und die Folge a : N Z der Spuren der Potenzen von A, also a n := tr(a n ). (i) Geben Sie eine explizite Formel für die Folge a an! Zeigen Sie die Implikation n ist Primzahl = n teilt a n (Hinweis: Der Kleine Fermat wird oft in der Form a p a mod p angegeben.) (iii) Gilt für natürliche Zahlen n 2 auch die Umkehrung der Aussage? Aufgabe 2.4. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Das charakteristische Polynom von ϕ End K (V ) sei p ϕ (t) = ( 1) n n i=1 (t λ i) mit λ i λ j für i j. Ferner sei ψ End K (V ) mit ψϕ = ϕψ. Zeigen Sie, dass ψ diagonalisierbar ist! Abgabe: Bis Mittwoch, 18. April 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

3 Aufgabe 3.1. Geben Sie für die durch gegebene nilpotente Abbildung N : R 3 R 3 eine Basis B von R 3 an, so dass MB B (N) die Jordansche Normalform eines nilpotenten Endomorphismus ist. Aufgabe 3.2. Es sei V ein K-Vektorraum und N End K (V ) nilpotent. Wir definieren, wie in der Vorlesung, V k := ker(n k ). Es sei dim(v 1 ) = 5 dim(v 2 ) = 9 dim(v 3 ) = 12 dim(v 4 ) = 13 dim(v 5 ) = 13. Geben Sie die Jordansche Normalform von N an! Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 3.3. Gibt es einen K-Vektorraum V und ein ϕ End(V ) mit dim(ker(ϕ)) = 4 dim(ker(ϕ 2 )) = 6 dim(ker(ϕ 3 )) = 9? Beweisen Sie die Nichtexistenz oder geben Sie ein Beispiel an! (Hinweis: Betrachten Sie W = ker(ϕ 3 ).) Aufgabe 3.4. Sei N End F3 (F 5 3) nilpotent vom Typ (3, 2). Wieviele N-Basen von F 5 3 gibt es? (Erinnerung: (v 1, v 2 ) bilden eine N-Basis des Vektorraumes F 5 3, wenn N 3 (v 1 ) = 0 = N 2 (v 2 ) gilt und {N 2 (v 1 ), N(v 1 ), v 1, N(v 2 ), v 2 } eine Basis von F 5 3 ist.) Abgabe: Bis Mittwoch, 25. April 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

4 Aufgabe 4.1. Geben Sie eine Basis B des Q-Vektorraumes Q 4 an, so dass der bezüglich der Standardbasis durch gegebene Endomorphismus bezüglich B eine Jordansche Normalform hat. Aufgabe 4.2. Sei ϕ End K (V ) ein Endomorphismus eines Vektorraumes V von endlicher Dimension. Zeigen Sie die folgende Äquivalenz: r ϕ ist diagonalisierbar MinPol(ϕ, t) = (t λ i ) mit λ i λ j für i j Aufgabe 4.3. Berechnen des Exponentials einer Matrix Sei A Mat(n n, C) gegeben. Beweisen Sie die folgenden Aussagen. (i) Gilt A = B 1 C B für B GL n (C) und C Mat(n n, C), so gilt die Matrizengleichung exp(a) = B 1 exp(c) B. Gilt A = B + C für Matrizen B, C Mat(n n, C) mit B C = C B, so gilt exp(a) = exp(b) exp(c). ( ) 2πi 1 Nutzen Sie nun (i) und, um exp π 2 zu berechnen. 0 Hinweis: Da es sich hier um einen Lineare Algebra Übungszettel handelt, dürfen Sie annehmen, dass alle Summen absolut konvergieren. Aufgabe 4.4. Sei ϕ ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums V. Ferner sei ein Vektor v V gegeben. (Das Minimalpolynom MinPol(ϕ, v, t) wird in Aufgabe 2.2 definiert. Die Aussagen aus dieser Aufgabe 2.2 sind durchaus hilfreich!) (i) Beweisen Sie, dass das MinPol(ϕ, v, t) ein Teiler von MinPol(ϕ, t) ist. Zeigen Sie: Ist span(v) ϕ = V, dann ist das charakterische Polynom ( 1) dim(v ) det(ϕ t id V ) gleich dem Minimalpolynom MinPol(ϕ, t) von ϕ. (iii) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der Begleitmatrix A(a 1, a 2,..., a n ) aus Aufgabe 1.1. Abgabe: Bis Mittwoch, 2. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89. i=1

5 Aufgabe 5.1. Geben Sie eine Basis B des C 5, so dass die durch gegebene Abbildung bezüglich B Jordansche Normalform hat. Aufgabe 5.2. Sei eine Matrix A Mat(3 3, C) gegeben. Beweisen Sie, dass sich aus dem charakteristischen Polynom und dem Minimalpolynom von A die Jordansche Normalform ablesen läßt. Begründen Sie ferner, warum diese Ausage für 4 4 Matrizen nicht stimmt. Aufgabe 5.3. Invariante Unterräume Seien ein K-Vektorraum V und ein ϕ End K (V ) gegeben. Ein Unterraum U V heißt ϕ-invariant, wenn ϕ(u) U gilt. (i) Bestimmen Sie alle invarianten Unterraume von C 2 für (iii) ϕ 1 = ( ) und ϕ 2 = ( Hinweis: Vergessen Sie nicht die offensichtlichen Unterräume! Sei U V ein ϕ-invarianter Unterraum. Zeigen Sie, dass es auf dem Quotientenraum V := V/U mit kanonischer Surjektion π : V V (ist π die kanonische Surjektion, so gilt π(v) = v + U) einen eindeutig bestimmten Endomorphismus ϕ End K ( V ) gibt, so dass π ϕ = ϕ π gilt. Sei U V ein ϕ-invarianter Unterraum. Wir bezeichnen mit ϕ U End K (U) die Einschränkung von ϕ auf U und mit ϕ End K ( V ) den Endomorphismus aus Teil. Gilt die folgende Aussage? Sind ϕ U und ϕ diagonalisierbar, so ist auch ϕ diagonalisierbar. Begründen Sie Ihre Entscheidung! Aufgabe 5.4. Zeigen Sie, dass es unendlich viele verschiedene Funktionen f : R R gibt, die die Bedingungen f(1) = 1 und f(a + b) = f(a) + f(b) für alle a, b R erfüllen. Hinweis: Sie könnten die Aufgabe in die folgenden Teilaufgaben zerlegen: (i) Zeigen Sie dass eine Funktion f : R R mit f(a + b) = f(a) + f(b) für alle a, b R eine Q-lineare Abbildung ist. Zeigen Sie, unter der Annahme des Zornschen Lemmas, dass es unendlich viele solcher Funktion f mit f(1) = 1 gibt. Abgabe: Bis Mittwoch, 9. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89. ).

6 Aufgabe 6.1. Sei V ein fünfdimensionaler Q-Vektorraum mit zwei Basen A und B. Die Basiswechselmatrix TB A sei durch TB A = gegeben. Berechnen Sie die Basiswechselmatrix T B A der dualen Basen! Aufgabe 6.2. Lineare Gleichungssysteme und der Dualraum Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und {f 1, f 2,..., f m } V eine endliche Teilmenge. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen: (i) Für alle Vektoren (λ 1,..., λ m ) t K m existiert ein v V mit f i (v) = λ i für alle i = 1,..., m. Die Teilmenge {f 1, f 2,..., f m } V ist linear unabhängig. Hinweis: Betrachten Sie die K-lineare Abbildung f : V K m mit v (f 1 (v),..., f m (v)). Aufgabe 6.3. Sei V = R[x] 3 der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad 3. Wir bezeichnen mit ev λ die Auswertungsabbildung: f(x) R[x] 3 f(λ) R. Insbesondere ist ev λ V. (i) Zeigen Sie, dass {ev 0, ev 1, ev 2, ev 3 } eine Basis von V ist. Zeigen Sie, dass die Abbildung I : f(x) 3 f(x)dx in V liegt. 0 (iii) Schreiben Sie I als Linearkombination von {ev i } i=0,...,3 d.h. geben Sie reelle Zahlen a 0,..., a 3 an, so dass für jedes f(x) V gilt: 3 f(x)dx = 3 0 i=0 a if(i). Aufgabe 6.4. Seien U, V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Ferner seien lineare Abbildungen ϕ Hom K (U, V ) und ψ Hom K (V, W ) gegeben. Wir sagen, dass eine kurze exakte Sequenz ist, wenn - ϕ injektiv ist, - ψ surjektiv ist und - ker(ψ) = im(ϕ) gilt. Zeigen Sie die Äquivalenz: 0 U ϕ V ψ W 0 0 U ϕ V ψ W 0 ist kurze exakte Sequenz 0 W ψ V ϕ U 0 ist kurze exakte Sequenz. Abgabe: Bis Mittwoch, 16. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

7 Aufgabe 7.1. Entscheiden Sie für jede der Teilaufgaben (0) (3), ob die angegebene Abbildung b eine Bilinearform ist. Wenn dies der Fall sein sollte, so stellen Sie die Bilinearform b als Summe b = s + a einer symmetrischen und einer alternierenden Bilinearform dar! (( ) ( )) a b (0) V = K 2 b 0, = ab + bc + 3ad + 2cd c d (1) V = K 2 b 1 (( a c ) ( b, d )) = ab + c + d (2) V = K[x] b 2 (f(x), g(x)) = f(0) g (0) g ist die Ableitung von g (3) V = End K (W ) b 3 (ϕ, ψ) = tr(ϕ ψ) tr(α) ist die Spur von α dim K (W ) < (In dem Köper K in dieser Aufgabe gelte 2 0.) Aufgabe 7.2. Sei V = R[x] 2 der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad 2. Wir bezeichnen mit ev 1 die Auswertungsabbildung: f(x) R[x] 2 f( 1) R. (i) (iii) Zeigen Sie, dass die Bilinearform s : V V R (f(x), g(x)) 1 0 f(x)g(x)dx nicht ausgeartet ist. Geben Sie die Gramsche Matrix M {1,x,x 2 }(s) an! Geben Sie ferner ein Element g(x) V, an welches ev 1 (f(x)) = s(f(x), g(x)) erfüllt. Mit anderen Worten: Gesucht ist ein g(x) V, welches die Gleichung f( 1) = 1 0 f(x)g(x)dx für alle f(x) V erfüllt. Aufgabe 7.3. Zeigen Sie, dass jede alternierende Bilinearform a BLF C (C 3 ) ausgeartet ist. Aufgabe 7.4. Sei V ein K-Vektorraum und s BLF K (V ) eine symmetrische Bilinearform. Wir betrachten den Unterraum W = {v 2 V s(v 1, v 2 ) = 0 für alle v 1 V }. Die kanonische Abbildung V V/W bezeichnen wir mit π. Zeigen Sie, dass genau eine nicht ausgearteten Bilinearform s BLF K (V/W ) existiert, so dass für alle v 1, v 2 V die Gleichung s(v 1, v 2 ) = s(π(v 1 ), π(v 2 )) gilt. Abgabe: Bis Mittwoch, 23. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

8 Aufgabe 8.1. Eigenschaften des Winkels und Satz des Pythagoras Sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Wir definieren den Winkel ) (v 1, v 2 ) zwischen den Vektoren v 1, v 2 V \ {0} durch (v 1, v 2 ) := arccos [0, π]. Zeigen Sie, die folgenden Eigenschaften des Winkels: (i) (v 1, v 2 ) = 0 v 1 = λv 2 für ein λ R >0 (v 1, v 2 ) = π v 1 = λv 2 für ein λ R <0 (iii) Es gilt (v 1, v 2 ) = (v 2, v 1 ) (iv) Für alle λ 1, λ 2 R >0 gilt (v 1, v 2 ) = (λ 1 v 1, λ 2 v 2 ). ( v1,v 2 v 1 v 2 (v) Es gilt (v 1, v 2 ) + ( v 1, v 2 ) = π (vi) v 1 v 2 2 = v v v 1 v 2 cos( (v 1, v 2 )). (vii) Erklären Sie, warum (vi) den Satz des Pythagoras impliziert. Tipp: Sie dürfen das Additionstheorem für den Kosinus benutzen. Aufgabe 8.2. Sei V = R[x] 2 der euklidische Vektorraum der Polynome vom Grad 2 mit der Bilinearform (i) s : V V R (f(x), g(x)) 1 0 f(x)g(x)dx Konstruieren Sie, mittels des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens, aus der Basis {1, x, x 2 } eine orthonormale Basis von V! Geben Sie den Abstand d(x 2, span(1, x)) des Vektors x 2 zu dem von 1 und x aufgespannten Unterrraum an! Aufgabe 8.3. Auf dem reellen Vektorraum R 3 mit Standardbasis {e 1, e 2, e 3 } sei eine Bilinearform s durch ihre Gramsche Matrix M {e1,e 2,e 3 }(s) := gegeben (i) Zeigen Sie, dass (R 3, s) ein euklidischer Vektorraum ist. Geben Sie eine Orthogonalbasis von (R 3, s) an! Aufgabe 8.4. Sei W V ein Unterraum eines euklidischen Vektoraumes endlicher Dimension. Wie üblich, bezeichnen wir mit W V das orthogonale Komplement zu W in V. Zeigen Sie, dass die Komposition π ι der linearen Abbildungen ein Isomorphismus ist. W ι V π V/W Abgabe: Bis Mittwoch, 30. Mai 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

9 Aufgabe 9.1. Sei V = R[x] 2 der euklidische Vektorraum der Polynome vom Grad 2 mit der Bilinearform s : V V R (f(x), g(x)) 1 0 f(x)g(x)dx Wir betrachten den Ableitungsendomorphismus ϕ = : V V mit f f. x (i) Geben Sie die adjungierte Abbildung ϕ von ϕ bezüglich s an! Gibt es ein euklidisches Skalarprodukt s auf V (das heißt, eine symmetrische und positive definite Bilinearform s BLF R (V )), so dass ϕ bezüglich s selbstadjungiert ist? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 9.2. Seien (V,, ) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, sowie ein ϕ End R (V ) gegeben. Wir bezeichnen mit W = im(ϕ) das Bild von ϕ. Sei v V gegeben, dann nennen wir einen Vektor v v + W minimal, wenn d(v, 0) = d(v, W ) gilt. (Zur Erinnerung: d(v, W ) = min w W { v w }.) (i) Zeigen Sie, dass es genau einen minimalen Vektoren v v + W gibt! Zeigen Sie die Äquivalenz v ist minimal ϕ v = 0. Aufgabe 9.3. Die orthogonale Gruppe O(3) Sei ϕ O(3) gegeben. Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis B, des E 3 gibt mit MB B (ϕ) = ± ±1 0 oder MB B (ϕ) = ± cos(α) sin(α). 0 0 ±1 0 sin(α) cos(α) Hinweis: Zeigen Sie zunächst (Zwischenwertsatz), dass ϕ einen Eigenvektor v E 3 mit reellem Eigenwert hat. Betrachten Sie nun span(v) und wenden Ihr Wissen (Vorlesung vom 21. Mai) über O(2) an. Aufgabe 9.4. Spiegelungen Sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum endlicher Dimension. Für einen Vektor v V mit v = 1 definieren wir die Abbildung s v : V V durch s v (w) = w 2 v, w v. (i) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung s v eine euklidische Abbildung ist. Zeigen Sie, dass s v eine Spiegelung ist, das heißt es existiert eine Orthonormalbasis B = {v 1, v 2,..., v n } von V mit s v (v 1 ) = v 1 und s v (v i ) = v i für alle i = 2,..., n. (iii) Zeigen Sie, dass jedes ϕ SO(3) sich als Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen schreiben läßt. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass jede Abbildung aus O(2) sich als Hintereinanderausführung von Spiegelungen schreiben läßt. Abgabe: Bis Mittwoch, 6. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

10 Aufgabe Sei V ein komplexer Vektorraum mit Basis B = {v 1, v 2,..., v n }. Die Sesquilinearform s Sesqui(V ) sei durch ihre Gramsche Matrix B = M B (s) gegeben. Zeigen Sie die Äquivalenz: s ist hermitesch B t = B. Aufgabe Sei V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform s Sesqui(V ). (i) Zeigen Sie die folgende Aussage: Gilt s(v, v) > 0 für einen Vektor v V, so besitzt V eine Basis B = {v 1,(..., v n )} mit ( s(v ) i, v i ) > 0 für i = 1,..., n. Geben Sie für V = C 2 x1 y1 mit s(, ) = x x 2 y 1 ȳ 2 + x 2 ȳ 1 drei Basen B 1, 2 B 0 und B 1 so an, dass für alle Basisvektoren v ij B i gilt: s(v ij, v ij ) = i. Aufgabe Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung Sei (V,, ) ein unitärer Vektorraum und {v 1,..., v n } eine Teilmenge von Vektoren mit v i, v j = δ i,j. (Eine solche Teilmenge nennen wir auch orthonormales System.) (i) Weisen Sie nach, dass für alle v V gilt: n v 2 v i, v 2. Zeigen Sie für alle v V die Äquivalenz: n v 2 = v i, v 2 v span({v 1,..., v n }). i=1 Hinweis: Schreiben Sie v als Summe von zwei Vektoren v = v 1 + v 2, wobei v 1 aus dem von {v 1,..., v n } aufgespannten Unterraum ist und v 2 orthogonal zu diesem Unterraum ist. Aufgabe Wir betrachten den komplexen Vektorraum V = C([0, 2π], C) der stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem kompakten Interval [0, 2π]. (i) Zeigen Sie, dass V mit der Sesquilinearform f, g = 1 2π f(t) g(t)dt ein 2π 0 unitärer Vektorraum ist. Wir definieren für eine ganze Zahl k die Funktion f k (x) = exp(ikx). Zeigen Sie, dass f k, f l = δ k,l gilt. (iii) Wir betrachten die Funktion g(x) = x. Berechnen Sie das Längenquadrat g 2 = g, g, sowie die Skalarprodukte f k, g für alle k Z. (iv) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n der Vektor g nicht im von {f k } k= n,...,n aufgespannten Unterraum liegt. Folgern Sie, mittels der Ungleichung aus Aufgabe 10.3, dass für alle natürlichen Zahlen n die Ungleichung n 1 k=1 < π2 gilt. k 2 6 Hinweis 1: Beachten Sie: f k ist 2π-perodisch. Hinweis 2: es gilt für alle x [0, 2π], dass f k (x) = f k (x) ist. Hinweis 3: Sie dürfen die folgenden Stammfunktionen (für a C ) benutzen: exp(ax)dx = 1 a exp(ax) und exp(ax)xdx = 1 a exp(ax)x 1 a 2 exp(ax). i=1 Abgabe: Bis Mittwoch, 13. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

11 Aufgabe Gärtnerkonstruktion einer Ellipse Geben Sie eine symmetrische Bilinearform s BLF R (E 2 ) so an, dass { ( ) ( ) v E 2 mit 3 v v = 10} = { v E 0 2 mit s(v, v) = 1 }. (Die Norm v eines Vektors v ist die Norm bezüglich des Standardskalarprodukts!) Skizzieren Sie anschließend mit Hilfe eines 10 cm langen Fadens, zweier Stecknadeln und eines spitzen Bleistifts diese Menge! Aufgabe Wir betrachten die symmetrische Bilinearform s BLF R (R 3 ), die bezüglich der Standardbasis B die Gramsche Matrix M B (s) = besitzt (i) (iii) Geben Sie eine Basis B so an, dass M B (s) eine Diagonalmatrix ist! Geben Sie eine Zerlegung R 3 = V + (s) V (s) an. Dabei soll s auf dem Unterraum V + (s) (bzw. V (s)) positiv (bzw. negativ) definit sein. Geben Sie alle Unterräume V + (s) an, auf denen s positiv definit ist und deren Dimension rk + (s) ist. Erinnering: rk + (s) ist die maximale Dimension eines Unterraumes V R 3 mit s V ist positiv definit. Aufgabe Sei s BLF R (R n ) eine symmetrische Bilinearform. Wir definieren den Nullkegel NK(s) := {v R n mit s(v, v) = 0}. Zeigen Sie die Äquivalenz NK(s) R n ist Untervektorraum rk + (s) rk (s) = 0. Aufgabe Der Satz von Jacobi Seien V n-dimesionaler R-Vektorraum und s BLF R (V ) eine symmetrische Bilinearform mit Gramscher Matrix M B (s) = (a i,j ) i,j=1,...,n Mat(n n, R) bezüglich einer Basis B. Für ( k = 1, )..., n definieren wir die Matrizen A k := (a i,j ) i,j=1,...,k. (A 1 = (a 11 ), A 2 = a11 a 12,...) a 21 a 22 Annahme: Es gelte det(a k ) 0 für alle k = 1,..., n. Behauptung: Dann gilt rk 0 (s) = 0 und rk (s) ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Zahlenfolge 1, det(a 1 ), det(a 2 ),..., det(a n ). (i) Zeigen Sie, dass unter obigen Annahme rk 0 (s) = 0 gilt. Zeigen Sie, dass die Aussage gilt wenn A eine Diagonalmatrix ist. (iii) Nehmen Sie an, die Aussage gelte für (n 1)-dimensionale R-Vektorräume. Dann gilt die Behauptung, wenn a 1,j = 0 für alle j = 2, 3,..., n. (iv) Beenden Sie den Beweis (beispielsweise durch Ausnutzen des Verfahrens von Gram-Schmidt)! Abgabe: Bis Mittwoch, 20. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

12 Aufgabe Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Wir betrachten die folgende Abbildung (i) (iii) ϕ : V W Hom K (V, W ) (f, w) f w mit f w (v) = f(v) w. Zeigen Sie, dass ϕ bilinear ist. Zeigen Sie, dass ϕ eine lineare Abbildung ψ : V K W Hom K (V, W ) mit ϕ = ψ Φ V,W induziert. (Erinnerung: Φ V,W war die bilineare Abbildung Φ V,W : V W V K W aus der Vorlesung.) Zeigen Sie, dass ψ ein Isomorphismus ist! Aufgabe Wir betrachten die dreidimesionalen R-Vektorräume V = R[t] 2 und W = R 3. Ferner die lineare Abbildung α : V W mit f(t) f(0) f(1). Wie wir in Aufgabe f(2) 12.1 sahen, existiert ein α V K W mit ψ( α) = α. Sei {f 0, f 1, f 2 } die duale Basis zur V -Basis {1, x, x 2 } und {e 1, e 2, e 3 } die Standardbasis von W. (i) Geben Sie reelle Zahlen {µ i,j } i=0,1,2 j=1,2,3 so an, dass α = 2 3 i=0 j=1 µ i,jf i e j gilt. Gibt es Vektoren g V und w W mit α = g w? Geben Sie diese Vektoren an, oder begründen Sie, warum sie nicht existieren! (iii) Gibt es Vektoren g 1, g 2 V und w 1, w 2 W mit α = g 1 w 1 + g 2 w 2? Geben Sie diese Vektoren an, oder begründen Sie, warum sie nicht existieren! Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume und {v i } i I und {w j } j J zwei linear unabhängige Teilmengen von V und W. (i) Zeigen Sie, dass {u i w j } i I, j J V K W eine linear unabhängige Teilmenge ist! Folgern Sie: v w = 0 in V K W v = 0 oder w = 0. Aufgabe Eine erstaunliche Anwendung von Tensorprodukten Sie sollen den folgenden Satz beweisen: Ein Rechteck mit den Kantenlängen a und b wird in n kleinere Rechtecke mit den Kantenlängen a i und b i zerlegt. Für jedes i = 1... n gilt: a i oder b i ist rational. Zeigen Sie, dass a oder b rational sind. Hinweis 1: Zeigen Sie, dass in R Q R die Gleichung a b = n i=1 a i b i gilt. Hinweis 2: Betrachten Sie R = R/Q und die Abbildung α : R Q R R Q R. Hinweis 3: Zeigen Sie, dass α(a b) = 0 und nutzen Sie aus. Abgabe: Bis Mittwoch, 27. Juni 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.

13 Aufgabe Das Kronecker-Produkt zweier Matrizen Wir betrachten zwei zweidimenionale Vektorräume V und W mit Basen A = {v 1, v 2 } und B = {w 1, w 2 }, sowie zwei Endomorphismen ϕ End K (V ) und ψ End K (W ), die durch ( ) ( ) a b A B MA A (ϕ) = und M c d B B (ψ) = C D gegeben seien. Geben Sie die lineare Abbildung ϕ ψ bezüglich der Basis C = {v 1 w 1, v 1 w 2, v 2 w 1, v 2 w 2 } von V W an! Aufgabe Sei 2 0 in K. (i) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung sym : V K V V K V mit sym(v 1 v 2 ) = 1(v 2 1 v 2 + v 2 v 1 ) gibt! Zeigen Sie, dass sym(v 1 v 2 ) = sym(v 2 v 1 ). (iii) Beweisen Sie, dass sym sym = sym gilt! (iv) Geben Sie den Kern von sym an und zeigen Sie im(sym) = Sym 2 K(V ). Aufgabe Scherenkongruenz Ein Polyeder im E n ist eine beschränkte Teilmenge P E n die durch endlich viele lineare Ungleichungen x, a i b i gegeben ist, wobei a i E n Vektoren der Länge a i = 1 und die b i reelle Zahlen sind. Das heißt P = {x E n mit x, a i b i für i = 1,..., N}. Eine Hyperebene H = H(a, b) ist eine Menge vom Typ H(a, b) = {x E n mit x, a = b}, wobei auch hier a E n ein vorgegebener Vektor mit a = 1 und die b R eine fixierte reelle Zahl ist. Eine Hyperebene H(a, b) zerlegt ein Polyeder P in zwei Polyder P = P P + mit P = {x E n mit x, a b und x, a i b i für i = 1,..., N} sowie P + = {x E n mit x, a b und x, a i b i für i = 1,..., N}. Zwei Polyeder nennen wir kongruent, wenn Sie bis auf Verschiebung durch eine orthogonale Abbildung aufeinander abgebildet werden. Das heißt: P 1 = P2 es gibt ein ϕ O(n) und ein a E n mit P 2 = ϕ(p 1 ) + a. Zwei Polyeder heißen scherenkongruent, wenn sie durch endlich viele Hyperebenen in kongruente Polyder zerlegt werden können. (i) Zeigen Sie, dass die Kongruenz von Polyedern eine Äquivalenzrelation ist! Zeigen Sie, dass die Scherenkongruenz von Polyedern eine Äquivalenzrelation ist! (iii) Zeigen Sie, dass zwei Polyeder im E 2 genau dann scherenkongruent sind, wenn ihre Flächeninhalte übereinstimmen. Hinweis 1: Zeigen Sie, dass jedes Polyeder mit n Ecken zu n 2 Dreiecken scherenkongruent ist. Hinweis 2: Zeigen Sie, dass jedes Dreieck zu einem Parallelogramm scherenkongruent ist. Hinweis 3: Zeigen Sie, dass jedes Parallelogramm zu einem Parallelogramm mit einer vorgegebenen Seitenlänge scherenkongruent ist. Hinweis 4: Zeigen Sie, dass jedes Parallelogramm mit einer vorgegebenen Seitenlänge zu einem Rechteck mit einer vorgegebenen Seitenlänge scherenkon-

14 Aufgabe Zeigen Sie, dass ein Würfel und ein Tetraeder im E 3 nicht scherenäquivalent sind! Sie können den Beweis entlang der folgenden Hinweise führen: Hinweis 1: Der Kantenwinkel ϕ(e) eines Polyders P entlang seiner Kante e, die in den durch x, a 1 = b 1 und x, a 2 = b 2 gegebenen Begrenzungsflächen des Polyeder enthalten ist, ist durch arccos( a 1, a 2 ) gegeben. Hinweis 2: Die Dehn-Invariante eine Polyeders P ist durch D(P ) = e ϕ(e) R Q (R/(π Q)) e gegeben. Dabei erfolgt die Summation über alle Kanten des Polyeders. Hinweis 3: Die Summe der Dehn-Invarianten ändert sich bei der Zerlegung von Polyedern durch Hyperebenen nicht. Hinweis 4: Berechnen Sie die Dehn-Invariante eines Würfels. Hinweis 5: Berechnen Sie die Dehn-Invariante eines Tetraeders. (Zum Beispiel das mit den Ecken 0, 1 1, 1 0, ). Hinweis 6: Sie dürfen die Formel V = 2 12 a3 für das Volumen V eines Tetraeders mit der Seitenlänge a benutzen. Hinweis 7: Sie dürfen das Ergebnis der Algebra-Übungsgabe unten benutzen. Hinweis 8: congruence Aufgabe Es gelte cos(α) = 1. Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl r Q mit 3 α = r π gibt. Hinweis: Sie könnten den Beweis mittels folgender Strategie führen: 1. Wir nehmen an, es gelte α = r π für ein r Q. 2. Zeigen Sie, dass dann die Folge a : m a m := cos(2 m α) nur endlich viele Werte annimmt. 3. Die Folge a ist durch a 0 = 1 und a 3 n+1 = 2a 2 n 1 gegeben. (Additionstheorem des Kosinus) 4. Ist a n = b mit nicht durch drei teilbaren ganzen Zahlen b und c, so ist 3k c a n+1 = B mit nicht durch drei teilbaren ganzen Zahlen B und C. 32k C 5. Folgern Sie aus 4. einen Widerspruch zu 2. Abgabe: Bis Mittwoch, 4. Juli 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.