Boolesche Algebra. Ein algebraischer Ansatz - konsequent verfolgt. Studie

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1 Ein algebraischer Ansatz - konsequent verfolgt Studie Autor: Helmut Vetter Ort, Datum: Arlesheim,

2 Diese Arbeit wurde mit TexLive erstellt. Boolesche Algebra Ein algebraischer Ansatz - konsequent verfolgt Autor Vetter, Helmut Schillerweg 2 CH-444 Arlesheim helmut.vetter@fhnw.ch Auftraggeberschaft Fachhochschule für Wirtschaft Tanner, Christian Arlesheim, September 24 Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter i

3 Ehrenwörtliche Erklärung Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne Benutzung anderer als der im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe. Die wörtlich oder inhaltlich den im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen und Hilfsmitteln entnommenen Stellen sind in der Arbeit als Zitat bzw. Paraphrase kenntlich gemacht. Diese Arbeit ist noch nicht veröffentlicht worden. Sie ist somit weder anderen Interessenten zugänglich gemacht noch einer anderen Prüfungsbehörde vorgelegt worden. Arlesheim, Helmut Vetter Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter ii

4 Management Summary Steht das Symbol x für weisse Dinge, y für Schafe, so bedeutet xy weisse Schafe. y xy sind die Schafe, die nicht weisse Schafe sind. Dies ist dasselbe wie y x die Schafe, die nicht weiss sind. Aufgrund solcher Formalisierung hat George Boole 854 gezeigt, dass man in der Logik - ähnlich wie mit Zahlen - rechnen kann. Ausgehend von einem Axiomensystem sollen in dieser Arbeit die Rechengesetze der Booleschen Algebra hergeleitet werden. Im Anhang wird gezeigt dass die Aussagenlogik und die Mengenlehre diesem Axiomensystem genügen und folgerichtig die Rechengesetze der Booleschen Algebra für diese gelten. Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter iii

5 Inhaltsverzeichnis Problemstellung 2 Aussagenlogik 3 Mengenlehre 2 4 Formale Definition einer Booleschen Algebra 2 5 Identitäten in einer Booleschen Algebra 3 6 Weitere Operationen 6 7 Boolesche Ringe 7 8 Anhang 8. Aussagenlogik Definitionen der Operationen OR oder, +, AND und,, NOT nicht, via Wahrheitstafel 8..2 Nachweis der Axiome K bis I2 für die Aussagenlogik Mengenlehre Definitionen der Operationen Vereinigung +, Schnitt, Komplement via Venndiagramm Nachweis der Axiome K bis I2 für die Mengenlehre Literaturverzeichnis 3 Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter iv

6 Problemstellung George Boole zeigte vor rund 6 Jahren, dass man mit Aussagen - ähnlich wie mit Zahlen - rechnen kann. Hier soll dies in kompakter Form dargestellt werden. Der axiomatische Aufbau folgt dem Buch von G. Whitesitt Boolesche Algebra und ihre Anwendungen. Aufgebaut wird das System in den Kapiteln 4 und 5 auf der Konjunktion und, hier: der Disjunktion oder, hier: + und der Negation nicht, hier:. Die Konstante steht für die Tautologie, für die Kontradiktion. In Anhang Kapitel 8 wird die Gültigkeit der Axiome Definition für Aussagenlogik und Mengenlehre gezeigt. In Kapitel 6 erfolgt die Definition weiterer zweistelliger Operationen und eine Übersicht über die verwendeten Symbole in der Aussagenlogik, der Mengenlehre und der Informatik. In Kapitel 7 wird der Anschluss an die Theorie der Ringe hergestellt. 2 Aussagenlogik Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem objektiv festgestellt werden kann, ob es wahr w bzw. oder falsch f bzw. ist. Man spricht von der Eigenschaft der Zweiwertigkeit. Die Aussagenlogik definiert wie sich die Wahrheitswerte bei der Verknüpfung zweier Aussagen mittels den Partikeln und and bzw., oder or bzw. und nicht not bzw. zu einer neuen Aussage verhalten. Formal besteht somit die Aussagenlogik aus der Menge {, } mit auf ihr definierten Operationen 2a und : {, } 2 {, }, via x, y x y 2b oder : {, } 2 {, }, via x, y x y 2c nicht : {, } {, }, via x x Die Wirkungsweise der Operationen können wie beim x der Zahlen in Wertetabellen dargestellt werden... oder a b a b Damit ist alles definiert! und a b a b nicht a a Wie in der Standardalgebra können Terme in äquivalente gleichwertige Terme umformt werden Beispiel Standardalgebra: x + y x + xy. In der Algebra der Aussagenlogik gilt beispielsweise die Identität x x x Wie in der Standardalgebra wird man in der Algebra der Aussagenlogik eine Reihe von Grundgesetzen Axiome deklarieren, auf deren Basis man die Umwandlung von Termen in äquivalente Terme nachweisen kann. An unserm Beispiel aus der Standardalgebra sieht die Ableitung der Äquivalenz der beiden Terme x + y und x + xy wie folgt aus: Verwendet werden das Distributivgesetz D ab + c ab + ac; und die Eigenschaft der Zahl als neutrales Element der Multiplikation N a a: Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter von 3

7 x + y D x + xy N x + xy qed. Die formale Definition einer Boolschen Algebra erfolgt in Kapitel 5. Im Anhang Kapitel 8 erfolgt der Nachweis, dass die Algebra der Aussagenlogik die Axiome einer Boolschen Algebra erfüllt, also eine Boolsche Algebra ist. 3 Mengenlehre Die Mengenlehre ist eng verknüpft mit der Aussagenlogik. Formal ist der Zusammenhang folgender... Gegeben sei eine Grundmenge Ω. Grundlegend ist die Bijektion f : Pot Ω {, } Ω, die jeder Teilmenge von Ω den Vektor in {, } Ω zuordnet, der genau an den Stellen x eine hat, für die gilt x Ω. Beispiel: Ω : {, 2, 3}. Für die Teilmenge {, 3} ist f{, 3} Teilmenge {, 2, 3} ist f{, 2, 3} usw. ; für die Teilmenge {} ist f{} ; für die Die Operationen der Aussagenlogik lassen sich durch komponentenweises Anwenden von der Menge {, } auf die Menge {, } Ω übertragen. Beispiel:, Auf diese Weise überträgt sich die Eigenschaft eine Boolsche Algebra zu sein, von der Aussagenlogik auf jedes {, } Ω und, wie nachfolgend gezeigt auf die Mengenalgebra der Teilmengen von Ω. Definition der Operationen zwischen Teilmengen von Ω via die Bijektion f : Pot Ω {, } Ω : Schnittmenge: A B f fa fb Vereinigungsmenge: A B f fa fb Komplement: A f fa. 4 Formale Definition einer Booleschen Algebra Gegeben ist eine Menge R und auf dieser zwei zweistellige Operationen s bzw. + und m bzw. : s : a, b sa, b : a + b und m : a, b ma, b : a b : ab zudem eine einstellige Operation i bzw. i : a ia : a und zwei Konstanten. Man spricht kurz von der Struktur R,, +,,, Konventionen: Statt ma, b schreibt man a b oder kürzer ab. Statt sa, b schreibt man a + b. Statt ia schreibt man a. Diese Kurzschriften machen eine Rangfolge der Operationen sinnvoll, um Klammern zu sparen: hat den Vorrang vor und + beim Zugriff auf ein Argument. hat den Vorrang vor + beim Zugriff auf ein Argument. Greift von beiden Seiten dieselbe Operation auf ein Argument zu, so hat die weiter links stehende Operation den Vorrang vor der weiter rechts stehenden. Beispiel Im Term a + b c hat somit beim Zugriff auf c die Operation den Vorrang vor der Operation ; und beim Zugriff auf b die Operation den Vorrang vor der Operation +. Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 2 von 3

8 Dies liesse sich explizit mit Klammern schreiben als a + b c Definition Boolesche Algebra R, +,,,, Es sollen folgende Axiome K. bis I.2 gelten: 2 K a + b b + a ab ba D a + bc a + ba + c ab + c ab + ac N a + a a a I a + a aa Bemerkung Aussagenlogik Via Wahrheitstafeln lässt sich zeigen, dass diese Axiome Definition für die Aussagenlogik gelten, wenn man + als, als, als interpretiert. Siehe Anhang im Kapitel 8. Bemerkung Mengenlehre Via Kapitel 3 oder via Venndiagramme gemäss anhang im Kapitel 8 lässt sich zeigen, dass diese Axiome Definition für die Mengenlehre gelten, wenn man + als Vereinigung, als Schnitt, als Komplement interpretiert. 5 Identitäten in einer Booleschen Algebra Es werden jetzt eine Reihe von Identitäten aus den Axiomen Definition hergeleitet. Die Gesetze treten jeweils paarweise auf, was sich schlussendlich im Dualitätsprinzip Satz 2 zusammenfassen lässt. Satz 2 S a + a a aa a Beweis S.: a N. a + I.2 a + aa D. a + aa + a I. a + a N.2 a + a qed. S.2: a N.2 a I. aa + a D.2 aa + aa I.2 aa + N. aa qed. Satz 2 2 S2 a + a Beweis 2 S2.: I. a + a N.2 a + a D. a + a a + I. a + K.2 a + N.2 a + qed. S2.2: I.2 aa N. aa + D.2 aa + a I.2 + a K. a + N. a qed. Satz 3 2 S3 a + ax a aa + x a Beweis 3 S3.: a N.2 a S2. ax + D.2 ax + a N.2 ax + a K. a + ax qed. S3.2: a N. a + S2.2 a + x D. a + xa + N. a + xa K.2 aa + x qed. Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 3 von 3

9 Satz 4 S4 Gilt a + x und ax, dann ist x a Beweis 4 S4: a N.2 a Vor a a + x D.2 a a + a x K.2 aa + a x I.2 + a x Vor ax + a x K.2 xa + xa D.2 xa + a I. x N.2 x qed. Satz 5 2 S5 ax + a x x a+xa +xx Beweis 5 S5.: x N.2 x I. xa + a D.2 xa + xa K.2 ax + a x qed. S5.2: x N. x + I.2 x + aa D. x + ax + a K. a + xa + x qed. Satz 6 Assoziativgesetze 2 S6A a + b + c a + b + c abc abc Beweis 6 H: aa + b + c aa + b + c Beweis H: aa + b + c D.2 aa + b + ac S3.2 a + ac S3. a N. a + S2.2 a + b + c D. a + b + ca + N. a + b + ca K.2 aa + b + c qed. H2: a a + b + c a a + b + c Beweis H2: a a + b + c D.2 a a + b + a c D.2 a a + a b + a c K.2 aa + a b + a c I.2 + a b + a c K. a b + + a c N. a b + a c D.2 a b + c N. a b + c + K. + a b + c I.2 aa + a b + c K.2 a a + a b + c D.2 a a + b + c qed. S6.: a + b + c S5. aa + b + c + a a + b + c H./2 aa + b + c + a a + b + c S5. a + b + c qed. H3: a + abc a + abc Beweis H3: a + abc D. a + aba + c S3. aa + c S3.2 a N.2 a S2. abc + K. a + bc D.2 a + abc N.2 a + abc qed. H4: a + abc a + abc Beweis H4: a + abc D. a + aba + c D. a + aa + ba + c K. a + a a + ba + c I. a + ba + c K.2 a + ba + c N.2 a + ba + c D. a + bc N.2 a + bc K.2 a + bc I. a + a a + bc K. a + aa + bc D. a + abc qed. S6.2: abc S5.2 a + abca + abc H.3/4 a + abca + abc S5.2 abc qed. Satz 7 2 S7 Beweis 7 S7.: + K. + N. und N.2 S4 qed. S7.2: + N. und K.2 N.2 S4 qed. Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 4 von 3

10 Satz 8 S8 Beweis 8 a a S8: a + a K. a + a I. und a a K.2 aa I.2 S4 a a qed. Satz 9 demorgan s Gesetze 2 S9 a + b a b ab a + b Beweis 9 S9.: a + b + a b A. a + b + a b D. a + b + a b + b I. a + b + a N.2 a + b + a K. a + a + b A. a + a + b I. + b K. b + S2. und a + ba b K.2 a b a + b D.2 a b a + a b b K.2 b a a + a b b A.2 b a a + a b b K.2 b aa + a bb I.2 b + a S2.2 + N. S4 a b a + b qed. S9.2: ab+a +b A. ab+a +b K. a +ab+b D. a +aa +b+b K. a+a a +b+b I. a +b+b K.2 a + b + b N.2 a + b + b A. a + b + b I. a + S2. und aba + b D.2 aba + abb K.2 baa + abb A.2 baa + abb I.2 b + a S2.2 + N. S4 a + b ab qed. Satz S. Das Resultat einer mehrgliedrigen Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Ausführung der einzelnen Additionen S.2 Das Resultat eines mehrgliedrigen Produkts ist unabhängig von der Reihenfolge der Ausführung der einzelnen Beweis Multiplikationen S.: Beweis durch Induktion nach der Anzahl n der Summanden der Summe. Verankerung: In den Fällen n und n 2 ist nichts zu beweisen. VVoraussetzung: Der Satz sei für n 2 Summanden bewiesen. Jetzt sei eine Summe mit n + 3 Summanden gegeben, mit vorgegebener Ausführreihenfolge der n Additionen. Die letzte Addition S + S 2 V S + S 2 + a n+ A. S + S 2 + a n+ V... a + a 2 + a a n + a n+ liefert also immer dasselbe. qed. S.2: Beweis durch Induktion nach der Anzahl n der Faktoren des Produkts. Verankerung: In den Fällen n und n 2 ist nichts zu beweisen. VVoraussetzung: Der Satz sei für n 2 Faktoren bewiesen. Jetzt sei ein Produkt mit n + 3 Faktoren gegeben, mit vorgegebener Ausführreihenfolge der n Multiplikationen. Das letzte Produkt P P 2 V P P 2a n+ A.2 P P 2a n+ V... a a 2 a 3... a n a n+ liefert also immer dasselbe. qed. Bemerkung: Die Summe S 2 bzw. das Produkt P 2 können dabei auch leer sein. Beachte die Definitionen Leere Summe :, Leeres Produkt :. Satz S. Das Resultat einer mehrgliedrigen Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden S.2 Das Resultat eines mehrgliedrigen Produkts ist unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 5 von 3

11 Beweis S.: Beweis durch Induktion nach der Anzahl n der Summanden der Summe. Verankerung: Im Fall n ist nichts zu beweisen. VVoraussetzung: Der Satz sei für n Summanden bewiesen. Jetzt sei eine Summe mit n + 2 Summanden in beliebiger Reihenfolge gegeben. S S. S + a n+ + S 2 K. S + S 2 + a n+ A. V S + S 2 + a n+... a + a 2 + a a n + a n+ liefert also immer dasselbe. qed. S.2: Beweis durch Induktion nach der Anzahl n der Faktoren des Produkts. Verankerung: Im Fall n ist nichts zu beweisen. VVoraussetzung: Der Satz sei für n Faktoren bewiesen. Jetzt sei ein Produkt mit n + 2 Faktoren in beliebiger Reihenfolge gegeben. P S.2 P a n+ P 2 K.2 P P 2 a n+ A.2 V P P 2 a n+... a a 2 a 3... a n a n+ liefert also immer dasselbe. qed. Bemerkung: Die Summen S oder S 2 bzw. die Produkte P oder P 2 können dabei auch leer sein. Beachte die Definitionen Leere Summe :, Leeres Produkt :. Satz 2 Dualitätsprinzip Die Struktur R, +,,,, geht via j : a a isomorph über in die Struktur R,, +,,, Beweis 2 Dies folgt aus den Aussagen: j ist Bijektion j ist injektiv: Es sei ja jb, dann a S8 a Def ja Vor jb Def b S8 b qed. j ist surjektiv: Es ist a S8 a Def ja qed. ja + b Def a + b S9. a b Def jajb qed. jab Def ab S9.2 a + b Def ja + jb qed. ja Def a Def ja qed. j Def S7. qed. j Def S7.2 qed. 6 Weitere Operationen Definitionen a b : a + b 2 a b : ab + a b 3 a b : ab + a b 4 a b : ab a + b Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 6 von 3

12 Namen und Symbol in Logik und Informatik Programmiersprache C und Mengenlehre: Boolesche Algebra Logik Informatik Mengenlehre a b a b [Konjunktion, AND, und] a&b A B [Schnittmenge] a + b a b [Disjunktion, OR, oder] a b A B [Vereinigungsmenge] a a [Negation, NOT, nicht]!a A [Komplement] a b a b [XOR, entweder oder]!a b A B [Symmetrische Differenz] a b a b [NAND, nicht beide]!a&b A B A B a b a b [Implikation, IF THEN, wenn dann] a < b A B; Resultat ist Ω, genau dann wenn A B [Teilmenge] a b a b [Äquivalenz, genau dann wenn] a b A B A B, Resultat ist Ω, genau dann wenn A B [Gleichheit] Zu den letzten beiden Punkte in der Spalte Mengenlehre beachte man auch die Ausführungen in Kapitel 3. Satz 3 Alle Operationen einer Booleschen Algebra können durch die einzige Operation ausgedrückt werden! Beweis 3 a a Def aa S.2 a qed. 2 a a b b a b Def a b S9.2 a + b S8 a + b qed. 3 a b a b Def ab ab Def ab ab S.2 ab S8 ab qed. 7 Boolesche Ringe Definition Ring Ein Ring R, +,, n,, ist eine Menge mit zwei zweistelligen Operationen + und, einer einstelligen Operation n und zwei Konstanten die den folgenden Axiomen genügt. R, +, n, ist abelsche Gruppe: RK. Kommutativgesetz: a + b b + a RA. Assoziativgesetz: a + b + c a + b + c RN. Neutrales Element : a + a RI. Inverses Element na zu a mit: a + na R,, ist kommutativ und assoziativ mit Eins: RK.2 Kommutativgesetz: a b b a RA.2 Assoziativgesetz: a b c a b c RN.2 Neutrales Element : a a RD Distributivgesetz: a b + c a b + a c Bemerkung: Um die Notationen zu verkürzen schreibt man kurz ab statt a b; und um Klammern zu sparen, regelt man für den Zugriff der Operationen auf ein Element: hat Vorrang vor +. Beispiel: So bedeutet a + bc in expliziter Form a + b c. Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 7 von 3

13 Satz 4 S4. In einem Ring ist das Resultat einer mehrgliedrigen Summe unabhängig von der Reihenfolge der Summanden S4.2 In einem Ring ist das Resultat eines mehrgliedrigen Podukts unabhängig von der Reihenfolge der Fakoren Beweis 4 Wie bei Satz und. Verwendet wird lediglich das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. qed. Satz 5 In einem Ring gilt für jedes a R, dass a Beweis 5 a + a RD a + RN. a addieren von na auf beiden Seiten ergibt a Definition Vielfache Für ein Element a des Ringes R, +,, n,, und x IN definiert man x a + a, für x xa : x a :, für x a x a, für x a x :, für x Definition Boolescher Ring Eine Boolescher Ring R, +,, n,, ist ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft RB: a 2 a für jedes a R Satz 6 Sei R ein Booleschen Ring. Dann gilt: für jedes a R ist 2a 2 na a 3 jedes endlich erzeugte Ideal in R ist Hauptideal 4 für jedes maximale Ideal m R ist R/m isomorph zu Z/2 Beweis 6 a + RB a + 2 Def a + a + RD a + a + a + RK.2 aa + + a + RN.2 aa + + a + RD a 2 + a + a + RB a + a + a + S4. 3a + addiert man beidseitig na + n, so erhält man 2a qed. 2 na RN. na + na + 2a Def na + a + a RA. na + a + a RK. a + na + a RI. + a RK. a + RN. a qed. 3 Es reicht a, b a + b a + b + ab zu zeigen. Dies erlaubt es, die Anzahl n > der Erzeugenden eines Ideales um eins auf n zu reduzieren. sicher ist a + b + ab a, b. aa + b + ab RD a 2 + ab + a 2 b RB a + ab + ab Def a + 2ab a + RN. a zeigt a a + b + ab ba + b + ab RD ba + b 2 + bab S4.2 ba + b 2 + b 2 a RB ba + b + ba R4. b + 2ba b + RN. b zeigt b a + b + ab qed. 4 K : R/m ist ein Körper mit der Booleschen Eigenschaft! Sei a K, so 2a Def a + a a + a 2 a + a Da ein Körper keine echten Nullteiler hat, ist a oder + a via beidseitiges Addieren von n 2 folgt a. Somit ist a {, } und da a beliebig in K war also K {, }. Jeder Körper mit 2 Elementen ist aber Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 8 von 3

14 isomorph zu Z/2 qed. Satz 7 Eine Boolesche Algebra R, +,,,, ist stets auch Boolescher Ring R,,, n,,. Beweis 7 Definiere: a b : ab + a b Die Operation ist in beiden Strukturen gleich definiert! na : a Jetzt werden die Ringaxiome nachgewiesen: RK.: a b Def ab + a b K. a b + ab K.2 ba + b a Def b a qed. RA. Linke Seite: a b c Def a bc + b c Def abc + b c + a bc + b c S9. abc b c + a bc + b c S9.2 ab + c b + c + a bc + b c S8 ab + cb + c + a bc + b c D.2 ab + cb + b + cc + a bc + a b c K.2 abb + c + c b + c + a bc + a b c D.2 abb + bc + c b + c c + a bc + a b c K.2 abb + bc + b c + cc + a bc + a b c I.2 a + bc + b c + + a bc + a b c K. abc + + b c + + a bc + a b c N. abc + b c + a bc + a b c D.2 abc + ab c + a bc + a b c RA. Rinke Seite: a b c Def ab + a b c Def ab + a bc + ab + a b c S9. ab + a bc + ab a b c S9.2 ab + a bc + a + b a + b c S8 ab + a bc + a + ba + b c D.2 ab + a bc + a + ba + a + bb c K.2 c ab + a b + caa + b + b a + b D.2 c ab + c a b + caa + ab + b a + b b K.2 c ab + c a b + caa + ab + b a + bb I.2 c ab + c a b + c + ab + b a + S. c ab + c a b + cab + b a + + N. c ab + c a b + cab + b a D.2 c ab + c a b + cab + cb a S.2 ab c + a bc + abc + b a c S. abc + ab c + a bc + a b c qed. RN.: a Def a + a S7. a + a N.2 a + a S2.2 a + N. a qed. RI.: a na Def a a Def a a + aa K.2 aa + aa I.2 + N. qed. RK.2: ab K.2 ba qed. RA.2: abc A.2 abc qed. RN.2: a N.2 a qed. RD Linke Seite: ab c Def abc + b c D.2 abc + ab c S.2 abc + ab c RD Rechte Seite: ab ac Def ab ac Def abac + ab ac S9.2 aba + c + a + b ac K.2 aba + c + aca + b D.2 aba + abc + aca + acb S.2 baa + abc + caa + ab c I.2 b + abc + c + ab c S2.2 + abc + + ab c S. abc + ab c + + N. abc + ab c qed. RB: aa S.2 a qed. Satz 8 Eine Boolescher Ring R,,, n,, ist stets auch Boolesche Algebra R, +,,,,. Beweis 8 Definiere: a + b : a b ab Die Operation ist in beiden Strukturen gleich definiert! Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 9 von 3

15 a : a Jetzt werden die Axiome der Booleschen Algebra nachgewiesen: K.: a + b Def a b ab S4. b a ab RK.2 b a ba Def b a qed. K.2: ab RK. ba qed. D. Linke Seite a + bc Def a bc abc D. Rechte Seite a + ba + c Def a b aba c ac RD a b aba a b abc a b abac RK.2 aa b ab ca b ab aca b ab RD aa ab aab ca cb cab aca acb acab S4.2 a 2 ab ac bc a 2 b a 2 c 2abc a 2 bc RB a ab ac bc ab ac 2abc abc S4. a 2ab 2ac bc 3abc S6. a bc abc qed. D.2: Linke Seite ab + c Def ab c bc RD ab ac abc D.2: Rechte Seite ab + ac Def ab ac abac S4.2 ab ac a 2 bc RB ab ac abc qed. N.: a + Def a a S5 a RN. a qed. N.2: a Def a RN a qed. I.: a + a Def a a aa Def a a aa RD a a a 2 a S4. a a a a 2 RN.2 2a a a 2 RB 3a a 4a S6. qed. I.2: aa Def aa RD a 2 a RN.2 a 2 a RB a a 2a S6. qed. 8 Anhang 8. Aussagenlogik 8.. Definitionen der Operationen OR oder, +, AND und,, NOT nicht, via Wahrheitstafel Bemerkung: falsch, wahr. OR + a b a + b AND a b ab NOT a a Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter von 3

16 8..2 Nachweis der Axiome K bis I2 für die Aussagenlogik Axiom K a b a + b b + a Axiom K2 a b ab ba Axiom D a b c bc a + bc a + b a + c a + ba + c Axiom D2 a b c b + c ab + c ab ac ab + ac Axiom N Axiom N2 Axiom I Axiom I2 a a + a a a a a + a a a aa 8.2 Mengenlehre 8.2. Definitionen der Operationen Vereinigung +, Schnitt, Komplement via Venndiagramm Bemerkung: leere Menge, Grundmenge Ω Vereinigung A B A + B Schnitt A B A B Komplement A A Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter von 3

17 8.2.2 Nachweis der Axiome K bis I2 für die Mengenlehre Axiom K A + B B + A Axiom K2 AB BA Axiom D A + BC A + BA + C Axiom D2 AB + C AB + AC Axiom N A + A Axiom N2 A A Axiom I A + A Axiom I2 AA Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 2 von 3

18 Literaturverzeichnis Whitesitt, J. E. 973: Boolesche Algebra und ihre Anwendungen. 4. Nachdruck. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie Boole, George 958: The Laws of Thought. Nachdruck. New York: Dover Classics Meschkowski, Herbert 967: Denkweisen grosser Mathematiker. 2., überarbeitete Auflage. Braunschweig: Vieweg Verlag Boolesche Algebra [Version 2.] Helmut Vetter 3 von 3