Grundlagen der Informatik II
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- Ingrid Scholz
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1 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Professor Dr. Hartmut Schmeck Miniaufgabe * bevor es losgeht * Finden Sie die drei Fehler in der Automaten- Definition. δδ: AA = EE, SS, δδ, γ, ss 0, FF, EE = 0,1, SS = ss 0, ss 1, ss 2, ss 4, ss 5, ss 6, ss 7, FF = ss 4 KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Professor Dr. Hartmut Schmeck Miniaufgabe * bevor es losgeht * Finden Sie die drei Fehler in der Automaten- Definition. δδ: 1 AA = EE, SS, δδ, γ, ss 0, FF, 2 EE = 0,1, SS = ss 0, ss 1, ss 2, ss 4, ss 5, ss 6, ss 7, FF = { ss 4 } 3 ss 33 KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
3 nukit Selbsttests Die ersten nukit-selbsttests sind online. Zugriff entweder über Webanwendung oder App Zeitplanung: ab ab ab ab ab ab ab ab ab Kap. 2 Kap. 3 Kap. 4 Kap. 5 Kap. 6 Kap. 7 Kap. 8 Kap. 9 Kap Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
4 Für die Fleißigen Weitere Aufgaben zu den Themen dieses Tutoriums Aus dem Aufgabenpool bzw. Übungsbuch: Kapitel 2: Endliche Automaten ohne Ausgabe (15 Aufgaben), Kapitel 4: RL. Gramm. und reg. Ausdrücke (letzte 8 Aufgaben), Kapitel 5: automaten (6 Aufgaben), Kapitel 6: Kontextfreie Grammatiken (erste 7 Aufgaben). Auf Übungsblatt 2 (4 Aufgaben) Aufgaben, die mit für zuhause markiert sind HU-2-1, HU-2-2, HU-2-3, HU-2-4 Bei Fragen oder Kommentaren zu allen Aufgaben nutzen Sie die Diskussionsplattformen oder fragen Sie Ihren Tutor. Klick 4 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
5 Lehrbuch Erschienen im September 2016 Einfache praxisorientierte Einführung in die schwierigen (bzw. oft als schwierig empfundenen ) theoretischen Inhalte Verknüpfung mit den Aufgaben des Aufgabenpools Verknüpfung mit dem XWizard Viele Hinweise zu Verständnis und Klausurvorbereitung 5 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
6 Einführungsaufgabe: Auf welchen Basisoperationen basiert ein regulärer Ausdruck und welche Sprache wird durch folgenden regulären Ausdruck α beschrieben? αα = (aa + bb aa)bb Basisoperationen: LL αα = {ww {aa, bb} ww = aa nn bb oder ww = bb nn aaaa für nn N 0 } Was ist der Unterschied zwischen einem deterministischen und einem nichtdeterministischen endlichen Automaten? Deterministisch: von jedem Zustand für jedes Eingabesymbol genau ein Folgezustand Wie viele der dargestellten Automaten sind EE = {0,1,2} nichtdeterministisch? Nichtdeterministisch: von jedem Zustand pro Eingabesymbol eine endliche Menge an Folgezustände (kann auch leer sein) EE = {0,1,2} Iteration Reguläre Ausdrücke Endliche Automaten Summe 2 Produkt Könnten die Basismengen für αα durch φφ, aa, bb angegeben werden? Wie viele der dargestellten Automaten sind nicht deterministisch? 6 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
7 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke Konstruieren Sie zu jedem der folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten äquivalente deterministische EA aus der Vorlesung und äquivalente reguläre Ausdrücke α i durch logisches Überlegen, sodass gilt: A i = ( Ei, Si, δi, s0i, Fi ) L A A' = ( E, S = L A' ) L( α ) i ( ) ( = mit i i i i ' i ' i ', δ, s i ' 0i {1,2}, F ' i ) mittels des Verfahrens (a) A = ({0,1},{ s 1 0, s 1, s 2 }, δ, s 1 0,{ s 2 }) δ : 1 Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
8 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke Lösung: Durch Anwendung des Verfahrens aus der Vorlesung ergibt sich folgende Zustandsüberführungstabelle: 0 1 {ss 0 } {ss 0 } {ss 0, ss 1 } {ss 0, ss 1 } {ss 0 } {ss 0, ss 1, ss 2 } {ss 0, ss 1, ss 2 } {ss 0 } {ss 0, ss 1, ss 2 } NEA: Mit s = { s }, s = ˆ { s, s }, s = ˆ { s, s 0 ˆ s2 ' ' ' 1 = ({ 0,1},{ s 0, s 1, s 2}, δ1, s 0,{ s2}) mit δ1 A Skript ID-4284, } ergibt sich der DEA Skript ID Der reguläre Ausdruck ist α 1 = (0 + 1) 11 (leicht aus dem NEA ableitbar) 8 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
9 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke (b) A = ({0,1},{ s 2 0, s 1, s 2 }, δ, s 2 0,{ s 1 }) δ 2 : Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
10 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke Lösung: Durch Anwendung des Verfahrens aus der Vorlesung ergibt sich folgende Tabelle: 0 1 {ss 0 } {ss 2 } {ss 1 } {ss 1 } {ss 0, ss 2 } {ss 2 } {ss 1 } {ss 0, ss 2 } {ss 1, ss 2 } {ss 1 } {ss 1, ss 2 } {ss 0, ss 1, ss 2 } {ss 0, ss 1, ss 2 } {ss 0, ss 1, ss 2 } {ss 1 } NEA: 10 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
11 11 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke {} ˆ },,, { ˆ },, { ˆ },, { ˆ }, { ˆ }, { ˆ }, { ˆ = = = = = = = s s s s s s s s s s s s s s s s s : mit }),,,{, },,,,,,, ({0,1},{ ' ' ' 2 δ δ s s s s s s s s s s s A = Lösung: Mit ergibt sich folgender DEA Der Reguläre Ausdruck ist α 2 = (00 + 1)(0( )) NEA: Skript ID-4300
12 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Für die Überführung eines deterministischen endlichen Automaten in einen nichtdeterministischen endlichen Automaten ist ein (nicht-trivialer) Algorithmus erforderlich. WAHR FALSCH 12 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
13 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Für die Überführung eines deterministischen endlichen Automaten in einen nichtdeterministischen endlichen Automaten ist ein (nicht-trivialer) Algorithmus erforderlich. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Ein deterministischer Automat ist ein Spezialfall eines nichtdeterministischen Automaten mit genau einem Folgezustand pro Eingabe/Zustand-Kombination. (Für die umgekehrte Überführung eines nichtdeterministischen in einen deterministischen endlichen Automaten ist dagegen der gerade genutzte Potenzmengen-Algorithmus zuständig.) 13 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
14 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke * Für ein Alphabet E, w E, a E bezeichne die Anzahl der aa s in ww. w a Erzeugen Sie zu den Sprachen L i, i {3,4,5} reguläre Ausdrücke α ii, sodass gilt: L (α ) = i L i (a) L Lösung: * { w 0,1} 1} 3 = { w 1 E = {0,1} RA: α * * 3 = (0 + 1) 1(0 + 1) beliebig Skript ID-4330 Es gibt mindestens eine Eins. Davor und danach können beliebig viele Einsen oder Nullen stehen. 14 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
15 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke (b) L * { w 0,1} 3} 4 = { w 1 Lösung: E = {0,1} RA: α 0 ( Es muss keine Eins kommen, aber es kann eine kommen. Die Nullen davor und danach sind beliebig Skript ID-4360 )( )(0 * * * * * * 4 = + 10 * ) 1te Eins 2te Eins 3te Eins (Die Anzahl der Einsen ist maximal drei, die Anzahl der Nullen ist beliebig.) 15 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
16 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke (c) L = Lösung: 2n { w { 0,1} n IN } 5 0 E = {0,1} RA: α5 = ((0 + 1)(0 + 1)) 1tes Zeichen 2tes Zeichen (Die Anzahl der Zeichen ist gerade.) * Beliebige Wiederholung zweier Zeichen. Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
17 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede reguläre Sprache kann durch einen regulären Ausdruck, einen endlichen Automaten und eine rechtslineare Grammatik dargestellt werden. WAHR FALSCH 17 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
18 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede reguläre Sprache kann durch einen regulären Ausdruck, einen endlichen Automaten und eine rechtslineare Grammatik dargestellt werden. X WAHR FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Für ein Alphabet EE gilt: LL 3 (EE) = LL EEEE (EE) = LL nnnnnn (EE) = LL rrrrrr (EE) = RRRR(EE). LL 3 (EE): Menge der durch rechtslineare Grammatiken erzeugbaren Sprachen LL EEEE (EE): Menge der durch det. endliche Automaten erkennbaren Sprachen LL nnnnnn (EE): Menge der durch nichtdet. endliche Automaten erkennbaren Sprachen LL rrrrrr (EE): Menge der regulären Sprachen RRRR(EE): Menge der durch reguläre Ausdrücke darstellbaren Sprachen 18 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
19 Einführungsaufgabe: automat Geben Sie die Verarbeitung des Wortes aaaaaaaa durch den automaten KKKK = (EE, SS, KK, δδ, ss 0, kk 0, ss ee ) an und beschreiben Sie dessen Elemente. δδ: (ss 0, aa, kk 0 ) (ss 0, aaaa 0 ) (ss 0, aa, aa) (ss 0, aaaa) (ss 0, bb, aa) (ss 1, λλ) (ss 1, bb, aa) (ss 1, λλ) (ss 1, λλ, kk 0 ) (ss ee, kk 0 ) Warum ist KKKK trotz des λλ-übergangs deterministisch? Spezifikation ( endlicher Automat mit -Speicher LIFO ): KKKK = aa, bb, ss 0, ss 1, ss ee, {aa, kk 0 }, δδ, ss 0, kk 0, ss ee Eingabealphabet alphabet Anfangszustand Endzustandsmenge Zustandsmenge Zustandsübergangsfunktion startzeichen Konfigurationsfolge: (ss 0, aaaaaaaa, kk 0 ) (ss 0, aaaaaa, aaaa 0 ) (ss 0, bbbb, aaaaaa 0 ) (ss 1, bb, aaaa 0 ) (ss 1, λλ, kk 0 ) (ss ee, λλ, kk 0 ) 19 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
20 * Wieder bezeichne für ein Alphabet E, w E, a E die Anzahl der aa s in ww. w a Geben Sie einen det. automaten KA6 = ( E6, S6, K6, δ 6, s0, F6 ) 6 6 L ( KA = L * und L = w 0,1 w = w. 6 ) 6 Zeigen Sie, dass Ihr automat das Testwort akzeptiert. Lösung: KA = ({0,1},{ s δ 6 : 6 0, s 1 },{ k (ss 0, 0, kk 0 ) (ss 1, 0kk 0 ) (ss 0, 1, kk 0 ) (ss 1, 1kk 0 ) (ss 1, 0, 0) (ss 1, 00) (ss 1, 1, 0) (ss 1, λλ) (ss 1, 0, 1) (ss 1, λλ) (ss 1, 1, 1) (ss 1, 11) (ss 1, λλ, kk 0 ) (ss 0, kk 0 ) 0,0,1}, δ, s 6 0 { { } } 6, k 0,{ s 0 }) 0 1 an mit Die erste 0 bzw. 1 wird in den geschrieben. Sobald eine 1 auf eine 0 kommt oder umgekehrt wird diese aus dem gelöscht. Folgt eine 1 auf eine 1 oder eine 0 auf eine 0 werden diese auch in den geschrieben. Da das leere Wort akzeptiert wird und der Automat deterministisch sein soll (kein Lambda-Übergang von s 0 aus) und noch weitere Zeichen kommen können, ist F={s 0 }. 20 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
21 21 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
22 22 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
23 23 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
24 24 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
25 1 25 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
26 1 26 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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28 1 28 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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64 64 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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66 1 66 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
67 1 67 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
68 1 68 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
69 69 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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71 71 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
72 72 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
73 73 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
74 74 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
75 Lösung: Erkennung des Testwortes mithilfe der Übergangsrelation: (ss 0, , kk 0 ) (ss 1, , 1kk 0 ) (ss 1, , kk 0 ) (ss 0, , kk 0 ) (ss 1, 01110, 0kk 0 ) (ss 1, 1110, 00kk 0 ) (ss 1, 110, 0kk 0 ) (ss 1, 10, kk 0 ) (ss 0, 10, kk 0 ) (ss 1, 0, 1kk 0 ) (ss 1, λλ, kk 0 ) (ss 0, λλ, kk 0 ) 75 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
76 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Deterministische automaten akzeptieren die gleiche Sprachklasse wie nichtdeterministische automaten. WAHR FALSCH 76 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
77 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Deterministische automaten akzeptieren die gleiche Sprachklasse wie nichtdeterministische automaten. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Nichtdeterministische automaten sind mächtiger als deterministische automaten, erkennen also eine größere Sprachklasse. Beispielsweise können nichtdet. automaten den Umkehrpunkt bei Wörtern aus der Sprache der Palindrome wwwww raten, während man bei det. automaten diesen Umkehrpunkt explizit angeben muss, bspw. wwwwww. 77 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
78 Einführungsaufgabe: Greibach-NF Was muss man tun, um eine (λλ freie) rechtslineare Grammatik in Greibach-Normalform zu bringen? Nichts. Warum? Rechtslinear: Greibach-NF: GG = (NN, TT, PP, SS) PP RRRR NN TT TTTT λλ PP GGGGGGGG NN TTTT PP RRLL ohne N λλ ist Teilmenge von PP GGGGGGGG Wie bei der Chomsky-Normalform muss bei der Greibach-Normalform allerdings das leere Wort speziell behandelt werden. 78 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
79 Aufgabe 6: Ableitung Gegeben sei die Grammatik GG = (NN, TT, PP, SS) mit NN = {SS, AA} TT = {aa, bb, +, xx} PP = SS AA AA + SS, AA xx aaaaaa bbbbbb} a) Geben Sie die Sprache LL(GG) an und leiten Sie das Testwort aaaaaa + bbbbbbbbbb ab. Geben Sie hierfür den Ableitungsbaum an. 79 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
80 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Der Term AA wird entweder allein direkt aus SS SS AA abgeleitet oder kann beliebig oft mit + verknüpft auftreten (SS AA + SS). Jedes AA hat die Form aa nn 1bb nn 2aa nn 3bb nn 4 xx bb nn 4aa nn 3bb nn 2aa nn 1. Dies entspricht AA vvvvvv (vvv ist dabei die Umkehrung des Wortes vv). d.h. AA erzeugt die Menge aller Wörter ww mit (1) ww hat eine ungerade Anzahl von Zeichen ww = vv + xx + vvv = 2 vv + 1. (2) Das mittlere Zeichen ist xx. (3) xx existiert nur einmal in ww. (4) ww ist symmetrisch um xx angeordnet, also ein Palindrom. Die von GG erzeugte Sprache ist also: 80 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
81 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Der Term AA wird entweder allein direkt aus SS SS AA abgeleitet oder kann beliebig oft mit + verknüpft auftreten (SS AA + SS). Jedes AA hat die Form aa nn 1bb nn 2aa nn 3bb nn 4 xx bb nn 4aa nn 3bb nn 2aa nn 1. Dies entspricht AA vvvvvv (vvv ist dabei die Umkehrung des Wortes vv). d.h. AA erzeugt die Menge aller Wörter ww mit (1) ww hat eine ungerade Anzahl von Zeichen ww = vv + xx + vvv = 2 vv + 1. (2) Das mittlere Zeichen ist xx. (3) xx existiert nur einmal in ww. (4) ww ist symmetrisch um xx angeordnet, also ein Palindrom. Die von GG erzeugte Sprache ist also: 81 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
82 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Produktion des Testworts: SS AA + SS AA + AA aaaaaa + AA aaaaaa + AA aaaaaa + bbbbbb aaaaaa + bbbbbbbbbb aaaaaa + bbbbbbbbbb Ableitung des Testwortes mithilfe des Ableitungsbaums: Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
83 Aufgabe 6: Ableitung b) Gegeben sei eine andere Grammatik GGG mit LL(GGG) = LL(GG). In welcher Normalform befindet sich diese Grammatik? Konstruieren Sie für GGG den Ableitungsbaum für das Wort aaaaaa + bbbbbbbbbb. NN = SS, AA, BB, CC, DD, XX, YY TT = {aa, bb, +, xx} PP = {SS xx aaaaaa bbbbbb xxxx, XX aaaa aa, YY bbbb bb, BB +SS, AA xx aaaaaa bbbbbb, CC aa, DD bb} Lösung: Die Grammatik GGG befindet sich in Greibach Normalform. Diese erlaubt nur Regeln der Form NN x TTTT. Anmerkung: Es existieren Algorithmen, um eine Grammatik, welche in Chomsky Normalform (CNF) steht, in Greibach Normalform zu überführen. Diese befinden sich allerdings außerhalb des Rahmens der Vorlesung. 83 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
84 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Skript ID-4584 Ableitungsbaum nach Greibach Normalform G : G: 84 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
85 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede Grammatik in Greibach-Normalform ist auch gleichzeitig eine rechtslineare Grammatik und umgekehrt. WAHR FALSCH 85 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
86 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede Grammatik in Greibach-Normalform ist auch gleichzeitig eine rechtslineare Grammatik und umgekehrt. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Nur umgekehrt, falls die rechtslineare Grammatik λλ-frei ist. Rest des Tages: Relaxen! 86 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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