Celle. Betragsfunktion 1-E1. Vorkurs, Mathematik
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- Adrian Goldschmidt
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1 Celle Betragsfunktion 1-E1
2 1-E2
3 Betragsfunktion y = x : Aufgabe 1 Abb. 1: Graph der Betragsfunktion y = x Die Abb. 3-1 zeigt die Betragsfunktion y = x. Beschreiben Sie die Eigenschaften dieser Funktion: Definitionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Schnittpunkte mit den x- und y-achsen, Symmetrieachsen, Asymptoten, maximale und minimale Funktionswerte. 1-1
4 Betragsfunktion y = x : Lösung 1 Die Betragsfunktion y = x ist für alle reelle Zahlen definiert: D = ℝ hat nur positive Funktionswerte: W = [ 0, ) ist monoton fallend für negative x und monoton wachsend für positive x, hat einen Schnittpunkt (0, 0) mit der x-achse, der auch Schnittpunkt mit der y-achse ist, hat die y-achse als vertikale Symmetrieachse und keine Asymptote, hat einen minimalen Funktionswert bei x = 0 und keinen maximalen Funktionswert. Diese Funktion ist von unten beschränkt. Bemerkung zur graphischen Darstellung der Betragsfunktion y = x. Das Schaubild der Betragsfunktion y = x erhält man aus der Geraden y = x, indem man den unterhalb der x-achse liegenden Teil der Geraden an der x-achse spiegelt. 1-2
5 Betragsfunktionen: Aufgaben 2, 3 Aufgabe 2: a) Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen f ( x) = x 1, g ( x) = x + 2 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich dieser Funktionen. b) Wie wirkt sich der reelle Parameter a auf die Eigenschaften der Funktion y = x + a aus? Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Wertebereiche folgender Betragsfunktionen: 2-A a ) f (x ) = x 2, D = [ 3, 5], b ) f (x ) = x 3, D = [ 4, 4], c ) f (x) = x 2, D = [1, 4], d ) f x = x 1, D = [ 4, 0].
6 Betragsfunktionen: Lösung 2a Abb. L-2a: Graph der Betragsfunktionen y = x (grau), y = x - 1 (blau) und y = x + 2 (rot) 2-1 f ( x) = x 1, Df =ℝ, W f = [ 1, ) g (x) = x + 2, Dg = ℝ, Wg = [2, )
7 Betragsfunktion y = x : Lösung 2b Wie wirkt sich der reelle Parameter a auf die Eigenschaften der Funktion y = x + a aus? Die Betragsfunktion y = x + a ist für alle reelle Zahlen definiert: D = ℝ hat den Wertebereich: W = [ a, ) ist monoton fallend für negative x und monoton wachsend für positive x, hat einen Schnittpunkt (0, a) mit der y-achse, hat keinen Schnittpunkt mit der x-achse, wenn a positiv ist, und zwei Schnittpunkte (-a, 0) und (a, 0), wenn a negativ ist, hat die y-achse als vertikale Symmetrieachse und keine Asymptote, hat den minimalen Funktionswert a bei x = 0 und keinen maximalen Funktionswert. Diese Funktion ist von unten beschränkt. 2-2
8 Betragsfunktion: Lösung 3a Abb. L-3a: Graph der Betragsfunktion y = x - 2 mit Definitionsbereich [-3, 5] 3-1a f ( x) = x 2, D = [ 3, 5], W = [ 2, 3]
9 Betragsfunktion: Lösung 3a Die Betragsfunktion y = x - 2 ist im abgeschlossenen Intervall von -3 bis 5 definiert. Wir bestimmen zuerst die Funktionswerte in den Randstellen -3 und 5. D = [ 3, 5] f ( 3) = 3 2 = 3 2 = 1, f (5) = 5 2 = 5 2 = 3 = f max. Die Punkte P 1 = ( 3, 1), P 2 = (5, 3) sind die Randpunkte der Betragsfunktion y = x - 2. Aber nur die Randstelle x = 5 entspricht dem maximalen Funktionswert. Der Minimalwert der Funktion ist bei x = 0: f (0) = 0 2 = 2 = f min. Der Wertebereich der Funktion y = x - 2 im Intervall x = [-3, 5] ist das Intervall: W = [ f min, f max ] = [ 2, 3] 3-1b
10 Betragsfunktion: Lösung 3b Abb. L-3b: Graph der Betragsfunktion y = x - 3 mit Definitionsbereich [-4, 4] 3-2a f ( x) = x 3, D = [ 4, 4], W = [ 3, 1]
11 Betragsfunktion: Lösung 3b Die Betragsfunktion y = x - 3 ist im abgeschlossenen Intervall von -4 bis 4 definiert. Es ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Für eine Betragsfunktion y = x - a, a eine reelle Zahl, sind die Funktionswerte in den symmetrischen x-werten gleich: D = [ 4, 4] f ( 4) = f (4) = 4 4 = 4 3 = 1, Da die Funktion im negativen x-bereich streng monoton fallend und im positiven x-bereich streng monoton wachsend ist, entspricht der Funktionswert bei x = - 4 und x = 4 dem maximalen Wert. Der Punkt mit x = 0, in dem die Funktion ihre Monotonieeigenschaft ändert, ist der Tiefpunkt, die Funktion hat bei x = 0 ihren minimalen Wert. f (0) = 0 3 = 3 = f min. Der Wertebereich der Funktion y = x - 3 im Intervall x = [-4, 4] ist das Intervall: W = [ f min, f max ] = [ 3, 1] 3-2b
12 Betragsfunktion: Lösung 3c Abb. L-3c: Graph der Betragsfunktion y = x - 2 mit Definitionsbereich [1, 4] f ( x) = x 2, 3-3a D = [1, 4], W = [ 1, 2]
13 Betragsfunktion: Lösung 3c Die Betragsfunktion y = x - 2 ist im Intervall von x = [1, 4] monoton wachsend. Die Randstelle x = 1 entspricht dem minimalen Funktionswert, die Randstelle x = 4 entspricht dem maximalen Funktionswert. f (1) = 1 2 = 1 = f min, f (4) = 4 2 = 2 = f max. Der Wertebereich der Funktion y = x - 2 im Intervall x = [1, 4] ist das Intervall: W = [ f min, f max ] = [ 1, 2]. 3-3b
14 Betragsfunktion: Lösung 3d Abb. L-3d: Graph der Betragsfunktion y = x - 1 mit Definitionsbereich [-4, 0] f ( x) = x 1, 3-4a D = [ 4, 0], W = [ 1, 3]
15 Betragsfunktion: Lösung 3d Die Betragsfunktion y = x - 1 ist im Intervall von x = [-4, 0] monoton fallend. Die Randstelle x = - 4 entspricht dem maximalen Funktionswert, die Randstelle x = 0 entspricht dem minimalen Funktionswert. f ( 4) = 4 1 = 4 1 = 3 = f max, f 0 = 0 1 = 1 = f min. Der Wertebereich der Funktion y = x - 1 im Intervall x = [-4, 0] ist das Intervall: W = [ f min, f max ] = [ 1, 3]. 3-4b
16 Betragsfunktionen: Aufgaben 4, 5 Aufgabe 4: a) Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen und bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich dieser Funktionen: f ( x) = 2 x, g (x ) = x 2 b) Wie wirkt sich der positive reelle Parameter a auf die Eigenschaften der Funktion y = a x aus? Aufgabe 5: Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen und bestimmen Sie ihren Definitions- und Wertebereich: f ( x) = 4-A x + 2, 2 g ( x) = 3 x 2 2
17 Betragsfunktion: Lösung 4a Abb. L-4a: Graphen der Betragsfunktionen y = x (grau gestrichelt), f (x) = 2 x (rot) und g (x) = x / 2 (blau) f ( x) = 2 x, 4-1 g (x ) = x, 2 Df =ℝ, W f = [ 0, ) Dg = ℝ, W g = [ 0, )
18 Betragsfunktion: Lösung 4b Wie wirkt sich der reelle Parameter a auf die Eigenschaften der Funktion y = a x, a > 0 aus? Die Betragsfunktion y = a x (a > 0) ist für alle reelle Zahlen definiert: D = ℝ hat den Wertebereich: W = [ 0, ) ist monoton fallend für negative x und monoton wachsend für positive x, hat einen Schnittpunkt (0, 0) mit der y-achse, der auch der Schnittpunkt mit der y-achse ist, hat die y-achse als vertikale Symmetrieachse und keine Asymptote, hat den minimalen Funktionswert 0 bei x = 0 und keinen maximalen Funktionswert. Diese Funktion ist von unten beschränkt, ist bei a > 1 im Vergleich zu y = x um den Faktor a vertikal gestreckt, ist bei 0 < a < 1 im Vergleich zu y = x um den Faktor a vertikal gestaucht. 4-2
19 Betragsfunktion: vertikale Skalierung Eine positive multiplikative Konstante a in der Funktionsgleichung y = a x hat die geometrische Bedeutung einer vertikalen Skalierung. Ist a > 1, wird der Graph der Funktion y = x um den Faktor a gestreckt, bei a < 1 um den Faktor a gestaucht. 4-3
20 Betragsfunktion: graphische Lösung Abb. L-5b: Graphen der Betragsfunktionen y = x (grau gestrichelt), g(x) = 3 x /2-2 (rot) und f(x) = x / (blau)
21 Betragsfunktion: graphische Lösung f x = x 2, 2 Df = ℝ, W f = [ 2, ) g x = 3 x 2, 2 Dg = ℝ, W g = [ 2, )
22 Einige Beispiele von Betragsfunktionen 6-1
23 f ( x) = 1.6 x 6-2
24 f ( x) = x, 6-3 g ( x) = 1.18 x
25 6-4 f ( x) = 0.9 x 0.3, g ( x) = 0.9 x + 0.4
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