Algorithmen und Datenstrukturen II

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1 Algorithmen und Datenstrukturen II D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Sommer 2009, 9. April 2009, c 2009 D.Rösner D. Rösner AuD II

2 Gliederung 1 D. Rösner AuD II

3 viele Probleme lassen sich mit und als Probleme auf modellieren Beispiel: Bestimmung kürzester Pfade (vgl. u.a. [Wei98], [MS08]) zur Bestimmung schnellster Routen in einem Verkehrsnetz zum Durchschleussen elektronischer Post durch ein Computer-Netzwerk D. Rösner AuD II

4 Beispiel eines Graphalgorithmus aus der griechischen Mythologie (vgl. [GT01], Ch. 12): Theseus benutzt Ariadnes Faden, um aus dem Labyrinth des Minotaurus wieder herauszufinden D. Rösner AuD II

5 : ein Graph G = (V,E) besteht aus einer endlichen Menge V von Knoten (engl. vertices oder nodes) und einer Menge E von Kanten (engl. edges oder im gerichteten Fall (s.u.) arcs) Mathematisch kann ein Graph definiert werden als eine Menge und eine Relation über dieser Menge, wobei jedes Element der Menge einem Knoten im Graph entspricht und die Relation zwischen zwei Elementen genau dann besteht, wenn zwischen den entsprechenden Knoten eine Kante vorliegt. s. u.a. [RL99], Ch. 7 D. Rösner AuD II

6 Weitere Unterscheidungen: sind die Kantenpaare geordnet (m.a.w.: die Relation ist nicht symmetrisch), dann spricht man von gerichteten Kanten (engl. arc) bzw. einem gerichteten (oder auch Digraph) wenn die Kanten eines Graphs zusätzlich ein Gewicht (z.b. für Kosten, Entfernung etc.) tragen, dann spricht man von einem gewichteten D. Rösner AuD II

7 Abbildung: Beispiele für : ungerichteter Graph (vgl. [RL99], Fig. 7.1) 5 D. Rösner AuD II

8 A B C D E F G Abbildung: Beispiele für : gerichteter Graph (vgl. [RL99], Fig. 7.1, (b)) D. Rösner AuD II

9 Wie ist das Verhältnis von Bäumen zu gerichteten? beides sind nicht-lineare Strukturen jeder Baum ist auch ein gerichteter Graph aber: während ein Knoten in einem gerichteten Graph null oder mehrere Vorfahren haben kann, hat jeder Knoten in einem Baum (vom Wurzelknoten abgesehen) genau einen Vorfahren s. u.a. [RL99], Ch. 7 D. Rösner AuD II

10 Ein Pfad in einem Graph ist eine Sequenz von Knoten v 1, v 2,..., v n derart, dass jedes Paar v i 1 v i eine Kante darstellt. Ein einfacher Pfad liegt vor, wenn alle v i unterschiedlich sind. Ein Zyklus ist ein einfacher Pfad mit der Ausnahme, dass v 1 = v n (m.a.w. der Pfad beginnt und endet im selben Knoten) ein Graph heisst azyklisch (engl. acyclic), wenn er keine Zyklen hat Beispiele:... s. u.a. [RL99], Ch. 7 D. Rösner AuD II

11 ein Graph heisst verbunden (engl. connected), wenn zwischen jedem Paar von Knoten ein Pfad existiert andernfalls heisst er unverbunden (engl. disconnected) Beispiele:... s. u.a. [RL99], Ch. 7 D. Rösner AuD II

12 die Menge der Knoten, die durch eine Kante direkt mit einem bestimmten Knoten verbunden sind, heisst benachbart oder adjazent (engl. adjacent) zu diesem Knoten Beispiele:... s. u.a. [RL99], Ch. 7 D. Rösner AuD II

13 in einem gerichteten wird unterschieden: die Zahl der zu einem Knoten benachbarten Knoten ist der sog. out degree dieses Knoten die Zahl der Knoten, die zu einem Knoten benachbart sind, ist der sog. in degree dieses Knoten Beispiele:... in einem ungerichteten ist diese Unterscheidung hinfällig daher wird hier die Zahl der zu einem bestimmten Knoten benachbarten Knoten auch einfach als der (Nachbarschafts-)Grad (engl. degree) dieses Knotens bezeichnet s. u.a. [RL99], Ch. 7 D. Rösner AuD II

14 es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, zu implementieren, d.h. auf andere Datenstrukturen zurückzuführen besonders wichtig sind die folgenden Repräsentationen von : durch sog. Adjazenzlisten durch sog. Adjazenzmatrizen s. u.a. [RL99], Ch. 7.2 D. Rösner AuD II

15 Repräsentation durch sog. Adjazenzlisten Grundidee: jeder Knoten wird gespeichert zusammen mit seiner Adjazenzliste, d.h. der Liste mit seinen benachbarten (adjazenten) Knoten die Knoten selbst werden in einer linearen Struktur (Array oder Liste) abgelegt bei gewichteten enthält die Adjazenzliste auch das jeweilige Kantengewicht der Kante zum benachbarten Knoten s. u.a. [RL99], Ch D. Rösner AuD II

16 Repräsentation durch sog. Adjazenzmatrizen Grundidee: ob zwischen zwei Knoten eine Kante vorliegt, wird durch einen Eintrag in einer zweidimensionalen quadratischen Matrix repräsentiert die Koordinaten repräsentieren die Knoten und es gilt, dass im Matrixelement (i, j) genau dann ein Eintrag vorliegt, wenn zwischen den Knoten v i und v j eine Kante existiert Bemerkungen: bei ungerichteten reicht die obere Dreiecksmatrix bei ungewichteten kann eine binäre Matrix verwendet werden bei gewichteten kann das jeweilige Kantengewicht als Matrixelement verwendet werden dabei muss eindeutig geregelt werden, durch welchen Matrixeintrag repräsentiert wird, dass keine Kante vorliegt D. Rösner AuD II

17 Vergleich der beiden Repräsentationen Gemeinsamkeit: Änderungen der Graphstruktur (durch Löschen oder Hinzufügen von Knoten) sind aufwendig s. u.a. [RL99], Ch D. Rösner AuD II

18 welche Repräsentation zu bevorzugen ist, hängt vom Verbindungsgrad (engl. degree of sparsity) des ab ein Graph mit einer grossen Zahl von Kanten heisst dicht bzw. dicht besetzt (engl. dense) ein Graph mit nur wenigen Kanten andererseits heisst dünn bzw. dünn besetzt (engl. sparse) manchmal wird dafür gefordert, dass die Zahl der Kanten kleiner als das Produkt aus Knotenzahl und Logarithmus der Knotenzahl sein soll m.a.w.: E < V log V die Repräsentation durch Adjazenzmatrizen ist vorteilhafter für dichte, die durch Adjazenzlisten für dünn besetzte s. u.a. [RL99], Ch D. Rösner AuD II

19 eine Grundaufgabe bei ist, in systematischer Weise alle Knoten aufzusuchen dafür gibt es zwei grundsätzliche Strategien: Tiefensuche (engl. depth-first search) Breitensuche (engl. breadth-first search) s. u.a. [RL99], Ch. 7.3 D. Rösner AuD II

20 Tiefensuche arbeitet wie folgt: nach dem Besuch eines Knotens werden alle noch nicht bereits besuchten adjazenten Knoten in rekursiver Weise mit Tiefensuche aufgesucht Beispiel:... Bemerkung: Tiefensuche in verallgemeinert die Präorder- von Bäumen s. u.a. [RL99], Ch. 7.3 D. Rösner AuD II

21 Breitensuche arbeitet wie folgt: nach dem Besuch eines Knotens werden zunächst alle noch nicht bereits besuchten adjazenten Knoten aufgesucht danach wird der Algorithmus erneut auf jeden dieser Knoten angewendet (d.h. es werden als nächstes deren noch nicht bereits besuchte adjazente Knoten aufgesucht usw.) Beispiel:... Bemerkung: Breitensuche in verallgemeinert die ebenenweise von Bäumen s. u.a. [RL99], Ch. 7.3 D. Rösner AuD II

22 topologische Sortierung Motivation: gerichtete azyklische können u.a. zur Darstellung von zeitlichen Abhängigkeiten genutzt werden Beispiel: Graph mit Modulen eines Lehrplans als Knoten, bei dem ein Modul vor einem anderen Modul steht, wenn ersteres Voraussetzung für den Besuch des zweiten topologische Sortierung ist eine Anordnung der Knoten des Graphs auf eine Weise, welche die dargestellten Voraussetzungsbeziehungen berücksichtigt s. u.a. [RL99], Ch. 7.4 D. Rösner AuD II

23 topologische Sortierung : eine Auflistung der Knoten eines gerichteten azyklischen ist eine topologische Sortierung, wenn gilt: existiert zwischen den Knoten v i und v j ein Pfad, so kommt Knoten v j in der Auflistung nach Knoten v i Beispiel:... topologische Sortierungen müssen nicht eindeutig sein Beispiel:... s. u.a. [RL99], Ch. 7.4 D. Rösner AuD II

24 ein aufspannender Baum (engl. spanning tree) zu einem verbundenen, gewichteten ungerichteten G = (V,E) ist ein Subgraph G = (V,E ) von G derart, dass G azyklisch und verbunden m.a.w. G ist (interpretierbar als) ein Baum, der alle Knoten des ursprünglichen G enthält Beispiele:... s. u.a. [RL99], Ch. 7.5 D. Rösner AuD II

25 die Kosten eines aufspannenden Baums ergeben sich als Summe der Gewichte der beteiligten Kanten Beispiele:... s. u.a. [RL99], Ch. 7.5 D. Rösner AuD II

26 für Algorithmen zur Bestimmung aufspannender Bäume mit minimalen Kosten gibt es zahlreiche Anwendungen engl. Bezeichnung: minimum spanning tree problem (kurz auch: problem) Beispiele: Aufbau eines Computernetzes mit minimalen Kosten Entwurf eines Telefonnetzes für n Lokationen s. u.a. [RL99], Ch. 7.5 D. Rösner AuD II

27 Algorithmus von Kruskal (publiziert 1956) Grundidee: Ausgangspunkt ist ein leerer Baum in jedem Schritt wird diejenige Kante mit den geringsten Kosten hinzugefügt, bei der dadurch nicht ein Zyklus entsteht der Algorithmus endet, sobald der Baum V 1 Kanten hat s. u.a. [RL99], Ch D. Rösner AuD II

28 Algorithmus von Prim (publiziert 1957) Grundidee: es wird mit den Knoten des gearbeitet die Menge der Knoten wird dynamisch in zwei Mengen geteilt: T enthält diejenigen Knoten, die bereits im Baum sind, und R enthält diejenigen, die (noch) nicht im Baum sind Ausgangspunkt, d.h. erstes Element von T, ist ein willkürlich gewählter Knoten in jedem Schritt wird aus der Menge derjenigen Kanten (u, v) mit u T und v R die Kante mit den geringsten Kosten ausgewählt der Algorithmus endet, sobald R leer ist s. u.a. [RL99], Ch D. Rösner AuD II

29 Literatur: I Michael T. Goodrich and Roberto Tamassia. Data Structures and Algorithms in Java. John Wiley & Sons, New York, ISBN ; 2nd edition. Kurt Mehlhorn and Peter Sanders. Algorithms and Data Structures The Basic Toolbox. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, ISBN ; im Uninetz auch als e-book: e-isbn D. Rösner AuD II

30 Literatur: II Fethi Rabhi and Guy Lapalme. Algorithms A Functional Programming Approach. Pearson Education Ltd., Essex, nd edition, ISBN Gunter Saake and Kai-Uwe Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen Eine mit Java. dpunkt.verlag, Heidelberg, ISBN D. Rösner AuD II

31 Literatur: III Mark Allen Weiss. Data Structures and Problem Solving using Java. Addison Wesley Longman, Inc., Reading, Mass. USA, ISBN ;reprinted with corrections, D. Rösner AuD II