3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6

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1 3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67 und l n+1 wiederum als kleinsten Wert, so dass A 2n+2 = A 2n+1 + l n+1 k=l n < A. Alle diese Indizes existieren und damit ist eine Folge {A k } k N definiert. Diese Folge konvergiert gegen A, denn A A 2k a n2k, bzw. A A 2k+1 a p2k+1. Da die Folge der {a n } n N eine Nullfolge bildet, folgt lim k A k = A. Wir definieren τ(0 = 0 und setzen für n N τ(n = j n + l n. Ist für n N τ(n 1 < k τ(n 1 + j n so setzen wir β(k = p s mit s = n 1 m=1 j m + (k τ(n 1. Ist τ(n 1 + j n < k τ(n, so setzen wir β(k = n r mit r = n 1 m=1 l m + (k τ(n 1 j n. Korollar (allgemeiner Umordnungssatz Ist {a n } n N eine reelle Folge nicht absolut konvergent ist. Betrachtet man die Mengen P, N wie in Gleichung 3.1 und sind die Reihen a p und a n n N p P beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes Konvergenzkriterien In diesem Abschnitt wollen wir Reihen auf Konvergenz untersuchen. Wir wissen bereits, dass die geometrische Reihe konvergent ist, d.h. für 0 < γ < 1 ist die Reihe absolut konvergent. Wir beweisen zunächst einen Vergleichssatz, der auch als Majorantenkriterium bekannt ist. Satz (Majorantenkriterium, Vergleichssatz Ist n=1 a n eine absolut konvergente Reihe mit a n 0 für alle n N und gilt für eine komplexe Folge {z n } n N γ n z n a n für alle n N so ist die Reihe n=1 z n absolut konvergent.

2 68 KAPITEL 3. REIHEN Beweis. Sei A(n = n a k und Z(n = n z k. Von der letztgenannten Folge {Z(n} n N müssen wir zeigen, dass sie eine Cauchyfolge in C ist, während wir als bekannt voraussetzen dürfen, dass die Folge der A(n eine reelle Cauchyfolge ist. Sei ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es ein N N mit n > m > N impliziert Dann ist für n > m > N Z(n Z(m = k=m+1 z n k A(n A(m < ε. k=m+1 z k k=m+1 a n = A(n A(m < ε. Korollar (Quotientenkriterium Es sei {a n } n N eine Folge, so dass höchstens endlich viele n N existieren, so dass a n = 0 ist. Gibt es ein N N und eine reelle Zahl 0 < θ < 1, so dass n > N impliziert a n+1 θ. a n Dann ist die Reihe a n absolut konvergent. Beweis. Sei c = a N+1. Dann ist (wie man leicht durch vollständige Induktion überprüft, a N+m cθ m 1. Da die Reihe cθ m m=1 konvergiert, gilt dies nach Satz auch für die Reihe Dann ist natürlich auch die Reihe konvergent. a m+n. m=1 a n

3 3.3. KONVERGENZKRITERIEN 69 Korollar (Wurzelkriterium Ist {a n } n N eine Folge komplexer Zahlen, so dass es ein 0 < θ < 1 gibt, so dass für alle n N gilt n a n θ, dann ist die Reihe absolut konvergent. Satz (Verdichtungssatz Es sei {a n } n N eine reellwertige, monotone Folge. Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. a n a n 2 k a 2 k Beweis. Sei o.b.d.a. a n 0 für alle n N und die Folge monoton fallend. Sei S(n die Teilsummenfolge der ursprünglichen Folge. Dann ist S(2 n = 2 n a k = 2 j+1 j=0 r=2 j +1 a r 2 j a 2 j. j=0 Die Konvergenz der ursprünglichen Reihe folgt nun aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der verdichteten Reihe. Wir müssen noch die andere Richtung beweisen. Die verdichtete Reihe konvergiert genau dann, wenn die Reihe 2 k 1 a 2 k = k a 2 k konvergiert. Dies lässt sich aufgrund der Voraussetzungen abschätzen durch a 2 + 2a 4 + 4a 8 + (a 1 + a 2 + (a 3 + a 4 + (a 5 + a 6 + a 7 + a 8..., allgemein gilt 2 k 1 a 2 k 2 k a j j=2 k 1 +1

4 70 KAPITEL 3. REIHEN und damit folgt die Behauptung aus dem Majorantenkriterium. Korollar (n α -Reihe Die Reihe konvergiert genau dann, wenn α > 1. 1 n α Beweis. Wir betrachten die verdichtete Folge 2 k 1 (2 k = 2 k(1 α. α Für α 1 ist die Folge a k = 2 k(1 α keine Nullfolge, für α > 1 hat man eine geometrische Reihe. 3.4 Produkte von Reihen Wir definieren ein zunächst etwas merkwürdig aussehendes Produkt und zeigen, dass es geeignete Konvergenzeigenschaften besitzt und sich die Grenzwerte so verhalten wir wir es von Produkten erwarten. Seien a = {a n } n N, b = {b n } n N Folgen in R oder C. Wir definieren eine neue Folge {c n } n N durch c n = a k b n k. Sei c = {c n } n N. Wir schreiben dafür c = a b. Satz (Cauchy-Produkt Sind a, b Folgen, so dass a n, absolut konvergent sind, so ist mit c = a b absolut konvergent und es gilt ( ( c n = a n b n. c n b n

5 3.4. PRODUKTE VON REIHEN 71 Beweis. Sei A = a k und B = b k. Es gilt zu zeigen, dass es zu ε > 0 ein N N gibt, so dass n > N impliziert c k AB < ε. Wir beginnen mit dem Fall, dass alle a n > 0 und alle b n > 0 sind. Dann ist ( ( a k b k = a k b j a k j b j a k b j Wir bilden die Differenz = a k b j a k b j. Wir können abschätzen k=n j=0 a k b j + j=n a k b j. Da beide Terme gleich aussehen, reicht es einen abzuschätzen. Dazu beachten wir, dass die Teilsummenfolge konvergiert, also beschränkt ist, und zu einer konvergenten Folge und jedem ε > ein N N existiert, so dass n > N impliziert, dass die entsprechenden Folgenglieder durch ε abgeschätzt werden können. Sei B eine obere Schranke für die Teilsummenfolge der b n. Also gilt: a k b j = a k b j k=n j=0 k=n j=0 = b j a k Insgesamt können wir die Differenz klein machen. Damit konvergiert die Reihe ( a j b k j. j=0 j=0 Bε. k=n

6 72 KAPITEL 3. REIHEN Damit ist auch die Reihe ( a j b k j konvergent. Das bisherige Argument zeigt, dass a k j b j a k b j a k b j a k b j ist, und dieser Ausdruck kann mit großem n beliebig klein werden. 3.5 Die Exponentialreihe Wir definieren für z C die Exponentialreihe durch E(z = Zunächst beweisen wir, dass die Exponentialreihe für alle z C definiert ist. z n n!. Satz (Absolute Konvergenz der Exponentialreihe Die Exponentialreihe ist für alle z C absolut konvergent. Beweis. Sei z C, dann existiert ein N N mit z < N. Dann ist z n n! z n+1 (n+1! = n + 1 z > n + 1 N > N + 1 N für n > N + 1. Damit ist das Quotientenkriterium anwendbar und die Reihe konvergiert. Definition (e Wir definieren die Eulersche Zahl 2 e durch e = E(1. Diese Zahl ist eine der zentralen Zahlen der Mathematik, sie taucht in vielem 2 Leonhard Euler ( stammt aus der Schweiz und ist Schüler von Johann Bernoulli. Sein Werk ist äußerst umfangreich (ca. 900 Publikationen und behandelt Fragen aus allen Bereichen der Mathematik und Physik. Er verbrachte lange Zeit in St. Petersburg, wo er zunächst Professor für Physik war. Später folgte er dem Ruf Friedrich des zweiten nach Berlin, wo er Direktor der math. Klasse der Akademie der Wissenschaften war. Im Jahre 1766 kehrte