Notation für das asymptotische Verhalten von Funktionen

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1 Vorbemerkungen: Notation für das asymptotische Verhalten von Funktionen 1. Aussagen über die Komplexität von Algorithmen und von Problemen sollen (in der Regel) unabhängig von speziellen Maschinenmodellen und speziellen Eigenschaften eine Implementierung, ebenso von technologischen Details 2. Bei der Untersuchung von Komplexitätsfunktionen interessiert nicht so sehr der exakte Werteverlauf einer Funktion f : N R +, sondern deren Tendenz, d.h. das Wachstumsverhalten (asymptotisches Verhalten) für wachsendes Argument 1

2 Edmund Georg Hermann Landau ( ) Professor der Mathematik in Göttingen ( ) Wichtige Arbeiten zu Zahlentheorie und Analysis ( Analytische Zahlentheorie ) Mathematiker/landau.html 2

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7 Landausche Symbole für asymptotisches Verhalten von Funktionen O(f) = g : N R + ; c R >0 n 0 N n N n0 : g(n) c f(n) g(n) O(f(n)) : f(n) ist asymptotische obere Schranke für g(n) Ω(f) = g : N R + ; c R >0 n 0 N n N n0 : g(n) c f(n) Ω (f) = g : N R + ; c R >0 m N n N >m : g(n) c f(n) g(n) Ω(f(n)) : f(n) ist asymptotische untere Schranke für g(n) Θ(f) = g : N R + ; g O(f) g Ω(f) g(n) Θ(f(n)) : f(n) hat gleiche Wachstumsordnung wie g(n) 7

8 o(f) = { g : N R + ; lim n } g(n) f(n) = 0 g(n) o(f(n)) : g(n) hat kleinere Wachstumsordnung als f(n) ω(f) = { g : N R + ; lim n } f(n) g(n) = 0 g(n) ω(f(n)) : g(n) hat grössere Wachstumsordnung als f(n) f(n) g(n) : lim n f(n) g(n) = 1 f(n) und g(n) sind asymptotisch äquivalent 8

9 Für Funktionen f, g : N R f O(g) f O( g ) wobei f : N R + : x f(x) Ebenso für die anderen Landauschen Symbole. 9

10 Rechenregeln 1. k, l N : k > l n l o(n k ) 2. k, l N : k > l n k + n l Θ(n k ) 3. für Polynome p(n) = k i=0 p i n i mit p k > 0, l eine Konstante 4. k N : n k o(2 n ) l [,, =, >, <] k p(n) [O, Ω, Θ, o, ω] (n l ) 5. Logarithmen zu verschiedenen Basen 6. k N ɛ R >0 : log k (n) o(n ɛ ) 7. n N : 2 n o(2 2n ) log a n Θ(log b n) (a, b > 1) 10

11 8. f O(g) g Ω(f) und f o(g) g ω(f) 9. f Ω(g) f Ω (g) 10. f Ω (g) f Ω(g) 11. Transitivität: f O(g) g O(h) f O(h) für O {O, Ω, Θ, o, ω} 12. f Ω (g) g Ω (h) f O(h) 13. f 1 O(g) f 2 O(g) f 1 + f 2 O(g) 14. falls g nur endlich-viele Nullstellen hat: f O(g) c R >0 : lim sup n f(n) g(n) c 15. falls g nur endlich-viele Nullstellen hat: f ω(g) c R >0 : lim inf n f(n) g(n) c 11

12 Das Wachstumsverhalten (asymptotisches Verhalten) einer Funktion f : N N bezeichnet man als a konstant, falls f(n) Θ(1) b logarithmisch, falls f(n) Θ(log(n)) c polylogarithmisch, falls f(n) O(log k (n)) für ein k N d linear, falls f(n) Θ(n) e quadratisch, falls f(n) Θ(n 2 ) f polynomiell, falls f(n) O(n k ) für ein k N g superpolynomiell, falls f(n) ω(n k ) für alle k N h subexponentiell, falls f(n) o(2 cn ) für alle c R >0 i exponentiell, falls f(n) O(2 cn ) für ein c R >0 12

13 Häufig in der Informatik: Abschätzung des Wachstumsverhaltens von Funktionen f(n), die gegeben sind durch Summen, wie z.b. H n = n i=1 1 i S k (n) = n i k log n! = i=1 n log i i=1 harmonische Zahlen Potenzsummen Fakultäten Rekursionsgleichungen, wie z.b. T (n) = T ( n/2 ) + T ( n/2 ) + Θ(n) T (n) = a T (n/b) + f(n) T (n) = (n 1) + 1 nx T (i 1) + T (n i) n i=1 mergesort divide-and-conquer quicksort 13

14 drei wichtige Beispiele harmonische Zahlen H n = n H n ln n + γ + 1 2n + O(1/n2 ) wobei γ = (Eulersche Konstante), also H n Θ(log n) Potenzsummen S k (n) = n j=1 jk für k > 1 n k+1 k + 1 S k(n) n k+1 also S k (n) Θ(n k+1 ) Fakultäten: Stirlings Formel ( n ) ( n n! 2πn e 12n + 1 ) 288n 2 + O(1/n3 ) also log n! Θ(n log n) 14

15 Wichtiges Hilfsmittel zum Abschätzen von Summationen: Integration Ist f[a, b] R stetig und monoton wachsend, a, b Z, so ist b 1 i=a f(i) b a f(x)dx b i=a+1 f(i) b 1 Z b f (i) f (x)dx i=a a Z b a f (x)dx b i=a+1 f (i) a a+1 a+2 a+3... b-2 b-1 b a a+1 a+2 a+3... b-2 b-1 b 15

16 Anwendung auf die drei wichtigen Beispiele harmonische Zahlen H n mit f : [1, n + 1] R : x 1/x ergibt sich und somit H n Θ(log n) ln(n + 1) H n 1 + ln n 16

17 Potenzsummen S k (n) mit k > 1 mit f : [0, n] R : x x k ergibt sich S k (n) nk+1 k + 1 also S k (n) Ω(n k+1 ) Zusammen mit S k (n) n n k = n k+1 ergibt sich S k (n) Θ(n k+1 ) Fakultäten mit f : [1, n] R : x ln x ergibt sich ln n! = n i=2 ln i [ x ln x x ] n 1 = n ln n n + 1 Ω(n ln n) Wegen ln n! n ln n ist ln n! O(n ln n) und somit ln n! Θ(n log n) 17

18 Zur Abschätzung der Fakultäten: n ln n n ln n! < (n + 1) ln(n + 1) n (n > 1) ergibt ( n ) ( ) n n+1 n + 1 < n! < e e e ( ) und wegen e = lim n n+1 n ( ) n+1 n + 1 e also (n + 1) n+1 e n n+1 n Somit ist ( n ) n ( n < n! < n e e Stirling s Formel macht das noch präziser: n! ( n ) n 2π n e ) n oder log 2 n! = n log 2 n n + o(n) 18

19 Eine Anwendung der Stirling-Formel: Wieviele verschiedene Binärbäume mit n inneren Knoten gibt es? BNF-Grammatik für Binärbäume: B = +, B, B =äusserer Knoten, = innerer Knoten t =, t l, t r t l t r 19

20 c n = Anzahl der Binärbäumen mit n inneren Knoten n c n c 100 = c 1000 =

21 Die Zahlen c n heissen Catalan-Zahlen, zur Ehre von Eugene Charles Catalan ( ) belgischer Mathematiker, Schüler von Liouville an der Ecole Polytechnique wegen linksextremer politischer Aktivitäten keine akademische Karriere Lehrer in Chalons-sur-Marne Beiträge zur Zahlentheorie der zeigte: c n = 1 n + 1 ( ) 2n n = (2n)! (n + 1)! n! 21

22 Wie gross ist c n? Einsetzen der Stirling-Approximation von n! ergibt c n = 1 ( ) 2n 4 n 4n πn Θ( n + 1 n (n + 1) n ) 3/2 22

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