6 Die Jordansche Normalform

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1 6 Die Jordansche Normalform 6.1 Definition Sei f End K (V ). i) U V heißt f-invariant, falls f(n) U n U. Mit f U End K (C) bezeichnen wir die Einschränkung von f auf U: f U (v) = f(u) für u U. ii) Eine Blockzerlegung für f besteht aus f-invarianten Unterräumen U 1,, U r von V, so dass V = U 1 U 2 U r 6.2 Bemerkung Sei f End K (V ), X = (x 1,, x n ) eine Basis von V. i) U := x 1,, x l ist genau dann f-invariant, wenn ( ) A f,x,x = 0 ii) Sei 0 = i 0 < i 1 < < i r = n und U j = x i i j 1 < i i j. Dann ist V = U 1 U r genau dann eine Blockzerlegung für f, wenn A n A f,x,x = A r Dann ist A j = A f Uj,X j,x j mit X j = (x ij 1 +i,, x ij ). Weiter gilt X f = X f U1 X f Ur 6.3 Lemma Seien f, g End K (V ). Sei U V sowohl f-invariant als auch g-invariant. i) Für α, β K ist U (αf + βg)-invariant. Es gilt (αf + βg) U = αf U + βg U. ii) U ist f g-invariant. Es gilt (f g) U = f U g U. 26

2 Vorlesung SS 2010 Lineare Algebra 2 Prof. Dr. Bartels 6.4 Lemma Sei f End K (V ). Sei U V f-invariant. p K[T ]. Dann ist U p(f)-invariant und p(f) U = p(f U ). 6.5 Definition Sei R ein Integritätsring. a, b R \ {0} heißen teilerfremd, falls x a und x b x R x für jedes x R. 6.6 Lemma Sei R ein Hauptidealring. Sind a, b R\{0} teilerfremd, so gibt es r, s R mit ra+sb = Proposition Sei f End K (V ), dim K V <. Sei p f = p 1 p 2, wobei p 1, p 2 K[T ] teilerfremd sind. Dann ist V = Kern p 1 (f) Kern p 2 (f) eine Blockzerlegung für f. Weiter gilt mit f i := f Kern pi (f), p fi = p i für i = 1, 2, falls p 1 und p 2 normiert sind. 6.8 Satz Sei f End K (V ), dim K (V ) <. Dann gibt es eine Blockzerlegung V = U 1 U r von f, so dass für f i = f Vi p fi = a n i i und p f = a n 1 1 a n 2 2 a nr r die Primfaktorzerlegung von p f ist. 6.9 Korollar Sei f End K (V ), dim K V <. Dann gilt: f ist diagonalisierbar p f = (T λ 1 ) (T λ r ) mit λ i λ j für i j Definition f End K (V ) heißt nilpotent, wenn es n N gibt mit f n = 0. getext: Julia Wolters 27

3 6.11 Bemerkung KAPITEL 6. DIE JORDANSCHE NORMALFORM i) Der Rechtsshift s : K n K n ; s(x 1,, x n ) = (0, x 1,, x n 1 ) ist nilpotent, s n = 0. ii) Sei f End K (V ), dim K V <. Dann ist f genau dann nilpotent, wenn p f = T k für ein k N Satz Sei f End K (V ), dim K (V ) <. Zerfällt p f = (T λ 1 ) n1 (T λ r ) nr, λ i λ j für i j ist Linearfaktoren, so gibt es eine Blockzerlegung V = V 1 V r von f und nilpotente h i = End K (V ), i = 1,, r, so dass f i = f Vi = λ i id + h i Definition Sei h End K (V ), dim K (V ) <. h heißt ein Shift, falls es eine Basis x = (x 1,, x n ) von V gibt, so dass { xi+1 für i = 1,, n 1 h(x i ) = 0 für i = n Dann ist h nilpotent Bemerkung Für h und x wir in (6.13) gilt A h,x,x = Satz Sei h End K (V ) nilpotent und dim K (V ) <. Dann gibt es eine Blockzerlegung V = V 1 V l von h, so dass jedes h i = h Vi ein Shift ist. 28 getext: Julia Wolters

4 Vorlesung SS 2010 Lineare Algebra 2 Prof. Dr. Bartels 6.16 Lemma Sei h wie in (6.15). Sei x V. Dann gilt: l(x) := min{n N h n (x) > 0} < x, hx, h 2 x,, h l(x) 1 x ist linear unabhängig Bemerkung i) Der Rechtsshift s : K n K n, s(λ 0,, λ n ) = (0, λ 0,, λ n 1 ) ist ein Shift. ii) h End K (V ) ist ein Shift - h ist nilpotent - x V ist l(x) = dim K (V ) 6.18 Satz (Jordansche Normalform) Sei f End K (V ), dim K (V ) <. Zerfällt p f vollständig in Linearfaktoren in K[T ], so gibt es eine Blockzerlegung V = V 1 V r von f und Shifts h i End K (V ), λ i K, so dass f Vi = λ i id Vi + h i Dabei sind die λ i genau die Eigenwerte von f Bemerkung Ist K algebraisch abgeschlossen, etwa K = C, so gilt die Behauptung in (6.18) für alle Endomorphismun endlich dimensionaler K-Vektorräume Definition Ist h End K (V ) ein Shift, so heißt n = dim K (V ) die Länge von h. (Also h k = 0 k Länge von h.) 6.21 Lemma Sei h End K (V ) ein Shift, V 0. Dann i) dim(kern(h)) = 1. getext: Julia Wolters 29

5 KAPITEL 6. DIE JORDANSCHE NORMALFORM ii) p h = T n, n = Länge von h = dim K (V ). iii) Für λ 0 ist λid + h) AUT K (V ) Lemma Sei h End K (V ) ein Shift. Sei λ K, f = λid + h. Dann i) λ ist dann der einzige Eigenwert von f und dim(v λ ) = 1. ii) p f = (T λ) n, n = dim K (V ) Proporsition Sei f End K (V ), dim K (V ) <. Sei V = V 1 V s eine Blockzerlegung für f. Dann i) Ist v = (v v s ), v i V, i = 1,, s, ein Eigenvektor zum Eigenwert λ von f, so gilt v k 0 v k ist Eigenvektor zum Eigenwert λ. ii) Für p K[T ] gilt p(f) = 0 p(f Vk ) = 0 für k)1,, s 6.24 Satz Sei f End K (V ), dim K (V ) <. Weiter sei p f = (T λ) n λ wobei Λ = {Eigenwerte von f}. Dann gibvt es eine Blockzerlegung V = V 1 V s für f, λ 1,, λ s Λ, Shifts h k End K (V k ), k = 1,, s, so dass (1) f Vk = λ K Id + h k (2) dim K (V λ ) = {k λ k = λ} für λ Λ. (3) Für λ Λ ist n λ = max{dim K (V k ) λ k = λ}. λ Λ 6.25 Bemerkung i) Für λ K, n N heißt J n,λ = der Größe n zum Eigenwert λ. λ λ K n n ein Jordankasten 30 getext: Julia Wolters

6 Vorlesung SS 2010 Lineare Algebra 2 Prof. Dr. Bartels ii) Die Behauptung in (6.18) lässt sich dann auch wie folgt formulieren: Es gibt eine J Basis X von V, so dass A f,x,x =.... 0, wobei J k K n k n k ein 0. 0 J s Jordankasten der Größe n k zum Eigenwert λ k ist. J (6.1) 0. 0 J s heißt dann auch die Jordansche Normalform zu f. iii) (6.24) impliziert (2) dim K (V λ ) = Anzahl der Jordankästen zum Eigenwert λ in (6.1) (3) n λ ist die Größe des größtem Jordankasten zum Eigenwerte λ in (6.1). J iv) Ist Y eine weiter Basis, so dass A f,y,y = mit Jordankästen 0. 0 J s J 1,, J s, so gib es eine Projektion ϕ : {1,, s} {1,, s } (insb. s = s ), so dass J k = J ϕ(s). Die Jordansche Normalform ist also bis auf Umnommerieung eindeutig. getext: Julia Wolters 31