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1 Metrische Räume Mit Hilfe einer Norm können wir den Abstand x y zweier Punkte x, y messen. Eine Metrik ist eine Verallgemeinerung dieses Konzepts: Metriken. Es sei M eine beliebige Menge. Wir nennen eine Abbildung d : M M R 0 eine Metrik auf M, sofernsiefolgendeaxiomeerfüllt: (D1) d(x, y) 0, d(x, y) =0 x = y, x,y M (D2) d(x, y) =d(y, x), x,y M (D3) d(x, z) d(x, y) +d(y, z), x,y,z M Dreiecksungleichung Das Paar (M,d) nennt man einen metrischen Raum Beispiele. Ist X ein normierter Raum, so ist durch d(x, y) = x y eine Metrik auf X definiert. Auf einer beliebigen Menge wird durch d(x, y) = 1,falls x y und d(x, x) = 0 eine Metrik, die sogenannte diskrete oder triviale Metrik, definiert. Nicht jede Metrik kommt daher von einer Norm her. Es sei X ein Vektorraum, auf dem eine Folge 1, 2, 3,... von Normen gegeben ist. Dann wird - was nicht ganz offensichtlich ist - durch 1 x y k d(x, y) = 2 k 1+ x y k eine Metrik auf X definiert. k=1 Klar ist: Lemma. Ist (M,d) ein metrischer Raum und A M so liefert die Einschränkung von d auf A A eine Metrik auf A ( induzierte Metrik ). Im Folgenden sei (M,d) ein metrischer Raum. Viele Begriffe verallgemeinern sich unmittelbar von normierten auf metrische Räume: Definition. Es sei (M,d) ein metrischer Raum. Ist x M und ε>0, sonenntmanb(x, ε) ={y M : d(x, y) <ε} die ε-kugel um x. Man nennt eine Menge U eines metrischen Raums offen, falls zu jedem x U ein ε>0 existiert mit B(x, ε) U. Man nennt A M abgeschlossen, falls M \ A offen ist. Eine Folge (x k ) konvergiert gegen x, fallszujedemε ein n 0 existiert, so dass d(x k,x) <ε für alle k n 0. (f) (x n ) heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem ε ein n 0 existiert, so dass d(x k,x l ) <εfür alle k, l n 0. Wir sprechen von einem vollständigen metrischen Raum, falls jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat. (g) Für A M heißt diama =sup{d(x, y) :x, y A} R 0 { }der Durchmesser von A. (h) Eine Funktion f : M N zwischen zwei metrischen Räumen heißt stetig, falls das Urbild jeder offenen Menge offen ist Bemerkung. Es seien (M,d), (N,d ) metrische Räume. Man sieht wie in Analysis 1:

2 28 Die Mengen M und sind in M sowohl offen als auch abgeschlossen; beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen, beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen (7.2). Die Mengen B(x, ε), x M, ε>0, sindoffen,(7.2). A M ist genau dann abgeschlossen, falls für jede Folge (x k ) in A mit x k x M gilt: x A (7.4). Ein Element y M heißt Häufungspunkt von X M, fallszujedemε>0ein x X, x y existiert mit x B(y, ε). DieMengeallerHäufungspunktevonM ist abgeschlossen (7.5). Eine Funktion f : M N ist genau dann stetig, wenn für jede Folge (x k ) in M mit x k x M gilt f(x k ) f(x) N. Äquivalent:Zujedemx M und jedem ε>0 existiert ein δ>0derart, dass d (f(x),f(y)) <ε,fallsd(x, y) <δ(6.2, 7.14) Definition. Hängt in 15.5 das δ nicht von dem x ab, so heißt f gleichmäßig stetig Zum Nachdenken. Es sei M eine Menge mit der diskreten Metrik. Dann ist jede Teilmenge von M offen und abgeschlossen. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie ab einem festen Index konstant ist. M ist vollständig. Es sei (X, d) der metrische Raum aus (Ein Beispiel ist der Raum C ([0, 1]) der auf [0, 1] beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit f k =max{ f (j) sup : j = 0, 1,..., k}, derso,wiewirspätersehenwerden,einvolllständigermetrischer Raum wird.) Überlegen Sie sich: Eine Folge (x n ) konvergiert gegen x,genaudann,wenn x n x k 0 für k =1, 2, Definition. Es sei X M, x M. Eine Umgebung von x ist eine offene Menge, die x enthält. Wir nennen x einen inneren Punkt von X, fallsx eine Umgebung von x enthält. Mit X ( Innneres von X ) bezeichnen wir die Menge aller inneren Punkte von X. x heißt Randpunkt von X, fallsjedeumgebungvonx in M sowohl ein Element aus X als auch eines aus M \ X enthält (es muss nicht notwendig x X gelten!). Der Rand X von X ist die Menge aller Randpunkte von X. (f) X = X X nennt man den Abschluss von X in M Lemma. Mit obigen Bezeichnungen gilt: X = X X (disjunkt). X besteht aus X vereinigt mit den Häufungspunkten von X. X ist abgeschlossen. X = A,wobeiderDurchschnittüberalleabgeschlossenenMengengebildet wird, die X enthalten. X ist abgeschlossen. Beweis. NachDefinitionistdieVereinigungdisjunkt.Klar:X X X. Istx X \ X, so ist x X, undesgibteineumgebungvonx, diekeinelementvonm \ X enthält. Also x X. Sei x ein Häufungspunkt von X. Ist x X so ist x X. Ist x / X, so enthält jede Umgebung von x ein Element von X (da Häufungspunkt) aber auch eines von M \ X, nämlich x. Alsoistdannx X. SomitliegenalleHäufungspunkteinX. Andererseitsbesteht X \ X nach Definition aus Häufungspunkten von X.

3 Ist y / X, so ist y / X, und es gibt eine Umgebung von y, die kein Element von X enthält. Dann enthält diese Umgebung auch keinen Häufungspunkt von X, denn mit diesem Punkt enthielte sie auch eine Umgebung davon. Also ist M \ X offen bzw. X abgeschlossen. X ist eine abgeschlossene Menge, die X enthält. Jede abgeschlossene Menge, die X enthält, enthält auch die Häufungspunkte von X, also nachauch X. M \ X = X (M \ X) ist offen Definition. Es sei (M,d) ein metrischer Raum. Wir nennen K M folgenkompakt, falls jede Folge in K eine Teilfolge hat, die gegen ein Element von K konvergiert. Wir nennen K M kompakt, wenn K die Überdeckungseigenschaft hat: Zu jeder Familie U i, i I, vonoffenenmengenmit i U i K (man nennt dies offene Überdeckung ) existiert eine endliche Indexmenge i 1,...,i m mit m j=1 U i j K. (Mannenntdieseine endliche Teilüberdeckung). Bisher hatten wir nur mit Folgenkompaktheit operiert. Wir zeigen wir nun, dass die beiden Begriffe in metrischen Räumen äquivalent sind. Damit lassen sich dann alle unsere Beweise aus Kapitel 7 übertragen. Als Beispiel für die Argumentation ohne Folgenkompaktheit hier ein Lemma: Lemma. Es sei K eine kompakte Teilmenge des metrischen Raums (M,d). Dann ist jede abgeschlossene Teilmenge A von K kompakt. Beweis. EsseiU i,i I, einefamilieoffenermengenmit U i A. Dannist U i (M \ A) eine offene Überdeckung von K. NachVoraussetzungfindenwireineendlicheMengei 1,...,i K mit K U ij (M \ A) K. j=1 Es folgt, dass K j=1 U i j A Lemma. Ist K M folgenkompakt, so ist diam K<. Beweis. GäbeesFolgen(x k ) und (y k ) in K mit d(x k,y k ),sohätte(wegenderfolgenkompaktheit) (x k ) eine konvergente Teilfolge (x kj ) gegen ein x K und (y kj ) wiederum eine konvergente Teilfolge (y jkl ) gegen ein y K. Fürhinreichendgroßesl wäre d(x jkl,x) < 1 und d(y jkl,y) < 1, also Widerspruch. d(x jkl,y jkl ) d(x jkl,x)+d(x, y)+d(y,y jkl ) <d(x, y) Satz. In einem metrischen Raum sind Kompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent. Beweis. EsseiK M. Essei(x k ) eine Folge in K. Fürn =1, 2,... definieren wir F n K als den Abschluss (s. 15.8) von x n,x n+1, Schritt:Wirzeigen,dassderSchnitt F n nichtleer ist. Wäre er leer, so wäre (M\F n ) demorgan = M \ F n = M K eine offene Überdeckung von K. NachAnnahmegäbeeseineendliche Teilüberdeckung: K N n=1 (M \ F de Morgan n) = M \ N n=1 F n.diesistoffensichtlichfalsch:es fehlen die Elemente x N+1,x N+2,... der Folge. 29

4 30 2. Schritt: Alsoexistiertmindestenseinx in dem Schnitt. Dies heißt aber gerade, dass eine Teilfolge von (x k ) gegen x konvergiert: Da x im Abschluss jeder der Folgen x j,x j+1,... liegt, existiert zu ε j = 1 j > 0 ein x n j mit n 1 <n 2 <...und d(x nj,x) <ε j. (indirekt) Angenommen, es gäbe eine Überdeckung λ Λ U λ von K ohne endliche Teilüberdeckung (d.h. von der wir nicht endlich viele Mengen U λ so auswählen können, dass sie K überdecken). 1. Schritt: WirkönnenK durch eine endliche Menge von Kugeln B(y j, 1/2) überdecken; sonst könnten wir nämlich induktiv eine Folge ohne konvergente Teilfolge konstruieren (und zwar so: z 0 sei beliebig gewählt. Sind z 0,...,z j 1 bereits gewählt, so wissen wir, dass K \ j 1 k=1 B(z k, 1/2) mindestens ein Element z j enthält. Dann ist d(z k,z j ) 1/2 für alle k<j.folglichkanndieso konstruierte Folge keine konvergente Teilfolge haben.). 2. Schritt: Davongibtes(nachAnnahme)mindestenseineKugel,etwaB(x 1, 1) mit der Eigenschaft, dass K 1 = K B(x 1, 1/2) keine endliche Teilüberdeckung hat. Wir überdecken K 1 mit endlich vielen Kugeln B(y j, 1/4). Füreinedavon,etwaB(x 2, 1/4) hat K 2 = K B(x 2, 1/4) keine endliche Teilüberdeckung. Iterativ erhalten wir eine Folge von Mengen, K j = K B(x j, 2 j ) mit x j K, vondenenkeine eine endliche Teilüberdeckung hat (insbesondere ist K j ). 3. Schritt: NachAnnahmehatdieFolgeihrerMittelpunkte(x j ) eine konvergente Teilfolge, etwa mit Grenzwert x. Dannliegtx in einer der Mengen U λ,etwau λ0.nunistu λ0 offen. Folglich gibt es ein ε>0 mit B(x, ε) U λ0.wirfindeneinj, sodassd(x j,x) <ε/2 und 2 j <ε/2. Dann gilt B(x j, 2 j ) B(x, ε) U λ0, im Widerspruch zu der Annahme, dass B(x j, 2 j ) nicht durch endlich viele der U λ überdeckt werden kann. Wie in Kapitel 7 sieht man nun: Satz. Eine kompakte Menge ist abgeschlossen. Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. Eine stetige Funktion ist auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig. Eine stetige reellwertige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihr Maximum und ihr Minimum an Einnerung. Es sei M kompakt. Dann können wir auf dem Raum C(M) der stetigen (komplex- oder reellwertigen) Funktionen auf M durch f sup =max{ f(x : x M} eine Norm, die sog. Supremumsnorm, definieren Satz. Ist M kompakt, so ist C(M) ein Banachraum bezüglich der Supremumsnorm. Beweis. Essei(f k ) eine Cauchy-Folge in C(M). Washeißtdas?Zuε>0 existiert ein n 0 so, dass (1) f k f l <εfür alle k, l n 0 bzw. f k (x) f l (x) <εfür alle k, l n 0,x M. Schritt 1. Wir suchen eine Grenzfunktion. (Trick) Es sei x M fest. Dann ist wegen (1) die Folge (f n (x)) eine Cauchyfolge in C. SiehatalsoeinenGrenzwert,denwirf(x) nennen. Wir erhalten so eine Funktion f : M C.

5 Schritt 2. (f n ) konvergiert gegen f in der Supremumsnorm. (Trick) Es sei ε>0. Wählen 0 so, dass f k (x) f l (x) <ε/2 für alle k, l n 0, x M. Danngiltaberauch (2) f k (x) f(x) ε/2 <εfür alle k n 0,x M, denn für die Folge a l = f k (x) f l (x) gilt a l <ε/2 für alle l n 0,alsowegenderStetigkeit der Betragsfunktion f k (x) f(x) =lima l ε/2. (2) zeigt die Konvergenz f k f in der Supremumsnorm. Schritt 3. f ist stetig, weil der gleichmäßge (=sup-norm-) Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen stetig ist Definition. Eine Menge Z in einem metrischen Raum M heißt zusammenhängend, falls sie sich nicht durch zwei disjunkte offene Teilmengen von M, diemitz jeweils nichtleeren Durchschnitt haben, überdeckt werden kann. Mit anderen Worten: Finden wiroffeneteilmengenu, V M mit Z U V,soistZ U = oder Z V =. Eine Menge W heißt wegzusammenhängend, falls je zwei Punkte durch einen stetigen Weg verbunden werden können (d.h.zu x, y W existiert eine stetige Abbildung γ :[0, 1] W mit γ(0) = x, γ(1) = y) Lemma. Die zusammenhängenden Mengen in R sind die Intervalle. Beweis. Übung Lemma. Ist f : M N eine stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen M und N, so ist das Bild jeder zusammenhängenden Teilmenge Z von M in N zusammenhängend. Beweis. Esseif(Z) U V mit disjunkten offenen Mengen U, V M. DannistZ f 1 f(z) = f 1 (U) f 1 (V ).WegenderStetigkeitvonf sind f 1 (U) und f 1 (V ) offen. Da Z nach Annahme zusammenhängend ist, muss also f 1 (U) Z = oder f 1 (V ) Z = gelten. Also ist eine der Mengen f(z) U oder f(z) V leer Satz. Jede wegzusammenhängende Menge W ist zusammenhängend. Jede zusammenhängende offene Teilmenge X des R n ist wegzusammenhängend. Beweis. Annahme, W ist nicht zusammenhängend; W U V und x U W, y V W.DannexistierteinstetigerWegγ :[0, 1] W mit γ(0) = x, γ(1) = y. Als Bild der zusammenhängenden Menge [0, 1] ist γ([0, 1]) zusammenhängend im Widerspruch dazu, dass wir schreiben können γ([0, 1]) U V mit x γ([0, 1]) U und y γ([0, 1]) V. Es sei X offen und zusammenhängend. Wähle a X beliebig. Setze X a = {x X : γ C([0, 1],X) mit γ(0) = a, γ(1) = x}. 1. Schritt. X a ist offen. Ist x X a und ε so klein, dass B(x, ε) X, solässtsichjederpunkt y aus B(x, ε) mit a verbinden, indem man zuerst auf einem stetigen Weg nach x geht und von dort auf gerader Strecke nach y. 2. Schritt. X \ X a ist ebenfalls offen: Es sei x X. Dannexistierteinε>0 mit B(x, ε) X. Angenommen, es gäbe ein y X a B(x, ε). Dannsoliessesichx mit a auf stetigem Weg verbinden: Zunächst geht man auf einem geeigneten Weg nach y, dann auf gerader Strecke nach x. Dies liefert eine Zerlegung von X in zwei disjunkte offene Mengen. Da X zusammenhängend ist, muss eine leer sein. Notwendigerweise ist dies X \ X a. 31

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