7 Metrische Räume Der euklidische Raum Definition von IR n Definition des Skalarproduktes und der euklidischen Norm

Transkript

1 7 Metrische Räume Der euklidische Rum Definition von IR n IR n = IR IR IR n-ml Für x IR n wird x = (x 1, x 2,..., x n ) geschrieben. Dies ist ein n-tupel. Dbei ist x ν Komponente oder Koordinte von x. Im IR 2 wird llgemein ds Pr (x, y) sttt (x 1, x 2 ) benutzt. Im IR 3 wird llgemein ds Tripel (x, y, z) sttt (x 1, x 2, x 3 ) benutzt. Der IR n ist ein Vektorrum (linerer Rum) über IR mit die ν-te x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) λx := (λx 1, λx 2,..., λx n ) mit λ IR Es ist dim IR n = n. Die Stndrdbsis ist e ν := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) mit ν = 1,..., n x = (x 1,..., x n ) = x 1 e 1 + x 2 e x n e n 0 := (0, 0,..., 0) Definition des Sklrproduktes und der euklidischen Norm Für x, y IR n heißt x y := x 1 y 1 + x 2 y x n y n Sklrprodukt (Innenprodukt) zwischen x und y, und x := x x heißt euklidische Norm von x. Ausführlich: x = n ν=1 x 2 ν Eigenschften des Sklrproduktes (S1) x x > 0 für x 0. (S2) (λx) y = λ(x y). (S3) (x + y) z = x z + y z. (S4) x y = y x. 1 Version 184 vom 13. Februr

2 7 Metrische Räume Cuchy-Schwrz sche Ungleichung (Bunjkowskij) x y x y und = genu dnn, wenn x und y liner bhängig sind. Anders geschrieben: n 2 ( n x ν y ν ν=1 ν=1 x 2 ν ) ( n ) yν 2 ν=1 Trivil für x = 0 oder y = 0. Zunächst für x = y = 1: Für t IR gilt Setze nun t = t 0 := x y. Dnn ist 0 x + ty 2 = (x + ty) (x + ty) = x 2 + 2t(x y) + t 2 y 2 = 1 + 2t(x y) + t 2 = (t + (x y)) (x y) (x y) 2 (x y) 2 1 = x y = genu dnn, wenn x + t 0 y = 0 ist, d. h. wenn x und y liner bhängig sind. Allgemeiner Fll: Setze x x = ξ und y = η ξ = η = 1 y x y = ( x ξ) ( y η) = x y ξ η 1 x y = genu dnn, wenn ξ und η, d. h. x und y liner bhängig sind. Bechte: Für den Beweis wurden nur die Regeln (S1)-(S4) gebrucht! Eigenschften der Euklidnorm (N1) x > 0 für x 0 (Definitheit). (N2) λx = λ x für λ IR (Homogenität). (N3) x + y x + y (Dreiecksregel). (N4) x y x + y (Umgekehrte Dreiecksungleichung) (folgt us (N3)). 158

3 7.1 Der euklidische Rum (N3) x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + 2x y + y y (1) x x y + y 2 CSU x x y + y 2 = ( x + y ) 2 = = bei (1) und CSU x y 0 und x, y liner bhängig x = 0 oder y = 0 oder y = λx mit λ 0 (N4) Es ist x = x + y y. Dmit ist x = (x + y) y (N3) x + y + y = x + y + y Dmit ist x y x + y. Genuso wird y x x + y gezeigt und dmit folgt die Behuptung Stz des Pythgors Für x, y IR n mit x y = 0 ist x + y 2 = x 2 + y 2 (x, y orthogonl, x y). x + y 2 = x x y + y 2 = x 2 + y 2. = Definition: Norm, Normierter Rum Sei E ein Vektorrum über IR. Eine Abbildung. : E IR, x x heißt Norm, wenn sie die Eigenschften (N1)-(N3) ht (Es gilt immer uch (N4)). E, oder genuer (E,. ) heißt dnn normierter Rum Beispiele () Nehme zu E = IR n die Euklidnorm. (b) Nehme zu E = IR n die Mximumsnorm x := Beweis für (N3): Für festes ν = 1,..., n ist Also ist insgesmt x + y x + y. n mx ν=1 x ν. x ν + y ν x ν + y ν x + y 159

4 7 Metrische Räume (c) Nehme zu E = IR n die Summennorm x 1 := n ν=1 x ν. Beweis für (N3): n n x ν + y ν x ν + ν=1 x ν + y ν ν=1 n y ν (d) Nehme zu E = C([, b]) = Rum der stetigen Funktionen [, b] IR die Mximumsnorm f := mx{ f(t) : t b}. Beweis für (N3): Für t b ist ν=1 f(t) + g(t) f(t) + g(t) f + g f + g f + g (e) Nehme zu E = s = {( n ): n IR, n 1, ( n ) beschränkt} die Supremumsnorm ( n ) := sup { n : n IN}. Beweis für (N3): Für n = 1, 2, 3,... ist n + b n n + b n ( n ) + (b n ) Dmit ist dnn ( n + b n ) ( n ) + (b n ) Definition: Sklrprodukt Sei E ein Vektorrum über IR. Eine Abbildung E E IR, (x, y) x y, mit den Eigenschften (S1)-(S4) heißt Sklrprodukt uf E (Innenprodukt) Stz Ist x y ein Sklrprodukt uf E, so gilt die Cuchy-Schwrz sche Ungleichung und x := x x ist eine Norm Beispiele 1. Sei E = C([, b]) mit dem Innenprodukt b (f g) := f(t)g(t) dt Dnn ist b f 2 := (f(t)) 2 dt, f = (f f) = Es gilt die Cuchy-Schwrz sche Ungleichung: b 2 f(t)g(t) dt b b b (f(t)) 2 dt (g(t)) 2 dt. (f(t)) 2 dt 160

5 7.2 Topologische Grundbegriffe Weise die Eigenschft (S1) nch: (f f) > 0, flls f nicht die Nullfunktion ist: Sei t 0 [, b], so dß f(t 0 ) 0 ist. Dnn existiert ein δ > 0 mit f(t) > k > 0 in I = [, b] (t 0 δ, t 0 + δ) und dmit ist 2. Sei (f f) = b E = (f(t)) 2 dt k 2 Länge von I > 0. { ( n ): } 2 n konvergiert n=1 Ist E ein linerer Rum? Zu zeigen ist, dß für ( n ), (b n ) E uch ( n + b n ) E ist. Es ist ( n + b n ) 2 = 2 n + 2 n b n + b 2 n. Dies konvergiert, wenn 2 n b n konvergiert, d die nderen Terme nch Vorussetzung konvergent sind. Es ist N n b n n=1 Also konvergiert n b n. n=1 Ds Sklrprodukt ist hier: CSU im IR n (( n ) (b n )) := N n 2 n=1 N b n 2 n=1 2 n b 2 n =: C n=1 n b n Aufgbe: Beweise (S1)-(S4) mit Hilfe der Regeln für Reihen. Bemerkung: Der Rum in diesem Beispiel wird l 2 ( L-zwei ) gennnt und n = heißt l 2 -Norm. 7.2 Topologische Grundbegriffe Definition: Metrik, metrischer Rum Sei M eine Menge. Eine Abbildung d: M M [0, ) mit den Eigenschften (M1) d(x, y) > 0 für x y und d(x, x) = 0 (Definitheit) (M2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) (M3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung) heißt Metrik. Aus (M2) und (M3) folgt (M4) d(x, z) d(z, y) d(x, y) (umgekehrte Dreiecksungleichung). M mit der Metrik d heißt metrischer Rum. n=1 n=1 2 n n=1 161

6 7 Metrische Räume Es ist d(x, z) d(x, y) + d(y, z), lso ist d(x, z) d(y, z) d(x, y). Zeige genuso, dß d(y, z) d(x, z) d(y, x) = d(x, y) ist. Zusmmen ist dnn d(x, z) d(y, z) d(x, y) Beispiele (1) E sei normierter Rum mit der Norm.. Dnn ist d(x, y) := x y eine Metrik, insbesondere (2) IR n mit Euklidmetrik: d(x, y) := n (x ν y ν ) 2 ν=1 (3) IR n mit Metrik von Mnhtten: d(x, y) = n x ν y ν = x y 1 ν=1 (4) Metrik des frnzösischen Eisenbhnsystems: Wenn mn von einem Punkt zum deren will, muß mn entweder über P (Pris) fhren, oder beide Punkte liegen n der gleichen Eisenbhnstrecke nch Pris. (5) Sei (E,. ) ein normierter Rum. Dnn ist d(x, y) = ebenflls eine Metrik, wobei d(x, y) < 1 ist. Beweise (M1)-(M3) ls Aufgbe. Tip zu (M3): t x y 1 + x y t 1+t ist monoton wchsend für 0 t <. (6) (M, d) sei metrischer Rum und N M, N. Dnn ist (N, d) ein metrischer Rum (N erbt die Metrik von M). A Offene Mengen In diesem Abschnitt bedeuten immer M ein metrischer Rum, d eine Metrik, A, B, C,... M, x, y,,... M und r, ϱ, ε, δ,... > Definition: Offene Kugel K(, r) = {x M : d(x, ) < r} heißt offene Kugel um mit Rdius r > Beispiel im IR 2 : (1) Euklid (2) Mnhtten d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 (3) d(x, y) = mx( x 1 y 1, x 2 y 2 ) Hier ist jedesml die Kugel K((0, 0), 1) drgestellt..... (2) (1) (3) 162

7 7.2 Topologische Grundbegriffe Definition: Innerer Punkt, Inneres, offen (1) A heißt innerer Punkt von A, wenn es eine Kugel K(, r) A gibt. (2) A 0 = {x: x ist innerer Punkt von A} heißt Inneres oder offener Kern von A. (3) A heißt offen, wenn A nur us inneren Punkten besteht Beispiel Im IR n mit der Euklidmetrik. Behuptung: Für IR n mit = 1 und α IR ist H = {x IR n : x > α} offen. Sei x H. Dnn ist x = α + δ > α. Behuptung: K(x, δ) H. Sei ξ K(x, δ). D. h. ξ = x + δy mit y < 1. Ist ξ H? ξ = x +δ y CSU α + δ δ y =α+δ =1 <1 Also ist ξ H, K(x, δ) H und x ist innerer Punkt Stz (), M, K(, r), A 0 sind offen. (b) Sind A 1,..., A m offen, so ist A 1 A m offen. (c) Ist A λ für λ Λ offen, so ist A λ offen. λ Λ (), M offen ist klr. K(, r): Sei b K(, r). Dnn ist δ = r d(, b) > 0. Zeige: K(b, δ) K(, r). Sei x K(b, δ). Dnn ist > α d(x, ) d(x, b) + d(b, ) < δ + r δ = r, <δ =r δ lso x K(, r). A 0 : Sei A 0. Dnn ist innerer Punkt von A, lso existiert eine Kugel K(, r) A. Ist diese Kugel A 0? Sei b K(, r). Dnn ist b innerer Punkt von K(, r), d. h. es existiert ein δ > 0 mit K(b, δ) K(, r) A. Für b A 0 folgt lso K(, r) A 0, d. h. (A 0 ) 0 = A 0. (b) Sei A 1 A m = A. Wenn A ist, existieren r j > 0 mit K(, r j ) A j für j = 1,..., m. Setze r := min{r 1,..., r m }. Dnn ist K(, r) K(, r j ) A j für j = 1,..., m, lso ist K(, r) A, A ist offen. (c) Sei A = A λ und A, lso A j für ein λ. Dnn existiert ein r > 0 mit K(, r) A λ A. λ Λ A ist offen. 163

8 7 Metrische Räume Achtung: Sei A j = Bemerkung { } ( ) x IR n : x < 1 j = K 0, 1 j im IR n. A j = {0} ist nicht offen k=1 Jede Menge A mit K(, r) A für irgendein r > 0 heißt Umgebung des Punktes. B Folgen In diesem Abschnitt ist M ein metrischer Rum, M und n M für n = 1, 2, Definition: Folge Eine Abbildung IN M, n n, heißt Folge, und wird mit ( n ) bezeichnet. ( n ) heißt konvergent gegen A, wenn lim d( n, ) = 0 ist. Schreibweise: n für n, lim n =. Zu jedem ε > 0 n n gibt es ein n 0 mit d( n, ) < ε für lle n n Eigenschften () Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt. (b) Aus n und b n b folgt d( n, b n ) d(, b). (c) Aus n folgt d(, n ) const. für lle n. Konvergente Folgen sind uch beschränkt, d. h. es existiert eine Kugel, die lle n enthält. () Gelte n und n b. Dnn ist (b) Also ist d(, b) = 0, d. h. = b. 0 d(, b) d(, n ) + d( n, b) d( n, b n ) d(, b) = d( n, b n ) d( n, b) + d( n, b) d(, b) d( n, b n ) d( n, b) + d( n, b) d(, b) d(b n, b) + d( n, ) 0 (c) Sei ε = 1. Dnn ist d( n, ) < ε für n n 0 und d( n, ) c für n = 1, 2,..., n 0 1. Setze e = mx(1, c). Dnn ist n K(, e) für lle n. Gibt es uch ein r, so dß n K(b, r) für lle n ist? d( n, b) d( n, ) + d(, b) e + d(, b) =: r 164

9 7.2 Topologische Grundbegriffe Beispiel Nehme C([, b]) mit der Metrik d(f, g) := f g = mx f(t) g(t). Dnn sind äquivlent: t b 1. f n f im Rum, d. h. d(f n, f) 0 für n. 2. f n (t) f(t) gleichmäßig in [, b]. Sei ε > 0. Dzu existiert ein n 0, so dß für n n 0 gilt: f n (t) f(t) f n f < ε. Dies gilt für t b, d. h. es liegt gleichmäßige Konvergenz vor. Sei ε > 0. Dzu existiert ein n 0, so dß für n n 0 und lle t [, b] gilt: f(t) f n (t) < ε Wegen der gleichmäßigen Konvergenz ist f C([, b]), lso ist Stz Im IR n (mit Euklidmetrik) sind äquivlent: f n f = mx t b f n(t) f(t) < ε für n n Die Folge (x (m) ) konvergiert gegen x = (x 1, x 2,..., x n ). 2. Die Folgen (x (m) ν ) konvergieren für ν = 1,..., n gegen x ν. : Gelte x (m) x für m mit x = (x 1,..., x n ). Dnn ist für 1 ν n: d. h. x (m) ν x ν. x (m) ν x ν x (m) x 0 für m, : Gelte x (m) ν x ν für m und sei x := (x 1,..., x n ). Dnn ist x (m) x = n ( ) x (m) 2 CSU n ν x ν x (m) ν x ν 0 für m Regeln ν=1 Im IR n gelten die folgenden Regeln: (1) x (m) x, λ IR λx (m) λx. (2) x (m) x, y (m) y x (m) + y (m) x + y. (3) x (m) x, y (m) y x (m) y (m) x y, insbesondere x (m) x. ν=1 165

10 7 Metrische Räume Für (1) und (2): Aufgbe. Für (3) in der Globlübung vom 18. April Bemerkung: (1) und (2) gelten in jedem normierten Rum, (3) gilt in jedem Vektorrum mit Sklrprodukt. C Abgeschlossene Mengen In diesem Abschnitt ist (M, d) ein metrischer Rum, A, B,... M und n, M Definition: Rnd, bgeschlossen, Häufungspkt., bgeschl. Hülle (1) A M heißt bgeschlossen, wenn M \ A offen ist. (2) M heißt Häufungspunkt von A M, wenn es eine Folge ( n ) in A \ {} mit n gibt. (3) A ist die Menge ller Häufungspunkte von A. (4) Ā = A A ist die bgeschlossene Hülle von A. (5) A = Ā \ A0 ist der Rnd von A, die Punkte von A sind die Rndpunkte Beispiel Sei A = {x: x 1} im IR n mit Euklidmetrik. (1) A ist bgeschlossen, d. h. B = IR n \ A ist offen. Sei x B. Dnn ist x = 1 + δ mit δ > 0. Zeige K(x, δ) B: Sei y K(x, δ). Dnn ist y = y x + x = y x ( x) x y x > 1 + δ δ = 1. Also ist K(x, δ) B, x ist innerer Punkt von B, B ist offen und A bgeschlossen. (2) Es ist A = A = Ā. Sei A mit 0 und (m) = (1 1 m ). Es ist (m) und (m) = 1 1 m < 1 1, d. h. (m) A. Also ist Häufungspunkt von A und dmit A A. Jetzt ist noch A A zu zeigen: Sei A. Dnn gibt es eine Folge (m) A mit (m) (bzw. = lim m (m) ) und es ist = lim m (m) 1, 1 d. h. A. Also ist A = A und dmit uch Ā = A. (3) Es ist A 0 = {x: x < 1} = K(0, 1). K(0, 1) A 0 ist klr, d K(0, 1) A und K(0, 1) offen ist. Sei umgekehrt x A 0. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x, δ) A. Insbesondere ist x 1. Wenn x = 1 ist, setze y = x(1 + δ 2 ) und es ist y x = δ 2 x < δ, d. h. y K(x, δ). Es ist ber y = (1 + δ 2 ) x > 1, d. h. y / A. Widerspruch! Somit ist A 0 = K(0, 1). Also gilt A = {x: x = 1}. 166

11 7.2 Topologische Grundbegriffe Aufgbe Es ist bereits gezeigt, dß H = {x: x > α} für IR n, = 1 und α IR offen ist. Zeige: H = {x: x α} ist bgeschlossen. Bestimme die Häufungspunkte, ds Innere und den Rnd Stz (), M, A, Ā und A sind bgeschlossen. (b) A bgeschlossen A A A A A = Ā. (c) M ist Rndpunkt von A Es gibt Folgen ( n ) in A und b n in M \ A mit n und b n. (d) Sind A 1,..., A m bgeschlossen, so ist uch A 1 A m bgeschlossen. (e) Sind A λ für λ Λ bgeschlossen, so ist λ Λ A λ bgeschlossen. () und M klr. Beweis für Ā. Es ist Ā = A A. Sei B = M \ Ā und b B. Es gilt: b / A und b / A. Also existiert keine Folge ( n ) in A mit n b und n b. Dnn existiert uch keine Folge ( n ) in A mit n b, d. h. es existiert ε > 0 mit K(b, ε) A = und K(b, ε) A =. Es ist lso K(b, ε) B, d. h. b B 0. B ist offen, Ā ist geschlossen. (b) Zeige hier: A ist bgeschlossen A = Ā : A = Ā, lso ist A bgeschlossen. : Zeige A = Ā. : Es ist A A A = Ā : Sei Ā = A A. Dnn ist A (o.k) oder A. Sei lso A, d. h. es existiert ein Folge ( n ) in A mit n und n. Wäre / A, dnn wäre B = M \ A. Dbei ist B offen. Somit gibt es ε > 0 mit K(, ε) B. Für n n 0 ist dnn d( n, ) < ε, d. h. n K(, ε) B = M \ A. Dnn wären die n / A. Widerspruch zu n A. Also muß A sein. (c) : Sei A = Ā \ A0. Dnn ist A oder A. Für A existiert eine Folge ( n ) A \ {} mit n. Für A \ A Setze n =. D / A 0, folgt dß zu jedem ε > 0, z. B. zu ε = 1 n existiert eine Folge b n / A, ber d(, b n ) < 1 n. : Sei n A mit n (1) und b n / A mit b n (2). Aus (1) folgt A oder A, lso Ā. Aus (2) folgt / A 0. Zusmmen gilt: Ā \ A0 = A. 167

12 7 Metrische Räume (d) Nch demorgn gilt: M \ (A 1 A m ) = (M \ A 1 ) (M \ A 2 ) (M \ A m ) ist offen. offen (e) Ebenso gilt: ( ) M \ A λ λ Λ = λ Λ M \ A λ offen ist offen. 7.3 Kompkte und vollständige Räume Definition: Kompkt Sei (M, d) ein metrischer Rum und A M. A heißt kompkt, wenn jede Folge in A eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A besitzt Stz Kompkte Mengen sind bgeschlossen und beschränkt, d. h. zu A existiert ein r > 0 mit d(x, ) r für lle x A. Sei A, d. h. es existiert eine Folge ( n ) in A mit n. Nch Definition ist ber A und dmit A A. A ist bgeschlossen. Zeigen noch: r := sup{d(x, ): x A} <. Es existiert ein Folge (x n ) in A mit d(x n, ) r. Es existiert ein konvergente Teilfolge (x nk ) mit x nk x A. Dmit ist r = lim d(x n k, ) = d(x, ) IR, d. h. r <. k Beispiel Sei M = C([, b]) mit d(u, v) := b (u(t) v(t)) 2 dt = u v und A = {u C([, b]): u 1}. A ist beschränkt. A ist bgeschlossen: Sei u A, d. h. es gibt eine Folge u n A mit u n u, u stetig (u M) und es ist b u = (u(t)) 2 dt = lim u n 1, n 1 d. h. u A. Also ist A bgeschlossen. A ist nicht kompkt (zeige dies hier für ds Intervll [, b] = [ π, π]): Setze u n (t) = 1 2π sin nt. Dnn ist u n 2 = π π 1 2π (sin nt)2 dt = 1 168

13 7.3 Kompkte und vollständige Räume und u n u m 2 = π π π (sin nt) (sin mt) dt +1 = 2 } {{ } =0 für n m u n u m = 2 keine konvergente Teilfolge u nk knn existieren, sonst 0 u nk +q u nk = 2 Widerspruch Stz von Bolzno-Weierstrß () Im IR n ist jede beschränkte und bgeschlossene Menge kompkt. (b) Im IR n besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge (siehe uch 2.3.3, Seite 26). () Sei A IR n beschränkt und bgeschlossen und (x (m) ) eine Folge in A. Nch (b) existiert eine konvergente Teilfolge (x (m k) ) mit x (m k) x A A = A. d. h. A ist kompkt. Dbei gilt, d A bgeschlossen ist. (b) Induktion nch der Dimension n: n = 1: Siehe 2.3.3, Seite 26. n n + 1: Sei x IR n+1, x = (x 1, x 2,..., x n+1 ). Setze y = (x 2,..., x n+1 ) IR n. Splte die Folgenglieder x (m) uf in x (m) = (x (m) 1, y (m) ) mit x (m) 1 IR und y (m) IR n. Dnn ist ( ) y (m) (im IR n ) x (m) (im IR n+1 ) = x (m) y (m) 2. (y (m) ) ist beschränkt im IR n, ht lso nch Induktionsvorussetzung eine konvergente Teilfolge (y m k). Die reelle Folge (x (m k) 1 ) ist beschränkt durch x 1 x, d. h. es existiert eine konvergente Teilfolge (x (m k j ) 1 ). (y (m k j ) ) konvergiert, lso konvergiert (x (m k j ) ) uch. Später wird einfch gesgt: OBdA 2 sind beschränkte Folgen im IR n uch konver- Bemerkung: gent Definition: Cuchyfolge, vollständig, Bnchrum Eine Folge (x n ) im metrischen Rum (M, d) heißt Cuchyfolge, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 gibt mit d(x n, x m ) < ε für n > m n 0. M heißt vollständig, wenn jede Cuchyfolge in M konvergent ist (mit Grenzwert in M). Ein normierter Rum (E,. ) heißt vollständig oder Bnchrum, wenn er mit der Metrik d(x, y) := x y vollständig ist. 2 Soll heißen: Ohne Bedenken des Autors. 169

14 7 Metrische Räume Beispiele/Bemerkungen () Jede konvergente Folge ist Cuchyfolge. Sei x n x. Dnn ist d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε für n > m n 0 <ε/2 <ε/2 n n 0 m n 0 (b) IR mit. ist Bnchrum (Cuchykriterium). (c) IR n ist ein Bnchrum (vollständig mit Euklidnorm). Sei (x (m) ) eine Cuchyfolge. Dnn ist für ν = 1,..., n x (m) ν x (k) ν x (m) x (k) < ε für m > k k 0. Also sind (x (m) ν ) Cuchyfolgen in IR mit x (m) ν x ν für m und ν = 1,..., n. Zusmmen ist dnn x (m) x = (x 1,..., x n ). (d) C([, b]) mit u = mx u(t) ist ein Bnchrum. t b Sei (u n ) eine Cuchyfolge, d. h. zu ε > 0 existiert ein n 0 mit u n (t) u m (t) u n u m < ε für n > m n 0 und t b. (7.1) Also konvergiert u n gleichmäßig gegen die Grenzfunktion u C([, b]). Noch zu zeigen, dß u m u in der Norm: Aus 7.1 folgt: Für n gilt dmit Also ist d. h. u m u im Rum (in der Norm). (e) C([, b]) mit u = b u n (t) u m (t) < ε. u(t) u m (t) ε für m n 0, t b. u u m ε für m n 0, (u(t)) 2 dt ist kein Bnchrum. Für ds Intervll [0, 1]: Setze { t 1/3 für 1/n t 1 u n (t) = n 1/3 für 0 t 1/n. Sein nun n > m. Dnn ist u n u m 2 = 1/m 1/n (u n (t) u m (t)) 2 dt = (n 1/3 m 1/3 ) 2 dt n (n1/3 ) 2 + 1/m 1/n 0 (t 1/3 ) 2 dt = n 1/3 + 3t 1/3 1/m < n 1/3 + 3 m 1/3 < 4m 1/3 < ε für m > 1/n ( ) 4 3. ε 1/m 1/n (t 1/3 m 1/3 ) 2 dt 170

15 7.4 Stetige Funktionen Also ist (u n ) eine Cuchyfolge. Zeige nun, dß (u n ) nicht in C([0, 1]) konvergiert. Annhme: u n u 0 für n für ein u C ( [0, 1]). Dnn gibt es zu ε > 0 ein n 0 mit u n u < ε für n n 0. Sei nun δ (0, 1) beliebig und n so groß, dß 1 n < δ ist.: 1 δ (t 1/3 u(t)) 2 dt 1 0 (u n (t) u(t)) 2 dt < ε 2 Es ist lso u(t) = t 1/3 in [δ, 1], d. h. u(t) = t 1/3 in (0, 1], ber es ist u / C([0, 1]). Widerspruch! Also konvergiert u nicht in C([0, 1]). 7.4 Stetige Funktionen Definition: Stetigkeit Es seien (M, d) und (N, ϱ) metrische Räume und f : M N. (1) f heißt stetig im Punkt x 0 M, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit [Äquivlent ist: f(k(x 0, δ) ) K(f(x 0 ), ε).] M N ϱ(f(x), f(x 0 )) < ε für lle x M mit d(x, x 0 ) < δ. (2) f heißt stetig (in M), wenn f in jedem Punkt x 0 M stetig ist. (3) f heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit ϱ(f(x), f(y)) < ε für x, y M mit d(x, y) < δ. Vergleiche uch mit den entsprechenden Definitionen in IR: uf der Seite 48 und uf der Seite Bemerkungen () Sei f : M \ {x 0 } N. lim f(x) = y 0 : zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 mit x x 0 ϱ(f(x), y 0 ) < ε für lle x M mit d(x, x 0 ) < δ, x x 0. (b) f ist in x 0 stetig für jede Folge (x n ) in M \{x 0 } mit x n x 0 ht (f(x n )) einen Grenzwert. Der gemeinsme Grenzwert ist dnn lim x x 0 f(x). (vgl. Folgenkriterium, uf Seite 45) 171

16 7 Metrische Räume Beispiel Sei f : IR 2 \ {(0, 0)} IR mit Behuptung: und der Grenzwert existiert nicht für α + β 2. f(x, y) = x α y β x 2 + y 2 für α, β > 0. lim = 0 α + β > 2 (x,y) (0,0) Sei t = mx( x, y ). Dnn ist Sei nun α + β 2. Dnn ist f(x, y) 0 = x α y β x 2 + y 2 Also existiert der Grenzwert nicht Komposition tα+β t 2 = t α+β 2 0 flls α + β 2 > 0 für (x, y) (0, 0) f(x, 0) = 0 f(0, y) = 0 f(x, x) = x α+β 2x 2 = 1 2 x α+β 2 { 1 x 0 2 für α + β = 2 + für α + β < 2 Seien (M, d), (N, ϱ) und (P, σ) metrische Räume, g : M N sei stetig in x 0 M und f : N P sei stetig in y 0 = g(x 0 ). Dnn ist h = f g : M P, h(x) := f(g(x)) stetig in x 0. Wie in (e), Seite Stz Sei M IR n, f : M IR n, IR n mit der Euklidmetrik und f = (f 1, f 2,..., f m ). f ist genu dnn stetig in ξ M, wenn lle f ν : M IR in ξ stetig sind. : Für ν = 1,..., n gilt: Also ist f ν stetig in ξ. f ν (x) f ν (ξ) f(x) f(ξ) < ε für x ξ < δ, x M 172

17 7.4 Stetige Funktionen : f(x) f(ξ) m f ν (x) f ν (ξ) <ε/m ν=1 für x ξ < δ ν. Gilt nun x ξ < δ = min{δ ν : ν = 1,..., m}, dnn ist f(x) f(ξ) m f ν (x) f ν (ξ) < ε. ν= Regeln für Funktionen vom Typ IR n IR m Sei M IR n, f, g : M IR m, ξ M und f, g stetig in ξ (in gnz M). Dnn ist () f + g (b) λf für λ IR (c) ds Sklrprodukt f g = f 1 g f m g m stetig in ξ (in gnz M). Wie in IR, siehe uf Seite Stz Ist A M kompkt und f : A N stetig, so ist f(a) N kompkt. Sei (y n ) Folge in f(a), d. h. y n = f(x n ) mit einem x n A. Dnn ist (x n ) Folge in A und es existiert eine konvergent Teilfolge x nk ξ A. Dnn gilt wegen der Stetigkeit von f für k y nk = f(x nk ) f(ξ) f(a) Stz vom Minimum und Mximum Sei A M kompkt, f : A IR sei stetig. Dnn gibt es x, x A mit f(x ) f(x) f(x ) für lle x A. Vergleiche uch mit uf Seite 49. D A kompkt ist, ist uch B = f(a) kompkt. Zeige nun noch (ls Aufgbe): Aus der Kompktheit von B IR n folgt mx B B und min B B. Idee: Nehme Folge b n B mit b n sup B. sup B <? sup B B? mx Definition: Äquivlenz von Normen Sei E ein Vektorrum über IR. Zwei Normen. α und. β heißen äquivlent, wenn es A > 0 und B > 0 gibt mit x β B x α und x α A x β für lle x E. 173

18 7 Metrische Räume Beispiel Sei E = IR n mit der Euklidnorm. und der Summennorm. 1. Dnn ist n x 1 = 1 x ν CSU n 1 2 n x 2 ν = n x ν=1 ν=1 ν=1 und x x Stz Im IR n sind lle Normen äquivlent. Für Die Euklidnorm. und eine beliebige Norm. N. Sei S n 1 = {x IR n : x = 1} die Oberfläche der Einheitskugel. Sei f : S n 1 IR mit f(x) = x N. Behuptung: f ist stetig: mit e ν, dem ν-ten Einheitsvektor f(x) f(y) = x N y N x y N n = ν y ν )e ν=1(x ν N CSU n x ν y ν e ν N ν=1 ν n e ν 2 N x y ν=1 } {{ } =:C Wähle für ε > 0 nun δ = ε C. Dnn ht f Minimum/Mximum uf Sn 1 : 0 < m f(x) M < uf S n 1. m x x N M x für x S n 1. x Sei nun x 0, x IR n. Setze ξ = x Sn 1. Dnn ist ξ N M und M ξ N = x x = 1 N x x = 1 N x x N, lso Zeige genuso: x N m x Bemerkung x N M x für x IR n \ {0} (uch für x = 0) Die Begriffe innerer Punkt, Häufungspunkt, Rndpunkt, A 0, Ā, A, A, Konvergenz von Folgen und Stetigkeit von Funktionen sind unbhängig definiert von der verwendeten Norm (dies gilt für lle endlich dimensionlen Räume). 174

19 7.5 Mehr über stetige Funktionen Beispiel Betrchte den Rum C([, b]). Die Normen sind nicht äquivlent! u = mx u(t) und u = t b b (u(t)) 2 dt Hier konkret für ds Intervll [, b] = [0, 1]: Es ist u 2 = 1 0 (u(t)) 2 dt mx 0 t 1 u(t) 2 = u 2, lso ist u u. Dgegen ist u C u für lle u C([0, 1]) nicht möglich. Annhme: Ein solches festes C > 0 existiert doch. Setze { t 1/3 in [ 1 u n (t) = n, 1] n 1/3 in [0, 1 n ]. Es ist und lso ist und es muß gelten: u n 2 < u n = n 1/ t 2/3 dt = 3t 1/3 = 3, u n < 3 n 1/3 = u n C u n < C 3 Widerspruch! Mehr über stetige Funktionen Stz von Heine Ist A M kompkt und f : A N stetig, so ist f gleichmäßig stetig (vergleiche uch mit , Seite 51). Annhme: f : M N [(M, d) und (N, ϱ)] ist nicht gleichmäßig stetig. Zu δ = 1, 1 2, 1 3,..., 1 n existieren die Folgen x n, y n A mit d(x n, y n ) < 1 n, ber mit ϱ(f(x n), f(y n )) η > 0. OBdA sei (x n ) konvergent (Kompktheit, nderenflls wähle konvergente Teilfolge): x n x A und y n x. 0 < η ϱ(f(x n ), f(y n )) Stetigkeit ϱ(f(x), f(x)) = 0 Widerspruch! 175

20 7 Metrische Räume Stz über die Umkehrfunktion Sei A M kompkt, f : A N sei stetig und injektiv. Dnn ist f 1 : f(a) A stetig (siehe uch 3.2.9, Seite 50). Sei y f(a) mit y = f(x), x = f 1 (y). Zeige: lim f 1 (y n ) = x = f 1 (y) für jede Folge (y n ) in f(a) mit y n y. n Setze x n = f 1 (y n ). (x n ) ist Folge in A. Sei (x nk ) eine konvergente Teilfolge mit x nk x A. Dnn ist f(x ) = lim k f(x n k ) = lim k y n k = y. D f injektiv ist, ist x = x. Dnn gilt sogr (denn lle x nk x): x n x. Wenn f 1 nicht stetig sein soll, dnn existiert eine Teilfolge (x nj ) mit d(x, x nj ) η > 0 für j = 1, 2, 3,... (x nj ) ht eine konvergente Teilfolge (x njk ), die uch Teilfolge von (x n ) ist. Dmit ist x njk x für j. Also ist 0 < η d(x, x njk ) 0 Widerspruch! Definition Seien f n, f : M N gegeben (n = 1, 2,... ). f n heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 IN gibt mit Siehe uch 3.3.1, Seite 52. ϱ(f n (x), f(x)) < ε für n n 0 und für lle x M Stz Gilt f n f gleichmäßig und sind lle f n stetig [in ξ M oder in M], dnn ist uch f stetig (siehe uch 3.3.4, Seite 53). Wie bei f n : [, b] IR Bnchscher Fixpunktstz Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Rum und T : M M eine Kontrktion, d. h. zu einem q (0, 1) ist d(t x, T y) q d(x, y) für lle x, y M. Dnn ht T genu einen Fixpunkt x mit x = T x. Ist x 0 M beliebig und x n+1 = T x n, so ist d(x n, x ) q n d(x 1, x 0 ), 1 q insbesondere gilt x n x. Mn nennt (x n ) Folge der sukzessiven Approximtion. 176

21 7.5 Mehr über stetige Funktionen Eindeutigkeit: Sei x = T x und y = T y. Dnn ist d(x, y) = d(t x, T y) q d(x, y). Dmit ist dnn Es ist lso d(x, y) = 0, d. h. x = y. (1 q) d(x, y) 0. 0 Existenz: Sei x 0 M und x n+1 = T x n. Für n 2 gilt dnn: d(x n, x n 1 ) = d(t x n 1, T x n 2 ) q d(x n 1, x n 2 ). Mit Induktion gilt dnn: d(x n, x n 1 ) q n 1 d(x 1, x 0 ). Sei nun n > m beliebig. Dnn ist d(x n, x m ) n Also ist (x n ) eine Cuchyfolge. Gelte nun x n x. Für n > m gilt und für n ist dnn Gilt nun x = T x? ( T x = T lim x n n d(x j, x j 1 ) j=m+1 q j 1 d(x 1,x 0 ) n m 1 = d(x 0, x 1 )q m k=0 d(x n, x m ) < d(x 0, x 1 ) 1 q d(x, x m ) d(x 0, x 1 ) 1 q ) T ist stetig Beispiel: Fredholmsche Integrlgleichung d(x 0, x 1 ) Sei g : [, b] IR stetig und sei k : [, b] [, b] IR stetig. Sei Gesucht ist f C([, b]) mit (7.2). b f(x) = g(x) + n j=m+1 q k < d(x 0, x 1 )q m q m q m q j q = lim n T x n = lim n x n+1 = x k(x, y)f(y) dy (7.2) Behuptung: Gilt mx{ k(x, y) : x, y b} < 1 b, dnn ht (7.2) genu eine Lösung f C([, b]). 177

22 7 Metrische Räume (1) Zeige: Aus f C([, b]) folgt, dß f(x) = b k(x, y)f(y) dy stetig ist in [, b]. Sei ε > 0. D k gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit k(x, y) k(x, y) < ε für y b, x, x b, x x < δ. Außerdem ist f(x) M in [, b]. f(x) f(x ) = b (k(x, y) k(x, y))f(y) dy < M ε(b ) = M(b ) ε b k(x, y) k(x, y) M dy <ε für x x <δ (2) Setze mit T : C([, b]) C([, b]). b (T f)(x) := g(x) + k(x, y)f(y) dy (3) C([, b]) mit f := mx f(x) ist vollständig. x b (4) Ist T eine Kontrktion? Nch Vorussetzung existiert ein q (0, 1) mit k(x, y) Seien f, ϕ C([, b]): (T f)(x) (T ϕ)(x) = b b q b k(x, y) (f(y) ϕ(y)) dy k(x, y) q b f(y) ϕ(y) dy f ϕ für lle (x, y). q b f ϕ (b ) = q f ϕ Also ist T f T ϕ q f ϕ Die Bedingungen für den Bnchschen Fixpunktstz sind lso erfüllt. Um die Fixfunktion f nzunähern, wählt mn ein beliebiges f 0 C([, b]) und berechnet itertiv b f n+1 (x) = g(x) + Dbei gilt ls Fehlerbschätzung für x b: k(x, y)f n (y) dy. f n (x) f (x) f 0 f 1 1 q q n 178

23 7.5 Mehr über stetige Funktionen Beispiel: Der Stz von Picrd-Lindelöf Sei f : [, b] IR IR stetig und f(t, u) f(t, ū) L u ū für t b und u, ū IR. Gesucht ist die Lösung für ds Anfngswertproblem (AWP) Für die Lösung u gilt: u C 1 ([, b]) mit u = f(t, u), u() = α. u (t) = f(t, u(t)), u() = α IR. Behuptung: (AWP) ht genu eine Lösung. (AWP) ist äquivlent zu der Integrlgleichung (IGL) t u(t) = α + denn für eine Lösung u C 1 ([, b]) von (AWP) gilt: u ist lso uch Lösung von (IGL). Sei nun u C([, b]) Lösung von (IGL): f(s, u(s)) ds, u(t) u() = u(t) α = = t t t u(t) = α + D u C([, b]) ist, ist f(s, u(s)) stetig in [, b]. Also ist Es ist b u (s) ds f(s, u(s)) ds f(s, u(s)) ds f(s, u(s)) ds stetig differenzierbr, d. h. uch u ist stetig differenzierbr. d u(t) = f(t, u(t)) und u() = α. dt Dmit ist die Äquivlenz von (AWP) und (IGL) gezeigt. Definiere nun T mit C([, b]) C([, b]) T : t (T u)(t) = α + f(s, u(s)) ds. 179

24 7 Metrische Räume Besitzt T genu einen Fixpunkt? Versuche dies mit Hilfe des Bnchschen Fixpunktstzes zu zeigen. Definiere dzu folgende Norm uf C([, b]): u = mx { u(t) exp( 2L(t ))} t b (Nchweis der Normeigenschften ls Aufgbe). Behuptung: T ist eine Kontrktion mit q = 1 2. Seien u, v C([, b]). Dnn ist t (T u)(t) (T v)(t) = (f(s, u(s)) f(s, v(s))) ds Also ist und dmit t t L f(s, u(s)) f(s, v(s)) ds L u(s) v(s) u(s) v(s) exp( 2L(s )) exp(2l(s )) ds u v exp(2l(s )) L u v 2L exp(2l(t )) < L u v 2L exp(2l(t )) = u v 2 (T u)(t) (T v)(t) exp( 2L(t )) < 1 u v 2 T u T v = mx{ (T u)(t) (T v)(t) exp( 2L(t ))} 1 u v. 2 Für den Bnchschen Fixpunktstz fehlt noch die Vollständigkeit von C([, b]) mit der Norm.. Zeige, dß. äquivlent zu. ist. Es ist u u, d exp( 2L(t )) 1 in [, b]. Außerdem ist Dmit ist D dies für t b gilt, ist Insbesondere gilt: u(t) exp( 2L(t )) u(t) exp( 2L(b )) =: 1 C u(t) C u(t) exp( 2L(t )) C u. u C u. u n u m C u n u m u n u m u n u m. Also ist der Rum vollständig, der Bnchsche Fixpunktstz knn ngewendet werden, d. h. T ht genu einen Fixpunkt. t 180

25 7.5 Mehr über stetige Funktionen Konkretes Beispiel für den Stz von Picrd-Lindelöf Gesucht ist u C([0, t 0 ]) mit u = t + u und u(0) = 0 in [0, t 0 ] IR. Hier ist f(t, u) = t + u. Setze L = 1 und berechne u nch dem folgenden System: Wähle u 0 C([0, t 0 ]) und berechne dnn sukzessive u n+1 = t 0 t (s + u n (s)) ds = t u n (s) ds. Speziell: Wähle u 0 (t) 0. Dnn ist u 1 (t) = t2 2 Zeige dies für u n (t) per Induktion. Es gilt: u 2 (t) = t2 2 + u 3 (t) = t u n (t) = t2 2 + t3 2 3 t t t t n (n + 1). u n (t) = n+1 j=2 t j j! u(t) = e t 1 t Führe eine Probe durch: Es ist u = e t 1 und t + u = e t 1, die beiden sind lso gleich. Außerdem ist u(0) = Definition Sei (M, d) ein metrischer Rum, A M, A und (O λ ) sein ein System von offenen Mengen mit O λ M für λ Λ. (O λ ) λ Λ heißt offene Überdeckung von A, wenn A O λ ist. Gilt bereits A m O λj für gewisse λ Λ λ j, so heißt (O λj ) j=1,...,m eine endliche Teilüberdeckung Beispiel Sei A = (0, 1] IR und I n = ( 1 n, 2) für n = 1, 2,... Es gilt (0, 1] ( 1 n, 2) (Aufgbe!) n=1 j=1 181

26 7 Metrische Räume und (I n ) enthält keine endliche Teilüberdeckung, denn sonst wäre (0, 1] Stz von Heine-Borel m j=1 ( ) ( ) 1 1 j, 2 = m, 2 Widerspruch! A M ist genu dnn kompkt, wenn jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung enthält. : Zu zeigen ist: (x n ) ht eine konvergente Teilfolge (x nk ) mit x nk x A. Widerspruchsbeweis: Sei (x n ) eine Folge in A, die keine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A ht. Sei A. Dnn existiert ein r() > 0, so dß K() := K(, r()) höchstens ein x n enthält. (K()) A ist eine offene Überdeckung von A. Es werden ber unendlich viele U benötigt, um {x n : n IN} zu überdecken, lso uch für A. Widerspruch! : Sei A kompkt und (O λ ) λ Λ eine offene Überdeckung. Sei nun A und { A IR r : r() := sup{ϱ < 1: K(, ϱ) O λ für ein λ Λ}. Behuptung: r ist stetig. Sei x A fest. Dnn gilt 0 < ϱ < r(x) und d(y, x) < r(x), d(x, y) < ϱ. Suche nun eine Abschätzung r(y)? Setzt mn δ = d(x, y), so gilt K(y, ϱ δ) K(x, ϱ) O λ. Also ist r(y) ϱ δ, ϱ r(y) + d(x, y) r(x) r(y) + d(x, y) r(x) r(y) d(x, y). Dies gilt uch, wenn d(x, y) r(x) ist (trivil!). Genuso gilt uch r(y) r(x) d(x, y). Dmit gilt dnn: r(x) r(y) d(x, y) Bedingung für die Stetigkeit 182

27 7.6 Zusmmenhng Also ist r stetig. D A kompkt ist, ht r ein positives Minimum= 2 r 0. Zu jedem x A existiert ein λ mit K(x, r 0 ) O λ Also ist (K(x, r 0 )) x A eine offene Überdeckung von A. Zeige nun noch, dß (K(x, r 0 )) x A eine endliche Teilüberdeckung enthält und dmit uch (O λ ) selbst. Annhme: Es gibt keine endliche Teilüberdeckung. Sei x 0 A beliebig. dnn existieren: x 1 A \ K(x 0, r 0 ) x 2 A \ (K(x 0, r 0 ) K(x 1, r 0 )). x n A \ (K(x 0, r 0 ) K(x n 1, r 0 )). (x n ) ist eine Folge in A. Für n > m gilt dnn d(x n, x m ) r 0 und x n K(x m, r 0 ). Es gibt lso keine konvergente Teilfolge in A. Widerspruch! Also enthält (K(x, r 0 )) x A eine endliche Teilüberdeckung und (O λ ) enthält ebenflls eine endliche Teilüberdeckung. 7.6 Zusmmenhng In diesem Abschnitt ist (M, d) ein metrischer Rum, insbesondere meistens IR n mit der euklidischen Metrik oder IR mit dem bsoluten Betrg Definition: Prtition, zusmmenhängend Sei E M, E und A, B M. (A, B) heißt Prtition von E, wenn gilt: (1) A und B sind offen (2) E A B (3) E A B = (4) E A und E B. E heißt zusmmenhängend, wenn es keine Prtition von E gibt Anschuliche Beispiele () Intervll in IR: [ ). (b)

28 7 Metrische Räume (c) Die hier gezeigte Menge ist nicht zusmmenhängend Mit Rnd zusmmenhängend Ohne Rnd nicht zusmmenhängend Bemerkung In der Definition des Zusmmenhnges knn mn offen durch bgeschlossen ersetzen. Setze à = M \ A und B = M \ B. à und B sind offen, wenn A und B bgeschlossen sind. (A, B) ist Prtition von E; A und B sind bgeschlossen. Zeige: (Ã, B) ist Prtition von E. ( 1) à und B sind offen ( 2) Es gilt E A B, E A und E B (wegen (3), (4)) E à B, denn { x A x / B x B x E x B x / A x à ( 3) Sei x E à B. Dnn ist x E, x / A und x / B. Ds heißt, es gibt ein x E mit x / A und x / B. Dies ist ein Widerspruch zu (2), lso knn es so ein x nicht geben. ( 4) Sei E à = und sei x E. Dnn ist x M \ à = A für lle x E. Ds heißt, dß E A ist. Widerspruch zu (3) und (4), d E B E A B Widerspruch zu (3) Definition: Gebiet Eine offene und zusmmenhängende Menge heißt Gebiet Stz Ist f : E N [(N, ϱ) sei dbei ein metrischer Rum] stetig und E zusmmenhängend, so ist f(e) zusmmenhängend. 184

29 7.6 Zusmmenhng Annhme: (Ã, B) sei Prtition von f(e). Zu y = f(x) à und zu ε > 0 existiert ein δ > 0 mit Genuso: Ist (A, B) Prtition von E? (1) A und B sind offen (2) nch Konstruktion f(k(x, δ) E) K(y, ε), δ = δ(ε, x) = δ(x) für festes ε A = B = f(x) à f(x) B K(x, δ(x)) ist offene Menge offen K(x, δ(x)) ist offene Menge offen (3) Sei x E A B Dnn ist f(x) à und f(x) B Also ist à B Drus folgt, dß Ã B f(e) ist. Widerspruch zu ( 3) Also ist E A B =. (4) Wäre E A =, lso E B, dnn wäre B f(b E) = f(e). Widerspruch! zu ( 3) und ( 4) Also ist E A und genuso E B Zusmmen ist (A, B) dmit Prtition von E. Widerspruch! zu: E ist zusmmenhängend. Es gibt lso keine Prtition von f(e), d. h. f(e) ist zusmmenhängend Zwischenwertstz Eine Menge E ist genu dnn zusmmenhängend, wenn jede stetige Funktion f : E IR die Zwischenwerteigenschft ht, d. h. wenn f(e) ein Intervll ist. : Sei E nicht zusmmenhängend und (A, B) Prtition von E. Setze { 0 x E A f : E IR, f(x) = 1 x E B f(e) = {0, 1} Behuptung: f ist stetig. Sei z. B. x 0 A E, f(x 0 ) = 0. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x 0, δ) A, d A offen ist. In K(x 0, δ) E ist f(x) = 0, lso ist f stetig in x 0. D f(e) = {0, 1} kein Intervll ist, ber nch Vorussetzung ein Intervll sein muß, erhält mn einen Widerspruch! E ist doch zusmmenhängend. 185

30 7 Metrische Räume : Sei E zusmmenhängend, f : E IR stetig, ber f(e) kein Intervll. Dnn gibt es < b mit, b f(e), ber c (, b) mit c / f(e). Setze dmit A = {x: f(x) < c} und B = {x: f(x) > c}. A und B sind offen. Überprüfe die Definition für die Prtition (A, B): (1) (2), d f(x) c für lle x E. (3), d sogr A B. (4) Es gibt α mit f(α) = : Es ist α A. Es gibt β mit f(β) = b: Es ist β B. Zusmmen ist dmit (A, B) eine Prtition der zusmmenhängenden Menge E. Widerspruch! Also ist f(e) ein Intervll Stz Die zusmmenhängenden Teilmengen von IR sind genu die Intervlle. : Sei E IR zusmmenhängend und setze f : E IR, f(x) = x. Dnn ist nch dem Zwischenwertstz f(e) = E ein Intervll. : Sei E IR ein Intervll und f : E IR stetig. Dnn ist nch An I f(e) ein Intervll und mit dem Zwischenwertstz ist dmit E zusmmenhängend Hilfsstz Seien E λ für λ Λ zusmmenhängende Mengen (in M), E λ E ν für je zwei λ, ν Λ. Dnn ist uch E λ =: E zusmmenhängend. λ Λ Annhme: E ist nicht zusmmenhängend, (A, B) Prtition von E, insbesondere E λ A B E λ A B E A B = D E λ zusmmenhängend ist, ist (A, B) keine Prtition von E λ. Also ist E λ A oder E λ B. Sei hier E λ A. Sei µ λ. Dnn ist E µ A oder E µ B und E λ E µ. Dmit ist E µ A. Dnn knn E µ B nicht gelten, d E µ A B = ist, lso ist E µ A. Zusmmen ist dnn E A. Dies ist ein Widerspruch dzu, dß (A, B) Prtition von E ist, lso ist E zusmmenhängend Beispiel Sei E IR n offen und sternförmig bezüglich 0, d. h. für jedes x E gilt: {tx: 0 t 1} E. Behuptung: E ist zusmmenhängend, lso ein Gebiet. 186

31 7.6 Zusmmenhng Sei für x E S x = {tx: 0 t 1}. Die Funktion [0, 1] IR n, t tx ist stetig. Dmit ist S x zusmmenhängend. Außerdem ist E = S x und S x S y {0}. Also ist E zusmmenhängend. x E Stz Sei E M, E. Dnn ist x y : es gibt eine zusmmenhängende Teilmenge F E mit x, y F eine Äquivlenzreltion. Die Äquivlenzklssen [x] sind zusmmenhängend. Entweder ist [x] = [y] oder [x] [y] =. Jede Klsse [x] heißt Zusmmenhngskomponente von E. Es gilt: E = x [x] Zeige, dß eine Äquivlenzreltion ist: (1) Reflexivität: Ist x x? J, d x, x {x} =zusmmenhängende Teilmenge. (2) Symmetrie: x y x, y F E, F zusmmenhängend y, x F E, F zusmmenhängend y x (3) Trnsitivität: Sei x y und y z, d. h. x, y F 1 E und y, z F 2 E, F 1 und F 2 sind zusmmenhängend. x, z F 1 F 2 E y F 1 F 2, lso ist F 1 F 2 zusmmenhängend. Also ist x z Bemerkung Zusmmenhngskomponenten sind utomtisch mximl zusmmenhängend, d. h. ist F E zusmmenhängend, dnn existiert eine Zusmmenhngskomponente C mit F C. Sei x F, C = [x]. Für y F ist dnn x y, lso y [x] = C, F C. 187

32 7 Metrische Räume Zustz Ist E IR n offen [bgeschlossen], dnn ist uch jede Zusmmenhngskomponente offen [bgeschlossen]. Eine offene Menge E IR n besteht us endlich oder bzählbr unendlich vielen Gebieten. Zuerst für offenes E: Sei C Zusmmenhngskomponente von E. Sei x C. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x, δ) E, d K(x, δ) zusmmenhängend ist und x enthält. D C mximl zusmmenhängend ist, folgt K(x, δ) C. Zeige nun, dß es nur endlich oder bzählbr unendlich viele Zusmmenhngskomponenten gibt: Sei C eine Zusmmenhngskomponente von E. C enthält x IR n mit x ν Q für ν = 1,..., n. Nenne x = x C und definiere die Abbildung {C : C ist Komponente von E} Q n C x C. Diese Abbildung ist injektiv, d je zwei Komponenten disjunkt (oder gleich) sind. D ber Q n bzählbr ist, existieren höchstens bzählbr viele Komponenten. Nun der Beweis für bgeschlossenes E: Sei C Zusmmenhngskomponente von E. Zu zeigen ist, dß C bgeschlossen ist, d. h. C = C. Es gilt: (1) C E, d E bgeschlossen ist. (2) C ist zusmmenhängend (Dies wird gleich gezeigt). Zusmmen ist lso C C E, lso uch C = C. Zeige nun, dß (2) gilt: Wenn C nicht zusmmenhängen ist, existiert eine Prtition (A, B) von C mit: (1) Aund B sind offen. (2) C A B. (3) C A B =. (4) C A und C B. D C A B und C A B = und C zusmmenhängend ist, folgt: C A = [oder C B = ], lso ist z. B. C B. Andererseites existiert ein C A. D A C ist, ist C, d. h. es existiert eine Folge (c n ) in C mit c n, c n. Also existiert eine Kugel K(, δ) A. Für n n 0 gilt dnn: c n K(, δ) A und c n C B. Dmit ist dnn c n C A B =. Widerspruch! Also ist C zusmmenhängend. 188

33 7.6 Zusmmenhng Testbeispiel Sei Λ Indexmenge und I λ seien für λ Λ offene Intervlle. Setze E = λ Λ I λ IR. E besteht nch dem Stz us höchstens Abzählbr vielen Intervllen (Komponenten) Definition: Weg M sei ein metrischer Rum, E M. Eine stetige Abbildung γ : [α, β] E heißt Weg in E. γ(α) heißt Anfngspunkt, γ(β) heißt Endpunkt von γ. Mn sgt γ verbindet γ(α) mit γ(β) in E. Bechte: γ := {γ(t): α t β} E ist zusmmenhängend, γ heißt Träger von γ Beispiel Sei γ : [0, 2π] IR 2 mit γ(t) = ( ) cos t sin t γ(π/2) = (0, 1) γ(π) = ( 1, 0) γ(0) = γ(2π) = (1, 0). γ( 3 2π) = (0, 1) Definition: Wegzusmmenhng E M heißt wegzusmmenhängend, wenn es zu, b E einen Weg γ gibt, der mit b in E verbindet Beispiel Dies gilt zum Beispiel für konvexe und sternförmige Mengen Stz Wegzusmmenhängende Mengen sind immer zusmmenhängend. Sei E wegzusmmenhängend und E fest. Zu jedem x E existiert ein Weg γ x in E, der in beginnt und in x endet, γ x ist zusmmenhängend, γ x γ y {}. Also ist E = γ x zusmmenhängend. x E 189

34 7 Metrische Räume Beispiel/Aufgbe Seien E 1 = {( x, sin 1 ) } : 0 < x 1 x E 2 = {(0, y): 1 y 1} Weise nch: E 1 und E 2 sind wegzusmmenhängend, E 1 E 2 ist zusmmenhängend, ber nicht wegzusmmenhängend. Z. B. existiert kein Weg von (0, 0) zu (1, sin 1) Stz Jedes Gebiet im IR n ist wegzusmmenhängend. (Gebiet=offen und wegzusmmenhängend) Sei E IR n ein Gebiet und E sei fest. Setze A = {x E : es gibt einen (chsenprllelen) Weg in E von nch x} B = E \ A. 1. Zeige: A ist offen! Sei x A. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x, δ) E. Es existiert ein Weg γ x von nch x mit γ x E. Sei y K(x, δ): γ x verlängert um die Strecke von x nch y ist ein Weg von nch y in E. D. h. y A, lso K(x, δ) A. Also ist A offen, d x A beliebig ist. 2. A, d A. 3. Zeige: B ist offen! Es ist B = {x: es existiert kein Weg von nch x in E}. Sei x B, δ > 0, so dß K(x, δ) E ist. Wäre y K(x, δ) von us erreichbr durch einen Weg γ x, so uch x durch γ y, verlängert um die Strecke von y nch x. Also ist B offen. Drus folgt 4. E = A B. Dbei sind A und B offen, A B =, A und A B E =, d E zusmmenhängend ist. Also ist B =, d A ist. Gezeigt: Jedes x E ist Endpunkt eines Weges in E, der in beginnt. Desgleichen gilt uch für chsenprllele Streckenzüge. 7.7 Gleichgrdige Stetigkeit Definition: gleichgrdig stetig Sei E IR n, E. F sei eine Menge (Fmilie) von Funktionen f : E IR m. F heißt () beschränkt, wenn es ein M > 0 gibt mit f(x) M für lle x E und für lle f F. (b) gleichgrdig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit: Ist x, y E, x y < δ, so ist f(x) f(y) < ε für lle f F. 190

35 7.7 Gleichgrdige Stetigkeit Beispiele () Ist für lle f F und x, y E f(x) f(y) L x y, wobei L unbhängig von f, x und y ist, so ist F gleichgrdig stetig. Setze dbei δ := ε L. (b) Sei E IR n kompkt, f k : E IR m stetig und f k f gleichmäßig in E. Behuptung: F = {f k : k IN} ist gleichgrdig stetig. D lle f k gleichmäßig konvergieren, ist f stetig. D ber uch E kompkt ist, ist f sogr gleichmäßig stetig. Also gibt es zu ε > 0 ein σ > 0 mit f(x) f(y) < ε 3 für x, y E, x y < σ. Weiter existiert ein k 0 mit Für 1 k k 0 existiert ein δ k mit f k (x) f(x) < ε 3 fürk k 0, x E. f k (x) f k (y) < ε für x, y E, x y < δ k. Setze δ := min(δ 1,..., δ k0, σ) > 0. Für x y < δ gilt dnn: Sei nun k k 0. Dnn ist f k (x) f k (x) < ε ist erfüllt für k k 0. f k (x) f k (y) = f k (x) f(x) + f(x) f(y) + f(y) f k (y) Also ist F gleichgrdig stetig. Aufgbe: Zeige, dß F beschränkt ist Stz von Arzel-Ascoli f k (x) f(x) + f(x) f(y) + f(y) f k (y) < ε <ε/3 glm. Konv. <ε/3 glm. Stetigkeit <ε/3 glm. Konv. Es sei E IR n (offen und beschränkt oder der Abschluß einer offenen und beschränkten Menge M IR n ) und F sei beschränkt und gleichgrdig stetig. Dnn ht jede Folge (f k ) in F eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. () Teilfolgenuswhl nch dem Cntorschen Digonlverfhren. E Q n ist eine bzählbre Menge, dicht, d. h. E Q n = Ē = {ξ1, ξ 2, ξ 3,... } 1.: (f k (ξ 1 )) ist beschränkt (im IR m ): es ex. TF (f 1,k (ξ 1 )) 2.: (f 1,k (ξ 2 )) ist beschränkt (im IR m ): es ex. TF (f 2,k (ξ 2 )). l.: (f l 1,k (ξ l )) ist beschränkt (im IR m ): es ex. TF (f l,k (ξ l )). Wir hben lso: 191

36 7 Metrische Räume f 1,1 f 1,2 f 1,3 f 1,4 f 2,1 f 2,2 f 2,3 f 2,4 f 3,1 f 3,2 f 3,3 f 3,4.... Wähle nun ϕ k := f k,k. (ϕ k ) ist Teilfolge von (f k ). (ϕ k ) k l ist Teilfolge von (f l,k ). ϕ k (ξ l ) ist Teilfolge von (f l,k (ξ l )), d. h. lim ϕ k(ξ l ) existiert für lle l = 1, 2,... k (b) Konvergenzbeweis: Sei ε > 0. Dzu existiert ein δ > 0 mit (gleichgrdige Stetigkeit). Sei D j = K(ξ j, δ): ϕ k (x) ϕ k (y) < ε für x, y E, x y < δ und für lle k IN D Ē kompkt ist, gibt es ein p mit Zu ε > 0 existiert ein Index k 0 mit E Ē D j (d {ξ j } dicht ist). j=1 Ē D 1 D p (Heine-Borel). ϕ k (x) ϕ l (x) = ϕ k (x) ϕ k (ξ j ) + ϕ k (ξ j ) ϕ l (ξ j ) + ϕ l (ξ j ) ϕ l (x) ϕ k (x) ϕ k (ξ j ) + ϕ k (ξ j ) ϕ l (ξ j ) + ϕ l (ξ j ) ϕ l (x) < ε + ε (1) (2) + ε = 3ε (3) Dbei gilt: (1), d x ξ j < δ für lle k (gleichgrdige Stetigkeit) (3), d x ξ j < δ für lle l (gleichgrdige Stetigkeit) (2), d lim k ϕ k(ξ j ) existiert. Also ist ds Cuchykriterium erfüllt, es liegt gleichmäßige Konvergenz vor Beispiel: Existenzstz von Peno Sei S = [, b] IR IR 2 und f : S IR sei stetig und beschränkt. Gesucht ist u mit u = f(t, u) und u() = α. (7.3) Ds Anfngswertproblem (7.3) ht mindestens eine Lösung in [, b], d. h. Äquivlent zu diesem Problem ist u C 1 ([, b]), u() = α und u (t) = f(t, u(t)). t u(t) = α + f(s, u(s)) ds mit u C([, b]). 192

37 7.7 Gleichgrdige Stetigkeit Setze u n (t) = α in [ 1, ] und t u n (t) = α + f ( (s, u n s 1 )) ds in (, b]. n Behuptung: {u n : n IN} ist beschränkt und gleichgrdig stetig. Dnn existiert eine Teilfolge u nk u gleichmäßig in [, b]. Für u n (t) K ist f gleichmäßig stetig uf [, b] [ K, K] )) f (s, u nk (s 1nk glm. f(s, u(s)). t u nk (t) = α + u(t) = α + t )) f (s, u nk (s 1nk ds f(s, u(s)) ds Beweis der Beschränktheit: Es gilt: f(t, u) M in S. t u n (t) α + M ds α + M(b ) =: K für t b. Beweis der gleichgrdigen Stetigkeit: Sei τ < t. Dnn ist u n (t) u n (τ) = = t t Also sind die u n gleichgrdig stetig. τ f ( (s, u n s 1 )) τ ds n f(s, u n (s 1 n )). M ( f (s, u n s 1 )) ds n ds M (t τ) Lipschitzbedingung für u n Beispiel für den Existenzstz von Peno Beispiel mit mehreren Lösungen: Sei S = [0, 1] IR und f wie folgt definiert: 2 für u > 1 f(t, u) = 2 u für 1 < u < 1 2 für u < 1 193

38 7 Metrische Räume. f = f(t, u) = 1 2 u.. f = 2 Gesucht ist ein u mit Eine Lösung ist Eine ndere Lösung ist Die weiteren Lösungen sind u = f(t, u) und u(0) = 0. u(t) = u(t) = 0. u(t) = t 2. { 0 0 t τ (t τ) 2 τ t