7 Metrische Räume Der euklidische Raum Definition von IR n Definition des Skalarproduktes und der euklidischen Norm

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "7 Metrische Räume Der euklidische Raum Definition von IR n Definition des Skalarproduktes und der euklidischen Norm"

Transkript

1 7 Metrische Räume Der euklidische Rum Definition von IR n IR n = IR IR IR n-ml Für x IR n wird x = (x 1, x 2,..., x n ) geschrieben. Dies ist ein n-tupel. Dbei ist x ν Komponente oder Koordinte von x. Im IR 2 wird llgemein ds Pr (x, y) sttt (x 1, x 2 ) benutzt. Im IR 3 wird llgemein ds Tripel (x, y, z) sttt (x 1, x 2, x 3 ) benutzt. Der IR n ist ein Vektorrum (linerer Rum) über IR mit die ν-te x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) λx := (λx 1, λx 2,..., λx n ) mit λ IR Es ist dim IR n = n. Die Stndrdbsis ist e ν := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) mit ν = 1,..., n x = (x 1,..., x n ) = x 1 e 1 + x 2 e x n e n 0 := (0, 0,..., 0) Definition des Sklrproduktes und der euklidischen Norm Für x, y IR n heißt x y := x 1 y 1 + x 2 y x n y n Sklrprodukt (Innenprodukt) zwischen x und y, und x := x x heißt euklidische Norm von x. Ausführlich: x = n ν=1 x 2 ν Eigenschften des Sklrproduktes (S1) x x > 0 für x 0. (S2) (λx) y = λ(x y). (S3) (x + y) z = x z + y z. (S4) x y = y x. 1 Version 184 vom 13. Februr

2 7 Metrische Räume Cuchy-Schwrz sche Ungleichung (Bunjkowskij) x y x y und = genu dnn, wenn x und y liner bhängig sind. Anders geschrieben: n 2 ( n x ν y ν ν=1 ν=1 x 2 ν ) ( n ) yν 2 ν=1 Trivil für x = 0 oder y = 0. Zunächst für x = y = 1: Für t IR gilt Setze nun t = t 0 := x y. Dnn ist 0 x + ty 2 = (x + ty) (x + ty) = x 2 + 2t(x y) + t 2 y 2 = 1 + 2t(x y) + t 2 = (t + (x y)) (x y) (x y) 2 (x y) 2 1 = x y = genu dnn, wenn x + t 0 y = 0 ist, d. h. wenn x und y liner bhängig sind. Allgemeiner Fll: Setze x x = ξ und y = η ξ = η = 1 y x y = ( x ξ) ( y η) = x y ξ η 1 x y = genu dnn, wenn ξ und η, d. h. x und y liner bhängig sind. Bechte: Für den Beweis wurden nur die Regeln (S1)-(S4) gebrucht! Eigenschften der Euklidnorm (N1) x > 0 für x 0 (Definitheit). (N2) λx = λ x für λ IR (Homogenität). (N3) x + y x + y (Dreiecksregel). (N4) x y x + y (Umgekehrte Dreiecksungleichung) (folgt us (N3)). 158

3 7.1 Der euklidische Rum (N3) x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + 2x y + y y (1) x x y + y 2 CSU x x y + y 2 = ( x + y ) 2 = = bei (1) und CSU x y 0 und x, y liner bhängig x = 0 oder y = 0 oder y = λx mit λ 0 (N4) Es ist x = x + y y. Dmit ist x = (x + y) y (N3) x + y + y = x + y + y Dmit ist x y x + y. Genuso wird y x x + y gezeigt und dmit folgt die Behuptung Stz des Pythgors Für x, y IR n mit x y = 0 ist x + y 2 = x 2 + y 2 (x, y orthogonl, x y). x + y 2 = x x y + y 2 = x 2 + y 2. = Definition: Norm, Normierter Rum Sei E ein Vektorrum über IR. Eine Abbildung. : E IR, x x heißt Norm, wenn sie die Eigenschften (N1)-(N3) ht (Es gilt immer uch (N4)). E, oder genuer (E,. ) heißt dnn normierter Rum Beispiele () Nehme zu E = IR n die Euklidnorm. (b) Nehme zu E = IR n die Mximumsnorm x := Beweis für (N3): Für festes ν = 1,..., n ist Also ist insgesmt x + y x + y. n mx ν=1 x ν. x ν + y ν x ν + y ν x + y 159

4 7 Metrische Räume (c) Nehme zu E = IR n die Summennorm x 1 := n ν=1 x ν. Beweis für (N3): n n x ν + y ν x ν + ν=1 x ν + y ν ν=1 n y ν (d) Nehme zu E = C([, b]) = Rum der stetigen Funktionen [, b] IR die Mximumsnorm f := mx{ f(t) : t b}. Beweis für (N3): Für t b ist ν=1 f(t) + g(t) f(t) + g(t) f + g f + g f + g (e) Nehme zu E = s = {( n ): n IR, n 1, ( n ) beschränkt} die Supremumsnorm ( n ) := sup { n : n IN}. Beweis für (N3): Für n = 1, 2, 3,... ist n + b n n + b n ( n ) + (b n ) Dmit ist dnn ( n + b n ) ( n ) + (b n ) Definition: Sklrprodukt Sei E ein Vektorrum über IR. Eine Abbildung E E IR, (x, y) x y, mit den Eigenschften (S1)-(S4) heißt Sklrprodukt uf E (Innenprodukt) Stz Ist x y ein Sklrprodukt uf E, so gilt die Cuchy-Schwrz sche Ungleichung und x := x x ist eine Norm Beispiele 1. Sei E = C([, b]) mit dem Innenprodukt b (f g) := f(t)g(t) dt Dnn ist b f 2 := (f(t)) 2 dt, f = (f f) = Es gilt die Cuchy-Schwrz sche Ungleichung: b 2 f(t)g(t) dt b b b (f(t)) 2 dt (g(t)) 2 dt. (f(t)) 2 dt 160

5 7.2 Topologische Grundbegriffe Weise die Eigenschft (S1) nch: (f f) > 0, flls f nicht die Nullfunktion ist: Sei t 0 [, b], so dß f(t 0 ) 0 ist. Dnn existiert ein δ > 0 mit f(t) > k > 0 in I = [, b] (t 0 δ, t 0 + δ) und dmit ist 2. Sei (f f) = b E = (f(t)) 2 dt k 2 Länge von I > 0. { ( n ): } 2 n konvergiert n=1 Ist E ein linerer Rum? Zu zeigen ist, dß für ( n ), (b n ) E uch ( n + b n ) E ist. Es ist ( n + b n ) 2 = 2 n + 2 n b n + b 2 n. Dies konvergiert, wenn 2 n b n konvergiert, d die nderen Terme nch Vorussetzung konvergent sind. Es ist N n b n n=1 Also konvergiert n b n. n=1 Ds Sklrprodukt ist hier: CSU im IR n (( n ) (b n )) := N n 2 n=1 N b n 2 n=1 2 n b 2 n =: C n=1 n b n Aufgbe: Beweise (S1)-(S4) mit Hilfe der Regeln für Reihen. Bemerkung: Der Rum in diesem Beispiel wird l 2 ( L-zwei ) gennnt und n = heißt l 2 -Norm. 7.2 Topologische Grundbegriffe Definition: Metrik, metrischer Rum Sei M eine Menge. Eine Abbildung d: M M [0, ) mit den Eigenschften (M1) d(x, y) > 0 für x y und d(x, x) = 0 (Definitheit) (M2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) (M3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung) heißt Metrik. Aus (M2) und (M3) folgt (M4) d(x, z) d(z, y) d(x, y) (umgekehrte Dreiecksungleichung). M mit der Metrik d heißt metrischer Rum. n=1 n=1 2 n n=1 161

6 7 Metrische Räume Es ist d(x, z) d(x, y) + d(y, z), lso ist d(x, z) d(y, z) d(x, y). Zeige genuso, dß d(y, z) d(x, z) d(y, x) = d(x, y) ist. Zusmmen ist dnn d(x, z) d(y, z) d(x, y) Beispiele (1) E sei normierter Rum mit der Norm.. Dnn ist d(x, y) := x y eine Metrik, insbesondere (2) IR n mit Euklidmetrik: d(x, y) := n (x ν y ν ) 2 ν=1 (3) IR n mit Metrik von Mnhtten: d(x, y) = n x ν y ν = x y 1 ν=1 (4) Metrik des frnzösischen Eisenbhnsystems: Wenn mn von einem Punkt zum deren will, muß mn entweder über P (Pris) fhren, oder beide Punkte liegen n der gleichen Eisenbhnstrecke nch Pris. (5) Sei (E,. ) ein normierter Rum. Dnn ist d(x, y) = ebenflls eine Metrik, wobei d(x, y) < 1 ist. Beweise (M1)-(M3) ls Aufgbe. Tip zu (M3): t x y 1 + x y t 1+t ist monoton wchsend für 0 t <. (6) (M, d) sei metrischer Rum und N M, N. Dnn ist (N, d) ein metrischer Rum (N erbt die Metrik von M). A Offene Mengen In diesem Abschnitt bedeuten immer M ein metrischer Rum, d eine Metrik, A, B, C,... M, x, y,,... M und r, ϱ, ε, δ,... > Definition: Offene Kugel K(, r) = {x M : d(x, ) < r} heißt offene Kugel um mit Rdius r > Beispiel im IR 2 : (1) Euklid (2) Mnhtten d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 (3) d(x, y) = mx( x 1 y 1, x 2 y 2 ) Hier ist jedesml die Kugel K((0, 0), 1) drgestellt..... (2) (1) (3) 162

7 7.2 Topologische Grundbegriffe Definition: Innerer Punkt, Inneres, offen (1) A heißt innerer Punkt von A, wenn es eine Kugel K(, r) A gibt. (2) A 0 = {x: x ist innerer Punkt von A} heißt Inneres oder offener Kern von A. (3) A heißt offen, wenn A nur us inneren Punkten besteht Beispiel Im IR n mit der Euklidmetrik. Behuptung: Für IR n mit = 1 und α IR ist H = {x IR n : x > α} offen. Sei x H. Dnn ist x = α + δ > α. Behuptung: K(x, δ) H. Sei ξ K(x, δ). D. h. ξ = x + δy mit y < 1. Ist ξ H? ξ = x +δ y CSU α + δ δ y =α+δ =1 <1 Also ist ξ H, K(x, δ) H und x ist innerer Punkt Stz (), M, K(, r), A 0 sind offen. (b) Sind A 1,..., A m offen, so ist A 1 A m offen. (c) Ist A λ für λ Λ offen, so ist A λ offen. λ Λ (), M offen ist klr. K(, r): Sei b K(, r). Dnn ist δ = r d(, b) > 0. Zeige: K(b, δ) K(, r). Sei x K(b, δ). Dnn ist > α d(x, ) d(x, b) + d(b, ) < δ + r δ = r, <δ =r δ lso x K(, r). A 0 : Sei A 0. Dnn ist innerer Punkt von A, lso existiert eine Kugel K(, r) A. Ist diese Kugel A 0? Sei b K(, r). Dnn ist b innerer Punkt von K(, r), d. h. es existiert ein δ > 0 mit K(b, δ) K(, r) A. Für b A 0 folgt lso K(, r) A 0, d. h. (A 0 ) 0 = A 0. (b) Sei A 1 A m = A. Wenn A ist, existieren r j > 0 mit K(, r j ) A j für j = 1,..., m. Setze r := min{r 1,..., r m }. Dnn ist K(, r) K(, r j ) A j für j = 1,..., m, lso ist K(, r) A, A ist offen. (c) Sei A = A λ und A, lso A j für ein λ. Dnn existiert ein r > 0 mit K(, r) A λ A. λ Λ A ist offen. 163

8 7 Metrische Räume Achtung: Sei A j = Bemerkung { } ( ) x IR n : x < 1 j = K 0, 1 j im IR n. A j = {0} ist nicht offen k=1 Jede Menge A mit K(, r) A für irgendein r > 0 heißt Umgebung des Punktes. B Folgen In diesem Abschnitt ist M ein metrischer Rum, M und n M für n = 1, 2, Definition: Folge Eine Abbildung IN M, n n, heißt Folge, und wird mit ( n ) bezeichnet. ( n ) heißt konvergent gegen A, wenn lim d( n, ) = 0 ist. Schreibweise: n für n, lim n =. Zu jedem ε > 0 n n gibt es ein n 0 mit d( n, ) < ε für lle n n Eigenschften () Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt. (b) Aus n und b n b folgt d( n, b n ) d(, b). (c) Aus n folgt d(, n ) const. für lle n. Konvergente Folgen sind uch beschränkt, d. h. es existiert eine Kugel, die lle n enthält. () Gelte n und n b. Dnn ist (b) Also ist d(, b) = 0, d. h. = b. 0 d(, b) d(, n ) + d( n, b) d( n, b n ) d(, b) = d( n, b n ) d( n, b) + d( n, b) d(, b) d( n, b n ) d( n, b) + d( n, b) d(, b) d(b n, b) + d( n, ) 0 (c) Sei ε = 1. Dnn ist d( n, ) < ε für n n 0 und d( n, ) c für n = 1, 2,..., n 0 1. Setze e = mx(1, c). Dnn ist n K(, e) für lle n. Gibt es uch ein r, so dß n K(b, r) für lle n ist? d( n, b) d( n, ) + d(, b) e + d(, b) =: r 164

9 7.2 Topologische Grundbegriffe Beispiel Nehme C([, b]) mit der Metrik d(f, g) := f g = mx f(t) g(t). Dnn sind äquivlent: t b 1. f n f im Rum, d. h. d(f n, f) 0 für n. 2. f n (t) f(t) gleichmäßig in [, b]. Sei ε > 0. Dzu existiert ein n 0, so dß für n n 0 gilt: f n (t) f(t) f n f < ε. Dies gilt für t b, d. h. es liegt gleichmäßige Konvergenz vor. Sei ε > 0. Dzu existiert ein n 0, so dß für n n 0 und lle t [, b] gilt: f(t) f n (t) < ε Wegen der gleichmäßigen Konvergenz ist f C([, b]), lso ist Stz Im IR n (mit Euklidmetrik) sind äquivlent: f n f = mx t b f n(t) f(t) < ε für n n Die Folge (x (m) ) konvergiert gegen x = (x 1, x 2,..., x n ). 2. Die Folgen (x (m) ν ) konvergieren für ν = 1,..., n gegen x ν. : Gelte x (m) x für m mit x = (x 1,..., x n ). Dnn ist für 1 ν n: d. h. x (m) ν x ν. x (m) ν x ν x (m) x 0 für m, : Gelte x (m) ν x ν für m und sei x := (x 1,..., x n ). Dnn ist x (m) x = n ( ) x (m) 2 CSU n ν x ν x (m) ν x ν 0 für m Regeln ν=1 Im IR n gelten die folgenden Regeln: (1) x (m) x, λ IR λx (m) λx. (2) x (m) x, y (m) y x (m) + y (m) x + y. (3) x (m) x, y (m) y x (m) y (m) x y, insbesondere x (m) x. ν=1 165

10 7 Metrische Räume Für (1) und (2): Aufgbe. Für (3) in der Globlübung vom 18. April Bemerkung: (1) und (2) gelten in jedem normierten Rum, (3) gilt in jedem Vektorrum mit Sklrprodukt. C Abgeschlossene Mengen In diesem Abschnitt ist (M, d) ein metrischer Rum, A, B,... M und n, M Definition: Rnd, bgeschlossen, Häufungspkt., bgeschl. Hülle (1) A M heißt bgeschlossen, wenn M \ A offen ist. (2) M heißt Häufungspunkt von A M, wenn es eine Folge ( n ) in A \ {} mit n gibt. (3) A ist die Menge ller Häufungspunkte von A. (4) Ā = A A ist die bgeschlossene Hülle von A. (5) A = Ā \ A0 ist der Rnd von A, die Punkte von A sind die Rndpunkte Beispiel Sei A = {x: x 1} im IR n mit Euklidmetrik. (1) A ist bgeschlossen, d. h. B = IR n \ A ist offen. Sei x B. Dnn ist x = 1 + δ mit δ > 0. Zeige K(x, δ) B: Sei y K(x, δ). Dnn ist y = y x + x = y x ( x) x y x > 1 + δ δ = 1. Also ist K(x, δ) B, x ist innerer Punkt von B, B ist offen und A bgeschlossen. (2) Es ist A = A = Ā. Sei A mit 0 und (m) = (1 1 m ). Es ist (m) und (m) = 1 1 m < 1 1, d. h. (m) A. Also ist Häufungspunkt von A und dmit A A. Jetzt ist noch A A zu zeigen: Sei A. Dnn gibt es eine Folge (m) A mit (m) (bzw. = lim m (m) ) und es ist = lim m (m) 1, 1 d. h. A. Also ist A = A und dmit uch Ā = A. (3) Es ist A 0 = {x: x < 1} = K(0, 1). K(0, 1) A 0 ist klr, d K(0, 1) A und K(0, 1) offen ist. Sei umgekehrt x A 0. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x, δ) A. Insbesondere ist x 1. Wenn x = 1 ist, setze y = x(1 + δ 2 ) und es ist y x = δ 2 x < δ, d. h. y K(x, δ). Es ist ber y = (1 + δ 2 ) x > 1, d. h. y / A. Widerspruch! Somit ist A 0 = K(0, 1). Also gilt A = {x: x = 1}. 166

11 7.2 Topologische Grundbegriffe Aufgbe Es ist bereits gezeigt, dß H = {x: x > α} für IR n, = 1 und α IR offen ist. Zeige: H = {x: x α} ist bgeschlossen. Bestimme die Häufungspunkte, ds Innere und den Rnd Stz (), M, A, Ā und A sind bgeschlossen. (b) A bgeschlossen A A A A A = Ā. (c) M ist Rndpunkt von A Es gibt Folgen ( n ) in A und b n in M \ A mit n und b n. (d) Sind A 1,..., A m bgeschlossen, so ist uch A 1 A m bgeschlossen. (e) Sind A λ für λ Λ bgeschlossen, so ist λ Λ A λ bgeschlossen. () und M klr. Beweis für Ā. Es ist Ā = A A. Sei B = M \ Ā und b B. Es gilt: b / A und b / A. Also existiert keine Folge ( n ) in A mit n b und n b. Dnn existiert uch keine Folge ( n ) in A mit n b, d. h. es existiert ε > 0 mit K(b, ε) A = und K(b, ε) A =. Es ist lso K(b, ε) B, d. h. b B 0. B ist offen, Ā ist geschlossen. (b) Zeige hier: A ist bgeschlossen A = Ā : A = Ā, lso ist A bgeschlossen. : Zeige A = Ā. : Es ist A A A = Ā : Sei Ā = A A. Dnn ist A (o.k) oder A. Sei lso A, d. h. es existiert ein Folge ( n ) in A mit n und n. Wäre / A, dnn wäre B = M \ A. Dbei ist B offen. Somit gibt es ε > 0 mit K(, ε) B. Für n n 0 ist dnn d( n, ) < ε, d. h. n K(, ε) B = M \ A. Dnn wären die n / A. Widerspruch zu n A. Also muß A sein. (c) : Sei A = Ā \ A0. Dnn ist A oder A. Für A existiert eine Folge ( n ) A \ {} mit n. Für A \ A Setze n =. D / A 0, folgt dß zu jedem ε > 0, z. B. zu ε = 1 n existiert eine Folge b n / A, ber d(, b n ) < 1 n. : Sei n A mit n (1) und b n / A mit b n (2). Aus (1) folgt A oder A, lso Ā. Aus (2) folgt / A 0. Zusmmen gilt: Ā \ A0 = A. 167

12 7 Metrische Räume (d) Nch demorgn gilt: M \ (A 1 A m ) = (M \ A 1 ) (M \ A 2 ) (M \ A m ) ist offen. offen (e) Ebenso gilt: ( ) M \ A λ λ Λ = λ Λ M \ A λ offen ist offen. 7.3 Kompkte und vollständige Räume Definition: Kompkt Sei (M, d) ein metrischer Rum und A M. A heißt kompkt, wenn jede Folge in A eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A besitzt Stz Kompkte Mengen sind bgeschlossen und beschränkt, d. h. zu A existiert ein r > 0 mit d(x, ) r für lle x A. Sei A, d. h. es existiert eine Folge ( n ) in A mit n. Nch Definition ist ber A und dmit A A. A ist bgeschlossen. Zeigen noch: r := sup{d(x, ): x A} <. Es existiert ein Folge (x n ) in A mit d(x n, ) r. Es existiert ein konvergente Teilfolge (x nk ) mit x nk x A. Dmit ist r = lim d(x n k, ) = d(x, ) IR, d. h. r <. k Beispiel Sei M = C([, b]) mit d(u, v) := b (u(t) v(t)) 2 dt = u v und A = {u C([, b]): u 1}. A ist beschränkt. A ist bgeschlossen: Sei u A, d. h. es gibt eine Folge u n A mit u n u, u stetig (u M) und es ist b u = (u(t)) 2 dt = lim u n 1, n 1 d. h. u A. Also ist A bgeschlossen. A ist nicht kompkt (zeige dies hier für ds Intervll [, b] = [ π, π]): Setze u n (t) = 1 2π sin nt. Dnn ist u n 2 = π π 1 2π (sin nt)2 dt = 1 168

13 7.3 Kompkte und vollständige Räume und u n u m 2 = π π π (sin nt) (sin mt) dt +1 = 2 } {{ } =0 für n m u n u m = 2 keine konvergente Teilfolge u nk knn existieren, sonst 0 u nk +q u nk = 2 Widerspruch Stz von Bolzno-Weierstrß () Im IR n ist jede beschränkte und bgeschlossene Menge kompkt. (b) Im IR n besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge (siehe uch 2.3.3, Seite 26). () Sei A IR n beschränkt und bgeschlossen und (x (m) ) eine Folge in A. Nch (b) existiert eine konvergente Teilfolge (x (m k) ) mit x (m k) x A A = A. d. h. A ist kompkt. Dbei gilt, d A bgeschlossen ist. (b) Induktion nch der Dimension n: n = 1: Siehe 2.3.3, Seite 26. n n + 1: Sei x IR n+1, x = (x 1, x 2,..., x n+1 ). Setze y = (x 2,..., x n+1 ) IR n. Splte die Folgenglieder x (m) uf in x (m) = (x (m) 1, y (m) ) mit x (m) 1 IR und y (m) IR n. Dnn ist ( ) y (m) (im IR n ) x (m) (im IR n+1 ) = x (m) y (m) 2. (y (m) ) ist beschränkt im IR n, ht lso nch Induktionsvorussetzung eine konvergente Teilfolge (y m k). Die reelle Folge (x (m k) 1 ) ist beschränkt durch x 1 x, d. h. es existiert eine konvergente Teilfolge (x (m k j ) 1 ). (y (m k j ) ) konvergiert, lso konvergiert (x (m k j ) ) uch. Später wird einfch gesgt: OBdA 2 sind beschränkte Folgen im IR n uch konver- Bemerkung: gent Definition: Cuchyfolge, vollständig, Bnchrum Eine Folge (x n ) im metrischen Rum (M, d) heißt Cuchyfolge, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 gibt mit d(x n, x m ) < ε für n > m n 0. M heißt vollständig, wenn jede Cuchyfolge in M konvergent ist (mit Grenzwert in M). Ein normierter Rum (E,. ) heißt vollständig oder Bnchrum, wenn er mit der Metrik d(x, y) := x y vollständig ist. 2 Soll heißen: Ohne Bedenken des Autors. 169

14 7 Metrische Räume Beispiele/Bemerkungen () Jede konvergente Folge ist Cuchyfolge. Sei x n x. Dnn ist d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε für n > m n 0 <ε/2 <ε/2 n n 0 m n 0 (b) IR mit. ist Bnchrum (Cuchykriterium). (c) IR n ist ein Bnchrum (vollständig mit Euklidnorm). Sei (x (m) ) eine Cuchyfolge. Dnn ist für ν = 1,..., n x (m) ν x (k) ν x (m) x (k) < ε für m > k k 0. Also sind (x (m) ν ) Cuchyfolgen in IR mit x (m) ν x ν für m und ν = 1,..., n. Zusmmen ist dnn x (m) x = (x 1,..., x n ). (d) C([, b]) mit u = mx u(t) ist ein Bnchrum. t b Sei (u n ) eine Cuchyfolge, d. h. zu ε > 0 existiert ein n 0 mit u n (t) u m (t) u n u m < ε für n > m n 0 und t b. (7.1) Also konvergiert u n gleichmäßig gegen die Grenzfunktion u C([, b]). Noch zu zeigen, dß u m u in der Norm: Aus 7.1 folgt: Für n gilt dmit Also ist d. h. u m u im Rum (in der Norm). (e) C([, b]) mit u = b u n (t) u m (t) < ε. u(t) u m (t) ε für m n 0, t b. u u m ε für m n 0, (u(t)) 2 dt ist kein Bnchrum. Für ds Intervll [0, 1]: Setze { t 1/3 für 1/n t 1 u n (t) = n 1/3 für 0 t 1/n. Sein nun n > m. Dnn ist u n u m 2 = 1/m 1/n (u n (t) u m (t)) 2 dt = (n 1/3 m 1/3 ) 2 dt n (n1/3 ) 2 + 1/m 1/n 0 (t 1/3 ) 2 dt = n 1/3 + 3t 1/3 1/m < n 1/3 + 3 m 1/3 < 4m 1/3 < ε für m > 1/n ( ) 4 3. ε 1/m 1/n (t 1/3 m 1/3 ) 2 dt 170

15 7.4 Stetige Funktionen Also ist (u n ) eine Cuchyfolge. Zeige nun, dß (u n ) nicht in C([0, 1]) konvergiert. Annhme: u n u 0 für n für ein u C ( [0, 1]). Dnn gibt es zu ε > 0 ein n 0 mit u n u < ε für n n 0. Sei nun δ (0, 1) beliebig und n so groß, dß 1 n < δ ist.: 1 δ (t 1/3 u(t)) 2 dt 1 0 (u n (t) u(t)) 2 dt < ε 2 Es ist lso u(t) = t 1/3 in [δ, 1], d. h. u(t) = t 1/3 in (0, 1], ber es ist u / C([0, 1]). Widerspruch! Also konvergiert u nicht in C([0, 1]). 7.4 Stetige Funktionen Definition: Stetigkeit Es seien (M, d) und (N, ϱ) metrische Räume und f : M N. (1) f heißt stetig im Punkt x 0 M, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit [Äquivlent ist: f(k(x 0, δ) ) K(f(x 0 ), ε).] M N ϱ(f(x), f(x 0 )) < ε für lle x M mit d(x, x 0 ) < δ. (2) f heißt stetig (in M), wenn f in jedem Punkt x 0 M stetig ist. (3) f heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit ϱ(f(x), f(y)) < ε für x, y M mit d(x, y) < δ. Vergleiche uch mit den entsprechenden Definitionen in IR: uf der Seite 48 und uf der Seite Bemerkungen () Sei f : M \ {x 0 } N. lim f(x) = y 0 : zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 mit x x 0 ϱ(f(x), y 0 ) < ε für lle x M mit d(x, x 0 ) < δ, x x 0. (b) f ist in x 0 stetig für jede Folge (x n ) in M \{x 0 } mit x n x 0 ht (f(x n )) einen Grenzwert. Der gemeinsme Grenzwert ist dnn lim x x 0 f(x). (vgl. Folgenkriterium, uf Seite 45) 171

16 7 Metrische Räume Beispiel Sei f : IR 2 \ {(0, 0)} IR mit Behuptung: und der Grenzwert existiert nicht für α + β 2. f(x, y) = x α y β x 2 + y 2 für α, β > 0. lim = 0 α + β > 2 (x,y) (0,0) Sei t = mx( x, y ). Dnn ist Sei nun α + β 2. Dnn ist f(x, y) 0 = x α y β x 2 + y 2 Also existiert der Grenzwert nicht Komposition tα+β t 2 = t α+β 2 0 flls α + β 2 > 0 für (x, y) (0, 0) f(x, 0) = 0 f(0, y) = 0 f(x, x) = x α+β 2x 2 = 1 2 x α+β 2 { 1 x 0 2 für α + β = 2 + für α + β < 2 Seien (M, d), (N, ϱ) und (P, σ) metrische Räume, g : M N sei stetig in x 0 M und f : N P sei stetig in y 0 = g(x 0 ). Dnn ist h = f g : M P, h(x) := f(g(x)) stetig in x 0. Wie in (e), Seite Stz Sei M IR n, f : M IR n, IR n mit der Euklidmetrik und f = (f 1, f 2,..., f m ). f ist genu dnn stetig in ξ M, wenn lle f ν : M IR in ξ stetig sind. : Für ν = 1,..., n gilt: Also ist f ν stetig in ξ. f ν (x) f ν (ξ) f(x) f(ξ) < ε für x ξ < δ, x M 172

17 7.4 Stetige Funktionen : f(x) f(ξ) m f ν (x) f ν (ξ) <ε/m ν=1 für x ξ < δ ν. Gilt nun x ξ < δ = min{δ ν : ν = 1,..., m}, dnn ist f(x) f(ξ) m f ν (x) f ν (ξ) < ε. ν= Regeln für Funktionen vom Typ IR n IR m Sei M IR n, f, g : M IR m, ξ M und f, g stetig in ξ (in gnz M). Dnn ist () f + g (b) λf für λ IR (c) ds Sklrprodukt f g = f 1 g f m g m stetig in ξ (in gnz M). Wie in IR, siehe uf Seite Stz Ist A M kompkt und f : A N stetig, so ist f(a) N kompkt. Sei (y n ) Folge in f(a), d. h. y n = f(x n ) mit einem x n A. Dnn ist (x n ) Folge in A und es existiert eine konvergent Teilfolge x nk ξ A. Dnn gilt wegen der Stetigkeit von f für k y nk = f(x nk ) f(ξ) f(a) Stz vom Minimum und Mximum Sei A M kompkt, f : A IR sei stetig. Dnn gibt es x, x A mit f(x ) f(x) f(x ) für lle x A. Vergleiche uch mit uf Seite 49. D A kompkt ist, ist uch B = f(a) kompkt. Zeige nun noch (ls Aufgbe): Aus der Kompktheit von B IR n folgt mx B B und min B B. Idee: Nehme Folge b n B mit b n sup B. sup B <? sup B B? mx Definition: Äquivlenz von Normen Sei E ein Vektorrum über IR. Zwei Normen. α und. β heißen äquivlent, wenn es A > 0 und B > 0 gibt mit x β B x α und x α A x β für lle x E. 173

18 7 Metrische Räume Beispiel Sei E = IR n mit der Euklidnorm. und der Summennorm. 1. Dnn ist n x 1 = 1 x ν CSU n 1 2 n x 2 ν = n x ν=1 ν=1 ν=1 und x x Stz Im IR n sind lle Normen äquivlent. Für Die Euklidnorm. und eine beliebige Norm. N. Sei S n 1 = {x IR n : x = 1} die Oberfläche der Einheitskugel. Sei f : S n 1 IR mit f(x) = x N. Behuptung: f ist stetig: mit e ν, dem ν-ten Einheitsvektor f(x) f(y) = x N y N x y N n = ν y ν )e ν=1(x ν N CSU n x ν y ν e ν N ν=1 ν n e ν 2 N x y ν=1 } {{ } =:C Wähle für ε > 0 nun δ = ε C. Dnn ht f Minimum/Mximum uf Sn 1 : 0 < m f(x) M < uf S n 1. m x x N M x für x S n 1. x Sei nun x 0, x IR n. Setze ξ = x Sn 1. Dnn ist ξ N M und M ξ N = x x = 1 N x x = 1 N x x N, lso Zeige genuso: x N m x Bemerkung x N M x für x IR n \ {0} (uch für x = 0) Die Begriffe innerer Punkt, Häufungspunkt, Rndpunkt, A 0, Ā, A, A, Konvergenz von Folgen und Stetigkeit von Funktionen sind unbhängig definiert von der verwendeten Norm (dies gilt für lle endlich dimensionlen Räume). 174

19 7.5 Mehr über stetige Funktionen Beispiel Betrchte den Rum C([, b]). Die Normen sind nicht äquivlent! u = mx u(t) und u = t b b (u(t)) 2 dt Hier konkret für ds Intervll [, b] = [0, 1]: Es ist u 2 = 1 0 (u(t)) 2 dt mx 0 t 1 u(t) 2 = u 2, lso ist u u. Dgegen ist u C u für lle u C([0, 1]) nicht möglich. Annhme: Ein solches festes C > 0 existiert doch. Setze { t 1/3 in [ 1 u n (t) = n, 1] n 1/3 in [0, 1 n ]. Es ist und lso ist und es muß gelten: u n 2 < u n = n 1/ t 2/3 dt = 3t 1/3 = 3, u n < 3 n 1/3 = u n C u n < C 3 Widerspruch! Mehr über stetige Funktionen Stz von Heine Ist A M kompkt und f : A N stetig, so ist f gleichmäßig stetig (vergleiche uch mit , Seite 51). Annhme: f : M N [(M, d) und (N, ϱ)] ist nicht gleichmäßig stetig. Zu δ = 1, 1 2, 1 3,..., 1 n existieren die Folgen x n, y n A mit d(x n, y n ) < 1 n, ber mit ϱ(f(x n), f(y n )) η > 0. OBdA sei (x n ) konvergent (Kompktheit, nderenflls wähle konvergente Teilfolge): x n x A und y n x. 0 < η ϱ(f(x n ), f(y n )) Stetigkeit ϱ(f(x), f(x)) = 0 Widerspruch! 175

20 7 Metrische Räume Stz über die Umkehrfunktion Sei A M kompkt, f : A N sei stetig und injektiv. Dnn ist f 1 : f(a) A stetig (siehe uch 3.2.9, Seite 50). Sei y f(a) mit y = f(x), x = f 1 (y). Zeige: lim f 1 (y n ) = x = f 1 (y) für jede Folge (y n ) in f(a) mit y n y. n Setze x n = f 1 (y n ). (x n ) ist Folge in A. Sei (x nk ) eine konvergente Teilfolge mit x nk x A. Dnn ist f(x ) = lim k f(x n k ) = lim k y n k = y. D f injektiv ist, ist x = x. Dnn gilt sogr (denn lle x nk x): x n x. Wenn f 1 nicht stetig sein soll, dnn existiert eine Teilfolge (x nj ) mit d(x, x nj ) η > 0 für j = 1, 2, 3,... (x nj ) ht eine konvergente Teilfolge (x njk ), die uch Teilfolge von (x n ) ist. Dmit ist x njk x für j. Also ist 0 < η d(x, x njk ) 0 Widerspruch! Definition Seien f n, f : M N gegeben (n = 1, 2,... ). f n heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 IN gibt mit Siehe uch 3.3.1, Seite 52. ϱ(f n (x), f(x)) < ε für n n 0 und für lle x M Stz Gilt f n f gleichmäßig und sind lle f n stetig [in ξ M oder in M], dnn ist uch f stetig (siehe uch 3.3.4, Seite 53). Wie bei f n : [, b] IR Bnchscher Fixpunktstz Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Rum und T : M M eine Kontrktion, d. h. zu einem q (0, 1) ist d(t x, T y) q d(x, y) für lle x, y M. Dnn ht T genu einen Fixpunkt x mit x = T x. Ist x 0 M beliebig und x n+1 = T x n, so ist d(x n, x ) q n d(x 1, x 0 ), 1 q insbesondere gilt x n x. Mn nennt (x n ) Folge der sukzessiven Approximtion. 176

21 7.5 Mehr über stetige Funktionen Eindeutigkeit: Sei x = T x und y = T y. Dnn ist d(x, y) = d(t x, T y) q d(x, y). Dmit ist dnn Es ist lso d(x, y) = 0, d. h. x = y. (1 q) d(x, y) 0. 0 Existenz: Sei x 0 M und x n+1 = T x n. Für n 2 gilt dnn: d(x n, x n 1 ) = d(t x n 1, T x n 2 ) q d(x n 1, x n 2 ). Mit Induktion gilt dnn: d(x n, x n 1 ) q n 1 d(x 1, x 0 ). Sei nun n > m beliebig. Dnn ist d(x n, x m ) n Also ist (x n ) eine Cuchyfolge. Gelte nun x n x. Für n > m gilt und für n ist dnn Gilt nun x = T x? ( T x = T lim x n n d(x j, x j 1 ) j=m+1 q j 1 d(x 1,x 0 ) n m 1 = d(x 0, x 1 )q m k=0 d(x n, x m ) < d(x 0, x 1 ) 1 q d(x, x m ) d(x 0, x 1 ) 1 q ) T ist stetig Beispiel: Fredholmsche Integrlgleichung d(x 0, x 1 ) Sei g : [, b] IR stetig und sei k : [, b] [, b] IR stetig. Sei Gesucht ist f C([, b]) mit (7.2). b f(x) = g(x) + n j=m+1 q k < d(x 0, x 1 )q m q m q m q j q = lim n T x n = lim n x n+1 = x k(x, y)f(y) dy (7.2) Behuptung: Gilt mx{ k(x, y) : x, y b} < 1 b, dnn ht (7.2) genu eine Lösung f C([, b]). 177

22 7 Metrische Räume (1) Zeige: Aus f C([, b]) folgt, dß f(x) = b k(x, y)f(y) dy stetig ist in [, b]. Sei ε > 0. D k gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit k(x, y) k(x, y) < ε für y b, x, x b, x x < δ. Außerdem ist f(x) M in [, b]. f(x) f(x ) = b (k(x, y) k(x, y))f(y) dy < M ε(b ) = M(b ) ε b k(x, y) k(x, y) M dy <ε für x x <δ (2) Setze mit T : C([, b]) C([, b]). b (T f)(x) := g(x) + k(x, y)f(y) dy (3) C([, b]) mit f := mx f(x) ist vollständig. x b (4) Ist T eine Kontrktion? Nch Vorussetzung existiert ein q (0, 1) mit k(x, y) Seien f, ϕ C([, b]): (T f)(x) (T ϕ)(x) = b b q b k(x, y) (f(y) ϕ(y)) dy k(x, y) q b f(y) ϕ(y) dy f ϕ für lle (x, y). q b f ϕ (b ) = q f ϕ Also ist T f T ϕ q f ϕ Die Bedingungen für den Bnchschen Fixpunktstz sind lso erfüllt. Um die Fixfunktion f nzunähern, wählt mn ein beliebiges f 0 C([, b]) und berechnet itertiv b f n+1 (x) = g(x) + Dbei gilt ls Fehlerbschätzung für x b: k(x, y)f n (y) dy. f n (x) f (x) f 0 f 1 1 q q n 178

23 7.5 Mehr über stetige Funktionen Beispiel: Der Stz von Picrd-Lindelöf Sei f : [, b] IR IR stetig und f(t, u) f(t, ū) L u ū für t b und u, ū IR. Gesucht ist die Lösung für ds Anfngswertproblem (AWP) Für die Lösung u gilt: u C 1 ([, b]) mit u = f(t, u), u() = α. u (t) = f(t, u(t)), u() = α IR. Behuptung: (AWP) ht genu eine Lösung. (AWP) ist äquivlent zu der Integrlgleichung (IGL) t u(t) = α + denn für eine Lösung u C 1 ([, b]) von (AWP) gilt: u ist lso uch Lösung von (IGL). Sei nun u C([, b]) Lösung von (IGL): f(s, u(s)) ds, u(t) u() = u(t) α = = t t t u(t) = α + D u C([, b]) ist, ist f(s, u(s)) stetig in [, b]. Also ist Es ist b u (s) ds f(s, u(s)) ds f(s, u(s)) ds f(s, u(s)) ds stetig differenzierbr, d. h. uch u ist stetig differenzierbr. d u(t) = f(t, u(t)) und u() = α. dt Dmit ist die Äquivlenz von (AWP) und (IGL) gezeigt. Definiere nun T mit C([, b]) C([, b]) T : t (T u)(t) = α + f(s, u(s)) ds. 179

24 7 Metrische Räume Besitzt T genu einen Fixpunkt? Versuche dies mit Hilfe des Bnchschen Fixpunktstzes zu zeigen. Definiere dzu folgende Norm uf C([, b]): u = mx { u(t) exp( 2L(t ))} t b (Nchweis der Normeigenschften ls Aufgbe). Behuptung: T ist eine Kontrktion mit q = 1 2. Seien u, v C([, b]). Dnn ist t (T u)(t) (T v)(t) = (f(s, u(s)) f(s, v(s))) ds Also ist und dmit t t L f(s, u(s)) f(s, v(s)) ds L u(s) v(s) u(s) v(s) exp( 2L(s )) exp(2l(s )) ds u v exp(2l(s )) L u v 2L exp(2l(t )) < L u v 2L exp(2l(t )) = u v 2 (T u)(t) (T v)(t) exp( 2L(t )) < 1 u v 2 T u T v = mx{ (T u)(t) (T v)(t) exp( 2L(t ))} 1 u v. 2 Für den Bnchschen Fixpunktstz fehlt noch die Vollständigkeit von C([, b]) mit der Norm.. Zeige, dß. äquivlent zu. ist. Es ist u u, d exp( 2L(t )) 1 in [, b]. Außerdem ist Dmit ist D dies für t b gilt, ist Insbesondere gilt: u(t) exp( 2L(t )) u(t) exp( 2L(b )) =: 1 C u(t) C u(t) exp( 2L(t )) C u. u C u. u n u m C u n u m u n u m u n u m. Also ist der Rum vollständig, der Bnchsche Fixpunktstz knn ngewendet werden, d. h. T ht genu einen Fixpunkt. t 180

25 7.5 Mehr über stetige Funktionen Konkretes Beispiel für den Stz von Picrd-Lindelöf Gesucht ist u C([0, t 0 ]) mit u = t + u und u(0) = 0 in [0, t 0 ] IR. Hier ist f(t, u) = t + u. Setze L = 1 und berechne u nch dem folgenden System: Wähle u 0 C([0, t 0 ]) und berechne dnn sukzessive u n+1 = t 0 t (s + u n (s)) ds = t u n (s) ds. Speziell: Wähle u 0 (t) 0. Dnn ist u 1 (t) = t2 2 Zeige dies für u n (t) per Induktion. Es gilt: u 2 (t) = t2 2 + u 3 (t) = t u n (t) = t2 2 + t3 2 3 t t t t n (n + 1). u n (t) = n+1 j=2 t j j! u(t) = e t 1 t Führe eine Probe durch: Es ist u = e t 1 und t + u = e t 1, die beiden sind lso gleich. Außerdem ist u(0) = Definition Sei (M, d) ein metrischer Rum, A M, A und (O λ ) sein ein System von offenen Mengen mit O λ M für λ Λ. (O λ ) λ Λ heißt offene Überdeckung von A, wenn A O λ ist. Gilt bereits A m O λj für gewisse λ Λ λ j, so heißt (O λj ) j=1,...,m eine endliche Teilüberdeckung Beispiel Sei A = (0, 1] IR und I n = ( 1 n, 2) für n = 1, 2,... Es gilt (0, 1] ( 1 n, 2) (Aufgbe!) n=1 j=1 181

26 7 Metrische Räume und (I n ) enthält keine endliche Teilüberdeckung, denn sonst wäre (0, 1] Stz von Heine-Borel m j=1 ( ) ( ) 1 1 j, 2 = m, 2 Widerspruch! A M ist genu dnn kompkt, wenn jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung enthält. : Zu zeigen ist: (x n ) ht eine konvergente Teilfolge (x nk ) mit x nk x A. Widerspruchsbeweis: Sei (x n ) eine Folge in A, die keine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A ht. Sei A. Dnn existiert ein r() > 0, so dß K() := K(, r()) höchstens ein x n enthält. (K()) A ist eine offene Überdeckung von A. Es werden ber unendlich viele U benötigt, um {x n : n IN} zu überdecken, lso uch für A. Widerspruch! : Sei A kompkt und (O λ ) λ Λ eine offene Überdeckung. Sei nun A und { A IR r : r() := sup{ϱ < 1: K(, ϱ) O λ für ein λ Λ}. Behuptung: r ist stetig. Sei x A fest. Dnn gilt 0 < ϱ < r(x) und d(y, x) < r(x), d(x, y) < ϱ. Suche nun eine Abschätzung r(y)? Setzt mn δ = d(x, y), so gilt K(y, ϱ δ) K(x, ϱ) O λ. Also ist r(y) ϱ δ, ϱ r(y) + d(x, y) r(x) r(y) + d(x, y) r(x) r(y) d(x, y). Dies gilt uch, wenn d(x, y) r(x) ist (trivil!). Genuso gilt uch r(y) r(x) d(x, y). Dmit gilt dnn: r(x) r(y) d(x, y) Bedingung für die Stetigkeit 182

27 7.6 Zusmmenhng Also ist r stetig. D A kompkt ist, ht r ein positives Minimum= 2 r 0. Zu jedem x A existiert ein λ mit K(x, r 0 ) O λ Also ist (K(x, r 0 )) x A eine offene Überdeckung von A. Zeige nun noch, dß (K(x, r 0 )) x A eine endliche Teilüberdeckung enthält und dmit uch (O λ ) selbst. Annhme: Es gibt keine endliche Teilüberdeckung. Sei x 0 A beliebig. dnn existieren: x 1 A \ K(x 0, r 0 ) x 2 A \ (K(x 0, r 0 ) K(x 1, r 0 )). x n A \ (K(x 0, r 0 ) K(x n 1, r 0 )). (x n ) ist eine Folge in A. Für n > m gilt dnn d(x n, x m ) r 0 und x n K(x m, r 0 ). Es gibt lso keine konvergente Teilfolge in A. Widerspruch! Also enthält (K(x, r 0 )) x A eine endliche Teilüberdeckung und (O λ ) enthält ebenflls eine endliche Teilüberdeckung. 7.6 Zusmmenhng In diesem Abschnitt ist (M, d) ein metrischer Rum, insbesondere meistens IR n mit der euklidischen Metrik oder IR mit dem bsoluten Betrg Definition: Prtition, zusmmenhängend Sei E M, E und A, B M. (A, B) heißt Prtition von E, wenn gilt: (1) A und B sind offen (2) E A B (3) E A B = (4) E A und E B. E heißt zusmmenhängend, wenn es keine Prtition von E gibt Anschuliche Beispiele () Intervll in IR: [ ). (b)

28 7 Metrische Räume (c) Die hier gezeigte Menge ist nicht zusmmenhängend Mit Rnd zusmmenhängend Ohne Rnd nicht zusmmenhängend Bemerkung In der Definition des Zusmmenhnges knn mn offen durch bgeschlossen ersetzen. Setze à = M \ A und B = M \ B. à und B sind offen, wenn A und B bgeschlossen sind. (A, B) ist Prtition von E; A und B sind bgeschlossen. Zeige: (Ã, B) ist Prtition von E. ( 1) à und B sind offen ( 2) Es gilt E A B, E A und E B (wegen (3), (4)) E à B, denn { x A x / B x B x E x B x / A x à ( 3) Sei x E à B. Dnn ist x E, x / A und x / B. Ds heißt, es gibt ein x E mit x / A und x / B. Dies ist ein Widerspruch zu (2), lso knn es so ein x nicht geben. ( 4) Sei E à = und sei x E. Dnn ist x M \ à = A für lle x E. Ds heißt, dß E A ist. Widerspruch zu (3) und (4), d E B E A B Widerspruch zu (3) Definition: Gebiet Eine offene und zusmmenhängende Menge heißt Gebiet Stz Ist f : E N [(N, ϱ) sei dbei ein metrischer Rum] stetig und E zusmmenhängend, so ist f(e) zusmmenhängend. 184

29 7.6 Zusmmenhng Annhme: (Ã, B) sei Prtition von f(e). Zu y = f(x) à und zu ε > 0 existiert ein δ > 0 mit Genuso: Ist (A, B) Prtition von E? (1) A und B sind offen (2) nch Konstruktion f(k(x, δ) E) K(y, ε), δ = δ(ε, x) = δ(x) für festes ε A = B = f(x) à f(x) B K(x, δ(x)) ist offene Menge offen K(x, δ(x)) ist offene Menge offen (3) Sei x E A B Dnn ist f(x) à und f(x) B Also ist à B Drus folgt, dß Ã B f(e) ist. Widerspruch zu ( 3) Also ist E A B =. (4) Wäre E A =, lso E B, dnn wäre B f(b E) = f(e). Widerspruch! zu ( 3) und ( 4) Also ist E A und genuso E B Zusmmen ist (A, B) dmit Prtition von E. Widerspruch! zu: E ist zusmmenhängend. Es gibt lso keine Prtition von f(e), d. h. f(e) ist zusmmenhängend Zwischenwertstz Eine Menge E ist genu dnn zusmmenhängend, wenn jede stetige Funktion f : E IR die Zwischenwerteigenschft ht, d. h. wenn f(e) ein Intervll ist. : Sei E nicht zusmmenhängend und (A, B) Prtition von E. Setze { 0 x E A f : E IR, f(x) = 1 x E B f(e) = {0, 1} Behuptung: f ist stetig. Sei z. B. x 0 A E, f(x 0 ) = 0. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x 0, δ) A, d A offen ist. In K(x 0, δ) E ist f(x) = 0, lso ist f stetig in x 0. D f(e) = {0, 1} kein Intervll ist, ber nch Vorussetzung ein Intervll sein muß, erhält mn einen Widerspruch! E ist doch zusmmenhängend. 185

30 7 Metrische Räume : Sei E zusmmenhängend, f : E IR stetig, ber f(e) kein Intervll. Dnn gibt es < b mit, b f(e), ber c (, b) mit c / f(e). Setze dmit A = {x: f(x) < c} und B = {x: f(x) > c}. A und B sind offen. Überprüfe die Definition für die Prtition (A, B): (1) (2), d f(x) c für lle x E. (3), d sogr A B. (4) Es gibt α mit f(α) = : Es ist α A. Es gibt β mit f(β) = b: Es ist β B. Zusmmen ist dmit (A, B) eine Prtition der zusmmenhängenden Menge E. Widerspruch! Also ist f(e) ein Intervll Stz Die zusmmenhängenden Teilmengen von IR sind genu die Intervlle. : Sei E IR zusmmenhängend und setze f : E IR, f(x) = x. Dnn ist nch dem Zwischenwertstz f(e) = E ein Intervll. : Sei E IR ein Intervll und f : E IR stetig. Dnn ist nch An I f(e) ein Intervll und mit dem Zwischenwertstz ist dmit E zusmmenhängend Hilfsstz Seien E λ für λ Λ zusmmenhängende Mengen (in M), E λ E ν für je zwei λ, ν Λ. Dnn ist uch E λ =: E zusmmenhängend. λ Λ Annhme: E ist nicht zusmmenhängend, (A, B) Prtition von E, insbesondere E λ A B E λ A B E A B = D E λ zusmmenhängend ist, ist (A, B) keine Prtition von E λ. Also ist E λ A oder E λ B. Sei hier E λ A. Sei µ λ. Dnn ist E µ A oder E µ B und E λ E µ. Dmit ist E µ A. Dnn knn E µ B nicht gelten, d E µ A B = ist, lso ist E µ A. Zusmmen ist dnn E A. Dies ist ein Widerspruch dzu, dß (A, B) Prtition von E ist, lso ist E zusmmenhängend Beispiel Sei E IR n offen und sternförmig bezüglich 0, d. h. für jedes x E gilt: {tx: 0 t 1} E. Behuptung: E ist zusmmenhängend, lso ein Gebiet. 186

31 7.6 Zusmmenhng Sei für x E S x = {tx: 0 t 1}. Die Funktion [0, 1] IR n, t tx ist stetig. Dmit ist S x zusmmenhängend. Außerdem ist E = S x und S x S y {0}. Also ist E zusmmenhängend. x E Stz Sei E M, E. Dnn ist x y : es gibt eine zusmmenhängende Teilmenge F E mit x, y F eine Äquivlenzreltion. Die Äquivlenzklssen [x] sind zusmmenhängend. Entweder ist [x] = [y] oder [x] [y] =. Jede Klsse [x] heißt Zusmmenhngskomponente von E. Es gilt: E = x [x] Zeige, dß eine Äquivlenzreltion ist: (1) Reflexivität: Ist x x? J, d x, x {x} =zusmmenhängende Teilmenge. (2) Symmetrie: x y x, y F E, F zusmmenhängend y, x F E, F zusmmenhängend y x (3) Trnsitivität: Sei x y und y z, d. h. x, y F 1 E und y, z F 2 E, F 1 und F 2 sind zusmmenhängend. x, z F 1 F 2 E y F 1 F 2, lso ist F 1 F 2 zusmmenhängend. Also ist x z Bemerkung Zusmmenhngskomponenten sind utomtisch mximl zusmmenhängend, d. h. ist F E zusmmenhängend, dnn existiert eine Zusmmenhngskomponente C mit F C. Sei x F, C = [x]. Für y F ist dnn x y, lso y [x] = C, F C. 187

32 7 Metrische Räume Zustz Ist E IR n offen [bgeschlossen], dnn ist uch jede Zusmmenhngskomponente offen [bgeschlossen]. Eine offene Menge E IR n besteht us endlich oder bzählbr unendlich vielen Gebieten. Zuerst für offenes E: Sei C Zusmmenhngskomponente von E. Sei x C. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x, δ) E, d K(x, δ) zusmmenhängend ist und x enthält. D C mximl zusmmenhängend ist, folgt K(x, δ) C. Zeige nun, dß es nur endlich oder bzählbr unendlich viele Zusmmenhngskomponenten gibt: Sei C eine Zusmmenhngskomponente von E. C enthält x IR n mit x ν Q für ν = 1,..., n. Nenne x = x C und definiere die Abbildung {C : C ist Komponente von E} Q n C x C. Diese Abbildung ist injektiv, d je zwei Komponenten disjunkt (oder gleich) sind. D ber Q n bzählbr ist, existieren höchstens bzählbr viele Komponenten. Nun der Beweis für bgeschlossenes E: Sei C Zusmmenhngskomponente von E. Zu zeigen ist, dß C bgeschlossen ist, d. h. C = C. Es gilt: (1) C E, d E bgeschlossen ist. (2) C ist zusmmenhängend (Dies wird gleich gezeigt). Zusmmen ist lso C C E, lso uch C = C. Zeige nun, dß (2) gilt: Wenn C nicht zusmmenhängen ist, existiert eine Prtition (A, B) von C mit: (1) Aund B sind offen. (2) C A B. (3) C A B =. (4) C A und C B. D C A B und C A B = und C zusmmenhängend ist, folgt: C A = [oder C B = ], lso ist z. B. C B. Andererseites existiert ein C A. D A C ist, ist C, d. h. es existiert eine Folge (c n ) in C mit c n, c n. Also existiert eine Kugel K(, δ) A. Für n n 0 gilt dnn: c n K(, δ) A und c n C B. Dmit ist dnn c n C A B =. Widerspruch! Also ist C zusmmenhängend. 188

33 7.6 Zusmmenhng Testbeispiel Sei Λ Indexmenge und I λ seien für λ Λ offene Intervlle. Setze E = λ Λ I λ IR. E besteht nch dem Stz us höchstens Abzählbr vielen Intervllen (Komponenten) Definition: Weg M sei ein metrischer Rum, E M. Eine stetige Abbildung γ : [α, β] E heißt Weg in E. γ(α) heißt Anfngspunkt, γ(β) heißt Endpunkt von γ. Mn sgt γ verbindet γ(α) mit γ(β) in E. Bechte: γ := {γ(t): α t β} E ist zusmmenhängend, γ heißt Träger von γ Beispiel Sei γ : [0, 2π] IR 2 mit γ(t) = ( ) cos t sin t γ(π/2) = (0, 1) γ(π) = ( 1, 0) γ(0) = γ(2π) = (1, 0). γ( 3 2π) = (0, 1) Definition: Wegzusmmenhng E M heißt wegzusmmenhängend, wenn es zu, b E einen Weg γ gibt, der mit b in E verbindet Beispiel Dies gilt zum Beispiel für konvexe und sternförmige Mengen Stz Wegzusmmenhängende Mengen sind immer zusmmenhängend. Sei E wegzusmmenhängend und E fest. Zu jedem x E existiert ein Weg γ x in E, der in beginnt und in x endet, γ x ist zusmmenhängend, γ x γ y {}. Also ist E = γ x zusmmenhängend. x E 189

34 7 Metrische Räume Beispiel/Aufgbe Seien E 1 = {( x, sin 1 ) } : 0 < x 1 x E 2 = {(0, y): 1 y 1} Weise nch: E 1 und E 2 sind wegzusmmenhängend, E 1 E 2 ist zusmmenhängend, ber nicht wegzusmmenhängend. Z. B. existiert kein Weg von (0, 0) zu (1, sin 1) Stz Jedes Gebiet im IR n ist wegzusmmenhängend. (Gebiet=offen und wegzusmmenhängend) Sei E IR n ein Gebiet und E sei fest. Setze A = {x E : es gibt einen (chsenprllelen) Weg in E von nch x} B = E \ A. 1. Zeige: A ist offen! Sei x A. Dnn existiert ein δ > 0 mit K(x, δ) E. Es existiert ein Weg γ x von nch x mit γ x E. Sei y K(x, δ): γ x verlängert um die Strecke von x nch y ist ein Weg von nch y in E. D. h. y A, lso K(x, δ) A. Also ist A offen, d x A beliebig ist. 2. A, d A. 3. Zeige: B ist offen! Es ist B = {x: es existiert kein Weg von nch x in E}. Sei x B, δ > 0, so dß K(x, δ) E ist. Wäre y K(x, δ) von us erreichbr durch einen Weg γ x, so uch x durch γ y, verlängert um die Strecke von y nch x. Also ist B offen. Drus folgt 4. E = A B. Dbei sind A und B offen, A B =, A und A B E =, d E zusmmenhängend ist. Also ist B =, d A ist. Gezeigt: Jedes x E ist Endpunkt eines Weges in E, der in beginnt. Desgleichen gilt uch für chsenprllele Streckenzüge. 7.7 Gleichgrdige Stetigkeit Definition: gleichgrdig stetig Sei E IR n, E. F sei eine Menge (Fmilie) von Funktionen f : E IR m. F heißt () beschränkt, wenn es ein M > 0 gibt mit f(x) M für lle x E und für lle f F. (b) gleichgrdig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit: Ist x, y E, x y < δ, so ist f(x) f(y) < ε für lle f F. 190

35 7.7 Gleichgrdige Stetigkeit Beispiele () Ist für lle f F und x, y E f(x) f(y) L x y, wobei L unbhängig von f, x und y ist, so ist F gleichgrdig stetig. Setze dbei δ := ε L. (b) Sei E IR n kompkt, f k : E IR m stetig und f k f gleichmäßig in E. Behuptung: F = {f k : k IN} ist gleichgrdig stetig. D lle f k gleichmäßig konvergieren, ist f stetig. D ber uch E kompkt ist, ist f sogr gleichmäßig stetig. Also gibt es zu ε > 0 ein σ > 0 mit f(x) f(y) < ε 3 für x, y E, x y < σ. Weiter existiert ein k 0 mit Für 1 k k 0 existiert ein δ k mit f k (x) f(x) < ε 3 fürk k 0, x E. f k (x) f k (y) < ε für x, y E, x y < δ k. Setze δ := min(δ 1,..., δ k0, σ) > 0. Für x y < δ gilt dnn: Sei nun k k 0. Dnn ist f k (x) f k (x) < ε ist erfüllt für k k 0. f k (x) f k (y) = f k (x) f(x) + f(x) f(y) + f(y) f k (y) Also ist F gleichgrdig stetig. Aufgbe: Zeige, dß F beschränkt ist Stz von Arzel-Ascoli f k (x) f(x) + f(x) f(y) + f(y) f k (y) < ε <ε/3 glm. Konv. <ε/3 glm. Stetigkeit <ε/3 glm. Konv. Es sei E IR n (offen und beschränkt oder der Abschluß einer offenen und beschränkten Menge M IR n ) und F sei beschränkt und gleichgrdig stetig. Dnn ht jede Folge (f k ) in F eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. () Teilfolgenuswhl nch dem Cntorschen Digonlverfhren. E Q n ist eine bzählbre Menge, dicht, d. h. E Q n = Ē = {ξ1, ξ 2, ξ 3,... } 1.: (f k (ξ 1 )) ist beschränkt (im IR m ): es ex. TF (f 1,k (ξ 1 )) 2.: (f 1,k (ξ 2 )) ist beschränkt (im IR m ): es ex. TF (f 2,k (ξ 2 )). l.: (f l 1,k (ξ l )) ist beschränkt (im IR m ): es ex. TF (f l,k (ξ l )). Wir hben lso: 191

36 7 Metrische Räume f 1,1 f 1,2 f 1,3 f 1,4 f 2,1 f 2,2 f 2,3 f 2,4 f 3,1 f 3,2 f 3,3 f 3,4.... Wähle nun ϕ k := f k,k. (ϕ k ) ist Teilfolge von (f k ). (ϕ k ) k l ist Teilfolge von (f l,k ). ϕ k (ξ l ) ist Teilfolge von (f l,k (ξ l )), d. h. lim ϕ k(ξ l ) existiert für lle l = 1, 2,... k (b) Konvergenzbeweis: Sei ε > 0. Dzu existiert ein δ > 0 mit (gleichgrdige Stetigkeit). Sei D j = K(ξ j, δ): ϕ k (x) ϕ k (y) < ε für x, y E, x y < δ und für lle k IN D Ē kompkt ist, gibt es ein p mit Zu ε > 0 existiert ein Index k 0 mit E Ē D j (d {ξ j } dicht ist). j=1 Ē D 1 D p (Heine-Borel). ϕ k (x) ϕ l (x) = ϕ k (x) ϕ k (ξ j ) + ϕ k (ξ j ) ϕ l (ξ j ) + ϕ l (ξ j ) ϕ l (x) ϕ k (x) ϕ k (ξ j ) + ϕ k (ξ j ) ϕ l (ξ j ) + ϕ l (ξ j ) ϕ l (x) < ε + ε (1) (2) + ε = 3ε (3) Dbei gilt: (1), d x ξ j < δ für lle k (gleichgrdige Stetigkeit) (3), d x ξ j < δ für lle l (gleichgrdige Stetigkeit) (2), d lim k ϕ k(ξ j ) existiert. Also ist ds Cuchykriterium erfüllt, es liegt gleichmäßige Konvergenz vor Beispiel: Existenzstz von Peno Sei S = [, b] IR IR 2 und f : S IR sei stetig und beschränkt. Gesucht ist u mit u = f(t, u) und u() = α. (7.3) Ds Anfngswertproblem (7.3) ht mindestens eine Lösung in [, b], d. h. Äquivlent zu diesem Problem ist u C 1 ([, b]), u() = α und u (t) = f(t, u(t)). t u(t) = α + f(s, u(s)) ds mit u C([, b]). 192

37 7.7 Gleichgrdige Stetigkeit Setze u n (t) = α in [ 1, ] und t u n (t) = α + f ( (s, u n s 1 )) ds in (, b]. n Behuptung: {u n : n IN} ist beschränkt und gleichgrdig stetig. Dnn existiert eine Teilfolge u nk u gleichmäßig in [, b]. Für u n (t) K ist f gleichmäßig stetig uf [, b] [ K, K] )) f (s, u nk (s 1nk glm. f(s, u(s)). t u nk (t) = α + u(t) = α + t )) f (s, u nk (s 1nk ds f(s, u(s)) ds Beweis der Beschränktheit: Es gilt: f(t, u) M in S. t u n (t) α + M ds α + M(b ) =: K für t b. Beweis der gleichgrdigen Stetigkeit: Sei τ < t. Dnn ist u n (t) u n (τ) = = t t Also sind die u n gleichgrdig stetig. τ f ( (s, u n s 1 )) τ ds n f(s, u n (s 1 n )). M ( f (s, u n s 1 )) ds n ds M (t τ) Lipschitzbedingung für u n Beispiel für den Existenzstz von Peno Beispiel mit mehreren Lösungen: Sei S = [0, 1] IR und f wie folgt definiert: 2 für u > 1 f(t, u) = 2 u für 1 < u < 1 2 für u < 1 193

38 7 Metrische Räume. f = f(t, u) = 1 2 u.. f = 2 Gesucht ist ein u mit Eine Lösung ist Eine ndere Lösung ist Die weiteren Lösungen sind u = f(t, u) und u(0) = 0. u(t) = u(t) = 0. u(t) = t 2. { 0 0 t τ (t τ) 2 τ t

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine

Mehr

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Serie 13 Lösungsvorschläge

Serie 13 Lösungsvorschläge D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

2.6 Unendliche Reihen

2.6 Unendliche Reihen 2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen

Mehr

Riemann-integrierbare Funktionen

Riemann-integrierbare Funktionen Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-

Mehr

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt. Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014 Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24

Mehr

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral. VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

2.5 Messbare Mengen und Funktionen

2.5 Messbare Mengen und Funktionen 1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.

Mehr

Komplexe Analysis I. Stefan Haller

Komplexe Analysis I. Stefan Haller Komplexe Anlysis I Stefn Hller Inhltsverzeichnis 1. Vorbemerkungen 3 1.1. Die komplexen Zhlen 3 1.2. Linere Abbildungen 5 1.3. Folgen komplexer Zhlen 6 1.4. Reihen komplexer Zhlen 8 1.5. Offene und bgeschlossene

Mehr

6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals

6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen,

Mehr

Zusammenfassung Analysis 2

Zusammenfassung Analysis 2 Zusammenfassung Analysis 2 1.2 Metrische Räume Die Grundlage metrischer Räume bildet der Begriff des Abstandes (Metrik). Definition 1.1 Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3 Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche

Mehr

Kapitel II. Beschränkte Operatoren und kompakte Operatoren. 3. Beschränkte Operatoren im Hilbertraum.

Kapitel II. Beschränkte Operatoren und kompakte Operatoren. 3. Beschränkte Operatoren im Hilbertraum. Kpitel II. Beschränkte Opertoren und kompkte Opertoren. 3. Beschränkte Opertoren im Hilbertrum. 3.1. Definition. Seien H 1 und H 2 Hilberträume. Eine linere Abb. A : H 1 H 2 heißt ein (linerer) Opertor.

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösungen zu den Übungsufgben Aufgbe A.2. Ist k L () mit k(x)dx = und ist f : beschränkt, Lebesgue-messbr und stetig in x, dnn gilt lim r r k(x y r )f(y)dy = f(x). Lösung A.2. Zunächst ist mit der Substitutionsregel

Mehr

Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion

Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Um die hier gestellten Aufgaben zu lösen brauchen wir ein wenig Kentnisse über das Infimum bzw. Supremum einer Menge.

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004 Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur 2004 1 Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Prähofer Aufgben TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik für Physiker 3 Anlysis ) Sommersemester Probeklusur Lösung) http://www-m5.m.tum.de/allgemeines/ma93 S

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,

Mehr

Vollständigkeit. Andreas Schmitt. Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13

Vollständigkeit. Andreas Schmitt. Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13 Vollständigkeit Andreas Schmitt Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13 1 Einleitung Bei der Konvergenz von Folgen im Raum der reellen Zahlen R trifft man schnell auf den Begriff der Cauchy-Folge.

Mehr

Definition Eine Metrik d auf der Menge X ist eine Abbildung d : X X IR

Definition Eine Metrik d auf der Menge X ist eine Abbildung d : X X IR 0 Inhaltsverzeichnis 1 Metrik 1 1.1 Definition einer Metrik............................. 1 1.2 Abstand eines Punktes von einer Menge................... 1 1.3 Einbettung eines metrischen Raumes in einen

Mehr

Ultrametrik. Christian Semrau Metrische Räume

Ultrametrik. Christian Semrau Metrische Räume Ultrametrik Christian Semrau 05.11.2002 Inhaltsverzeichnis 1 Metrische Räume 1 1.1 Definition der Metrik.................................. 1 1.2 Offene und abgeschlossene Mengen..........................

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

9.6 Parameterabhängige Integrale

9.6 Parameterabhängige Integrale Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius

Mehr

Analysis I. TU Dortmund, Wintersemester 2013/14. Ben Schweizer

Analysis I. TU Dortmund, Wintersemester 2013/14. Ben Schweizer Anlysis I TU Dortmund, Wintersemester 2013/14 Ben Schweizer Inhltsverzeichnis 1 Reelle Zhlen 1.1 Logische Grundlgen: Aussgen, Beweise, Mengen........ 3 1.2 Die Zhlenbereiche N, Z und Q..................

Mehr

Höhere Mathematik I für Physiker

Höhere Mathematik I für Physiker Höhere Mthemtik I für Physiker Krlsruher Institut für Technologie Prof. Dr. Tobis Lmm Wintersemester 2012/13 Einleitung Dieses Skript bsiert wesentlich uf den Vorlesungsskripten von Prof. Dr. Ernst Kuwert

Mehr

29 Uneigentliche Riemann-Integrale

29 Uneigentliche Riemann-Integrale 29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe

Mehr

Numerische Integration durch Extrapolation

Numerische Integration durch Extrapolation Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der

Mehr

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren. .. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur

Mehr

3 Grenzwert und Stetigkeit 1

3 Grenzwert und Stetigkeit 1 3 Grenzwert und Stetigkeit 3. Grenzwerte bei Funktionen In diesem Abschnitt gilt: I ist immer ein beliebiges Intervall, 0 I oder einer der Endpunkte. 3.. Definition Sei I Intervall, 0 IR und 0 I oder Endpunkt

Mehr

Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 2, 2.Aufl. (Version 2010), Kapitel 6

Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 2, 2.Aufl. (Version 2010), Kapitel 6 Lösungsvorschläge zu usgewählten Übungsufgben us Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mthemtik Bnd,.Aufl. Version, Kpitel 6 7 Normierte Vektorräume Abschnitt 7.A, Aufg., p. 54.. : Mn beweise 7.A.: Für einen normierten

Mehr

Analysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013

Analysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013 Anlysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013 Holger Dette Ruhr-Universität Bochum Fkultät für Mthemtik 44780 Bochum Germny emil: holger.dette@ruhr-uni-bochum.de FAX: +49 2 34 3214 559 Tel.: +49

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen

Mehr

6.4 Uneigentliche Integrale

6.4 Uneigentliche Integrale 6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen

Mehr

Hilfsblätter Folgen und Reihen

Hilfsblätter Folgen und Reihen Hilfsblätter Folgen und Reihen Sebstin Suchnek unter Mithilfe von Klus Flittner Steffen Hofmnn Mtthis Stb c 2002 by Sebstin Suchnek Printed with L A TEX Inhltsverzeichnis 1 Folgen 1 1.1 Definition.........................................

Mehr

Übungen zur Analysis 2

Übungen zur Analysis 2 Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i 3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und

Mehr

Die Topologie von R, C und R n

Die Topologie von R, C und R n Die Topologie von R, C und R n Für R haben wir bereits eine Reihe von Strukturen kennengelernt: eine algebraische Struktur (Körper), eine Ordnungsstruktur und eine metrische Struktur (Absolutbetrag, Abstand).

Mehr

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.

Mehr

Parameterabhängige uneigentliche Integrale.

Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,

Mehr

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) = Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für

Mehr

Analysis für Informatiker und Lehramt Mathematik

Analysis für Informatiker und Lehramt Mathematik Anlysis für Informtiker und Lehrmt Mthemtik Wintersemester 05 / 06 Dr. Agnes Rdl 6. Oktober 06 Ds L A TEX-Skript wurde von Dipl.-Mth. Ptrici Reuther erstellt und ufbereitet nhnd meines Vorlesungsmnuskriptes

Mehr

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92 Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

Kapitel I. Analysis 1. 1 Topologie im R n

Kapitel I. Analysis 1. 1 Topologie im R n Kpitel I Anlysis Topologie im R n Es sei (X, d) ein metrischer Rum. Unter diesen Begriff fllen lle normierten Vektorräume, ber uch beliebige Teilmengen solcher Räume. Wichtigstes Beispiel wird immer der

Mehr

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das

Mehr

Analysis II. 5 Integration. Inhaltsverzeichnis. 5.1 Das Riemann-Integral. Walter Bergweiler. Sommersemester 2007 Fassung vom 6.

Analysis II. 5 Integration. Inhaltsverzeichnis. 5.1 Das Riemann-Integral. Walter Bergweiler. Sommersemester 2007 Fassung vom 6. 5 Integrtion Anlysis II Wlter Bergweiler Sommersemester 7 Fssung vom 6. Juli 7 Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung Anlysis I us dem Wintersemester 6/7. Die Nummerierung dieser Vorlesung

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium

Mehr

5 Das Riemannsche Integral 1

5 Das Riemannsche Integral 1 5 Ds Riemnnsche Integrl 5. Drbouxsche Summen Sei I [, b] mit < b und f : [, b] IR sei beschränkt (d. h. f(i) ist beschränkt). Z {x, x,..., x n } mit x < x < x 2 < < x n b heißt Zerlegung von [, b]. I k

Mehr

Kriterien für starke und schwache Konvergenz in L 1

Kriterien für starke und schwache Konvergenz in L 1 Technische Universität Berlin Institut für Mthemtik Bchelorrbeit Im Studiengng Mthemtik Kriterien für strke und schwche Konvergenz in L 1 vorgelegt von Thoms Jnkuhn betreut durch Dr. Hns-Christin Kreusler

Mehr

9 Das Riemannsche Integral

9 Das Riemannsche Integral 1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit

Mehr

Analysis II. Prof. R. Lasser (SS 2001)

Analysis II. Prof. R. Lasser (SS 2001) Anlysis II Prof. R. Lsser (SS 2001) 1 Inhltsverzeichnis 10 Integrtion.................................... 3 11 Funktionsfolgen und gleichmäßige Konvergenz................ 24 12 Spezielle Funktionsreihen............................

Mehr

Doppel- und Dreifachintegrale

Doppel- und Dreifachintegrale KAPITEL 6 Doppel- und Dreifchintegrle 6. Doppelintegrle................................... 74 6.. Flächeninhlt ebener ereiche.......................... 74 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls..............

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Analysis II. Oswald Riemenschneider

Analysis II. Oswald Riemenschneider Anlysis II Oswld Riemenschneider Hmburg, 23. Dezember 2004 Vorbemerkung Es hndelt sich bei dem vorliegenden Text um die Fortführung meines Mnuskripts Anlysis I. Verweise uf Kpitel 1 bis 12 sind demnch

Mehr

1.2 Integration im Komplexen

1.2 Integration im Komplexen 26 1 Funktionentheorie 1.2 Integrtion im Komplexen Zur Erinnerung: Eine (komplexwertige) Funktion f uf einem Intervll [, b] heißt stückweise stetig, wenn es eine Zerlegung = t < t 1

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle 4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich

Mehr

Analysis I. Die Mitarbeiter von 10. Januar 2017

Analysis I. Die Mitarbeiter von  10. Januar 2017 Anlysis I Die Mitrbeiter von http://mitschriebwiki.nomet.de/ 0. Jnur 207 Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis 2 I. Vorwort 5 I.. Über dieses Skriptum.................................. 5 I.2. Wer...........................................

Mehr

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen. 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

10 Das Riemannsche Integral

10 Das Riemannsche Integral 10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t

Mehr

3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].

3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b]. Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur,

Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur, Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur,

Mehr

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $ Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v 1.35 015/04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion

Mehr

Analysis. 1. April 2003

Analysis. 1. April 2003 Anlysis Jürgen Elstrodt. April 003 Teil I Die reellen Zhlen Grundlgen N := {,, 3,...} Menge der ntürlichen Zhlen N 0 := {0,,,...} Menge der gnzen Zhlen 0 Z := {0, ±, ±,...} Menge der gnzen Zhlen Q :=

Mehr

6 Numerische Integration

6 Numerische Integration Numerik I 251 6 Numerische Integrtion Ziel numerischer Integrtion (Qudrtur): Näherungswerte für f(t) dt. Wozu? Eine Apprtur liefere Messwerte x i = x i + ε i. Angenommen, die Messfehler ε i sind stndrdnormlverteilt

Mehr

Notizen zur Vorlesung Analysis 3

Notizen zur Vorlesung Analysis 3 Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Zusammenfassung Analysis II

Zusammenfassung Analysis II Zusmmenfssung Anlysis II CC BY: Tim Bumnn, http://timbumnninfo/uni-spicker Nottion Im Folgenden seien, b R mit < b und I, J R offene Intervlle Integrtion Def Eine Zerlegung eines Intervlls [, b] R, < b

Mehr

Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung

Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle

Mehr

Mitschrift zur Analysis II Vorlesung von Prof. Dr. Wittbold im SS 08. Thomas El Khatib 2. August 2008

Mitschrift zur Analysis II Vorlesung von Prof. Dr. Wittbold im SS 08. Thomas El Khatib 2. August 2008 Mitschrift zur Anlysis II Vorlesung von Prof. Dr. Wittbold im SS 08 Thoms El Khtib 2. August 2008 Inhltsverzeichnis 5 Integrtion 6 5. Ds bestimmte Riemnn-Integrl.................. 6 5.. Motivtion..........................

Mehr

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt

Mehr

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine

Mehr

9.4 Integration rationaler Funktionen

9.4 Integration rationaler Funktionen 9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =

c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 = 3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

Lösungen zur Probeklausur Lineare Algebra 1

Lösungen zur Probeklausur Lineare Algebra 1 Prof. Dr. Ktrin Wendlnd Dr. Ktrin Leschke WS 2006/2007 Lösungen zur Probeklusur Linere Algebr Ausgbe: 2. Dezember 2006 Aufgbe.. Geben Sie die Definition des Begriffs Gruppe n. Eine Gruppe ist eine Menge

Mehr

1 Topologie in metrischen Räumen

1 Topologie in metrischen Räumen 1 Topologie in metrischen Räumen 1 1.1 Metrische und normierte Räume Das Ziel dieses Abschnitts ist es, die Erkenntnisse über Folgen (und Reihen) reeller Zahlen aus dem vergangenen Semester zu verallgemeinern.

Mehr

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Definition von Gebietsintegralen, Mehrfachintegration

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Definition von Gebietsintegralen, Mehrfachintegration Vorlesung: Anlysis II für Ingenieure Wintersemester 7/8 Michel Krow Them: Definition von Gebietsintegrlen, Mehrfchintegrtion Treppenfunktionen uf Intervllen Eine Funktion f : [, b] heisst Treppenfunktion,

Mehr

Analysis I Ohne Beweise und Beispiele

Analysis I Ohne Beweise und Beispiele Anlysis I Ohne Beweise und Beispiele Prof. Kröner 1 Wintersemester 2003 Ü 1 Mitschrift von Ink Benthin und Rimr Sndner mit Dnk n Klus Zimmermnn für die Mithilfe Inhltsverzeichnis Vorwort 2 0 Einleitung

Mehr

7 Bewegung von Punkten

7 Bewegung von Punkten 81 7 Bewegung von Punkten 7.1 Übersicht Bewegung von Punkten Differenzierbrkeit. Wo liegt die Ableitung Tylorreihe, Vektordreieck Physiklische Bezeichnungen Abstnd zu einer Kurve Geschwindigkeit Bogenlänge

Mehr

Einführung in die Analysis. Prof. Dr. René Grothmann

Einführung in die Analysis. Prof. Dr. René Grothmann Einführung in die Anlysis Prof. Dr. René Grothmnn 2011 2 Vorwort Es hndelt sich bei diesem Skript nur um eine Zusmmenfssung der Vorlesung. Beweise und Beispiele wurden uf ein Minimum reduziert. Auch eine

Mehr