1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

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1 Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung), (iv) d(x, y) = 0 genu dnn, wenn x = y ist. Ein metrischer Rum ist ein Pr (X, d) us einer Menge X und einer Metrik d uf X. Beispiele.2. Einfche Beispiele metrischer Räume sind () R zusmmen mit der Betrgsmetrik d(x, y) = x y, (b) R n oder C n mit der Summenmetrik d((x i ), (y i )) = n x i y i. (c) Ist (X, d) ein metrischer Rum und ist A X eine nichtleere Teilmenge, so definiert d A : A A R, d A (x, y) = d(x, y) eine Metrik uf A (Reltivmetrik von d uf A). (d) Ist X eine beliebige Menge, so definiert d : X X R, d(x, y) = 0 für x = y, d(x, y) = für x y eine Metrik uf X (die trivile oder diskrete Metrik uf X). Definition.3. Sei V ein Vektorrum über dem Körper K = R der reellen oder über dem Körper K = C der komplexen Zhlen. Eine Abbildung : V R, x x heißt Norm uf V, flls für lle x, y V und λ K gilt (i) x 0, (ii) λx = λ x, (iii) x + y x + y (Dreiecksungleichung) (iv) x = 0 genu dnn, wenn x = 0 ist. 3

2 Ein normierter K-Vektorrum ist ein Pr (V, ) bestehend us einem K-Vektorrum V und einer Norm uf V. Aus der in (iii) geforderten Dreiecksungleichung folgt sehr einfch die Dreiecksungleichung nch unten. Für lle x, y V gilt x y x y. Zum Beweis bechte mn, dss x = (x y) + y x y + y und dher uch x y x y gilt und dss mn durch Vertuschen der Rollen von x und y uch die Abschätzung y x y x = x y erhält. Lemm.4. Ist (V, ) ein normierter K-Vektorrum, so definiert d : V V R, d(x, y) = x y eine Metrik uf V. Beweis. Die Dreiecksungleichung für d folgt direkt us der Dreiecksungleichung für die Norm, denn für lle x, y, z V gilt d(x, y) = (x z) + (z y) x z + z y = d(x, z) + d(z, y). Die übrigen Eigenschften einer Metrik rechnet mn genuso einfch nch. Beispiele.5. () Auf R n (oder C n ) werden Normen definiert durch (x i ) n = n x i (Summennorm), (x i ) n 2 = ( n x i 2) /2 (euklidische Norm), (x i ) n = mx,...,n x i (Mximumnorm). Wir beweisen nur die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm. Für lle, b R gilt offensichtlich die Ungleichung b 2 ( 2 + b 2). Dmit folgt für beliebige Elemente x = (x i ) n, y = (y i) n Cn \ {0} x i x 2 y i y 2 2 x i 2 x y i 2 y 2 = 2 oder äquivlent x i y i x 2 y 2. 4

3 Für beliebige Vektoren x = (x i ) n, y = (y i) n Cn folgt dmit x + y 2 2 = = x i + y i 2 = (x i + y i )(x i + y i ) x i 2 + x y y i Re (x i y i ) x i y i x y x 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2. D die Wurzelfunktion monoton wächst, folgt die behuptete Dreiecksungleichung für die euklidische Norm. (b) Sei V ein K-Vektorrum (K = R oder K = C) mit Sklrprodukt, ds heißt einer Abbildung, : V V R, für die gilt x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, y 0, x, x = 0 genu dnn, wenn x = 0. In der Lineren Algebr zeigt mn, dss durch : V R, x = x, x eine Norm uf V definiert wird. Bemerkung.6. Für lle x C n gilt x x 2 n x, x x n x. Im Folgenden seien R n und C n, wenn nichts nderes gesgt wird, immer mit der euklidischen Metrik d 2 (x, y) = x y 2 versehen. Für die euklidische Norm schreiben wir einfch x sttt x 2. Beispiele.7. Sei X eine Menge und sei B(X) = {f; f : X R beschränkt } der R-Vektorrum ller beschränkten reellwertigen Funktionen uf X (mit den punktweise definierten Verknüpfungen). Dnn definiert X : B(X) R, f f X = sup f(x) x X 5

4 eine Norm uf B(X) (die Supremumnorm). Zum Beweis der Dreiecksungleichung bechte mn, dss für lle f, g B(X) gilt f + g X = sup f(x) + g(x) sup ( f(x) + g(x) ) f X + g X. x X x X Lemm.8. Sei p (, ) und sei q der zu p konjugierte Exponent, ds heißt die reelle Zhl q > mit p + q =. Dnn gilt für lle, b > 0 die Ungleichung /p b /q p + b q. Beweis. Zum Beweis dürfen wir nnehmen, dss b ist (sonst vertusche mn mit b und p mit q). D p < 0 ist, folgt mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für x x p = x ( ) x t p dt = p t p dt Wegen p + q = impliziert dies, dss x/p x p + q x ( ) t dt = x p p p. für lle x gilt. Insbesondere folgt hierus für x = b die Abschätzung ( p b q ) p = b b p Dmit ist die Behuptung gezeigt. b b + q b = p + b q. Indem mn Lemm.8 nwendet mit p und b q sttt und b, sieht mn, dss für lle reellen Zhlen, b > 0 gilt b p p + bq q. Beispiele.9. () Sei p [, ) und seien, b R mit < b. Auf dem R-Vektorrum C[, b] = {f; f : [, b] R stetig} wird eine Norm definiert durch ( f p = f p dt ) p. Beweis. Wir beweisen nur die Dreiecksungleichung. Für p = folgt die Dreiecksungleichung direkt us der Dreiecksungleichung für den Absolutbetrg in R und der Monotonie des Riemnnintegrls. Sei lso p (, ). Sei q > der konjugierte Exponent zu p wie in Lemm.8. Wir fixieren zwei Funktionen f, g C[, b] und zeigen zunächst, dss fg dt f p g q (Höldersche Ungleichung). Zum Beweis dürfen wir nnehmen, dss f 0 g. Mit Lemm.8 folgt zunächst, dss f f p g g q p f p f p + p q g q g q q 6

5 punktweise uf [, b] gilt. Mit der Monotonie und Linerrität des Riemnnintegrls erhält mn die Höldersche Ungleichung fg dt f p g q p Mit der Hölderschen Ungleichung zeigen wir, dss f + g p f p + g p f p f p dt + p q g q g q dt = q p + q =. (Minkowskische Ungleichung) ) ist. Indem mn benutzt, dss p q ( = p p = p ist, erhält mn für lle t [, b] die Ungleichung f(t) + g(t) p f(t) f(t) + g(t) p q + g(t) f(t) + g(t) p q. Durch Integrieren erhält mn unter Anwendung der Hölderschen Ungleichung f(t) + g(t) p dt f(t) f(t) + g(t) p q dt + g(t) f(t) + g(t) p q dt ( f p + g p ) ( f + g p dt Hierus folgt sehr leicht die Minkowskische Ungleichung und dmit die Dreiecksungleichung für p. Es genügt, im Flle f g durch ds letzte in der obigen Ungleichungskette uftretende Integrl zu dividieren. ) q. (b) Gnz ähnlich wie im Teil () folgt, dss für p < durch p : R n R, (x i ) n p = eine Norm uf R n definiert wird. ( n ) /p x i p Definition.0. Sei (X, d) ein metrischer Rum und seien X ein Punkt in X, U X, F X zwei Teilmengen von X. () Für r > 0 (bzw. r 0) nennt mn B r () = {x X; d(x, ) < r} (bzw. B r () = {x X; d(x, ) r}) die offene (bzw. bgeschlossene) Kugel mit Rdius r um. (b) Die Menge U heißt Umgebung von, flls ein ɛ > 0 existiert mit B ɛ () U. (c) Mn nennt die Menge U X offen, wenn es zu jedem x U ein ɛ > 0 gibt mit B ɛ (x) U. Die Menge F X heißt bgeschlossen, wenn ds Komplement X \ F X eine offene Menge ist. 7

6 Beispiele.. () Offene Kugeln in metrischen Räumen sind offene Teilmengen, denn ist x B r (), so ist s = r d(x, ) > 0 und mit der Dreiecksungleichung folgt für lle y B s (x): d(y, ) d(y, x) + d(x, ) < s + d(x, ) = r. (b) Gnz ähnlich folgt mit der Dreiecksungleichung, dss jede bgeschlossene Kugel in einem metrischen Rum X eine bgeschlossene Teilmenge von X ist. (c) Die offenen Kugeln in R (bezüglich der Betrgsmetrik) sind genu die offenen Intervlle (, b) R mit, b R, < b. (d) Ds hlboffene Intervll [0, [ ist ls Teilmenge des metrischen Rumes R weder offen noch bgeschlossen. Stz.2. Sei (X, d) ein metrischer Rum und seien x, y X mit x y. Dnn gibt es Umgebungen U von x, V von y in X mit U V =. Beweis. Für x, y X mit x y ist ɛ = d(x, y) > 0 und B ɛ (x) B ɛ (y) =, denn gäbe es einen Punkt 2 2 z B ɛ/2 (x) B ɛ (y), so wäre 2 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < ɛ 2 + ɛ = ɛ = d(x, y). 2 Dieser Widerspruch zeigt, dss B ɛ (x) und B ɛ (y) disjunkte Umgebungen von x und y sind. 2 2 Definition.3. Zwei Metriken d, d 2 uf einer Menge X heißen äquivlent, flls es eine Konstnte c > 0 gibt so, dss für lle x, y X gilt Beispiel. Nch Bemerkung.6 sind uf R n die Metriken c d (x, y) d 2 (x, y) cd (x, y). d (x, y) = x y, d 2 (x, y) = x y 2, d (x, y) = x y. äquivlent. Bemerkung. Sind d, d 2 äquivlente Metriken uf X, so besitzen die metrischen Räume (X, d ), (X, d 2 ) dieselben offenen Mengen. Zum Beweis bechte mn, dss für jedes X und jede positive reelle Zhl ɛ > 0 die Inklusionen B d ɛ/c () Bd2 ɛ (), B d2 ɛ/c () Bd ɛ () gelten, flls c > 0 eine Konstnte wie in Definition.3 ist. 8

7 Stz.4. Sei (X, d) ein metrischer Rum. Dnn gilt: () (i), X sind offen in X. (ii) Sind U, V X offen, so ist uch U V X offen. (iii) Ist (U i ) i I eine beliebige Fmilie offener Mengen in X, so ist uch i I U i X offen. (b) (i), X sind bgeschlossen in X. (ii) Sind F, G X bgeschlossen, so ist uch F G X bgeschlossen. (iii) Ist (F i ) i I eine beliebige Fmilie bgeschlossener Mengen in X, so ist uch i I F i X bgeschlossen. Beweis. () Offensichtlich sind, X X offen. Sind U, V X offen und ist x U V, so gibt es ɛ, ɛ 2 > 0 mit B ɛ (x) U, B ɛ2 (x) V. Dnn ist ɛ = min(ɛ, ɛ 2 ) > 0 mit B ɛ (x) U V. Sind U i X(i I) offen und ist x i I U i, so gibt es ein i 0 I und ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) U i0 i I U i. (b) Die in (b) behupteten Eigenschften bgeschlossener Mengen folgen us Teil () durch Übergng zu Komplementen. Nicht endliche Durchschnitte offener Mengen sind im Allgemeinen nicht offen. So ist etw n= ( n, ) = {0} n ein bzählbrer Durchschnitt offener Mengen in R, der nicht offen ist. Bezüglich den euklidischen Metriken uf R n, R m und R n+m gilt für beliebige Elemente R n, b R m und jede reelle Zhl ɛ > 0 Die erste Inklusion folgt us den Abschätzungen B ɛ 2 () B ɛ 2 (b) B ɛ(, b) B ɛ () B ɛ (b). (x, y) (, b) = (x, 0) + (0, y b) x + y b, die zweite folgt us mx( x, y b ) (x, y b) = (x, y) (, b). Lemm.5. () Sind F R n, G R m bgeschlossene Mengen, so ist F G R n+m bgeschlossen. (b) Sind U R n, V R m offen, so ist U V R n+m offen. Beweis. () Ist (x, y) R n+m \(F G), so ist x / F oder x / G. Also gibt es ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) R n \F oder B ɛ (y) R m \ G. Dnn ist ber B ɛ ((x, y)) B ɛ (x) B ɛ (y) R n+m \ (F G). 9

8 (b) Ist (x, y) U V, so gibt es ɛ, ɛ 2 > 0 mit B ɛ (x) U und B ɛ2 (y) V. Dnn ist ɛ = min(ɛ, ɛ 2 ) > 0 und B ɛ ((, b)) B ɛ (x) B ɛ (y) U V. Indem mn Lemm.5 mehrfch (induktiv) nwendet, sieht mn, dss in R n Mengen der Form n [ i, b i ] R n (bgeschlossene Quder) bgeschlossen und Mengen der Form offen sind. n ] i, b i [ (offene Quder) Definition.6. Sei (X, d) ein metrischer Rum und M X eine Teilmenge. Mn definiert M = {x X; für jede Umgebung U von x ist U M } (Abschluss von M), Int(M) = {x X; es gibt eine Umgebung U von x mit U M} (Inneres von M), M = {x X; für jede Umgebung U von x ist U M U (X \ M)} (Rnd von M). Lemm.7. Für M X gilt () M = (F X bgeschlossen; M F ) ist die kleinste bgeschlossene Menge, die M enthält. (b) Int(M) = (U X offen; U M) ist die größte offene Menge in X, die in M enthlten ist. (c) M X ist bgeschlossen. (d) M = M M und Int(M) = M (X \ M). Beweis. () Sei x M und F M eine bgeschlossene Menge in X. Die Annhme, dss x X \ F gilt, führt zu dem Widerspruch, dss (X \ F ) M sein müsste. Also liegt x im Durchschnitt ller bgeschlossenen Obermengen von M. Sei x umgekehrt enthlten in diesem Durchschnitt und sei U eine Umgebung von x. Dnn gibt es ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) U. Wäre U M =, so wäre X \ B ɛ (x) M eine bgeschlossene Obermenge von M und folglich wäre x X \ B ɛ (x). Dieser Widerspruch zeigt, dss x M. Der Durchschnitt in () ist nch Stz.4 (b) bgeschlossen und ist offensichtlich in jeder bgeschlossenen Obermenge von M enthlten. (b) Die behuptete Drstellung von Int(M) folgt direkt us der Definition des Inneren und Stz.4 (). (c) Ist x X \ M, so gibt es eine offene Umgebung U von x mit U M = oder U (X \ M) =. D eine offene Menge Umgebung jedes ihrer Punkte ist, ist U X \ M. Als Vereinigung offener Mengen ist X \ M offen und dher M X bgeschlossen. 0

9 (d) Direkt us den Definitionen folgt, dss Int(M) M M M M. Ist x M \ M, so gibt es eine Umgebung U von x mit U (X \ M) =. Also ist U M und x Int(M). Dmit ist die Gleichheit ller drei Mengen gezeigt. Offensichtlich ist Int M (X \ M). Die umgekehrte Inklusion wurde gerde gezeigt. Korollr.8. Eine Teilmenge M X ist bgeschlossen genu dnn, wenn M = M ist. Beweis. Die Behuptung folgt direkt us Lemm.7 (). Beispiele. () In R n ist B r () = {x R n ; x = r} = B r (). (b) Der Rnd von Q in R ist R. (c) Für, b R ist ], b[ = [, b], flls < b ist, und Int([, b]) =], b[, flls b ist. Definition.9. Sei X eine nichtleere Menge. Ein System t P(X) (= {A; A X}) heißt Topologie uf X, flls (i), X t, (ii) für U, V t uch U V t gilt, (iii) für jede Fmilie (U i ) i I von Mengen U i t uch i I U i t gilt. Nch Stz.4 bilden für einen metrischen Rum (X, d) die offenen Mengen U X eine Topologie uf X. Es gibt Topologien, die nicht von einer Metrik induziert werden. Zum Beispiel ist t = {X, } eine Topologie uf X, ber nch Stz.2 knn es, wenn X mehr ls ein Element enthält, keine Metrik uf X geben, bezüglich der nur die Mengen X und offen sind.

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