6.1 Holomorphe Funktionen und Potenzreihen. n=0 α n (z z 0 ) n mit Konvergenzradius größer oder gleich r existiert und

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1 Funktionentheorie, Woche 6 Analytische Funktionen 6. Holomorphe Funktionen und Potenzreihen Definition 6. Eine Funktion f : U C C nennt man analytisch in z 0 U, wenn es r > 0 gibt mit B r (z 0 ) U derart, dass eine Potenzreihe α n (z z 0 ) n mit Konvergenzradius größer oder gleich r existiert und f(z) = α n (z z 0 ) n für z B r (z 0 ). Wir haben schon bewiesen, dass Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius komplex differenzierbar, also holomorph, sind. Satz 6.2 Sei U C offen und f : U C holomorph. Sei z 0 U und sei B r (z 0 ) U. Dann gilt für die Potenzreihe dass sie Konvergenzradius R r hat und dass f(z) = n! f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n, (6.) α n (z z 0 ) n für alle z B r (z 0 ). Bemerkung 6.2. Man bemerke, dass in (6.) genau die Taylorreihe zu f steht. In R hat man das einigermaßen unbefriedigende Ergebnis, dass die Taylorreihe existieren kann aber nicht unbedingt zu der Funktion konvergiert. Man erinnere sich an die beliebig oft differenzierbare Funktion f(x) = { e (x 2 ) für x 0, 0 für x = 0, die in 0 die triviale Potenzreihe als Taylorreihe hat. Für eine Funktion, die holomorph ist in z 0, gibt es wegen der Definition eine Umgebung B r (z 0 ) in der sie holomorph ist und der Satz sagt aus, dass diese Funktion als die Potenzreihe (6.) zu schreiben ist. Anders gesagt, die Taylorreihe konvergiert zu der Funktion. Noch anders gesagt, wenn eine Funktion holomorph ist, ist sie analytisch. 45

2 46 9. Juni 2008 Woche 6, Analytische Funktionen 3 i U 2 i i i z 2 i Abbildung 6.: Sei f holomorph auf U. Satz 6.2 besagt, dass im kleinen Kreis B r (z ) um z die Funktion als Potenzreihe p zu schreiben ist. Wenn diese Potenzreihe einen größeren Konvergenzradius R hat, dann hat man eine holomorphe Funktion auf B R (z ), die auf B r (z ) gleich f ist. Wenn sie auf U B R (z ) übereinstimmen, hat man eine holomorphe Fortsetzung von f auf U B R (z ) gefunden. Man soll sich also noch überlegen, wieso die Potenzreihe und f auf U (B R (z )\B r (z )) übereinstimmen. Beweis. Aus der Integralformel von Cauchy folgt, dass für jede ρ < r und z B ρ (z 0 ) gilt f(z) = f(w) 2πi z 0 +ρe it w z dw. t [0,2π] Verwenden wir, dass für z z 0 w z 0 < gilt w z = w z 0 z z = 0 w z 0 w z 0 ( ) n z z0, w z 0 bekommen wir f(z) = ( f(w) ( ) ) n z z0 dw. 2πi z 0 +ρe it w z 0 w z t [0,2π] 0 Für festes z B ρ (z 0 ) gilt z z 0 w z 0 z z 0 < und die Reihe konvergiert gleichmäßig. Wir ρ dürfen beide Grenzprozesse vertauschen und es folgt, dass f(z) = 2πi Für die Potenzreihe zu f hat man α n = 2πi z 0 +ρe it t [0,2π] z 0 +ρe it t [0,2π] f(w) (w z 0 ) n+ dw (z z 0 ) n f(w) (w z 0 ) n+ dw = n! f (n) (z 0 ).

3 6. Holomorphe Funktionen und Potenzreihen 9. Juni Diese letzte Identität folgt aus (5.3). Weil diese Reihe konvergiert für alle z mit z z 0 < ρ, ist der Konvergenzradius größer oder gleich ρ. Weil ρ < r beliebig ist, ist der Konvergenzradius größer oder gleich r. Ein Zwischenergebnis wollen wir noch festhalten: Lemma 6.3 Sei f : U C C holomorph und sei B r (z 0 ) U. Definiere die Kurve γ : [0, 2π] C mit γ(t) = z 0 + re it. Dann gilt f (n) (z 0 ) = n! 2πi γ f(z) (z z 0 ) n+ dz. Beispiel 6.4 Betrachte die Potenzreihe zu Log (z) um z 0 = + i. Man findet Dann folgt für z i < R, dass ( ) n d Log (z) = ( ) n (n )!z n für n. (6.2) dz ( ) n Log (z) = Log ( + i) + n ( + i) n (z i) n = n= = ln 2 + πi ( ) n e 4 πi (z i) n. n Für den Konvergenzradius gilt R = Singularität vom Logarithmus in 0. 2 n= 2e 3 4 πi = 2. Das passt zu der bekannten 6 i 4 i 4 3i 2 i i Abbildung 6.2: Definitionsgebiete von Log und von den zwei zugehörigen Potenzreihen aus Beispiel 6.4 und 6.5.

4 48 9. Juni 2008 Woche 6, Analytische Funktionen Beispiel 6.5 Betrachte die Potenzreihe zu Log (z) um z 0 = 4 + 3i. Die Ableitungen sind wie in (6.2) und es folgt für z ( 4 + 3i) < R mit Im z > 0, dass Log (z) = Log ( 4 + 3i) + ( ) n n ( 4 + 3i) n (z ( 4 + 3i)) n = n= = ln 5 + ( π arctan 3 4 ) i n= n ( 5 ei arctan 3 4 ) n (z ( 4 + 3i)). Für den Konvergenzradius gilt R = 5 ei arctan(3/4) = 5. Das scheint nicht zu passen zur Unstetigkeit vom Logarithmus auf (, 0], oder? Man erinnere sich aber, dass 0 die eigentliche Singularität vom Logarithmus ist und dass man für eine passende Definition, die ln : R + R holomorph erweitert, einen Sprung haben soll auf irgendeiner Kurve, die 0 mit C verbindet. Man findet für z ( 4 + 3i) < 5 dass Log ( iz) + 2 πi = Log ( 4 + 3i) + n= ( ) n n ( 4 + 3i) n (z ( 4 + 3i)) n. Für z C mit Arg (z) ( π, π) gilt Log ( iz) + πi = Log (z). 2 2 Wie wir soeben beim Logarithmus gesehen haben, kann der Konvergenzradius größer sein als a-priori vom Definitionsgebiet zugelassen wird. Auf diese Weise läßt sich oft eine holomorphe Funktion erweitern zu einer holomorphen Funktion mit größerem Definitionsgebiet. z 8 z 7 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z z 0 Abbildung 6.3: Skizze zu Satz 6.6. Satz 6.6 (zur eindeutigen Fortsetzung) Seien U, U 2 C Gebiete und f i : U i C C holomorphe Funktionen. Sei z 0 U U 2 und nehme an, es gibt r > 0 mit f (z) = f 2 (z) für z B r (z 0 ). Dann gilt für jedes Gebiet A U U 2 mit z 0 A: f (z) = f 2 (z) für z A. Bemerkung 6.6. Ein Gebiet in C ist eine offene zusammenhängende Menge.

5 6.2 Nullstellen eines Polynoms 9. Juni Beweis. Sei z A. Weil A offen und zusammenhängend ist, gibt es einen Polygonzug l, die z 0 mit z innerhalb von A verbindet. Sei d die Distanz von l zu A c. Man kann endlich viele Kreisscheiben {B d (z i )} n i= wählen derart, dass z i l, z n = z und z i z i d für i {,..., n}. 2 Weil f = f 2 auf B d (z 0 ) und B d(z ) B d (z 0 ), hat f und f 2 die gleiche Potenzreihe 2 p auf B d(z ). Weil diese Potenzreihe konvergiert auf B d (z ) findet man 2 f = p = f 2 auf B d (z ). Ähnlich folgt mit der Potenzreihe p 2 zu f = f 2 auf B 2 d(z 2), dass Nach n Schritten hat man f (z ) = f 2 (z ). f = p 2 = f 2 auf B d (z 2 ). 6.2 Nullstellen eines Polynoms Als eine Folge von der Formel von Cauchy hat man, dass: Korollar 6.7 Jedes Polynom vom Grad n hat mindestens eine Nullstelle. Beweis. Sei n N + und seien α i C für i {0,..., n }. Betrachten wir das Polynom p(z) = z n + α n z n + α n 2 z n a z + a 0. (6.3) Es gilt für z R 0 := 2n max { α n, α n 2, α n 3,..., α, α 0 } +, dass p(z) = z n α n + + α n α z z 2 z + α 0 n z n (... Dreiecksungleichung... z n α n α n 2 α α ) 0 z z 2 z n z n... wegen z R 0... ( z n α n α n 2 α α ) 0 z z z z... wegen z R 0 2n α i... ( z n 2n 2n 2n ) = 2n 2 z n. Nehmen wir an, dass p keine Nullstelle hat. Dann ist f : C C definiert durch f(z) = p(z) eine holomorphe Funktion. Aus der Formel von Cauchy folgt dann für R > R 0, dass f(0) = f(z) 2πi z =R z 0 dz = 2π z =R zp(z) dz 2π ir t=0 Re it p(re it eit ) dt 2π dt = 2R n. t=0 2 Rn

6 50 9. Juni 2008 Woche 6, Analytische Funktionen Weil dies gilt für alle R > R 0, findet man f(0) = 0, eine Unmöglichkeit. Wenn man das Polynom p aus (6.3) durch z z dividiert, findet man β n 2, β n,..., β 0 und β in C, mit p(z) = z n + β z z n 2 z n β z + β 0 + β. z z Wenn p die Nullstelle z hat, dann folgt β = 0 und so auch p(z) z z = z n + β n 2 z n β z + β 0. Man kann wiederholt das Korollar anwenden und findet schlußendlich, dass es z,..., z n C gibt derart, dass p(z) = (z z ) (z z n )... (z z n ). Ein Polynom vom Grad n hat n Nullstellen (wenn man sie einschließlich der Multiplizität zählt). 6.3 Das Maximum-Prinzip Die Formel von Cauchy erlaubt es uns, holomorphe Funktionen abzuschätzen. Korollar 6.8 Sei f : U C C holomorph und U offen. Wenn B r (z 0 ) U, dann gilt entweder f(z 0 ) < max { f(z) ; z B r (z 0 )}, oder f(z 0 ) = max { f(z) ; z B r (z 0 )}. Beweis. Es gilt f(z 0 ) = 2πi 2π z =R t=0 f(z) dz z z 0 = 2π f(z 0 + re it ) ire it dt 2πi t=0 re it f(z 0 + re it ) dt max { f(z) ; z B r (z 0 )}. Die letzte Ungleichung ist streng, wenn f(z 0 + re it ) max { f(z) ; z B r (z 0 )}. Auf ähnliche Weise kann man auch zeigen, dass entweder oder min Re (f(z)) < Re (f(z 0)) < max Re (f(z)), z B r(z 0 ) z B r(z 0 ) min Re (f(z)) = Re (f(z 0)) = max Re (f(z)). z B r(z 0 ) z B r(z 0 ) Wenn man den Beweis von Korollar 6.8 anschaut, bekommt man noch eine andere schöne Eigenschaft:

7 6.3 Das Maximum-Prinzip 9. Juni Korollar 6.9 Sei f : U C C holomorph und U offen. Wenn B r (z 0 ) U, dann gilt die erste Mittelwerteigenschaft: f(z 0 ) = ϕ=0 f(z 0 + re iϕ )dϕ ϕ=0 dϕ. (6.4) Beweis. Es gilt f(z 0 ) = 2πi = 2π z =R ϕ=0 und das ist genau die Aussage. f(z) dz = z z 0 2πi f(z 0 + re iϕ )dϕ t=0 f(z 0 + re it ) ire it dt re it Korollar 6.0 Sei f : U C C holomorph und U offen. Wenn B R (z 0 ) U, dann gilt die zweite Mittelwerteigenschaft: f(z 0 ) = R r=0 f(z ϕ=0 0 + re iϕ )rdϕdr R rdϕdr. r=0 ϕ=0 Beweis. Weil (6.4) gilt für jedes r [0, R] folgt R r=0 ϕ=0 f(z 0 + re iϕ )rdϕdr = 2π = πr 2 f(z 0 ) = f(z 0 ) R r=0 R r=0 ϕ=0 f(z 0 )rdr = rdϕdr. Satz 6. (Das Maximum-Prinzip für holomorphe Funktionen) Sei U C ein Gebiet und sei f holomorph auf U. Wenn z f(z) ein lokales Maximum hat in z 0 U, dann ist f konstant. Falls U beschränkt ist und f stetig auf U ist, nimmt f das Maximum an auf U. Beweis. Wenn f ein lokales Maximum hat, dann gilt wegen Korollar 6.8, dass f(z 0 ) = max { f(z) ; z B r (z 0 )} (6.5) für r (0, r 0 ). Das heißt, f ist konstant auf B r0 (z 0 ). Wenn f(z 0 ) = 0 folgt f(z) = 0 auf B r0 (z 0 ). Wenn f(z 0 ) 0, dann ist z Log (f(z)/f(z 0 )) (6.6) in eine Umgebung von z 0 eine wohldefinierte holomorphe Funktion mit wegen (6.5) konstantem Realteil: Re (Log (f(z)/f(z 0 ))) = ln f(z)/f(z 0 ) = 0. Aus den Cauchy-Riemann Gleichungen folgt, dass das Imaginärteil von (6.6) konstant ist: Im (Log (f(z)/f(z 0 ))) = Arg (f(z)/f(z 0 )) = Arg () = 0.

8 52 9. Juni 2008 Woche 6, Analytische Funktionen Das bedeutet Log (f(z)/f(z 0 )) = 0 und dass f(z) konstant ist in einer Umgebung von z 0, denn f(z)/f(z 0 ) = e Log(f(z)/f(z 0)) = e 0 =. Die Fortsetzung wie in Lemma 6.6 zeigt, dass f konstant ist auf G. Für die zweite Aussage erinnert man sich, dass eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge, hier U, ihr Maximum annimmt. Wenn sie nicht konstant ist, kann das Maximum nur auf U liegen. Lemma 6.2 (Minimum-Prinzip für holomorphe Funktionen) Sei U C ein Gebiet und f : U C holomorph. Wenn z f (z) ein lokales Minimum hat in z 0 U, dann gilt f(z 0 ) = 0 oder f ist konstant auf U. Beweis. Wenn f(z 0 ) > 0, dann ist g : B r (z 0 ) C mit g(z) = f(z) für r > 0 genügend klein, holomorph auf B r (z 0 ) und es gilt wegen des Maximum-Prinzips entweder, dass g(z) ist konstant auf B r (z 0 ) oder g(z 0 ) < max g(z). z B r(z 0 ) Weil max z Br(z 0 ) g(z) = g(z 0 ) folgt g(z) ist konstant auf B r (z 0 ). Dann ist auch f(z) konstant auf B r (z 0 ) und wegen der eindeutigen Fortsetzung sogar auf U.

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