14 ERHALTUNGSGLEICHUNGEN

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1 Theorie nd Nmeri von Differenialgleichngen mi MATLAB nd SIMULINK K. Taber Universiä Hambrg SS8 Erhalngsgleichngen 4 EHALTUNGSGLEICHUNGEN THEOIE UND NUMEIK 4. Einführng Gegensand des vorliegenden Kapiels sind Afgaben der Form f () = (x,) = (x) Typisch die heoreische Behandlng dieser Afgabe is eine gewisse Uneinheilichei. Verschiedene Zgänge sichern die Exisenz von Lösngen nd nerschiedliche Enropiebedingngen legen die Eindeigei der Lösngen fes. Die Gleichwerigei nd die Grenzen der einzelnen Zgänge sind den Nich-Spezialisen schwer erennbar. Wei verbreie is der Zgang von Krzov [97] über den Umweg einer (singlär gesören) parabolischen Afgabe f () = ε. In diesem Zsammenhang wird häfig ach behape, dass die erse Afgabe ers drch eine nich sachgemäße Vereinfachng der zweien Afgabe enseh. In lezer Zei erscheinen aber ach sar fnionalanalyisch gepräge Texe (Serre [999]) über diese Afgaben. Dami werden ach diese Afgaben in den üblichen ahmen der modernen Behandlng von parabolischen nd ellipischen Afgaben eingeordne. Die nmerischen Behandlng der Afgaben is i.a. sar herisisch gepräg nd häfig von einem ngewöhnlich leichferigen Umgang mi den mahemaischen Vorassezngen geennzeichne. Ach hier ha die Arbei von Krzov wohl z einer Umbesinnng geführ. Die Praxis ha zr CFL-Bedingng, dem Upwind-Schemaa, dem Godnov-Verfahren nd seine Varianen geführ. Allgemein wird behape, dass ge Verfahren die salare Gleichng ach g Syseme von Erhalngsgleichngen sind. 83

2 Wir berachen znächs die lineare Afgabe 4. Theorie. Beispiele nd Schwierigeien c =,,c>, x (x,) = (x). Als lassische Lösng einer solchen Afgabe wird man znächs eine Fnion (x,) bezeichnen, welche > nd x seig differenzierbar, nd x seig is nd aßerdem die Anfangsbedingng erfüll. Es sei (.,.) eine (lassische) Lösng der Afgabe nd Dann gil d d v().= (cx,). d v() = (c x, ) = c (c x, ) (c x, ) =. d Somi is v() onsan > nd nd mihin oder lim v() = v() (cx,) = v() = v() = (x,) = (x ) (x,) = (x-c,) = (x-c). Die Geraden x-c = ons heißen Charaerisien nd enlang dieser Geraden is die Lösng onsan. x-c=ons x Späer nüzlich sind noch die folgenden Beobachngen: Min (x) (x, ) Max (x). x x Ach beliebige (nichseige) is es naheliegend (x,) = (x-c) als Lösng der Anfangswerafgabe z bezeichnen. Als nächses berachen wir ez die (Brgers-) Gleichng 84

3 =, >, x (*) (x,) = (x). Klasssische Lösngen dieser Afgaben wird man wie oben definieren. Ach in diesem Fall gib es Krven (Charaerisien) (x(),) af denen die Lösng onsan is. Es sei (x,) eine lassische Lösng von (*) nd x(;x ) die Lösng von Es sei ez dann gil dx = (x, ), x() = x. d v() = (x(;x ),) d d dx v() = (x(; x ), ) (x(; x ), ) (x(; x ), ) ( )(x(; x ))! = = = d d d nd dami (x(,x ),) = (x(;x ),) = (x ). Ach in diesen Fall sind die Charaerisien also Geraden x() = x (x ) deren Seigngen edoch von den Anfangsweren (x ) abhängen. Wir berachen ez noch das iemann-problem =, >, x U L x < (x) = U x > mi Konsanen U L nd U. Der Fall U L = U is nineressan. Die beiden anderen Fälle führen edoch z Problemen: I. U L >U x=s II. U L <U 85

4 Im ersen Fall schneiden sich die Charaerisien. Charaerisien die lins von Nll saren d haben eine leinere Seigng = / U L als die Charaerisien welche rechs von Nll mi der dx d Seigng = / U saren. dx Es is sicherlich vernünfig die Fnion U L x < s (x,) = U x > s s = (/)(U L U ) (Schoc-Geschwindigei) als Lösng der Afgabe z bezeichnen. Im zweien Fall enseh eine Lüce nd es sell sich die Frage, wie diese Lüce vernünfigerweise aszfüllen is. Der Übergang U U U L U L führ zr Lösng (Verdünnngswelle) (x,) = x / U U L x < U U L < x < U x > U. L Das erse Beispiel läss erennen, dass lassische Lösngen der Brger-Gleichng nich global exisieren müssen. Wie bei den ellipischen nd parabolischen Differenialgleichngen führ man ach bei den Erhalngsgleichngen einen schwachen Lösngsbegriff ein. Definiion: Eine (loal) inegrierbare Fnion mi (loal) inegrierbaren f() heiß schwache Lösng von f () = (x,) = (x) wenn alle Φ C (,(, )) gil 86

5 (Φ f () Φ x )ddx Φ(x,)dx =. x Leider führ der schwache Lösngsbegriff nich z eindeigen Lösngen: Dieses zeig das iemann-problem =, >, x x (x) = x < x > mi den nendlich vielen schwachen Lösngen ( α (,)) (x,) = α α / < x / x / < α / ( α) / < < ( α) / x /. Es war wohl ein Verdiens von Krzov, hier eine weiergehende die Eindeigei erzwingende Forderng z sellen. Asgehend von f () = ε, ε wrde geforder: Eine schwache Lösng von heiß Enropie-Lösng, falls f () =, (x,) = (x) x (U() Φ F() Φ x )ddx x U( ) Φ(x,)dx alle Enropie-Paare (U,F) nd nichnegaive Φ C (,(, )). Dabei sei U eine onvexe Fnion nd F =U f. Saz. * Die salare Afgabe f () =, >, x (x,) = (x) besiz ede beschräne nd messbare Fnion gena eine Enropie-Lösng as L (x ) Von Bedeng die Nmeri sind weiergehende Eigenschafen der Enropielösngen. * Ein Beweis finde man in Serre [999] S

6 Diese Eigenschafen ergeben sich as dem Beweis des Sazes von Krzov. Die Lösngen haben noch die folgenden Eigenschafen:. TV-Abnahme. Is von beschräner Variaion, dann is ach (.,) von beschräner Variaion nd es gil TV((.,) TV( (x)).. Maximm-Prinzip oder L -Sabiliä. Es gil (x,) L (x) L. 3. Konservaiviä. Is -v L (), dann is ach (.,)-v(.,) L () nd es gil (x, ) v(x, ) d (x) v (x) dx. 4. Monoonie. Is (x) v (x) fas alle, dann gil (x,) v(x.). 5. Endlicher Abhängigeisbereich. Für alle > nd edes Inervall [a,b] gil b a b M v(x, ) (x, ) dx v (x) (x) dx. a M 4. Nmerische Mehoden Der vorangegangene Paragraph liefere einen Einblic in die Eigenschafen der Enropielösngen der Erhalngsgleichng f () =, (x,) = (x). Einen ersen Einblic in praiable nmerische Verfahren die Erhalngsgleichng liefer wieder die lineare Afgabe c =,,c>, x (,x) = (x). Zr nmerischen Behandlng dieser Afgabe wird x mi einem regelmäßigen Gier x = h, = überdec. Nahe liegende (nd von Vorennnissen völlig nbelasee) Differenzenverfahren sind dann mi γ = c( / h). = (/ ) γ( ) = ( γ) γ = ( γ) γ 88

7 Der Zsammenhang zwischen den Variablen (bis af die Konsane γ ) ann as den folgenden Sempeln erann werden: Lax-Friedrichs (Einseiiger) Eler (Einseiiger) Eler Aber ach andere Sempel sind denbar (LeVeqe 99) Implizier Eler Leap-Frog Lax-Wendroff Beam-Warming Sollen die angegebenen Verfahren das, die oninierliche Afgabe gülige, Maximm-Prinzip erfüllen, dann omm nr das zweie Verfahren in Frage nd zwar mi der zsäzlichen CFL- Bedingng γ = c( / h). Zr CFL-Bedingng omm man ach dann, wenn das zweie Verfahren af Konsisenz bezüglich lassischer Lösngen nersch wird: (x, ) (x, ) (x, ) (x h, ) c h c = c ( ) O(h h Das Verfahren liefer also eine Approximaion die Differenialgleichng ) f () = ε. Diese Afgabe is aber beannlich nr dann sachgemäß, wenn ε > is. Dieses bedee ( c h) / aber c h c h c h. Wie schwierig die Siaion im nichlinearen Fall is, zeig das iemann-problem =, >, x 89

8 (x) = x < x > Af den ersen Blic sprich dann nichs gegen das Verfahren Mi den Sarweren = = h ( < ) liefer das Verfahren (bei Verfeinerng des Giers) edoch ses (x,) = (x) nd mihin nich die Lösng der Afgabe. Andere Anfangsbedingngen führen z einer nangemessene Schoclage. Eine andere Möglichei beseh darin, die Afgabe dire z behandeln: (f()) x = = h (f ( (f ( ) f ( ) f ( )) )) f f <. Die Ableing f z besimmen wird nich immer möglich sein. Dieses führ z der folgenden pwind-variane mi (H( h =, ) H(, H(,v) = f (), f (v), wenn wenn )) f () f (v) v f () f (v). v Die folgende (in LeVeqe) angegebene Afgabe zeig, das ach hiermi nich immer ge eslae folgen: Afgabe Gegeben sei das iemann-problem x = (,x) = x < x >. Berache das angegebene Verfahren mi /h = /. 9

9 Für =/l nd h = /l liefer das Verfahren die schwache Enropie-Lösng Für =/(l) nd h = /(l ) liefer das Verfahren eine schwache Lösng Für =/l nd h = (/)l divergier das Verfahren Wir ommen nn z den Gdonov-Verfahren. Dieses nimm in besonderer Weise ücsich af die ichng der Asbreing des Signals: = (f ( h (/ ) ) f ( (/ ) )) mi folgenden egeln die Besimmng der Größen : (/ ) Es sei f ( ) f ( ) f = ( ξ (/ ) )( ). Dann ergib sich as: (/ ) = (/ ) falls f ( )> nd f ( ξ )> (/ ) = (/ ) falls f ( )< nd f ( ξ )< (/ ) is Nllselle von f () = sons. (/ ) Bevor das Gdonov-Verfahren weier nersch wird, soll noch das Verfahren von Lax-Friedrichs angegeben werden. Dieses Verfahren enseh as dem nbrachbaren Verfahren f ( ) f ( h ) = drch die Einführng einer ünslichen Visosiä ( / h = ) = ( )(f ( ) f ( )) h mi dem loalen Fehler O( ) / h =. Sowohl das Gdonov- als ach das Lax-Friedrichs-Verfahren lassen sich in der Form = H(,, ) = q(g(, ) g(, )) darsellen. Die lassische Konsisenzforderng ergib dann f() = g(,). Wir ommen nn wieder z dem enscheidenden Begriff, der wieder Monoonie heißen wird: 9

10 Definiion Das Schema = H(,, ) heiß Monoon, wenn H in allen Argmenen eine nich fallende Fnion is. Der enscheidende Voreil von monoonen Schemaa is: Für monoone Schemaa ann die Konvergenz der Näherngen gegen die Enropie-Lösng nachgewiesen werden. Monoone Verfahren haben die Eigenschafen,, nd 3. Wir schließen dieses Kapiel mi der folgenden schönen Bemerng ab: Das Lax-Friedrichs nd das Gdonov-Verfahren sind monoon ner einer Zsazbedingng. Beim Lax-Friedrichs Verfahren is diese Max h f '(). Lierar Evans, L.C., Parial Differenial Eqaions. Gradae Sdies in Mahemaics. Vol 9. American Mahemaical Sociey