12. Die Galois Gruppe einer auflösbaren Gleichung.

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1 12. Die Galois Gruppe einer auflösbaren Gleichung. Wir wollen zeigen, dass die Gleichung p(x) = x 5 6x + 2 = 0 nicht auflösbar ist. Hierfür brauchen wir zunächst neue Definitionen, die mit dem Begriff auflösbar zusammenhängen. Auflösung von Gleichungen. Definition. Eine Gleichung p(x) = 0, p(x) Q[x], heißt auflösbar, wenn alle ihre Lösungen iterierte Wurzeln sind. Bem. Iterierte Wurzeln sind Ausdrücke der Form oder komplexe Zahlen mit solchen Koeffizienten.

2 2 I. Elementare Mathematik 1 Wir brauchen den Begriff der Auflösung von Gleichungen. Wir kennen ja schon Auflösungen von Gruppen. Jetzt brauchen wir noch Auflösungen von Körpern. Definition. Eine Auflösung des Körpers Q(p) der Gleichung p(x) = 0 ist eine Kette Q = K = 0 K 1 K 2... K n = Q(p) von Erweiterungskörpern mit α R. K i+1 = K i ( n α) Satz. Der Körper Q(p) einer auflösbaren Gleichung p(x) = 0 hat eine Auflösung. Beweis. Lösungen von auflösbaren Gleichungen sind iterierte Wurzeln. Die Iteration einer Lösung α liefert eine Auflösung Q = K 0 K 1... K n mit α K n. Jede Gleichung p(x) = 0 hat nur endlich viele Lösungen. Dies beweist den Satz.

3 12 Die Gruppe einer Gleichung 3 Definition. Für jeden Zwischenkörper K, Q K Q(p), heißt Aut(Q(p), K) die zu K korrespondierende Gruppe. Definition. Ist Q = K 0 K 1 K 2... K n Q(p) eine Kette von Körpern, dann heisst die Kette G 0 G 1 G 2... G n die korrespondierende Kette von Gruppen, wenn die G i die zu K i korrepondierenden Gruppen sind, d.h. wenn G 0 := Aut(Q(p),Q), G i := Aut(Q(p), K i ), G n := Aut(Q(p),Q(p) = {id}

4 4 I. Elementare Mathematik 1 Definition. Eine Auflösung der Gleichung ist eine Auflösung p(x) = 0 mit p(x) Q[x] Q =: K 0 K 1 K 2... K n := Q(p) des Körpers Q(p) der Gleichung so dass die dazu korrepondierende Kette G 0 G 1 G 2... G n = {id} von Gruppen eine Auflösung der Galois Gruppe G 0 = Aut(Q(p),Q) der Gleichung ist, d.h. wenn für alle i. G i /G i+1 = abelsch,

5 12 Die Gruppe einer Gleichung 5 Ein Kriterium für Nicht-Auflösbarkeit. Satz. Die Galois Gruppe einer auflösbaren Gleichung ist auflösbar. Beweis. Die Strategie. Die Gleichung p(x) = 0 sei auflösbar. Dies impliziert eine Auflösung Q K 2 K 4... K 2m = Q(p) des Körpers Q(p) mittels Körper Erweiterungen. Leider ist die zugehörige Kette von Gruppen im allgemeinen keine Auflösung der Gruppe Aut(Q(p)). Es stellt sich aber heraus, dass die Auflösung von Körpern so zu einer neuen Auflösung Q = K 1 K 2 K 3 K 4... K n = Q(p) verfeinert werden kann, dass nun die zugehörige Kette Aut(Q(p)) G 1 G 2... G n 1 der Gruppen die gesuchte Auflösung der Galois Gruppe von p ist.

6 6 I. Elementare Mathematik 1 Ausführung der Strategie. Schritt 1: Auflösung des Körpers. Da alle Lösungen von p(x) = 0 iterierte Wurzeln sein sollen und da Wurzeln n α, α K, im Körper K( n α) leben, erhalten wir aus K 0 = Q, durch Iterationen der Konstruktion K K( n α), eine Kette Q = K 0 K 2 K 4... K 2m = Q(p) von Zwischenkörpern mit K 2(i+1) = K 2i ( n α) und so dass K 2m alle Lösungen von p(x) = 0 enthält, d.h. K 2m = Q(p). Schritt 2: Verfeinerung der Auflösung. Diese Kette können wir noch durch Körper K 2i+1 mit ungeraden Indizes zu einer Kette Q = K 0 K 1 K 2 K 3 K 4... K 2m = Q(p) erweitern, denn wir haben (nach der Rechnung von Beispiel 3): K 2i K 2i+1 := K 2i (ω) K 2i ( a) = K 2(i+1), wobei ω die Einheitswurzel von Beispiel 2 ist.

7 12 Die Gruppe einer Gleichung 7 Schritt 3. Auflösung der Gruppe. Sei G 0 G 1... G n = 1 die zu obiger Auflösung korrespondierende Kette von Gruppen. Dann haben wir G i /G i+1 = Aut(Q(p), K i )/Aut(Q(p), K i+1 ) = Aut(K i, K i+1 ) Aber Aut(K i, K i+1 ) = Aut(K(ω), K) oder Aut(K(ω)( a), K(ω)) und diese Gruppen sind beide abelsch (nach der Beh. von Beispiel 3). Damit ist die obige Kette von Gruppen eine Auflösung der Galois Gruppe Aut(Q(p)). Somit ist die Galois Gruppe der Gleichung p(x) = 0 auflösbar.

8 8 I. Elementare Mathematik 1 Gleichungen 5. Grades. Das nächste Gegenbeispiel zeigt, dass Gleichungen 5. Grades im allgemeinen nicht auflösbar sind. Satz. Die Gleichung ist nicht auflösbar. Beweis. p(x) = x 5 6x + 2 = 0 Andernfalls wäre die Gruppe der Gleichung auflösbar (nach obigem Satz). Die Gruppe dieser Gleichung ist S 5. (nach Beispiel 5 vom vorigen Kapitel). S 5 ist aber nicht auflösbar. (nach einem Satz vom vorvorigen Kapitel). Bemerkung. Neben diesem Beispiel gibt es noch viele andere Beispiele, die man mit ähnlichen Methoden finden kann. Der Umkehrschluss ist aber leider nicht möglich. Wenn man weiss, dass eine Gleichung eine auflösbare Gruppe hat, dann kann man daraus nicht schließen, dass die Gleichung auflösbar ist. Mehr Material zu diesem Thema finden sie in vielen Algebra Büchern unter dem Thema Galois Theorie.

9 12 Die Gruppe einer Gleichung 9 Bemerkung. Die kubischen und bi-quadratischen Gleichungen sind immer auflösbar. Verfahren hierzu wurden schon in der Renaissance und zwar von Cardano und Tartaglia entdeckt [van der Waerden]. Literatur. B. L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag