Näherungsverfahren. Wiederhole den Algorithmusbegriff. Erläutere die Begriffe: Klasse der NP-Probleme. Probleme. Probleme. Approximative Algorithmen

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1 Näherungsverfahren Wederhole den Algorthmusbegrff. Erläutere de Begrffe: Klasse der P-ProblemeP Probleme Klasse der NP-Probleme Probleme Approxmatve Algorthmen Stochastsche Algorthmen

2 ALGORITHMEN Def.: Ene Bearbetungsvorschrft heßt Algorthmus, wenn se folgende Egenschaften erfüllt: 1. De Vorschrft st mt endlchen Mtteln beschrebbar. 2. Se lefert auf ene endeutg festgelegte Wese zu ener vorgegebenen Engabe n endlch velen Schrtten genau ene Ausgabe. Aus der Defnton folgt: De Verfahrensbeschrebung muss an jeder Stelle endeutg festlegen, welcher Bearbetungsschrtt als nächstfolgender auszuführen st. Jeder Bearbetungsschrtt n der Folge muss auch ausführbar sen. De Verfahrensbeschrebung muss ene endlche Länge bestzen. Jeder Bearbetungsschrtt muss festlegen, was zu tun st und womt (mt welchen Daten) der Schrtt durchzuführen st. Da man ncht alle Bearbetungsvorschrften durch endeutge Folgen von Anwesungen als Algorthmus darstellen kann, wurde m Laufe der Zet der Begrff ausgedehnt. Man unterschedet heute zwschen determnstschen und ncht-determnstschen Algorthmen. Enthält en Algorthmus elementare Anwesungen, deren Ergebns durch enen Zufallsmechansmus beenflusst wrd, so heßt deser Algorthmus ncht-determnstsch. Lefert er be der glechen Engabe mmer deselbe Ausgabe, so heßt er determnstsch.

3 NÄHERUNGSVERFAHREN Zu den Aufgaben der theoretschen Informatk gehört das fnden von Algorthmen, de en gegebenes Problem determnstsch n (mndestens) polynomaler Zet lösen bzw. der Nachwes, das es enen solchen Algorthmus für en Problem ncht gbt. De Probleme, für de es enen solchen Algorthmus gbt, werden n der Klasse der P-Probleme zusammengefasst. De anderen gehören zur Klasse der NP-Probleme. In polynomaler Zet bedeutet (unexakt): Es sen n das Maß für de Größe enes Problems (z.b. Sorteren n=anzahl der zu sorterenden Elemente). De Anzahl der Arbetstakte A zur Lösung des Problems lässt sch mt enem Polynom n n berechnen: A(n) = n 1 = 1 z.b.: Bubble-Sort A(n) k = = 0 c n mt, k N; c R s.a. Informatk bs zum Abtur S. 461 ff. Gbt es nun für de Lösung enes Problems kenen effzenten Algorthmus, dann kommen de Näherungsverfahren n s Spel.

4 Approxmatve Algorthmen Problemlösung von Grund auf fnden Numersche Mathematk hat zu zegen, dass Ergebns Lösung st z.b. BANACHscher Fxpunktsatz Newton-Verfahren Regula-fals Trapezmethode... Ene mt enem anderen Algorthmus gefundene Lösung verbessern Neuronale Netze Genetsche Algorthmen... stochastsche Algorthmen Arbeten mt Pseudozufallszahlen numersche Newton-Verfahren mt zufällgem Startwert Las-Vegas-Algorthmen Lefern en rchtges Ergebns oder fnden kenes Monte-Carlo-Algorthmen De gefundene Lösung st mt ener vorgegebenen Wahrschenlchket falsch

5 Monte-Carlo Carlo-Methode zur Bestmmung enes Näherungswertes N für f π Monte-Carlo-Methode : Smulaton zur näherungswesen Bestmmung von Größen unter Verwendung stochastscher (zufällger) Komponenten Praxs: Physk Verhalten von Veltelchensystemen Wrtschaft Produktonsabläufe Ersatztelberethaltung Mathematk Berechnung von Integralen Börse Voraussagen über Entwcklung des Aktenkurses Informatk Softwaretests

6 (1) Es werden zufällg n Punkte erzeugt, de m Quadrat legen. Treffer (2) De Punkte, de m Vertelkres legen, werden als Treffer t gezählt. (3) Für großes n füllen de Treffer de Fläche des Vertelkreses und alle Punkte de des Quadrates. We lässt sch en Näherungswert π~ aus n und t berechnen? A A VK Q = π 4 r r 2 2 = π 4 n t n = π 4 ~ = π 4t n