Parareal. Ein paralleler Lösungsalgorithmus für gewöhnliche Differentialgleichungen. Johannes Reinhardt. Parareal 1 Johannes Reinhardt

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1 Ein paralleler Lösungsalgorithmus für gewöhnliche Differentialgleichungen Johannes Reinhardt 1 Johannes Reinhardt

2 Übersicht Grundlagen Gewöhnliche Differentialgleichungen Numerische Methoden Der Algorithmus Performanceanalyse 2 Johannes Reinhardt

3 Grundlagen 3 Johannes Reinhardt

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen Definition Abkürzung: gdgl Gesucht: u : R R n, t R mit F(t, u(t), u (t),..., u (n) (t)) = 0 Hier: Explizite gdgl erster Ordnung: u (t) = F(t, u(t)) 4 Johannes Reinhardt

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen Beispiele Physik Bewegungsgleichungen Radioaktiver Zerfall Elektrotechnik Mathematik Partielle Differentialgleichungen sonstiges Volkswirtschaftliche Modelle Ökologie 5 Johannes Reinhardt

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Eindeutigkeit Radioaktiver Zerfall u (t) = λu(t) nicht nur eine Lösung weitere Bedingungen an die Lösung von praktischem Interesse: Anfangswertaufgaben Randwertaufgaben 6 Johannes Reinhardt

7 Gewöhnliche Differentialgleichungen Anfangswertprobleme Anfangswert bekannt Gesucht: u(t 0 ) = u 0 u(tend ) u auf Intervall [T0, T end ] 7 Johannes Reinhardt

8 Gewöhnliche Differentialgleichungen Mutter- und Tochterkerne 2 radioaktive Elemente eines zerfällt zu anderem unterschiedliche Halbwertszeiten Wann wieviel von Tochterelement? 8 Johannes Reinhardt

9 Gewöhnliche Differentialgleichungen Randwertprobleme Bedingungen an u am Rand Randoperatoren R 1, R 2 Gesucht: u auf Intervall [T a, T b ] R 1 (u(t a )) = r a R 2 (u(t b )) = r b 9 Johannes Reinhardt

10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Ballwurf 10 Johannes Reinhardt

11 Gewöhnliche Differentialgleichungen Ballwurf Komponenten von u: u = (x, y, v x, v y ) T Randoperator: R : R 4 R 2 u (x, y) Randbedingungen: R(u(0)) = (2.5, 0) T R(u(12)) = (7, 0) T 11 Johannes Reinhardt

12 Numerische Methoden Diskretisierung der Zeit: [T 0, T end ] {t i : i = 0... n, t 0 = T 0, t n = T end } Meist equidistant, Schrittweite h: t i t i 1 = h (1) Näherungslösung û(t) an diskreten Zeitpunkten 12 Johannes Reinhardt

13 Numerische Methoden Propagator Schreibweise für Lösung von AWP: P : R R R n R n P(T end, T 0, u(t 0 )) = u(t end ) Propagator für Näherungslösung: ˆP(T end, T 0, u(t 0 )) = û(t end ) 13 Johannes Reinhardt

14 Numerische Methoden Einschrittverfahren Näherungsverfahren meist Einschrittverfahren Verfahrensfunktion E : R R n R R n E(t 0, u(t 0 ), h) = û(t 0 + h) u(t 0 + h) Zugehöriger Propagator ˆP E (T end, T 0, u(t 0 )) = û(t end ) (2) 14 Johannes Reinhardt

15 Numerische Methoden Beispiel: Euler Verfahren Einfachstes Verfahren Taylorentwicklung um t i, abgebrochen nach linearem Term E(t i, u(t i ), h) = u(t i ) + hu (t i ) = u(t i ) + hf(t i, u(t i )) Aber: Niedrige Konvergenzordnung 15 Johannes Reinhardt

16 Numerische Methoden Beispiel: Runge-Kutta Verfahren Klasse von Verfahren, Stufe s Koeffizienten a ij, b i, c i für i, j = 1,..., s Berechnung s approx. Steigungen k i = F t i + c i h, u(t i ) + h s a ij k j j=1 Geschickte Kombination der k i s E(t i, u(t i ), h) = u(t i ) + h b j k j j=1 16 Johannes Reinhardt

17 Numerische Methoden Butcher Tableaus c/b c/b 1 Runge-Kutta 4 Euler 17 Johannes Reinhardt

18 Numerische Methoden Anfangswertprobleme Setze u(t 0 ) = u 0 Iterativ bis T end : u(t i+1 ) = E(t i, u(t i ), h) 18 Johannes Reinhardt

19 Numerische Methoden Randwertprobleme Idee: Umformulierung des RWP zu Gleichungssystem Definiere Randdifferenz : D(u a ) := R 2 (P(T b, T a, u a )) r b Gleichungssystem D(u a ) = 0 R 1 (u a ) = r a Aus Lösung u(t a ) kann u(t b ) bestimmt werden u(t b ) = P(T b, T a, u(t a )) 19 Johannes Reinhardt

20 Numerische Methoden Schießverfahren Verfahren zur Lösung von Randwertproblemen Numerische Lösung des Gleichungssystems Newton Verfahren Bisektionsverfahren... Numerische Lösung der AWPs Euler Verfahren Runge Kutta Verfahren Johannes Reinhardt

21 Numerische Methoden Zwischenbilanz Definition Anfangswert- und Randwertaufgaben numerischen Werkzeugkasten Lösung von Anfangswert und Randwertaufgaben Beispiele und Anwendungen 21 Johannes Reinhardt

22 Numerische Methoden Probleme ODEs teuer und hochdimensional Hohe Genauigkeit nötig Kleine Schrittweiten, teure Verfahren nötig Großer Rechenaufwand, großer Zeitaufwand Echtzeitberechnung Ausweg: Parallelisierung Aber: Einschrittverfahren konzeptionell seriell 22 Johannes Reinhardt

23 23 Johannes Reinhardt

24 Der Algorithmus Ziel Lösung eines Anfangswertproblems auf mehrere Processing Units (PU) u : [T 0, T end ] R n u (t) = F(t, u(t)) u(t 0 ) = u 0 Schneller als auf einzelner PU 24 Johannes Reinhardt

25 Der Algorithmus Idee Aufteilung in Teilintervalle 25 Johannes Reinhardt

26 Der Algorithmus Idee Aufteilung in Teilintervalle AWP auf jedem Teilintervall 26 Johannes Reinhardt

27 Der Algorithmus Idee Aufteilung in Teilintervalle AWP auf jedem Teilintervall Anschlussbedingungen durch Iteration 27 Johannes Reinhardt

28 Der Algorithmus Vorgehen bei Herleitung 1. Formulierung des AWP als Gleichungssystem 2. Lösung mit Newtonverfahren 28 Johannes Reinhardt

29 Der Algorithmus AWP als Gleichungssystem Anfangswertprobleme v 0 (t) = F(t, v 0(t)), v 0 (T 0 ) = U 0, t [T 0, T 1 ] v 1 (t) = F(t, v 1(t)), v 1 (T 1 ) = U 1, t [T 1, T 2 ] v N (t) = F(t, v N(t)), v N (T N ) = U N, t [T N, T end ] Anschlussbedingungen U 1 = v 0 (T 1 ) = P(T 1, T 0, U 0 ) U 2 = v 1 (T 2 ) = P(T 2, T 1, U 1 )... U end = v N (T end ) = P(T end, T N, U N ) 29 Johannes Reinhardt

30 Der Algorithmus Notation: U = U 0 U 1... U end u 0 v U = 0 (T 1 )... v N (T end ) Anschlussbedingungen bilden Gleichungssystem g : R N n R N n g(u) = U U 30 Johannes Reinhardt

31 Der Algorithmus Äquivalente Formulierung des AWP g(u) = 0 U i = u(t i ) Lösung des AWP Lösung eines Gleichungssystem Newton Verfahren x k+1 = x k J 1 g (x k )g(x k ) J g Jacobimatrix 31 Johannes Reinhardt

32 Der Algorithmus Jacobi Matrix Newton für Anschlussbedingungen: U k+1 = U k J 1 (U k )(U k U k ) mit J durchmultiplizieren J(U k )(U k+1 U k ) = U k U k 32 Johannes Reinhardt

33 Der Algorithmus Jacobi Matrix Jacobi Matrix J = I U U 0 I 0 k 0 0 v 1(T 2 ) U. U 1 I.. k v 0(T 1 ) 33 Johannes Reinhardt

34 Der Algorithmus Einsetzen, auflösen liefert U k+1 i+1 = v i(t i+1, Ui k ) + v i(t i+1 ) U (U k+1 i Ui k ) i U k n Update erfordert Lösung von Anfangswertaufgaben Approximation durch unterschiedlich teure Verfahren Dadurch Parallelisierung sinnvoll 34 Johannes Reinhardt

35 Der Algorithmus Teures, feines Verfahren für u n (T i+1, U k i ) P F (T i+1, T i, U k i ) Schnelles, grobes Verfahren für v i (T i+1 ) U i (U k+1 i Ui k ) P G (T i+1, T i, U k+1 i ) U k n P G (T i+1, T i, U k i ) 35 Johannes Reinhardt

36 Der Algorithmus Beginne mit Approximation für U 0 i Iterative Verfeinerung U k+1 0 = u 0 U k+1 i+1 = P G(T i+1, T i, U k+1 i ) + P F (T i+1, T i, U k i ) + P G (T i+1, T i, U k i ) 36 Johannes Reinhardt

37 Der Algorithmus Parallelisierung i k Nur noch eine grobe Lösung seriell Rest kann parallel berechnet werden 37 Johannes Reinhardt

38 Performanceanalyse Messmethodik Testproblem: Wärmeleitgleichung aus Übung mit 100 Gitterpunkten in jede Richtung Schrittweite: 0.01 Intervall: [0, 0.02] Iterationen: 4 Zeit gemessen mit MPI_Wtime Achtung: Nicht aussagekräftig, massiv beschummelt 38 Johannes Reinhardt

39 Performanceanalyse Zeit 39 Johannes Reinhardt

40 Performanceanalyse Speedup 40 Johannes Reinhardt

41 Performanceanalyse Effizienz 41 Johannes Reinhardt