Grundwissen Seite 1 von 63 Klasse12

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1 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Gleichung esteht us zwei Termen, die miteinnder durch ein Gleichheitszeichen verunden sind. + = - 7 Setzt mn für die Vrile eine Zhl in die Gleichung ein, so + = - 7 knn sich eine whre oder eine flsche Aussge ergeen. 7 = flsch Die (vorgegeene) Menge ller Zhlen, die zum Einsetzen in die Gleichung zur Verfügung stehen, heißt Grundmenge G. G = IN Die Zhlen der Grundmenge G, die eim Einsetzen in die Gleichung eine whre Aussge liefern, heißen 0 + = 0-7 Lösungen dieser Gleichung. = Die Lösungen einer Gleichung fsst mn zur Lösungsmenge IL dieser Gleichung zusmmen. IL = {0} Wenn kein Element der Grundmenge G eim Einsetzen in die G = {; ; } Gleichung eine whre Aussge ergit, dnn ist die Lösungs- + = - 7 menge die leere Menge, geschrieen { } (oder Ø). IL = { } Gleichungen heißen äquivlent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge esitzen. Äquivlenzumformungen sind Umformungen, ei denen sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert. Mit ihnen vereinfchen wir komplizierte Gleichungen! Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn mn + = 7 zu den eiden Seiten dieser Gleichung diesele Zhl + = 7 + zw. denselen Term ddiert. + = 0 von den eiden Seiten dieser Gleichung diesele Zhl + = 0 - zw. denselen Term sutrhiert. = 6 eide Seiten dieser Gleichung mit derselen = 6 (von null verschiedenen) Zhl multipliziert. 6 = eiden Seiten dieser Gleichung durch diesele 6 = :6 (von null verschiedene) Zhl dividiert. = Beispiele: ) Grundmenge: G = IN Gleichung: + = Neue Gleichung: = 8 Lösungsmenge: IL = { } weil 8 IN ) G = Z c) G = QI = = + = 8 : 8 + = = 7 Z 8 = :8 IL = { 7 } = 0,5 IL = { 0,5 } ACHTUNG: Wird eine Ungleichung mit einer negtiven Zhl multipliziert oder durch eine negtive Zhl dividiert, so muss mn ds Ungleichheitszeichen umdrehen! d) - < :(-) e) - > - (-) > -6 < IL = { > 6 } Mengenschreiweise IL = { < } = ] 6 ; + [ Intervllschreiweise = ] - ; ] Hinter der Gleichung steht hinter einem Strich die Äquivlenzumformung... Gleichungen Grundegriffe delt7 Seite 0-05 Lösen von Gleichungen (I) delt7 Seite 06-9 delt8 Seite 6-65

2 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Gleichungen, ei denen die Vrile in mindestens einem der Nenner uftritt nennt mn Bruchgleichung. Grphische Lösung: Mn zeichnet zuerst die Funktionsgrphen der eiden Gleichungsseiten. Dnn liest mn die -Koordinten ller gemeinsmen Punkte. Im Die Grphen der Funktionen 6 f: f() = und g: g() = hen nur den Punkt A (0,75 l, 6 ) gemeinsm, die Bruchgleichung ht lso die Lösungsmenge IL = {0,75}. Definitionsmenge ngeen: ID = IR \ {0; } Rechnerische Lösung: Beide Seiten der Bruchgleichung mit einem gemeinsmen Nenner (m esten mit dem Huptnenner) ller Bruchterme multiplizieren und nschließend kürzen. 6 ( ) 6 ( ) HN: (-) Lösen von Gleichungen (II) Bruchgleichungen Vereinfchte Gleichung wie ülich lösen. ( - ) = 6 TV Prüfen, o die ermittelte Lösung zur 6 - = 6 + Definitionsmenge gehört. 6 = 8 :8 = 0,75 Proe mchen: LS: 6 6 0,75 0,75,5 LS = RS Lösungsmenge ngeen: IL = {0,75}. Weiteres 0 6 ID = IR \ {0; 6} HN: (-6) ( )( 6) ( 0)( 6) 6 ( + ) = ( - 0)( - 6) ² + = ² ² = = 80 :68 = 5 IL = {5}. Proe: LS = ( 5+):(5-6) = :(-) = - RS = ( 5-0):( 5) = -0:0 = - LS = RS delt8 Seite -8

3 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Bruchterm: Die Vrile tritt uch im Nennerterm des Bruchs uf. 5 7 Die Nullstellen des Nennerterms gehören nicht zur Definitionsmenge des Bruchterms. ID = IR \ {7} Lösen von Gleichungen (II) (Fortsetzung) Bruchterme können wie Brüche erweitert und gekürzt werden. Erweitern: Der Zähler und der Nenner eines Bruchterms werden mit der gleichen Zhl (mit dem gleichen Term) multipliziert. 8 8( ) 8( )... ( ) ( ) mit mit (+) mit erweitert. Kürzen: Bechte: Der Zähler und der Nenner eines Bruchterms werden durch die gleiche Zhl (durch den gleichen Term) dividiert. 5²y( ) 5²y 5²y 5y 0( )z 0z z z mit + mit 5 mit gekürzt. Die größtmögliche Definitionsmenge knn sich eim Erweitern zw. Kürzen eines Bruchterms ändern. Wiederholung Bruchterme Addition und Sutrktion von Bruchtermen - wie ei Brüchen: Gleichnmige Bruchterme werden ddiert (sutrhiert), indem mn ihre Zähler ddiert (sutrhiert) und den gemeinsmen Nenner eiehält ID = IR \ {-} Ungleichnmige Bruchterme werden vorher gleichnmig gemcht. ( ) 9 ID = IR \ {0} Multipliktion und Division von Bruchtermen - wie ei Brüchen: Bruchterme werden miteinnder multipliziert, indem mn ds Produkt ihrer Zähler durch ds Produkt ihrer Nenner dividiert. (KÜRZEN!) ( ) ( ) ID = IR \ {0; -} Ein Bruchterm wird durch einen zweiten dividiert, indem mn den ersten Bruchterm mit dem Kehrruch des zweiten multipliziert : 6 6 ID = IR \ {-; } delt8 Seite 8-

4 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Gleichungen der Form ² + + c = 0 IR \ {0} ;, c IR 0,5² +,5 5 = 0 nennt mn qudrtische Gleichungen. Lösen von Gleichungen (III) Grphische Lösung: Mn knn die Lösungen der Gleichung ls Nullstellen des Funktionsgrphen von f() = 0,5² +,5 5 deuten. Im Der Grph der Funktion f() ht die eiden Nullstellen ( 5 0) und ( 0) und die Gleichung somit die Lösungsmenge IL = { 5; }. Qudrtische Gleichungen Rechnerische Lösung mit Linerfktoren: ( )( + 5) = 0 ergit usmultipliziert die Gleichung ² = 0. Bei der Linerfktorzerlegung links knn mn die Lösungen = und = 5 lesen! Somit knn mn oft Lösungen errten: Beispiele: ² + 0 = 0 ² 8 = 0 ² 9 = 0 ( 0)( ) = 0 ( 8) = 0 ( 7)( + 7) = 0 IL = {0; } IL = {0; 8} IL = { 7; 7} Rechnerische Lösung mit der Lösungsformel: Die Lösungsformel für eine qudrtische Gleichung ² + + c = 0 ( 0) lutet: / ² c G = IR Der Rdiknd ² c wird uch Diskriminnte D gennnt. Ist D < 0, so git es KEINE Lösung. Ist D = 0, so git es genu eine Lösung. Im Flle D > 0 eistieren zwei Lösungen. Beispiele: ² + 0 = 0 D = ( )² 0 = 80 = 6 > 0 lso git es zwei Lösungen! ( ) 6 8 (6 ) / 6 = 6 + = 0 und = 6 = lso IL = {0; } ² = 0 D = ( 0)² 75 = = 0 / lso git es genu eine Lösung! ( 0) lso IL = {5} 6 6 Die Gleichung ² + 7 = 0 ht wegen D = ² ( ) ( 7) = 9 56 = 7 < 0 keine Lösung, lso IL = {} delt9 Seite 70 ff

5 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Beispiele und hilfreiche Methoden: + = ( ) 7 Äquivlenzumformungen (Linere Gleichung) 7 = 6 Rdizieren 7 = zw. ² + = 6 Lösungsformel (Qudrtische Gleichung) 5 + = 0 usklmmern (hier ) Gleichungen, ei denen die Vrile nur im Eponenten uftritt, heißen Eponentilgleichungen. 7 ³ ( + ) = 0 =0, dnn / mit Lösungsformel = 0 Sustitution z:=² 8z 5z + = 0 dnn Lösungsformel z / (Rücksustitution nicht vergessen! gesucht!) ³ + ² = 0 Eine Lösung rten, dnn Polynomdivision ( Siehe Funktionen (IX) Nullstellen gnzrtionler Funktionen ) Lösen von Gleichungen (IV) Algerisch Gleichungen höheren Grdes delt0 Seite ff Lösen von Gleichungen (V) Beispiele: ) + = 5 Grphische Lösung:, Rechnerische Lösung: + = 5 = = log,6 ) = c) = = 0 ( 6 - ) = 8 + = log5 0 ( ) = 8 = log5 0 = 8 0,86 = Eponentilgleichungen d) 0, = 8 (eidseitig logrithmieren Bsis 0) log (0, ) = log (8 ) log 0,05 + log (5 + ) = log (8 ) log 0,05 + (+) log 5 = log 8 log 0,05 + log 5 + log 5 = log 8 log 5 log 8 = log 5 log 0,05 (log 5 log 8) = log 5 log 0,05 log 5 log 0,05 log 5 log 8 log 0,8 log 0,65 log 0,65 0,8 0,7 Rechenregeln für Logrithmus nwenden Rechenregeln für Logrithmus nwenden Ausmultiplizieren log( 5 : 0,05) 5 log 8 delt0 Seite 80 ff

6 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Eponentilgleichung der Form e = y ht die Lösung = In y. Folgende Zusmmenhänge sind häufig für ds Lösen von Gleichungen wichtig: Für lle > 0 gilt: e ln = Lösen von Gleichungen (VI) Für lle IR gilt: ln (e ) = Beispiele: ) e + = 0 ln ) e ² = 500 ln ln(e + ) = ln(0) ln (e ² ) = ln = ln 0 ² = ln 500 = ln 0,06 = ln 500, 797 c) e 5e + = 0 Sustitution: (e ) 5(e ) + = 0 e = z z 5z + = 0 Qudrtische Gleichung (Viet!) (z )(z ) = 0 z = oder z = Rück-Sustitution e = lso: = ln = 0 e = lso: = ln,86 d) ln = e e) ln ( + e) = e e ln = e + e = e = e = 0 zw. = 0 f) (ln )² ln = 0 Fktorisieren! (Viet) (ln )(ln + ) = 0 ln = lso: = e ln = lso: = e - Eponentilgleichungen Logrithmusgleichungen Lmcher Schweizer Seite 6 ff

7 Grundwissen Seite 7 von 6 Klsse M. Rpp 07 Zwei linere Gleichungen, die zwei Vrile I) y + = 9 enthlten, ilden ein lineres Gleichungssystem. II) y = - Zu jeder der eiden Gleichungen eistieren unendlich viele Lösungen. Sie lssen sich durch Punkte des Grphen der entsprechenden lineren Funktion vernschulichen. Linere Gleichungs- Systeme (I) I) y + = 9 g() = II) y = f()= Die Koordinten s =,5; y s =,5 des Schnittpunkts S (,5 l,5) der zugehörigen Gerden erfüllen ls einzige eide Gleichungen. Mit zwei Vrilen Sie ilden zusmmen die (einzige) Lösung des Gleichungssystems, dessen Lösungsmenge lso IL = {(,5,5)} ist. Ein lineres Gleichungssystem esitzt keine Lösung, genu eine Lösung oder unendlich viele Lösungen, je nchdem, o die zugehörigen Gerden zueinnder prllel sind, einnder schneiden oder zusmmenfllen. Die Lösung knn grphisch gefunden werden, indem mn die zugehörigen Gerden in ein Koordintensystem einträgt und die Koordinten ihres Schnittpunkts liest. Ds Gleichsetzungsverfhren:. Auflösen eider Gleichungen y nch derselen Vrilen und y. Gleichsetzen der eiden neuen rechten Seiten. Lösen der so erhltenen Gleichung, + 9 = 9 6 +, +6 die nur noch eine Vrile enthält 5 = 0 :0 =,5. Einsetzen der Lösung in eine der eiden Gleichungen und Ermitteln des Werts y =,5 =,5 der nderen Vrilen 5. Angeen der Lösungsmenge IL = {(,5,5)} delt8 Seite 7 ff

8 Grundwissen Seite 8 von 6 Klsse M. Rpp 07 Ds Einsetzungsverfhren:. Auflösen einer der Gleichungen y + = 9 nch einer der Vrilen y = Linere Gleichungs- Systeme (II). Einsetzen des gefundenen Terms ( ) + = 9 in die ndere Gleichung = = 9. Lösen der so erhltenen Gleichung, 0 = 5 die nur noch eine Vrile enthält =,5. Einsetzen der Lösung in eine der eiden Gleichungen y =,5 =,5 und Ermitteln des Werts der nderen Vrilen 5. Angeen der Lösungsmenge IL = {(,5,5)} Mit zwei Vrilen Ds Additionsverfhren: Unterscheiden sich ei einem Gleichungssystem die Koeffizienten einer Vrilen nur durch ds Vorzeichen, so ist es günstig, die eiden Gleichungen zu ddieren, d dnn eine der eiden Vrilen wegfällt". I + 7y = 5 In Gleichung I eingesetzt: II 5 7y = + 7y = 5 I + II 7 = l :7 7y = = y = IL = {( )} Verllgemeinerung (siehe unten): Wenn keine der eiden Vrilen sofort durch loßes Addieren wegfällt", muss mn eine der Gleichungen (oder eide Gleichungen) vor dem Addieren zunächst mit einem geeigneten Fktor (zw. mit geeigneten Fktoren) multiplizieren. Ntürlich führt jedes dieser drei Verfhren zur gleichen Lösungsmenge. I y = 5 In Gleichung II eingesetzt: II 5 7y = ( ) = 6 I 5 55y = = 6 II 5 y = 89 _ 5 = 5 I + II 76y = 0 l :( 76) = 7 y = IL = {(7 )} delt8 Seite 7 ff

9 Grundwissen Seite 9 von 6 Klsse M. Rpp 07 Ein lineres Gleichungssystem knn uch us drei lineren Gleichungen mit drei Vrilen (I) + y + z = estehen. (II) + y + z = (III) 5 + y z = 0 Ein lineres Gleichungssystem esitzt keine Lösung, genu eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Lösungsverfhren: Zuerst eliminiert mn us zwei Gleichungen eine der drei Uneknnten. Ds entstndene Gleichungssystem mit zwei Uneknnten ist dnn wie gewohnt zu lösen. Am Ende erechnet mn noch den Wert der dritten Uneknnten. z. B. mit dem Einsetzverfhren: us (II) folgt = y z Einsetzen in I) ergit ( y z) + y + z = 8y 8z + y + z = 5y 6z = 7 (I*) Einsetzen in III) ergit 5( y z) + y z = 0 0 0y 0z + y z = 0 7y z = 0 (III*),5 (I*) ergit 7,5y z =,5 (I**) (III*) (I**) 0,5y =,5 y = -9 (in I*) z = (in II) = (-9) () = IL = {(;-9;)} Aus I und III wird eliminiert Linere Gleichungs- Systeme (III) Mit drei Vrilen z. B. mit dem Additionsverfhren: I + III) + 9y = + y = Es werden zwei Gleichungen ohne z erzeugt II + III) + 6y = - (IV) (V) 6 (IV) - (V) = (I) y - z = (II) - + y + z = (III) - + y + z = 6 Es werden zwei Gleichungen ohne erzeugt (I)+(II) -y + z = (I)+(III) 0 = 8 IL = {} delt9 Seite 9 ff

10 Grundwissen Seite 0 von 6 Klsse M. Rpp 07 Der Zusmmenhng zwischen zwei Größen knn durch eine Zuordnung eschrieen werden: Git es dei zu jedem zulässigen Wert der ersten Größe genu einen Wert der ihr zugeordneten zweiten Größe, so nennt mn die Zuordnung eine Funktion f. Funktionen können z. B. durch Terme, durch Tellen oder durch Schuilder (Grphen) eschrieen werden. Häufig wird die erste Größe, die unhängige Vrile, mit ezeichnet. Die zweite Größe, die von hängige Vrile, ezeichnet mn ls Funktionswert von. Die Menge ller Werte von heißt Definitionsmenge D f, die Menge ller Funktionswerte heißt Wertemenge W f. Werte von, für die der Funktionswert 0 ist, heißen Nullstellen der Funktion. Zuordnungsvorschrift: Jeder rtionlen Zhl wird der um verminderte Wert ihres Qudrts zugeordnet. Funktionen (I) Fchegriffe Funktion f: f () = - Funktionsgleichung Funktionsterm 0 +0,5 + + y = f() - -,75-0 Definitionsmenge: Wertemenge: ID f = IR W f = [-; + [ Nullstellen: / = +, d f (+) = 0 ist. f: f() = m + t m, t IR ; ID f = IR Der Grph G f einer lineren Funktion ist eine Gerde g, die die y-achse im Punkt T( 0 t ) schneidet. Mn nennt t den y-achsenschnitt der Gerden g; m ist die Steigung der Gerden g. Für die Nullstelle X N von f gilt f( N) = 0. Mn spricht uch von der Gleichung der Gerden g und schreit g: y = m + t. Funktionsgrph Steigende Gerden m > 0 delt8 Seite 0 ff Funktionen (II) Linere Funktionen Verläuft die Gerde durch die Punkte P ( p l y p) und Q (X Q l y Q), X Q p, so gilt für die Gerdensteigung Fllende Gerden m < 0 yq yp m =. Q P Zur -Achse prllele Gerden m = 0 delt8 Seite 7 ff

11 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Wird dem Doppelten, dem Dreifchen, dem Vierfchen,... dem k-fchen (k IR ) einer Größe ds Doppelte, ds Dreifche, ds Vierfche,... ds k-fche einer Größe y zugeordnet, so sind und y zueinnder proportionle Größen. Bei dieser Zuordnung gilt y m mit festem m (m,, y 0); sie knn lso durch die Funktionsgleichung y = m eschrieen werden. Die Funktion f: f() = m ; m IR, ID f = IR heißt proportionle Funktion. Funktionen (III) Funktionen der direkten Proportionlität Der Grph einer proportionlen Funktion ist eine Gerde durch den Ursprung des Koordintensystems; dei ist m die Steigung dieser Gerden. Ds rechtwinklige Dreieck mit wgrechter Kthete der Länge LE und senkrechter Kthete der Länge m LE heißt Steigungsdreieck. delt8 Seite 8 ff Zwei Größen und y heißen zueinnder indirekt proportionl, wenn gilt: Verdoppelt, verdreifcht, vervierfcht..., hliert, drittelt... mn den Wert der einen Größe, so hliert, drittelt, viertelt..., verdoppelt, verdreifcht... sich der Wert der nderen Größe y. Funktionen (IV) Dem k-fchen von entspricht der k-te Teil von y und umgekehrt (k IR \ {0}). Ds Produkt y von zwei zueinnder indirekt proportionlen Größen ht stets den gleichen Wert: y = ; IR \ {0}, d. h. y =. Funktionen der indirekten Proportionlität Jede Funktion f: f() = IR \ {0} ; ID f = IR \ {0}, eschreit die indirekte Proportionlität der eiden von null verschiedenen Vrilen und y. Der zugehörige Funktionsgrph heißt Hyperel. Die -Achse ist eine wgrechte Asymptote, die y-achse eine senkrechte Asymptote des Funktionsgrphen. delt8 Seite ff

12 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Normlprel nennt mn den Grphen der qudrtischen Funktion f() = ². Funktionen (V) ID f = IR W f = IR + 0 Nullstelle N( 0 0 ) Tiefster Punkt: Scheitel S( 0 0 ) Verschieung der Normlprel in y-richtung in -Richtung Streckung / Spiegelung f() = ² + f() = ( + )² f() = ² Der Grph der qudrtischen Funktion f() = ² + + c heißt Prel. Dei gilt: ID f = IR ; IR \ {0} ;, c IR Der Grph ht einen Schnittpunkt mit der y-achse s y( 0 c ). Es git zwei, einen oder keinen Schnittpunkt(e) mit der -Achse (Nullstellen). Der tiefste / höchste Punkt der Prel heißt Scheitel(punkt). Der Grph ist symmetrisch zu einer Prllelen zur y-achse durch den Scheitel. Der Grph der Prel zur Funktionsgleichung f() = ² + + c ist für < nch unten geöffnet enger ls die Normlprel = nch unten geöffnet kongruent zur Normlprel < < 0 nch unten geöffnet weiter ls die Normlprel 0 < < nch oen geöffnet weiter ls die Normlprel = nch oen geöffnet kongruent zur Normlprel > nch oen geöffnet enger ls die Normlprel Qudrtische Funktionen Durch qudrtische Ergänzung knn mn jeden Funktionsterm einer Prel uf die Scheitelform f()= ( d)² + e ringen. Der Scheitel ist dnn S( d e ). f() = 0,5² 0,5 = 0,5 [ ² + (0,5)² (0,5)² ] Ausklmmern = 0,5 [ ( 0,5)² 0,5 ] = 0,5 ( 0,5)² 0,5 Binomische Formel = 0,5( 0,5)²,5 Somit: G f ist weiter ls die Normlprel und nch oen offen (=0,5)! Scheitel S( 0,5,5 ) S y( 0 ) ID f = IR und W f = [ ; [ Nullstellen: 0,5² 0,5 = 0 Mit Lösungsformel: N ( 0 ) und N ( 0 ) Qudrtisch ergänzen delt9 Seite 58 ff

13 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Ist der Funktionsterm ein Bruchterm, ei dem die Vrile mindestens im Nenner vorkommt, so spricht mn von einer gerochenrtionlen Funktion. Funktionen (VI) Die Definitionsmenge enthält diejenigen Werte der Vrilen, für die der Nenner nicht gleich null wird. Definitionslücken: Nullstellen des Nennerterms 5 g() ID g = IR \ {} Die Funktion g ht die Definitionslücke. g ht keine Nullstelle. Der Grph schneidet die y-achse im Punkt S( 0 -,5 ). Wgrechte Asymptote: y = 0 Senkrechte Asymptote: = Gerochenrtionle Funktionen Wertetelle: g() - -,5 -,67 -, ,5 0 0 f () ID f = IR ² Die Funktion f ht keine Definitionslücke. f ht die Nullstelle N( 0). Der Grph schneidet die y-achse im Punkt S( 0-5 ). Wgrechte Asymptote: y = 0 Senkrechte Asymptote: Keine delt8 Seite ff f() ,88

14 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Allgemein: Eine gerochenrtionle Funktion ht einen Funktionsterm der Form p() f (). Die Definitionslücken sind die Nullstellen von q(). q() Die Definitionslücken und die Nullstellen einer Funktion lssen sich nch dem Fktorisieren sofort erkennen. Funktionen (VI) (Fortsetzung) Gerochenrtionle Funktionen ² 6 ( )( ) f () ² 6 ( )( ) Nullstellen: = und = Definitionslücken: = und = Lmcher Schweizer Seite 8 Gilt n einer Definitionslücke 0 einer gerochen rtionlen Funktion () f ( oder () f ( und lim f lim ) 0 0 lim f lim () f () 0 0 oder lim f lim ) 0 0 lim f lim () f () 0 0, so liegt ei 0 eine so gennnte Polstelle von f vor. Die Gerde mit der Gleichung = 0 heißt senkrechte Asymptote des Grphen. Hier die vier Arten von Polstellen: (Im Beispiel mit senkrechter Asymptote = ) Lmcher Schweizer Seite 9 mit Vorzeichen- mit Vorzeichen- ohne Vorzeichen- ohne Vorzeichenwechsel ( nch +) wechsel (+ nch -) wechsel ( / ) wechsel (+ / +) lim f () lim f () lim f () lim f () lim f () lim f () lim f () lim f () Gilt n einer Definitionslücke 0 einer gerochen rtionlen Funktion lim f () lim f () und 0 0 lim f () lim f () 0 0 (kurz: lim f () ) so heißt 0 (e )here Definitionslücke. 0 Lmcher Schweizer Seite 0 ( )( ) f () ; f () ( ) lim ; Lücke ei ( )

15 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Weitere Arten von Asymptoten erhält mn für : Funktionen (VI) (Fortsetzung) Allgemein: p() Es sei f (), z sei der Grd von p, n der Grd von q. q() f () Zählergrd z = 5, Nennergrd n = ² 8. Fll: z < n Der Grph ht die -Achse ls wgrechte Asymptote. 8 f () 5 z =, n = Wgr. A.: y = 0. Fll: z = n Der Grph ht eine wgrechte Asymptote (nicht die -Achse). 6 f () Rest ³ 5 z =, n = Wgr. A.: y = Gerochenrtionle Funktionen Polynomdivision ergit: 6 6 f () ³ 5 ³ 5. Fll: z = n + Der Grph ht eine schräge Asymptote. 0 f () Rest ² z =, n = Schiefe A.: y = Polynomdivision ergit: f () 0 ² 0 ². Fll: z > n + Der Grph ht keine Asymptote (er esitzt eine symptotische Kurve ). 0,5 f () ² z =, n = y = 0,5²+,5 Polynomdivision ergit: f () 0,5²,5,5 ² - Lmcher Schweizer Seite f

16 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Potenzfunktion (n-ten Grdes) nennt mn Funktionen der Art f() = n, ihren Grphen nennt mn Prel (n-ter Ordnung; für n>). Funktionen (VII) IR \ {0} und n IN Bilder: = Oen: Eponent n ungerde ID f = IR W f = IR Punktsymmetrie zum Ursprung Punkte (- -), (0 0), ( ) Potenzfunktionen Unten: Eponent n gerde ID f = IR W f = IR + 0 Achsensymmetrie zur y-achse Punkte (- ), (0 0), ( ) Je größer der Eponent n wird, desto flcher verläuft der Grph im Ursprung. delt0 Seite f Funktionen der Form f : ( lr, p Z und q IN) heißen p q Potenzfunktionen mit rtionlen Eponenten. Insesondere heißt f : (Qudrt-) Wurzelfunktion. q p Eponent positiv Funktionen (VIII) Potenzfunktionen mit rtionlen Eponenten Die Funktion f : Umkehrfunktion f p q esitzt die : q p. Eponent negtiv Lmcher Schweizer Seite 9 ff

17 Grundwissen Seite 7 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Funktion f mit der Gleichung f() = n n + n- n n 0 nennt mn gnzrtionle Funktion ID f = IR (Polynomfunktion) n-ten Grdes. Die reellen Zhlen n, n-,,,, 0 heißen Koeffizienten des Polynoms f(). Funktionen (IX) Gnzrtionle Funktionen f() = ³ + ² S y ( 0 ) Nullstellensuche: f() = 0 für = (Rten!) Weitere Nullstellen: Polynomdivision mit ( ), dnn Lösungsformel mit dem Restpolynom: Nullstellen (³ + ² ) : ( ) = ² ² = 0 (³ ²) ² / (5² 5) = und = ( ) 0 N( 0 ), N( 0 ), N( 0 ) Weitere Beispiele: f() = 0,75 ( ) ( ) Die Funktion zweiten Grdes ht die eiden (einfchen) Nullstellen = und =, der Grph schneidet dort jeweils die -Achse, f() wechselt n diesen Stellen ds Vorzeichen. g() = ( 7)² Grd Eine (doppelte) Nullstelle / = 7, der Grph erührt dort die -Achse, es findet kein Vorzeichenwechsel sttt! h() = ( )³ Grd Eine (dreifche) Nullstelle // =, der Grph schneidet die -Achse, es findet ein Vorzeichenwechsel (von nch +) sttt! Allgemein: Bei einer k-fchen Nullstelle findet ein Vorzeichenwechsel sttt (Schnitt), wenn k ungerde ist! findet kein Vorzeichenwechsel sttt (Berührung), wenn k gerde ist! Verhlten im Unendlichen Ds Verhlten einer Polynomfunktion für etrgsgroße Werte von ist der Summnd n n verntwortlich: f() = ³ + ² g() = Für gilt f() und für - gilt f() -. Für gilt g() - und für - gilt g() -. delt0 Seite 8 ff

18 Grundwissen Seite 8 von 6 Klsse M. Rpp 07 Funktionen (IX) Eine Funktion ist chsensymmetrisch zur y-achse, wenn gilt f(-) = f() (für lle D f ) (Bei Polynomfunktionen: nur gerde Eponenten) Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt f(-) = -f(). (für lle D f ) (Bei Polynomfunktionen: nur ungerde Eponenten) (Fortsetzung) Gnzrtionle Funktionen Symmetrie delt0 Seite 8 ff Sinusfunktion: y = sin ID f = IR W f = [ - ; + ] Periodenlänge Nullstellen ei k = k (k Z ) Kosinusfunktion: y = cos ID f = IR W f = [ - ; + ] Periodenlänge Nullstellen ei k = (k+) (k Z ) -Achse: Winkel im Bogenmß! Die llgemeine Sinus-/Kosinusfunktion: f() = sin[ ( + c)] + d zw. f() = cos[ ( + c)] + d Funktionen (X) Sinusfunktion, Kosinusfunktion Die Periodenlänge ist nun 0, 0 y = cos + d y = cos y = cos (+c) y = cos ( ) Verschieung um Streckung um Verschieung um Streckung um d in y-richtung in y-richtung -c in -Richtung / in -Richtung Anlog: Die llgemeine Sinusfunktion. delt0 Seite 0 ff

19 Grundwissen Seite 9 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Funktion f mit der Gleichung f() = nennt mn Eponentilfunktion. Funktionen (XI) IR + \ {} ID f = IR W f = IR + Es gilt: S y(0 ) Für > werden die Funktionswerte für immer größer. Für 0<< werden die Funktionswerte für immer kleiner. Die Grphen hen keine Nullstellen, die -Achse ist eine wgrechte Asymptote. Die Grphen von f() = und g()= ( ) sind zueinnder chsensymmetrisch. Eponentilfunktionen delt0 Seite 66 ff Bei der ntürlichen Eponentilfunktion f : e ist die Euler'sche Zhl e =, die Bsis. Es gilt: f() e und F() e ist eine Stmmfunktion von f. Die ntürliche Logrithmusfunktion (für IR + ) ist die Umkehrfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion. Die Euler'sche Zhl e ist die Bsis des ntürlichen Logrithmus: In = log e Es gilt: f () und F() ln ist Stmmfunktion von f : ln f (). f : ( IR) ist drstellr ls Eponentil funktion mit der Bsis e: f() = e ln Funktionen (XII) Eponentilund Logrithmusfunktionen Allgemeine Eponentilund Logrithmusfunktionen g : log knn mn mithilfe der ntürlichen Logrithmusfunktion schreien: ln g() ln Wichtige Grenzwerte: lim e 0 r Für r>0 gilt: lim 0 e lim ( r ln ) 0 0 lim e lim (e 0 ln lim 0 r r ) Wichtige Grenzwerte Lmcher Schweizer Seite 5 ff

20 Grundwissen Seite 0 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Funktion f: f () mit der Definitionsmenge D f und der Wertemenge W f heißt umkehrr, flls es zu jedem y W f genu ein D f mit f () = y git. Ist eine Funktion f umkehrr, so ist die umgekehrte Zuordnung eine Funktion. Diese heißt Umkehrfunktion von f und wird mit f - ezeichnet. Funktionen (XIII) Kriterium für die Umkehrrkeit: Ist eine Funktion f streng monoton, so ist sie umkehrr. Insesondere ist jede differenzierre Funktion f, für die f'() > 0 für lle in einem Intervll (zw. f'() < 0 für lle in einem Intervll), in diesem Intervll umkehrr. Die Grphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinnder symmetrisch zgl. der Winkelhlierenden des l. und III. Qudrnten. Es gilt: D f- = W f und W f- = D f Wie estimmt mn den Funktionsterms f - ()?. Auflösen der Funktionsgleichung y = f () nch. Vrilentusch y, woei nun y = f - () Umkehrrkeit, Umkehrfunktion f() = ( )² + = ² ist in D f = ] ; [ umkehrr, denn f () = 6 > 0 für > (f ist streng monoton steigend) f () y = ( )² + y = ( )² y y f () ; D f- = W f = ] ; [ Lmcher Schweizer Seite 0 ff Für zwei Funktionen v: v() und u: u() f() = u(v()) = 5(² 7) heißt die Funktion u v: u(v()) Verkettung oder v() = ² 7 Hintereinnderusführung der Funktionen u und v. innere Funktion u() = 5 v heißt innere und u äußere Funktion. äußere Funktion Es gilt im Allgemeinen: u v v u. Umgekehrt: Funktionen (XIV) Verkettung von Funktionen Umgekehrt lässt sich oft eine komplizierte Funktion f ls Verkettung von einfcheren Funktionen u und v drstellen mit f = u v (Zerlegung einer Verkettung). g() = v(u()) = (5 )² 7 = Lmcher Schweizer Seite ff

21 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Enthält ein Funktionsterm ußer der Vrilen noch eine weitere (von unhängige) Vrile, so gehört zu jedem möglichen Wert von eine Funktion f : f (). Die Vrile nennt mn Prmeter. Die Menge dieser Funktionen ezeichnet mn ls Funktionenschr. () f ² () t sin() g t Funktionen (XV) Funktionen mit Prmetern Lmcher Schweizer Seite 08 ff Um eine Funktion f zu estimmen, Gesucht: Gnzrtionle die vorgegeene Eigenschften ht, z.b. Funktion dritten Grdes - Punkte uf dem Grphen, mit TIP(0 5) durch ( 7) - Etremstellen oder die Steigung und der Steigung 8 n der des Grphen n einer Stelle, Stelle = - Nullstellen oder Polstellen, Anstz: sind diese Eigenschften (Bedingungen) mit- f() = ³ + ² + c + d hilfe von f oder f ls Gleichungen zu formulieren f () = ² + + c und ds Gleichungssystem zu lösen. f(0) = 5 d = 5 Die nötige Anzhl von Gleichungen wird durch die f (0) = 0 c = 0 Zhl der Prmeter im Funktionsterm estimmt. f ( ) = = 7 Die Berücksichtigung von esonderen zw. + = Eigenschften, wie z. B. f ( ) = 8 - Symmetrie des Grphen, = 8 - Eistenz einer wgrechten Asymptote, knn gegeenenflls den Anstz für den = Funktionsterm vereinfchen, insesondere, = wenn in relen Situtionen ds Koordinten- Also: system geeignet gewählt wird. f() = ³ + ² + 5 Funktionen (XVI) Vorgehen ei einer Funktionsestimmung Lmcher Schweizer Seite ff ) Dten in ein Koordintensystem eintrgen. ) Mithilfe von Prmetern Gleichung einer Funktion ufstellen, deren Grph näherungsweise durch die gegeenen Punkte gehen soll. ) Je nch Zhl der Prmeter die Koordinten einer entsprechenden Zhl von Punkten in die Anstz: Funktionsgleichung einsetzen und ds ent- f() =²++c stndene Gleichungssystem lösen. f() =, ++c =, f() = 0,7 ++c = 0,7 ) Mithilfe der Koordinten weiterer Punkte f() =, 9++c=, die Bruchrkeit der gefundenen Funktion üerprüfen. f() =,², + 0,7 Funktionen (XVII) Vorgehen ei einer Funktionsnpssung Lmcher Schweizer Seite 5 ff

22 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 f () f () Ist die Funktion f uf dem Intervll [;] definiert, so heißt der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrte von f im Intervll [ ; ]. f () f () Anschulich entspricht m der Steigung der Seknte durch die Grphenpunkte P( f() ) und Q( f() ). f() = 0,5² Mittlere Änderungsrte im Intervll [; 6]: (Punkte P und Q) f (6) f () 0 0 m 6 6 Differentilrechnung (I) Differenzenquotient ( Mittlere Änderungsrte ) Lmcher Schweizer Seite 8 ff Wenn für eine Funktion f n der Stelle 0 der Grenzwert f () f ( 0) lim der mittleren Änderungsrte eistiert, dnn heißt er 0 0 Differentilquotient oder lokle (momentne) Änderungsrte von f n der Stelle 0 und wird meist mit m 0 ezeichnet. Die Gerde durch den Punkt P 0( 0 f( 0) ) mit der Steigung Tngente n den Grphen in P 0. Die Tngentensteigung Grphen im Punkt P 0( 0 f( 0) ) ezeichnet. m 0 heißt m 0 wird ls Steigung des Differentilquotient Im f() = 0,5² (Bild siehe oen) Lokle Änderungsrte n der Stelle 0= : P 0( 7,5 ) m f () f ( ) ( ) 0,5² 7,5 lim lim 0,5( )( 5) lim lim lim 0,5( ² 5) 0,5( 5) 0,5( 5) Tngentensteigung im Punkt P 0: m = Oder: Der Grph G f ht im Punkt P 0 die Steigung m = Lmcher Schweizer Seite ff

23 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Wenn eine Funktion f n der Stelle 0 den Differentilquotienten zw. f () f ( 0) die lokle (momentne) Änderungsrte m esitzt, 0 lim 0 0 so heißt f n der Stelle 0 differenzierr. Mn nennt den Grenzwert m 0 die Aleitung von f n der Stelle 0 und schreit dfür f '( 0). Die Aleitung f '( 0) ist lso gleich der loklen (momentnen) Änderungsrte m. 0 Differentilrechnung (II) Differenzierrkeit Ist eine Funktion f für lle Werte 0 us einem Intervll I differenzierr, so nennt mn f eine uf I differenzierre Funktion. Zu einer Funktion f heißt die Funktion f: f () die Aleitungsfunktion oder kurz die Aleitung von f. Eine Funktion F heißt eine Stmmfunktion der Funktion f, wenn im gemeinsmen Definitionsereich gilt: F'() = f () Jede gnzrtionle Funktion f vom Grd n ist differenzierr und ihre Aleitung ist eine gnzrtionle Funktion vom Grd n. Funktion: f () = ³ ² + Aleitung: f () = ² 6 Stmmfunktion: F() = 0.5 ³ + Die Funktion f ist für lle IR differenzierr. Die Funktion h ist für = 5 und = 8 nicht differenzierr. Lmcher Schweizer Seite 6 ff Differentilrechnung (III) Aleitungsfunktion, Stmmfunktion Lmcher Schweizer Seite 0 ff Potenzfunktionen: f () = n f ' () = n n- (n Z) Summenregel: f () = g() + h() f ' () = g'() + h'() Fktorregel: f () = c g() f ' () = c g'() (c lr) Produktregel: f () = u() v() f ' () = u'() v() + u() v'() u() u() v() u() v () Quotientenregel: f () f () v() [v()]² Beispiele: f() = f ' () = = f () = 5 6 = 0 9 f ' () = = = = 90 8 f () [5 ]² 0 f() Differentilrechnung (IV) Aleitungsregeln Lmcher Schweizer Seite 7 ff

24 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Einen Funktion f heißt streng monoton zunehmend in einem Intervll J des Definitionsereichs, wenn für lle, us J mit < gilt: f ( ) < f ( ) Differentilrechnung (V) Einen Funktion f heißt streng monoton nehmend in einem Intervll J des Definitionsereichs, wenn für lle, us J mit < gilt: f ( ) > f ( ) Gilt: f ( ) < f ( ), so heißt f monoton zunehmend in J, f ( ) > f ( ), so heißt f monoton nehmend in J. Monotoniekriterium: Die Funktion f sei im Intervll J differenzierr. Wenn für lle J gilt f '() > 0, dnn ist f streng monoton zunehmend in J, f '() < 0, dnn ist f streng monoton nehmend in J. f () 6 8, f () ( 6) f ist streng monoton nehmend im Intervll ]- ; -6] streng monoton zunehmend im Intervll ]-6; + ] f () = 0 für =-6 und =0 Monotonie Lmcher Schweizer Seite 6 ff Wenn es eine Umgeung U ( 0) git, so dss für lle Werte U ( 0) us dem Definitionsereich gilt f () < f ( 0), dnn heißt der Funktionswert f ( 0) lokles Mimum, f () > f ( 0), dnn heißt der Funktionswert f ( 0) lokles Minimum von f. Ist der Funktionswert f ( 0) ein Mimum oder ein Minimum, nennt mn ihn uch Etremwert und X 0 eine Etremstelle. Der Punkt P( 0 f( 0)) des zu f gehörenden Grphen heißt Etrempunkt. Im Flle des Mimums heißt P Hochpunkt, im Flle des Minimums heißt P Tiefpunkt. Bedingung für Etremwerte: Die Funktion f sei uf einem Intervll J = ]; [ differenzierr und 0 eine innere Stelle von J, d.h. 0 ]; [. Wenn f '( 0) = 0 ist und f ei 0 einen Vorzeichenwechsel von + nch - ht, dnn ht die Funktion f ein lokles Mimum n der Stelle 0. Wenn f '( 0) = 0 ist und f ei 0 einen Vorzeichenwechsel von - nch + ht, dnn ht die Funktion f ein lokles Minimum n der Stelle 0. f () f <0 0 f >0 0 f >0 6 8 G f Also: Lokles (und gloles) Minimum ei (-6-6,75) und ein Terrssenpunkt ei (0 0) Differentilrechnung (VI) Etremwerte Lmcher Schweizer Seite 68 ff

25 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Mn knn eine Funktion unter den folgenden Aspekten untersuchen: () 9 f Differentilrechnung (VII) Definitionsmenge D f = IR \ {-; + } Symmetrie Achsensym. Schnittpunkte mit den Achsen S y(0 ) = HOP (Nullstellen / y-achsenschnitt) N(+,6 0) Verhlten n den Definitionslücken Verhlten im Unendlichen (Asymptoten) Monotonie und Etremwerte Grph Funktionsuntersuchungen Lmcher Schweizer Seite 7 ff Ht die differenzierre Funktion f eine Nullstelle N, so knn diese näherungsweise mit dem Newton-Verfhren ermittelt werden. Ist 0 ein sinnvoll gewählter Näherungswert für die Nullstelle N so knn mn 0 sukzessive veressern durch folgende Itertionsvorschrift: f ( n ) n n f ( ) f() = 0.5 ³ - + f () =.5 ² - 0 = - f( ),5,609 f ( ),5 n Differentilrechnung (VIII) Newtonverfhren Lmcher Schweizer Seite 8 ff Aleitung von verketteten Funktionen (Kettenregel) Ist f = u v eine Verkettung zweier differenzierrer Funktionen u und v, so ist uch f differenzierr, und es gilt für f() = (u v)() = u(v()): f'() = (u v)'() = u'(v()) v'() Beispiele: f() = 5(² 7) f ' () = 5 (² 7) (6) v() = ² 7 innere Funktion Nchdifferenzieren u() = 5 äußere Funktion Differentilrechnung (IX) Aleitung von verketteten Funktionen g() = 6 5 = (6³ 5) 0,5 g '() = 0,5(6³ 5) -0,5 (8² 5) v() = 6³ 5 innere Funktion u() = äußere Funktion Lmcher Schweizer Seite 6 ff

26 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Für die Aleitungen der trigonometrischen Funktionen gilt: f () = sin f ' () = cos f () = cos f ' () = sin Beispiele: f() = ² + 5 cos f ' () = 5 sin f() = (sin )³ f ' () = (sin )² cos f() = ³ sin f ' () = ² sin + ³ cos Für Potenzfunktionen gilt ( lr, p Z und q IN): Beispiele: f : p q q p f () f () 6 6 f : f () f () 6 Eponentilfunktion: f () e f () e Logrithmusfunktion: f () ln f () v() () Die Funktion f : e ht die Aleitung f () e v (). Die Funktion f : ln v() ht die Aleitung f () v () v() p q p q,5,5 ln ln ln Allg. Eponentilfunktion: f () e e f () e ln ln ln Allg. Logrithmusfunktion: f () log f () ln ln Beispiele: f () e f () e 7 e f () 5 f () ln 55 f () ln( 6) f () ( > -) 6. Beschreien der Größe, die etreml werden Bestimme die soll, durch einen Term, der mehrere Vrilen Zhlen und mit + = 60 enthlten knn. und dem größten Produktwert.. Gegeenen Neenedingungen formulieren. P =. Die Zielfunktion estimmen. P() = (60 ) = ² + 60 (Sie hängt nur noch von einer Vrilen.). Untersuchen der Zielfunktion uf Etremwerte. P () = + 60 Ergenis formulieren. (Rndwerte erücksichtigen!) P () = 0 = 0 = Die Zielfunktion knn durch geschickte Whl der Vrilen und die geeignete Verwendung von Neenedingungen entscheidend vereinfcht werden. Differentilrechnung (X) Aleitung von trigonometr. Funktionen Lmcher Schweizer Seite 6ff Differentilrechnung (XI) Aleitung von Potenzfunktionen Lmcher Schweizer Seite 9 ff Differentilrechnung (XII) Aleitungen von Eponentilund Logrithmusfunktionen Lmcher Schweizer Seite 5 ff Differentilrechnung (XIII) Vorgehen eim Lösen von Etremwertprolemen Lmcher Schweizer Seite 0 ff

27 Grundwissen Seite 7 von 6 Klsse M. Rpp 07 Ist die Aleitung f einer Funktion f differenzierr, so erhält mn durch Aleiten von f ' die zweite Aleitung f ". Anlog können uch höhere Aleitungen definiert werden. Beispiele: f () = 6 + sin f '() = cos g( ) 5 (5 ) ( ) ( ) 7 g ( ) (5 )² (5 )² (5 ) 0 7(5 ) ( ) f '' () = 90 sin g ( ) (5 ) (5 ) f ''' () = 60 cos Differentilrechnung (XIV) Die zweite Aleitung Lmcher Schweizer Seite ff Krümmungsverhlten eines Grphen: Bewegt mn sich uf dem Grphen einer Funktion f in positiver -Richtung und eschreit mn dei eine Linkskurve (Rechtskurve), so heißt der Grph in diesem Bereich linksgekrümmt (rechtsgekrümmt). Differentilrechnung (XV) f () = Kriterien für ds Krümmungsverhlten Kriterium mithilfe der ersten Aleitung: f '() = 6 Für eine differenzierre Funktion f gilt: Für < 0 ist f '() str. m. Krümmungsverhlten Wenn f ' in einem Intervll I streng monoton nehmend ist, dnn ist der Grph von f dort rechtsgekrümmt. Wenn f ' in einem Intervll I streng monoton zunehmend ist, dnn ist der Grph von f dort linksgekrümmt. nehmend, lso ist Gf rechtsgekrümmt! Für > 0 ist f '() str. m. zunehmend, lso ist Gf linksgekrümmt! Kriterium mithilfe der zweiten Aleitung: Für eine zweiml differenzierre Funktion f gilt: Wenn f "() < 0 in I ist, dnn ist der Grph von f dort rechtsgekrümmt. Wenn f "() > 0 in I ist, dnn ist der Grph von f dort linksgekrümmt. f ''() = Für < 0 ist f ''() < 0 lso ist Gf rechtsgekrümmt! Für > 0 ist f ''() > 0 lso ist Gf linksgekrümmt! Lmcher Schweizer Seite 6 ff

28 Grundwissen Seite 8 von 6 Klsse M. Rpp 07 Die Funktion f sei in einem Intervll I differenzierr. Eine Stelle 0 I ei der der Grph von f von einer g () = 0,5⁴ + ³ + Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung (oder g' () = ³ + ² umgekehrt) üergeht, heißt Wendestelle von f. g'' () = 6² + 6 Der zugehörige Punkt W( 0 f ( 0) ) heißt Wendepunkt. = 6( ) Differentilrechnung (XVI) Kriterium für eine Wendestelle: Die Funktion f sei in einem Intervll I zweiml differenzierr und 0 I. Wenn f "( 0) = 0 und f " ei 0 einen Vorzeichenwechsel ht, dnn ht die Funktion f n der Stelle 0 eine Wendestelle. Wendepunkte Die Tngente im Wendepunkt heißt Wendetngente und schneidet den g'' () = 0 für = 0 und 0 = Grphen von f. mit Vorzeichenwechsel -/+ zw. +/- Ein Wendepunkt mit wgrechter Wendepunkt W ( 0 ) = Terrssenpunkt Tngente ist ein Terrssenpunkt. Wendepunkt W (,5 ) Tngenten: g '(0) = 0 und g '() = t : y = und t : y = +,5 Lmcher Schweizer Seite 50 ff Die Funktion f sei in einem Intervll I zweiml differenzierr und 0 I. f () = f () = 6² Wenn f '( 0) = 0 und f "( 0) > 0 ist, dnn ht f n der Stelle 0 ein /= 0, 58 lokles Minimum. f () = Differentilrechnung (XVII) Kriterium für die Art der Etrem Wenn f '( 0) = 0 und f "(X 0) < 0 ist, dnn ht f n der Stelle X 0 ein lokles Mimum. f (-0,58) < 0 lso E (-0,58 0,77) = MAX f (+0,58) > 0 lso E (0,58-0,77) = MIN Lmcher Schweizer Seite 50 ff

29 Grundwissen Seite 9 von 6 Klsse M. Rpp 07 Für eine uf [ ; ] definierte Funktion f ist ds Integrl von f zwischen den Grenzen und der gemeinsme Grenzwert von Untersumme U n und Oersumme O n: n Integrlrechnung (I) Ds Integrl f ( ) d lim n U n lim n O n Lmcher Schweizer Seite ff Gegeen sei die Funktion f in D f. Die Funktion heißt Integrlfunktion von f zur unteren Grenze. Beispiele: f() = ² I ) t² I : f ( t) dt für D f ( dt Integrlfunktion zu f(t) = t² zur unteren Grenze - I ( ) t² dt Integrlfunktion zu f(t) = t² zur unteren Grenze Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI) Die Integrlfunktion I : f ( t) dt I ( ) ist eine Stmmfunktion von f; t² dt ³ d.h. es gilt: ( ) f ( ) I' () = ² I Ist F eine elieige Stmmfunktion f() = ³ von f im Intervll [ ; ], dnn gilt: Bel. Stmmfkt.: F() = 0,5 ² f ( ) d F( ) F( ) Dnn gilt: Ist die lokle Änderungsrte einer Größe G durch eine Funktion m im Intervll [t ; t ] gegeen, dnn knn mn die Gesmtänderung G(t ) - G(t ) der Größe in diesem Intervll mit einem Integrl estimmen: G ( t ) G( t ) m( t) dt t t Momentngeschwindigkeit eines fllenden Körpers: v(t) = 9,8 t Berechnung der Fllhöhe h (in m) nch t = (in s): 9,8 t dt 9,8 t² 9,6 0 0 ³ d F() F(),5 (,75) Integrlrechnung (II) Integrlfunktion Lmcher Schweizer Seite 6 ff Integrlrechnung (III) HDI Lmcher Schweizer Seite ff Integrlrechnung (IV) Berechnung von Integrlen Lmcher Schweizer Seite ff Integrlrechnung (V) Integrl und Gesmtänderung einer Größe Lmcher Schweizer Seite 8 ff

30 Grundwissen Seite 0 von 6 Klsse M. Rpp 07 Flächen zwischen dem Grphen einer Funktion f f() = 0,05(³ 6) und der -Achse üer dem Intervll [ ; ]: Integrlrechnung (VI) Es gilt für Flächen oerhl der -Achse: A f ( ) d ( f ( ) 0 uf [ ; ]) und unterhl der -Achse: A f ( ) d ( f ( ) 0 uf [ ; ]) Im Beispiel oen gilt: A f ( ) d [0,05( 8 )] 0,05( 8) 0,05( ( ) 8( ) ) 0,8875 (,),55 Und: A f ( ) d [ F( )], (,) 7,8 7, 8 Berechnung von Flächeninhlten Flächen zwischen den Grphen zweier Funktionen f und g, die sich im Intervll [; ] nicht schneiden, und den Grenzen = und = : A f ( ) g( ) d f() = ² und g() = + A f ( ) g( ) d ² d [ ] 5 ( ) 6 6 Flls sich die Grphen von f und g in [; ] schneiden, sind jeweils die Inhlte der Teilflächen zwischen zwei ufeinnder folgenden Schnittstellen zu erechnen und die Werte zu ddieren. Im Schnittpunkt erechnen: ² = + zw. ² = 0 Lösungsformel:, ( und,), 0 Somit: A f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d... 0,99,,, Lmcher Schweizer Seite ff

31 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Kommuttivgesetz: Der Wert einer Summe (eines Produkts) ändert sich nicht, wenn mn die Summnden (Fktoren) vertuscht. Assozitivgesetz: Der Wert einer Summe (eines Produkts) ändert sich nicht, wenn mn Summnden (Fktoren) mit Klmmern zusmmenfsst oder vorhndene Klmmern weglässt. + = + = + ( + c ) = ( + ) + c ( c ) = ( ) c Rechengesetze RECHENARTEN delt5 delt6 Distriutivgesetz: ( + c ) = + c ( + c ) : = : + c : ( 0) Zhlen mit sehr großem zw. mit sehr kleinem Betrg knn mn mithilfe von Zehnerpotenzen üersichtlich drstellen: Beispiele: = 8, = 8,7 0 7 Komm um 7 Stellen nch links 0,0005 =,5 0,000 =,5 0 - Komm um Stellen nch rechts Allg.: 0 +n Für gilt < < 0. Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Bsis = + zw. : = - IR \ {0} und, Z Wissenschftliche Schreiweise Gleitkommdrstellung" RECHENARTEN delt8 Seite Potenzgesetze für gnzzhlige Eponenten Beispiele: = + = 6 = : 7 - = 7 -(-) = 7 5 = 6807 Potenzieren einer Potenz ( ) = IR \ {0} und, Z RECHENARTEN Beispiele: ( ) = 8 = 6556 ( - ) - = = 8 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichem Eponenten y = (y) zw. : y = ( ), y IR \ {0} und, Z y Beispiele: 5 5 = ( ) 5 = 6 5 = : - = (:) - = - = 0,5 delt8 Seite Die nichtnegtive reelle Zhl, deren n-te Potenz ist, nennt mn die n-te Wurzel us. Schreiweise: n Allgemeine Wurzel Es gilt lso: IR + 0 n n n 0 und und n n I N \ {} Bezeichnungen: Der Term unter der Wurzel heißt Rdiknd. n heißt Wurzeleponent. (Der Wurzeleponent wird meistens weggelssen!) n Beispiele: 8 (weil ³ = 8) 5 5 (weil 5³ = 5) RECHENARTEN delt9 Seite 0 ff

32 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Allgemeine Wurzeln lssen sich uch ls Potenzen drstellen: n n m n m n und Dei gilt: IR + 0, n I N \ {}, m Z Beispiele: , ( ) 8 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Bsis p q p q ( ) IR + und, Z und p,q I N 9 Potenzieren einer Potenz p q Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichem Eponenten p p p p p y y zw. : y : yp,y IR + und Z und p I N 7 0 0,7 0, Beispiele: , :0 0 :05, p q Potenzen mit rtionlen Eponenten RECHENARTEN delt9 Seite ff Potenzgesetze für rtionle Eponenten RECHENARTEN delt9 Seite ff Bei einem lineren Wchstum ist der Zuwchs pro Zeiteinheit konstnt. Gleichung: y = + ist der (Anfngs-)Bestnd für = 0. = 0,5 und = Wchstum (I) RECHENARTEN delt0 Seite 60 ff Bei eponentiellem Wchstum ist der Zuwchs immer direkt proportionl zum ktuellen Bestnd. Gleichung: y = Für > heißt der Wchstumsfktor, ist <, dnn wird Anhmefktor oder Zerfllskonstnte gennnt. Die Zeitspnne, in der der Bestnd jeweils hliert wird, heißt Hlwertszeit. log 0,5 t H log 0,5 ( 0 < < ) log =,5 und = Wchstum (II) RECHENARTEN delt0 Seite 60 ff

33 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Eponentielle Wchstumsprozesse Jeder Wchstumsprozess, ei dem der Bestnd je Zeiteinheit um einen konstnten Fktor zunimmt, knn durch eine Eponentilfunktion f eschrieen werden. Der Funktionsterm knn die Form f(t) = c t oder f(t) = c e kt hen und dmit gilt dnn k = ln. Dei ist: c der Bestnd zum Zeitpunkt t = 0 f (t) der Bestnd zum Zeitpunkt t Bkterien: c = 5000 f die Wchstumsfunktion Anzhl wächst um 0% / h > 0 nennt mn den Wchstumsfktor, =, - die reltive (prozentule) Änderung = 0, = 0% / h pro Zeiteinheit und k die Wchstumskonstnte. k = ln, 0,6 Verdoppelungs- und Hlwertszeit Wird ein eponentieller Wchstumsprozess durch f(t)=5000, t eine Funktion f(t) = c t eschrieen, so erhält mn f(t)=5000 e 0,6t ln für k > 0 die Verdopplungszeit T D = zw. k ln für k < 0 die Hlwertszeit T H =. T D = k ln ln,,6 Wchstum (III) RECHENARTEN Lmcher Schweizer Seite 56 ff Lmcher Schweizer Seite 60 ff Die Gleichung = p ht die Lösung = log p, p IR + \ {} ( Logrithmus von p zur Bsis ) Beispiele: = 8 = 5 5 = 65 = log 8 = = log 5 = log 5 65 = log p ist diejenige Zhl, mit der mn die Bsis potenzieren muss, um p zu erhlten. Ds Logrithmieren zur Bsis ist eine z.b. =: 9 Umkehrung des Potenzierens der Bsis. log 9 Allgemein: log y log ( ) und y mit IR, y IR + Sonderfälle: log 0 und log und IR + \ {} Schreiweise: log log log log 0 log lg (pq) log p log q (Logrithmus eines Produkts) p ( ) log p log q (Logrithmus eines Quotienten) q r (p ) r log p (Logrithmus einer Potenz) log p log p (Bsiswechsel) log Dei:, IR + \ {} und p, q IR + und r IR Logrithmus RECHENARTEN delt0 Seite 70 ff Rechenregeln für den Logrithmus RECHENARTEN delt0 Seite 7 ff

34 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Telle Schüler Hns Gregor Otto Lur Lucs Stimmen Anteil (%) 6,5%,5%,88% 5%,5%,% Tellen und Digrmme Säulendigrmm Klssensprecherwhl 6e Bilddigrmm Hns Gregor Otto Lur Lucs 0 Hns Gregor Sophie Otto Lur Lucs delt5 Seite Blockdigrmm (Streifendigrmm) Kreisdigrmm delt6 Seite Vorgänge, deren Ergenis zufällig, d.h. nicht vorussgr ist, nennen wir Zufllseperimente. Beispiele: Werfen einer Münze ; Ziehen von Kugel (Lottozhlen) ; Glücksrd drehen ; Spielwürfel werfen Ein Spielwürfel wird 5-ml geworfen: Treffer (T) wäre z.b. eine Sechs, eine Niete (N) wäre dnn eine,,, oder 5. Ergenisse: Strichliste Telle Augenzhl Anzhl Augenzhl Anzhl 6 6 keine 6 keine 6 Zufllseperimente delt6 Seite 6 Alle möglichen Ergenisse eines Zufllseperiments fsst mn zu einer Ergenismenge (mn spricht uch von einem Ergenisrum) zusmmen. Diese wird häufig mit dem Buchsten ezeichnet. Strt Geschwisterfolge ei zwei Kindern (Junge/Mädchen) Mögliche Ergenisse: JJ; JM; MJ; MM Ergenismenge = {JJ; JM; MJ; MM} J M Die möglichen Ergenisse eines Zufllseperiments lssen sich durch ein Bumdigrmm üersichtlich drstellen. Ein Zufllseperiment nennt mn einstufig oder mehrstufig, je nchdem, o mn es in einem oder mehreren Schritten durchführt. J M J M Ergenismenge delt8 Seite 9 ff delt9 Seite ff

35 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Werden estimmte Ergenisse eines Zufllseperiments zusmmengefsst, so erhält mn ein Ereignis. Beispiele: Eperiment: Werfen eines Würfels Ereignis E : Werfen einer gerden Augennzhl Die Ergenisse, die zu diesem Ereignis gehören, heißen günstige Ergenisse. Die Augennzhlen und und 6. E = { ; ; 6} Ein Ereignis, für ds lle möglichen Ergenisse eines Zufllseperiments günstig sind, heißt sicheres Ereignis. E : Werfen einer ntürlichen Zhl E = { ; ; ; ; 5; 6} = Ereignisse Ein Ereignis, ds ei diesem E : Werfen der Zhl -5 Zufllseperiment nicht eintreten knn, E = { } = Ø heißt unmögliches Ereignis. Alle für ein Ereignis E ungünstigen Gegenereignis zu E Ergenisse ilden zusmmen dessen E : Werfen einer ungerden Gegenereignis E. Ereignisse werden häufig in Mengenform ngegeen. Gegenereignis von A: Ereignis A und Ereignis B: A \ A A B Augennzhl E = { ; ; 5} delt8 Seite 9 ff Zusmmengesetzte Ereignisse Ereignis A oder Ereignis B: Ereignis A ohne Ereignis B (Ereignis A und nicht Ereignis B): A B A \ B A B Lmcher Schweizer Seite 77 ff Weder Ereignis A noch Ereignis B: A B A B Gesetze von de Morgn Nicht eide Ereignisse A und B gleichzeitig: A B A B Lmcher Schweizer Seite 78 ff

36 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Ein Spielwürfel wird n-ml (z.b. 5-ml) geworfen und es erscheint dei k-ml (z.b. -ml) die Augenzhl 6. Asolute Häufigkeit der Sechser : (Anzhl der Sechser ) Reltive Häufigkeit der Sechser : 6 6% 5 00 (Anteil der Sechser ) Allgemein: Reltive Häufigkeit k "Anzhl, wie oft ein estimmtes Ergenis eingetreten ist" n "Anzhl, wie oft ds Eperiment durchgefüh rt wurde" Reltive Häufigkeit delt6 Seite 6 delt8 Seite 96 ff Führt mn ein Zufllseperiment sehr oft durch, so ändert sich die reltive Häufigkeit, mit der ein Ereignis E eintritt, schließlich nur noch sehr wenig: Die reltive Häufigkeit des Ereignisses E schwnkt um eine feste Zhl. Diese Zhl ezeichnet mn ls die Whrscheinlichkeit des Ereignisses E. Die reltive Häufigkeit eines Ereignisses E ist ein Schätzwert für die Whrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Eperiment: Werfen einer Münze Anzhl n der Würfe Anzhl k der Adler Reltive Häufigkeit (Whrscheinlichkeit) ,8 = 8 % ,57 = 5,7 % delt8 Seite 96 ff Zufllseperimente, ei denen jedes der möglichen Ergenisse gleich whrscheinlich ist, nennt mn Lplce-Eperimente. Sind ei einem Lplce-Eperiment (; ; 5; 6;... n) verschiedene Ergenisse möglich, so eträgt die Whrscheinlichkeit für jedes dieser Ergenisse: ( ; ; ;...; ) 5 n. Dementsprechend nennt mn einen idelen Spielwürfel einen Lplce-Würfel (L-Würfel), eine idele Münze Lplce-Münze (L-Münze). Bei Lplce-Eperimenten knn mn die Whrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E direkt erechnen: P(E) = Anzhl der günstigen Ergenisse " Anzhl ller möglichen Ergenisse " Erfüllt eine Funktion P : A P() mit A und P(A) IR folgende Bedingungen, (Aiome von Kolmogorow), so heißt sie Whrscheinlichkeitsverteilung: Aiom l: P (A) 0 Aiom II: P() = Aiom III: Wenn A B = { }, dnn muss gelten: P(A B) = P(A) + P(B) P(A) heißt Whrscheinlichkeit von A. Whrscheinlichkeit Lplce- Eperimente delt8 Seite 0 ff Lplce-Whrscheinlichkeit Whrscheinlichkeitsverteilung Lmcher Schweizer Seite 7 ff

37 Grundwissen Seite 7 von 6 Klsse M. Rpp 07 Für zwei Ereignisse A und B gilt: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Es sollen z. B. vier Stellen esetzt werden. Git es für die Besetzung der.stelle. Stelle. Stelle. Stelle n n n n verschiedene Möglichkeiten, so git es insgesmt n, n n n verschiedene Besetzungsmöglichkeiten. Additionsstz Lmcher Schweizer Seite 80 ff Zählprinzip Wie viele verschiedene fünfstellige ntürliche Zhlen knn mn us den Ziffern ; ; 5; 7; 0 ilden, wenn jede dieser Ziffern ) genu einml vorkommen drf? Lösung: Anzhl der möglichen Zhlen: = 96 ) uch mehr ls einml vorkommen drf? Lösung: Anzhl der möglichen Zhlen: = 500 Null drf nicht vorne stehen! Bleien noch mögliche Auf wie viele Arten knn mn vier verschiedene Bücher neeneinnder in ein Regl stellen? Lösung: = Möglichkeiten delt8 Seite 98 ff Viele Zufllseperimente knn mn durch ein so gennntes Urnenmodell simulieren: Eine Urne enthält verschiedenfrige, er sonst nicht unterscheidre Kugeln. Mn zieht drus nun k-ml hintereinnder jeweils eine Kugel lind. ) Ziehen mit Zurücklegen: Nch dem Notieren der Fre wird die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt. (Der Urneninhlt ändert sich somit nicht!) ) Ziehen ohne Zurücklegen: Die gezogene Kugel wird nicht wieder in die Urne zurückgelegt. (Der Urneninhlt ändert sich somit ständig!) Eine Urne enthält n unterscheidre Kugeln. Mn zieht drus nun hintereinnder jeweils eine Kugel lind (die Reihenfolge wird lso echtet!). ) k-ml Ziehen mit Zurücklegen: Es git n n n n = n k verschiedene Ergenisse (k-tupel). ) k-ml Ziehen ohne Zurücklegen: Es git n (n-) (n-) (n-k+) verschiedene Ergenisse. Ziehen = 5 = 5 (mit Z.) 5 = 60 Möglichkeiten (ohne Z.) c) n-ml Ziehen (lle Kugeln) ohne Z.: 5 Ziehen (lle Kugeln ohne Z.) Es git n (n-) (n-) = n! verschiedene Permuttionen. 5 = 5! = 0 Permuttionen Urnenmodelle (I) delt9 Seite 8 ff Urnenmodelle (II) Lmcher Schweizer Seite 7 ff

38 Grundwissen Seite 8 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Urne enthält n unterscheidre Kugeln. Mn zieht drus gleichzeitig k Kugeln lind (Also ohne die Reihenfolge zu echten!). Die Anzhl der möglichen Ergenisse eträgt: n n! n ( n ) ( n )... n ( n ) ( n )... ( n k ) k k!( n k)! k!( n k) ( n k )... k! Binomilkoeffizient n üer k oder k us n (TIPP: Tschenrechner ncr ) Urnenmodelle (III) Binomilkoeffizient Kugeln gleichzeitig us dieser Urne: 5 5! 0!! Kugeln gleichzeitig us dieser Urne: 5 5! 5!! (eine der 5 leit ) Lmcher Schweizer Seite 7 ff Besonders ei mehrstufigen Zufllseperimenten sind Bumdigrmme zur Vernschulichung sehr nützlich. Ein Glücksrd (s. Bild) wird dreiml hintereinnder gedreht. Ds entsprechende Bumdigrmm mit den einzelnen Whrscheinlichkeiten sieht so us: N: Niete P(N) = 75% G: Gewinn P(G) = 5% NIETE $$$$$ Bumdigrmme NNN NNG NGN NGG GNN GNG GGN GGG Ergenismenge = { NNN, NNG, NGN, NGG, GNN, GNG, GGN, GGG } ) Die Summe ller Whrscheinlichkeiten n Zweigen von einem Knoten us ergit jeweils. Im Beispiel gilt immer: 0,75 + 0,5 = ) Die Whrscheinlichkeit für ein Ergenis ist gleich dem Produkt der Whrscheinlichkeiten uf dem Pfd, der zu diesem Ergenis führt. 7 Bsp: P(NNN),% P(GNG),7% 6 6 ) Die Whrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Whrscheinlichkeiten derjenigen Ergenisse, die zu diesem Ereignis führen. 9 Bsp: P("Genu ein Niete") P(GGN ;GNG; NGG),% 6 Pfdregeln delt9 Seite ff

39 Grundwissen Seite 9 von 6 Klsse M. Rpp 07 Unter der Whrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis A eintritt, unter der Bedingung, dss vorher ereits ds Ereignis B eingetreten ist, nennt mn edingte Whrscheinlichkeit. (A) P B P(A B) P(B) Bsp.: Urne mit roten zw. grünen Kugeln und Würfeln Bedingte Whrscheinlichkeit Nch den Pfdregeln gilt: P(R O) = P(O) P O(R) P(R ) = P( ) P (R) Beispiele: Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss der gezogene Gegenstnd rot (R) ist, wenn eine Kugel (O) gezogen wurde? Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss der gezogene Gegenstnd rot (R) ist, wenn ein Würfel ( ) gezogen wurde? delt0 Seite 00 ff In einer Vierfeldertfel knn mn die Whrscheinlichkeiten von Ereignissen drstellen, wenn zwei Merkmle mit je zwei Ausprägungen etrchtet werden. P(M B) 6% P Männlich (B) 7% P(M) 59% Vierfeldertfel delt0 Seite 9 ff Zwei Ereignisse A und B heißen unhängig, wenn gilt: P(A B) = P (A) P (B) Unhängigkeit Sind zwei Ereignisse A und B unhängig, so ist die zugehörige Vierfeldertfel eine Multipliktionstfel. Achtung Unterschied: - Whrscheinlichkeit von A und B : P(A B) sowie Bedingter Whrscheinlichkeit von B unter A P(A B) P A (B) P(A) - Unvereinrkeit von A und B: A B = { } sowie Unhängigkeit von A und B: P(A B) = P(A) P(B) Lmcher Schweizer Seite 8 ff

40 Grundwissen Seite 0 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Funktion X, die jedem Ergenis eines Zufllseperiments eine reelle Zhl X() zuordnet, heißt Zufllsgröße oder Zufllsvrile uf. Kurz: X: X() mit und X() IR. Die Funktion, die jedem Wert i (i =,,..., n) einer Zufllsgröße X die Whrscheinlichkeit P(X = i ) zuordnet, heißt Whrscheinlichkeitsfunktion der Zufllsgröße X oder Whrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X. Ist X eine Zufllsgröße, deren mögliche Werte,,... n sind, so heißt die reelle Zhl E(X) mit E(X) = = P(X = ) + P(X = ) + + n P(X = n) Erwrtungswert der Zufllsgröße X. Vrinz der Zufllsgröße X nennt mn die reelle Zhl Vr(X) mit Vr(X) = = ( )² P(X = ) + ( )² P(X = ) + + ( n )² P(X = n). Zufllsgrößen Lmcher Schweizer Seite 60 ff Lmcher Schweizer Seite 66 ff Stndrdweichung: = Vr (X ) Dieser Würfel wird zweiml geworfen. Sein Netz: = { (;), (;), (;), (;) } Die Zufllsgröße X ordne jedem Ergenis ds Produkt der zwei Würfe zu. i 8 6 Mögliche Werte von X P(X= i) Whrscheinlichkeitsverteilung E(X) = = = Vr(X) = ( 7 )² + (8 7 )² + (6 7 )² = ,66 Histogrmm: Kumultive Verteilungsfunktion von X: P(X=i) F() F( ) = P(X < ) = P(X=) = 9 F() = 0 ]- ; [ F(X) = 9 [ ; 8[ F( 8 ) = P(X < 8) = P(X=) + P(X=8) = 9 8 F(X) = 9 8 [8 ; 6[ F( 6 ) = P(X=) + P(X=8) + P(X=6) = 9 9 = 00% F(X) = [6 ; [

41 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Bernoulli-Eperiment heißt ein Zufllseperiment mit nur zwei Ergenissen Einmliges Drehen dieses Die Whrscheinlichkeit für Treffer wird mit p, Glücksrdes die für Niete mit q ezeichnet, dei gilt: q = - p. p = 0, (Treffer; $$$) q = 0, = 0,8 Ein Zufllseperiment, ds us n Unhängigen Durchführungen Zehnmliges Drehen des Rdes: desselen Bernoulli-Eperiments Bernoulli-Kette der Länge 0 mit esteht, heißt Bernoulli-Kette dem Prmeter p = 0, der Länge n mit Prmeter p. Trefferzhl in einer Bernoulli-Kette der Länge n X: Anzhl der Treffer ($$$) Ist p die Trefferwhrscheinlichkeit und git die Werte von X: 0,, 0 Zufllsgröße X die Anzhl der Treffer n, so gilt für die Whrscheinlichkeit für genu k Treffer: P( Treffer ) = P(X = ) n k nk P(X = k) = p ( p) mit k {0; ;... ; n} 0 7 0, 0,8 0,% k TIPP: Areiten mit dem Tfelwerk Ist die Länge n, die Treffer Whrscheinlichkeit p und die Trefferzhl k gegeen, so knn mn den Wert n n k P( X k) P ( X k) B( n; p; k) p ( p) p k oft im Tfelwerk nchschlgen. nk Bernoulli- Eperiment Bernoulli-Kette Lmcher Schweizer Seite 77 ff Lmcher Schweizer Seite 79 ff Eenso die summierten Wert sind zu finden: F n; p ( k) P( X P( 0) P( X Zum k) )... P( X k) k i0 P( 7 Treffer ) = P(X = 7) 0, ,079% B( n; p; i) P( is zu 5 Treffer ) = P(X 5) = B(0; 0,; i) 0,996 99,% 5 i 0 P( mehr ls Treffer ) = P (X > ) = P(X ) 0,879 % P( mindestens, höchstens 6 Treffer ) = P( X 6) = B (0; 0,; i) = P(X 6) P(X ) 0,999 0,758 6,% 6 i

42 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Zufllsgröße X heißt inomilverteilt nch B(n; p) oder B n; p, wenn gilt: Binomilverteilung X knn die Werte 0; ; ;...; n nnehmen n k nk P( X k) p ( p) mit 0 p k Erwrtungswert einer B(n; p) verteilten Zufllsgröße ist = n p. Für die Vrinz einer B(n; p) verteilten Zufllsgröße gilt = n p ( p). n = 0 ml (drehen) Telle: X: Anzhl Treffer p = 0, Die Trefferzhl ist B(0; 0,) verteilt. = n p = 0 0, = ² = n p q = 0 0, 0,8 =,6,6 Histogrmm: P(X=k) Kumultive Verteilungsfunktion von X: F() Sprunghöhe ei = ist 0,0 Lmcher Schweizer Seite 79 ff

43 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Bei Prolemstellungen der eurteilenden Sttistik wird nch dem uneknnten Anteil einer Merkmlsusprägung n einer Grundgesmtheit gefrgt. Whrscheinlichkeitsrechnung: Beknnt ist: Anteil p der schwrzen Kugeln einer Urne Gesucht: Whrscheinlichkeit für schwrz" ei 7 Ziehen Beurteilende Sttistik: Beknnt ist: Bei 7 Ziehen erhielt mn schwrz" Gesucht: Anteil p der roten Kugeln Beurteilende Sttistik Lmcher Schweizer Seite 98 ff Üer einen Schverhlt werden zwei sich usschließende Hypothesen etrchtet: Die Nullhypothese H 0 und die Gegenhypothese H. Getestet wird, o ufgrund der Stichproenergenisse H 0 verworfen werden knn oder nicht. Dzu wird der Werteereich der Testgröße in den Alehnungsereich (kritischer Bereich) K und den Annhmeereich K zerlegt. Entscheidungsregel: Liegt der durch die Stichproe gewonnene Wert der Testgröße in K, dnn wird H 0 verworfen, nsonsten wird H 0 nicht verworfen. Stichproenlänge: n = 0 Krten sollen errten werden Treffer: Begte Person knn Werte von ESP-Krten hellsehen Testgröße Z: Anzhl richtiger Vorhersgen H 0: p = 0, Person ht keine Begung p Rten = /5 H : p > 0, Person ht esondere Fähigkeiten Testen von Hypothesen Lmcher Schweizer Seite 98 ff Entscheidungsregel: Alehnungsereich von H 0: K = {; 5; 6; 7; 8; 9; 0} Entscheidung für H Annhmeereich von H 0: K = {0; ; ; } Entscheidung für H 0 Fehler. Art und Fehler. Art eim Testen von Hypothesen - Fehler. Art: Die Nullhypothese H 0 trifft zu, wird er gelehnt, d Z K. P H Z K Whrscheinlichkeit ' für den Fehler. Art: - Fehler. Art: Die Gegenhypothese H trifft zu, er die Nullhypothese knn nicht gelehnt werden, d Z K. P H Z K Whrscheinlichkeit ß' für den Fehler. Art: Der Fehler. Art knn nicht prolemlos estimmt werden, d die Whrscheinlichkeit ß' von p hängt. 0 Fehler. Art und Fehler. Art Lmcher Schweizer Seite 0 ff Bei festem Stichproenumfng n ewirkt eine Verkleinerung von ß' eine Vergrößerung von ' und umgekehrt. Eine Verringerung eider Fehler ist nur durch Erhöhung des Stichproenumfngs möglich.

44 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Zum Beispiel von oen: Fehler. Art: Einer norml egten Person werden irrtümlich ußersinnliche Whrnehmung zugeschrieen. 0 0 Z K P Z P Z 0,087...,% P H 0 0, 0, Fehler. Art: Mn nimmt fälschlicherweise n, dss eine esonders egte Person nur gerten ht. Annhme zur Berechnung von ß': p = 0% 0 Z K P Z 0,8... 8,% P H 0, Fehler. Art und Fehler. Art Lmcher Schweizer Seite 0 ff Eine vorgegeene Oergrenze für den Fehler. Art nennt mn Signifiknzniveu. Drus ergit sich der kritische Bereich des Tests. Vorgehen eim einseitigen Signifiknztest:. Festlegen der Testgröße Z und des Stichproenumfngs n.. Mthemtische Formulierung der Nullhypothese H 0 und der Gegenhypothese H.. Festlegen des Signifiknzniveus.. Bestimmen der Entscheidungsregel d.h. Konstruktion des kritischen Bereichs K. Linksseitiger Test: Rechtsseitiger Test: H 0: p = p 0 (oder p p 0) H 0: p = p 0 (oder p p 0) H : p < p 0 H : p > p 0 kritischer Bereich kritischer Bereich K = {0; ; ; ; g} K = {g; g+; g+; ; n} woei g die größte gnze woei g die kleinste gnze P n p 0 Z g. Zhl ist mit Z g Zhl ist mit P n p 0 Signifiknztest Lmcher Schweizer Seite 06 ff Zum Beispiel von oen: Gewünschtes Signifiknzniveu: 5%, d.h. Fehler. Art soll höchstens 5% etrgen: 0 Z K P Z g 0, mit K = {g; g+; g+;...; n} 05 P H 0 0, 0 Somit: P Z g 0, 95 0, 0 Aus der Telle: g = ( Z 0, 967 P ), lso ist K = {5; 6; 7; 8; 9; 0}. 0, Sind von 0 Krten mindestens 5 richtig erknnt worden, dnn knn mn uf einem Signifiknzniveu von 5% uf eine Begung der Person schließen. H0 whr p = 0, H0 flsch p = 0, 6,%,%

45 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Qudrt Rechteck Rute Prllelogrmm Trpez Kreis Geometrische Grundfiguren Seite Ecke Rdius Durchmesser Digonle Mittelpunkt delt5 Seite 7 Würfel Quder Zylinder Kugel Geometrische Grundkörper Knte Ecke Fläche Prism Kegel Pyrmide delt5 Seite 7 Zweidimensionles Koordintensystem: Dreidimensionles Koordintensystem: Koordintensystem delt5 Seite 86 Lmcher Schweizer Seite 90 ff

46 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Strecke [AB] mit den Endpunkten A und B A B und der Streckenlänge AB =, cm Gerde CD C D Strecke, Gerde, Hlgerde Hlgerde (Strhl) [EF mit Anfngspunkt E E F delt5 Seite 7 Gerden, Hlgerden oder Strecken, die miteinnder g h einen rechten Winkel ilden, stehen ufeinnder senkrecht. Senkrecht, prllel Schreiweise: g h A Zwei Gerden und (der Zeicheneene) heißen zueinnder prllel, wenn es eine dritte Gerde k git, die uf jeder der eiden senkrecht steht. Schreiweise: Astnd d der Gerden und : d = AB B k delt5 Seite 76 Scheitel Schenkel Rechte Winkel ( 90 ) m Geodreieck Die Größe eines Winkels wird in Grd ( ) gemessen. Winkel (I) S Schenkel Winkel messen: Q g = PSQ P h = (h;g) delt5 Seite 8 Winkel (II) Bezeichnungen Nullwinkel = 0 Spitzer Winkel < 90 Rechter Winkel = 90 Stumpfer Winkel < 80 Gestreckter Winkel = 80 Üerstumpfer Winkel 80 < < 60 Vollwinkel = 60 delt5 Seite 8

47 Grundwissen Seite 7 von 6 Klsse M. Rpp 07 Winkel (III) Scheitelwinkel sind gleich groß: = und = Gesetze Neenwinkel ergeen zusmmen 80 : + = 80 g h g h Wechselwinkel n prllelen Gerden sind gleich groß: = oder = oder = Stufenwinkel n prllelen Gerden sind gleich groß: = oder = delt7 Seite 8 delt7 Seite Die Winkelsumme der Innenwinkel jedes Dreiecks eträgt 80 ; ++ = 80 jedes Vierecks eträgt 60 ;+++=60 jedes n-ecks eträgt (n-) 80 (n>) delt7 Seite 6 / 5 Der Wert des Quotienten us Bogen- und Rdiuslänge eignet sich ls Winkelmß, ist eine reelle Zhl. r r Sttt den Winkel in Grd nzugeen, knn mn die Mßzhl der zugehörigen Bogenlänge m Einheitskreis (r = LE) verwenden. M r Bogenmß Dieses Winkelmß heißt Bogenmß, Umrechnung : Telle: / delt0 Seite 0 ff

48 Grundwissen Seite 8 von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Figur ist chsensymmetrisch, wenn mn sie so flten knn, dss ihre eiden Teile genu ufeinnder pssen; die Fltknte heißt dnn Symmetriechse. Zueinnder symmetrische Strecken sind gleich lng. AC A*C * r = r* Zueinnder symmetrische Winkel sind gleich groß und hen entgegengesetzten Drehsinn. = * Jeder Punkt der Symmetriechse ist von zueinnder symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. C=C* A M A* k k* Achsensymmetrie delt5 Seite 9 Die Verindungsstrecke zueinnder symmetrischer Punkte wird von der Symmetriechse rechtwinklig hliert. AM MA * delt7 Seite 0 ff Wenn eine Figur ei einer Drehung um 80 um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) mit sich zur Deckung kommt, so heißt diese Figur punktsymmetrisch. Zueinnder punktsymmetrische Strecken sind gleich lng und zueinnder prllel. PR P * R * PR P * R * Zueinnder punktsymmetrische Winkel sind gleich groß und hen gleichen Drehsinn. = * R* z R P Punktsymmetrie delt5 Seite 9 Die Verindungsstrecke zueinnder symmetrischer Punkte wird vom Symmetriezentrum hliert. ZR ZR * P* delt7 Seite ff Drchenviereck Prllelogrmm Gleichschenkliges Trpez Symmetrische Vierecke delt5 Seite 7 Rute Qudrt Rechteck delt7 Seite 8 ff

49 Grundwissen Seite 9 von 6 Klsse M. Rpp 07 Lssen sich zwei Figuren vollständig miteinnder zur Deckung ringen, so heißen sie deckungsgleich oder zueinnder kongruent. Kongruenzsätze für Dreiecke Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen der drei Seiten üereinstimmen (sss-stz). in den Längen von zwei Seiten und in der Größe von deren Zwischenwinkel üereinstimmen (sws-stz). in der Länge einer Seite und in den Größen der eiden dieser Seite nliegenden Winkel üereinstimmen (wsw-stz). in den Längen zweier Seiten und in der Größe des der längeren dieser eiden Seiten gegenüerliegenden Winkels üereinstimmen (SsW-Stz). sss sws wsw Ssw Kongruenz delt7 Seite 8 ff Spitze Dreiecke mit einer Symmetriechse heißen gleichschenklig. Besondere Dreiecke Schenkel Bsiswinkel Schenkel Bsis Eigenschften: Zwei Seiten sind gleich lng (Schenkel). Die der Bsis nliegenden Winkel (Bsiswinkel) sind gleich groß. Die Symmetriechse hliert den Winkel n der Spitze und hliert die Bsis rechtwinklig. Gleichseitige Dreiecke hen drei gleich lnge Seiten. delt7 Seite60 ff Eigenschften: Alle Innenwinkel messen 60. Jedes gleichseitige Dreieck esitzt drei Symmetriechsen; sie hlieren die Innenwinkel und hlieren die Dreiecksseiten rechtwinklig. Thleskreis Kthete Kthete Hypotenuse Dreiecke, ei denen ein Innenwinkel 90 misst, heißen rechtwinklig. Eigenschften: Der Scheitel des rechten Winkels liegt uf dem Kreis üer der Hypotenuse ls Durchmesser (Thleskreis). Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC uf dem Kreis üer der Seite [AB] ls Durchmesser liegt, dnn ist ds Dreieck ABC rechtwinklig und C der Scheitel des rechten Winkels. delt7 Seite 66 ff

50 Grundwissen Seite 50 von 6 Klsse M. Rpp 07 Ein lter und erühmter Stz us der Geometrie zeigt die Beziehung zwischen der Länge der Hypotenuse und den Längen der Ktheten im rechtwinkligen Dreieck: Stz des Pythgors: c² = ² + ² In Worten : In einem rechtwinkligen Dreieck hen die eiden Qudrte üer den eiden Ktheten zusmmen den gleichen Flächeninhlt wie ds Qudrt üer der Hypotenuse! Kthetenstz : ² = c p und ² = c q Höhenstz : h² = q p c Stz des Pythgors Kehrstz: Gilt für die Längen, und c in einem Dreieck die Gleichung c² = ² + ², so ist ds Dreieck rechtwinklig. Länge der Gegenkthe te des Winkels Tngens eines Winkels Länge der Ankthete des Winkels Länge der Gegenkthe te des Winkels Sinus eines Winkels Länge der Hypotenuse Länge der Ankthete des Winkels Kosinus eines Winkels Länge der Hypotenuse tn sin c cos c Es gilt: tn sin c cos c ist Gegenkthete von und Ankthete von sin tn und (sin )² + (cos )² = cos Außerdem: sin cos (90 - ) und cos sin (90 - ) 0 oder sin 0 = / 0 / = / / / = / cos / / 0 tn 0 / sin / 0 -/ - -/ cos -/ - -/ 0 / tn c. c ist Gegenkthete von und Ankthete von c Stz von Pythgors Höhenstz Kthetenstz delt9 Seite 9 ff Tngens Sinus Kosinus eines Winkels delt9 Seite 5 ff tn, sin, cos Beziehungen Besondere Winkel delt9 Seite ff delt0 Seite 8 ff

51 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Am Einheitskreis knn mn die Werte von sin und cos für elieig große Winkel definieren: I. Qudrnt, es gilt 0 < < 90 II. Qudrnt, es gilt 90 < < 80 Sinus und Kosinus m Einheitskreis P( y) = cos = r = y = sin = r y = y = cos =- cos (80 - ) y = sin = sin (80 - III. Qudrnt, es gilt 80 < < 70 IV. Qudrnt, es gilt 70 < < 60 P( y) P( y) = cos =- cos (-80 ) = cos = cos (60 - ) y = sin = - sin ( - 80 y = sin = - sin (60 - Für negtive Winkel gilt: sin (- = - sin und cos (- = cos Für Drehungen üer 60 gilt: sin ( + k 60 = sin und cos (+ k 60 = cos (k IN ) delt0 Seite 8 ff

52 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Wird eine Originlfigur im Mßst ( Q + \ {}) vergrößert zw. verkleinert, so nennt mn die Bildfigur und die Originlfigur zueinnder ähnlich. Der Mßst heißt Ähnlichkeitsfktor. Für zueinnder ähnliche Figuren gilt: Einnder entsprechende Winkel sind stets gleich groß. Längenverhältnisse einnder entsprechender Strecken sind stets gleich. Ähnlichkeit Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Wenn zwei Dreiecke ABC und A'B'C' in llen Längenverhältnissen entsprechender Seiten üereinstimmen, dnn sind sie zueinnder ähnlich. Wenn zwei Dreiecke ABC und A'B'C' in den Größen ller Winkel üereinstimmen, dnn sind sie zueinnder ähnlich.. Strhlenstz Wenn zwei Hlgerden zw. zwei Gerden und von zwei zueinnder prllelen Gerden g und h geschnitten werden, dnn verhlten sich die Längen irgendwelcher zwei Aschnitte uf der einen (Hl-) Gerden eenso wie die Längen der entsprechenden eiden Aschnitte uf der nderen (Hl-) Gerden. delt8 Seite 60 ff Strhlensätze u u oder y v p q. Strhlenstz Wenn zwei Gerden und von zwei zueinnder prllelen Gerden g und h geschnitten werden, dnn verhlten sich die Längen der Prllelstrecken wie die Längen der vom Punkt W is zu ihnen hin verlufenden Aschnitte uf der einen Gerden: : s u oder t u v s z p Es gilt uch der Kehrstz des. Strhlenstzes: Werden zwei Gerden und, die einnder im Punkt W schneiden von zwei Gerden g und h so geschnitten, dss ds Verhältnis der Längen irgendwelcher zweier Aschnitte uf der Gerden stets gleich dem Verhältnis der Längen der entsprechenden eiden Aschnitte uf der Gerden ist, dnn sind die eiden Gerden g und h zueinnder prllel. Der Kehrstz des. Strhlenstzes gilt nicht. delt8 Seite 5 ff

53 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Alle Punkte (der Zeicheneene), die von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen uf der Mittelsenkrechten (dem Mittellot) m [AB] ihrer Verindungsstrecke. m[ac] M C m[bc] Besondere Linien im Dreieck Die drei Mittelsenkrechten m [AB], m [BC] und m [CA] eines Dreiecks ABC schneiden einnder stets in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks. Die Punkte A, B und C sind von M gleich weit entfernt. A m[ab] B delt7 Seite80 A hc h H h C B Eine Gerde, die einen Dreiecksinnenwinkel hliert, heißt Winkelhlierende dieses Dreiecks. Jedes Dreieck esitzt somit drei Winkelhlierende w w und w ; sie schneiden einnder in einem Punkt W, der von den drei Seiten den gleichen Astnd d esitzt. W ist der Mittelpunkt des Innkreises. Eine Gerde, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks geht und die gegenüerliegende Seite oder deren Verlängerung rechtwinklig schneidet, heißt Höhe dieses Dreiecks. Jedes Dreieck esitzt somit drei Höhen h, h und h c; sie schneiden einnder in einem Punkt H. A C d w w W d d w B delt7 Seite 8 delt7 Seite 88 Eine Gerde heißt Seknte eines Kreises, wenn sie diesen Kreis in zwei Punkten schneidet. Die Verindungsstrecke zweier Kreispunkte heißt Sehne ( [PQ] ). P M Q Kreis und Gerde Eine Gerde heißt Tngente eines Kreises, wenn sie mit diesem genu einen Punkt gemeinsm ht. Dieser Punkt heißt Berührpunkt (B). B Eine Gerde heißt Pssnte eines Kreises, wenn sie mit diesem Kreis keinen Punkt gemeinsm ht. delt7 Seite 70 ff

54 Grundwissen Seite 5 von 6 Klsse M. Rpp 07 Breite Rechteck Qudrt Kreis Umfngslänge Flächeninhlt Umfngslänge: U Rechteck = l + Im Flächeninhlt: Im Länge l = ( l + ) U Qudrt = U Kreis = r U Rechteck = cm + cm = 8 cm U Qudrt = cm = cm Seitenlänge Kreiszhl U Kreis =,5 cm 9, cm,5965 A Rechteck = l A Qudrt = = ² A Kreis = r² ( Länge ml Breite ) A Rechteck = cm cm A Qudrt = cm cm A Kreis = (,5cm)² = cm² = 9 cm² 7,07 cm² r Rdiuslänge r delt5 Seite 58 delt8 Seite ff delt5 Seite 8 delt8 Seite 8 ff Kreisogen Rdiuslänge r Mittelpunkt M Mittelpunktswinkel Umfngslänge Flächeninhlt r Bogenlänge = r s Sehne sin s r sin r (Herleitung üer rechtwinkliges Dreieck) M r s Kreisteile Kreissektor A Sektor = r r 60 delt0 Seite 6 ff Prllelogrmm: Jeweils zwei gegenüerliegende Seiten sind gleich lng und prllel. h Umfngslänge Flächeninhlt Prllelogrmm Seitenlänge g ( Grundseite ) zugehörige Höhe h A Prllelogrmm = g h = g h U Prllelogrmm = g + g = (g + g ) g delt6 Seite 0

55 Grundwissen Seite 55 von 6 Klsse M. Rpp 07 Trpez: Zwei gegenüerliegende Seiten ( Grundseiten ) sind prllel (hier und c). Höhe h: Astnd der prllelen Grundseiten Dreieck: A Trpez = c ( c) h h Drei Ecken drei Seiten ( Grundseiten ) drei Innenwinkel. Höhe h: Astnd der Ecke von der gegenüerliegenden Seite. c h C h Umfngslänge Flächeninhlt Trpez delt6 Seite 8 Umfngslänge Flächeninhlt Dreieck A Dreieck = g h = h = h = c hc A g B U Dreieck = + + c c hc Bei mnchen Dreiecken knn die Höhe uch ußerhl des Dreiecks liegen. delt6 Seite 6 Quder: Länge l, Breite, Höhe h Volumen: V Quder = l h h Oerflächeninhlt: A Quder = ( l + l h + h ) l Volumen und Oerflächeninhlt (I) Quder Würfel: Kntenlänge s Volumen: V Würfel = s s s = s³ h Oerflächeninhlt: A Würfel = 6 s ² s delt6 Seite 6/5/60 Kugel mit der Rdiuslänge r und dem Mittelpunkt M: Alle Punkte uf der Kugel hen zum Mittelpunkt den Astnd r. Volumen und Oerflächeninhlt (VI) Volumen: Oerflächeninhlt: V r A r r M Kugel delt0 Seite ff

56 Grundwissen Seite 56 von 6 Klsse M. Rpp 07 Gerdes Prism: Grundfläche und Deckfläche sind kongruente n-ecke und zueinnder prllel. h h Mntel: Alle Seitenflächen (Rechtecke) zusmmen. Volumen: V Prism = G h Oerflächeninhlt: A Prism = G + M = G + U h (U: Umfngslänge) Gerder Kreiszylinder: Grundfläche und Deckfläche sind kongruente Kreise und zueinnder prllel. h h G = r² Mntel: Seitenfläche (Rechteck) M = U h = r h (U: Umfngslänge) Oerflächeninhlt: A Zylinder = G + M = r² + r h Volumen: V Zylinder = G h = r² h Volumen und Oerflächeninhlt (II) Gerdes Prism delt9 Seite 66 f Volumen und Oerflächeninhlt (III) Gerder Kreiszylinder delt9 Seite 7 ff Pyrmide: Grundfläche: Ein n-eck (n>) Seitenflächen: n Dreiecke Mntel: Alle Seitenflächen (Dreiecke) zusmmen. Volumen und Oerflächeninhlt (IV) Gerde Pyrmide: Alle Seitenknten gleich lng. Pyrmide Volumen: Oerflächeninhlt: V Pyrmide = G h A Pyrmide = G + M delt9 Seite 78 ff Gerder Kreiskegel: Grundfläche: Kreis G = r² Mntel: Kreissektor M = rs Spitze S Volumen und Oerflächeninhlt (V) (s: Länge der Mntellinien) Volumen: V Kegel = G h = r² h h Gerder Kreiskegel Oerflächeninhlt: A Kegel = G + M = r² + r s r delt9 Seite 88 ff

57 Grundwissen Seite 57 von 6 Klsse M. Rpp 07 Schrägild 5 In einem Schrägild wird ein Körper so gezeichnet, dss mn ihn sich räumlich gut vorstellen knn. Die nch hinten" verlufenden Quderknten werden schräg und verkürzt, er zueinnder prllel gezeichnet. Häufig trägt mn sie unter einem Winkel von 5 und in hler Länge n. Unsichtre Knten werden gestrichelt eingezeichnet. Um eine räumliche Vorstellung von einem Körper zu erhlten, stellt mn ihn häufig us mehreren verschiedenen Richtungen etrchtet dr: Der Grundriss zeigt, wie der Körper (senkrecht) von oen etrchtet ussieht. Der Aufriss zeigt, wie der Körper von vorne etrchtet ussieht. Ein Seitenriss zeigt, wie der Körper von rechts (oder von links) etrchtet ussieht. Aufriss Grundriss Seitenriss delt6 Seite 8/50 delt9 Seite 6 f

58 Grundwissen Seite 58 von 6 Klsse M. Rpp 07 Die Addition zw. Sutrktion zweier Vektoren ist wie folgt definiert: und. Dnn gilt: zw. ) ( Addition und Sutrktion von Vektoren KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 90 ff Für den Vektor und die reelle Zhl r gilt: r r r r r r=, r=0,5 und r = - und, dnn 6 und 0,5,5 0,5, 6 ) ( ) ( Multipliktion eines Vektors mit einer Zhl (S-Multipliktion) KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 00 ff Den Ausdruck n n k... k k nennt mn Linerkomintion der Vektoren n...und,,. Die reellen Zhlen k, k, k, k n nennt mn Koeffizienten. w v 8 u ist eine Linerkomintion von w und v, u Die Länge eines Repräsentnten des Vektors u ezeichnet mn ls Betrg von u, kurz: u. Mit Pythgors gilt: u u u u ht den Betrg 9 ) ( ) ( Linerkomintion KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 0 ff Betrg Lmcher Schweizer Seite 0 ff

59 Grundwissen Seite 59 von 6 Klsse M. Rpp 07 Sklrprodukt: cos Koordintenform: Winkel : cos Es gilt: und 5 7 6, 0, ) ( 0 ) ( 6) ( cos Sklrprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 06 ff Für ds Vektorprodukt zweier Vektoren gilt: Beispiel (s.o.): 8 6) ( ) ( 0 6) ( ) ( 0 ) ( 0 6 Es gilt: und. Spnnen die Vektoren und ein Prllelogrmm uf, so gilt für die Fläche sin A. P Beispiel (s.o.):,7 7 8) ( ) ( ) ( A zw. 7, sin 6,7 5 A Vektorprodukt Prllelogrmm- fläche KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite ff

60 Grundwissen Seite 60 von 6 Klsse M. Rpp 07 Spnnen die drei Vektoren, und c ein Spt uf, so gilt für ds Volumen V c. Beispiel (s.o.): V c c Sptvolumen KOORDINATEN- IM RAUM ( ) Lmcher Schweizer Seite ff Gleichung in Vektordrstellung: ( X M)² r² Gleichung in Koordintendrstellung: Kreis: m )² ( m )² r² Kugel: r² ( ( m )² ( m )² ( m )² Beispiele: M( 0 5 ) und r = 5 ergeen die folgende Kugelgleichung: ( 0)² ( 5)² ( ( ))² 5² ² ( 5)² ( )² 5² M( 7 ) und r = ergeen die folgende Kreisgleichung: ( )² ( 7)² ² Kreis- und Kugelgleichung KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 5 ff Gerdengleichung: g : X A r r : Richtungsvektor der Gerden g ( 0 r ) : A Ortsvektor des Aufpunktes A Gerden- und Eenengleichungen KOORDINATEN- IM RAUM Eenengleichung: E : X A r v (Prmeterform) r, v : Richtungsvektoren der Eene E ( 0 ) Lmcher Schweizer Seite ff Seite 8 ff

61 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Normlenform einer Eene (Vektordrstellung): E : n ( X A) 0 n r v ist ein Normlenvektor der Eene. Normlenform einer Eene (Koordintendrstellung): E: n + n + n + n0 = 0 Normlenform von Eenen KOORDINATEN- IM RAUM woei n0= n n n Hesse sche Normlenform einer Eene (Koordintendrstellung): (n + n + n + n ) 0 n E HNF : 0 (Vorzeichen so wählen, dss vor n 0 ein Minus steht ) Lmcher Schweizer Seite ff Für g : X A r und h X B v : gilt: Gegenseitige Lge von Gerden ) Richtungsvektoren r und v sind liner hängig: g = h, wenn B uf g liegt. g II h, wenn B nicht uf g liegt. KOORDINATEN- IM RAUM ) Richtungsvektoren r und v sind liner unhängig: g und h schneiden sich im Punkt S, g und h sind windschief, wenn A r B v genu eine Lösung ht. keine Lösung ht. Lmcher Schweizer Seite 5 ff

62 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Gegeen sind: g : X A r und Mn setzt g in die Eenengleichung E ein: E : n ( X B) 0 n ( A r B) 0 Gegenseitige Lge von Gerde und Eene Es ist g II E, wenn g schneidet E im Punkt S, g liegt in E, wenn keine Lösung eistiert. wenn genu eine Lösung unendlich viele eistiert. Lösungen eistieren. KOORDINATEN- IM RAUM Beispiele: g : X 0 und E: = 0 5 Einsetzen: ( ) + () ( 5) + 5 = = = 0 = Somit: g schneidet E im Punkt S( 5 6 ) h : X und E: = Einsetzen: ( ) + ( +) (7) + 5 = = 0 9 = 0 Keine Lösung, zw. h E Lmcher Schweizer Seite ff Gegeen sind: E : n ( X A) 0 E und F schneiden sich in einer Gerden, wenn n und n liner unhängig sind. und Sind n und n liner hängig, dnn gilt ) E = F, wenn der Aufpunkt von E uch in F liegt. ) E F, wenn der Aufpunkt von E nicht in F liegt. E: = 0 (I) F: + = 0 (II) (I)+(II) + 6 = 0 zw. = In (II) + = 0 zw. = + Z.B. frei wählr: = Somit F : n ( X B) 0 0 g : X (Schnittgerde) 0 Gegenseitige Lge zweier Eenen KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 7 ff

63 Grundwissen Seite 6 von 6 Klsse M. Rpp 07 Gegeen sind: g : X A r und der Punkt P(p p p ). Für welchen Gerdenpunkt G gilt PG r? Astnd vom Punkt P zur Gerden g Beispiel 0 g : X 0 und P( ) G( + ) Nun: ( 6) + ( ) = 0 zw. 5 5 = 0 zw. = Somit ist G( ) und es gilt d(p; g) = PG = ( )² 0 0 KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 0 ff Gegeen sind: und der Punkt P(p p p ). P in E HNF einsetzen: E : n ( X A) 0 d( P; E) (np + n p + np + n0) n E: + + = 0 und P ( 7) n, somit EHNF: ( + + ) = 0 d(p; E) = ( + + ) = Astnd vom Punkt P zur Eene E KOORDINATEN- IM RAUM Lmcher Schweizer Seite 0 ff Schnittwinkel zwischen zwei Gerden: Schnittwinkel zwischen Gerde und Eene: cos sin r v r v r n r n Schnittwinkel KOORDINATEN- IM RAUM Schnittwinkel zwischen zwei Eenen: cos n n n n Lmcher Schweizer Seite 6 ff