zu beweisen, kann man sich daher auf einen speziellen, möglichst einfach strukturierten Raum

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1 9 Tensoren Im Teil I haben wir die wesentlichen Eigenschaften des physikalischen Raumes mit den Mitteln der linearen Algebra beschrieben. Die Orte im Raum haben wir mit den Punkten eines dreidimensionalen, metrischen affinen Raumes identifiziert, und darauf aufbauend haben wir die Newtonsche Mechanik für Systeme von Punktteilchen formuliert. Außerdem haben wir Kraftfelder zur Beschreibung von Wechselwirkungen verwendet, etwa in Form von Gravitations- oder elektromagnetischen Feldern. In diesem Kapitel wollen wir die mathematischen Strukturen, die hinter diesen Begriffen stehen, etwas weiter vertiefen. Oft begegnen uns in ganz unterschiedlichen physikalischen Fragestellungen ähnliche mathematische Strukturen. Es ist deshalb nützlich, eine Sprache zu entwickeln, die solche Ähnlichkeiten und Analogien zwischen scheinbar ganz verschiedenen Objekten leichter erkennbar macht. Gleichzeitig sollte diese Sprache aber auch dazu geeignet sein, die physikalischen Fragestellungen möglichst anschaulich zu formulieren. Wir suchen also einen Kompromiss zwischen der Sprache der Mathematiker, die oft speziell darauf ausgelegt ist, möglichst elegante und allgemeingültige Beweise zu führen, und der Sprache der Physiker, die primär darauf ausgelegt ist, Beobachtungen und Experimente zu beschreiben. Dass zwischen diesen Anforderungen manchmal eine gewisse Spannung besteht, haben wir bereits bei der Beschreibung des physikalischen Raumes gesehen. Der Mathematiker denkt bei einem N- dimensionalen affinen Raum immer gleich an den speziellen Raum R N. Der Grund ist sehr einfach. Man weiß, dass alle affinen Räume gleicher Dimension isomorph sind. Um Sätze über affinen Räume und Vektorräume zu beweisen, kann man sich daher auf einen speziellen, möglichst einfach strukturierten Raum beschränken und alle Beweise in diesem Raum führen. Für den Physiker ist die Vorstellung des Raumes als R 3 aber sehr unbefriedigend, denn sie vermittelt die falsche Vorstellung, dass es so etwas wie ein ausgezeichnetes Koordinatensystem gäbe, und insbesondere einen Nullpunkt. Gesucht ist deshalb eine Formulierung von physikalischen Theorien, in der die verwendeten mathematischen Objekte die physikalischen Strukturen möglichst gut widerspiegeln, auch wenn dies hin und wieder bedeutet, dass die Beweise für mathematische Sätze, wenn wir sie denn führen wollen, ein wenig umständlicher aussehen als sie tatsächlich sind. Eine dafür recht gut geeignete Sprache, in der sich einerseits alle wesentlichen Aspekte der linearen Algebra und der Analysis erfassen lassen, die aber andererseits auch sehr gut an die gängigen physikalischen Konzepte von Raum und Zeit, Kraftfeldern und die Beschreibung von dynamischen Systemen angepasst ist, bietet das Tensorkalkül. Etwas überspitzt kann man sagen, dass alle mathematischen Objekte, die wir bis jetzt eingeführt und benutzt haben, Tensoren oder Tensorfelder sind, oder dass sie zumindest etwas mit diesem Konzept zu tun haben. Das Tensorkalkül dient im wesentlichen dazu, mathematische Objekte und Strukturen, wie sie typischerweise in physikalischen Theorien auftreten, zu klassifizieren. Außerdem stellt es einen Rahmen bereit, der sich fast beliebig erweitern lässt, und in dem in einer sehr genau definierten Art und Weise neue Objekte aus bereits vorhandenen konstruiert werden können. Natürlich müssen wir erst einmal definieren, was denn ein Tensor überhaupt ist. Das werden wir in diesem Kapitels tun, und wir werden zeigen, wie sich die wichtigsten mathematischen Begriffe aus dem ersten Teil in dieses Konzept einpassen. Viele der dort hergeleiten, scheinbar sehr unterschiedlichen Eigenschaften von Vektoren und Vektorfeldern werden dabei in einem neuen, einheitlichen Licht erscheinen. Vektoren und duale Vektoren Es sei V ein N-dimensionaler Vektorraum über R. Um später eine einheitliche Notation einzuführen, bezeichnen wir die Vektoren mit fett gedruckten Buchstaben x, y,... V, und eine Basis von V mit e i, wobei der Vektorindex i irgendeine nicht weiter spezifizierte Indexmenge mit N Elementen durchläuft. Einen Vektor x können wir dann durch seine Komponenten x i bezüglich dieser Basis darstellen, x = x i e i V. (9.)

2 Warum wir den Index nach oben schreiben, werden wir gleich verstehen. Wir verwenden außerdem die folgende, leicht veränderte Summenkonvention. Über Vektorindizes in einem Produkt ist genau dann zu summieren, wenn derselbe Index einmal als oberer und einmal als unterer Index auftritt. Andere Situationen, also Ausdrücke, in denen derselbe Index zweimal unten oder zweimal oben steht, werden im folgenden nicht auftreten und sind, wie wir sehen werden, auch nicht sinnvoll. Der zu V duale Vektorraum V ist die Menge aller linearen Abbildungen V R. Ist u V, so bezeichnen wir die durch u definierte Abbildung mit einem Punkt, also Da diese Abbildung linear ist, gilt für alle x, y V, u V und s R u : V R, x u x. (9.2) u (x + y) = u x + u y, u (s x) = s (u x). (9.3) Damit V zu einem Vektorraum wird, erklärt man die Vektoraddition und skalare Multiplikation in V wie für Abbildungen üblich. Für u, v V, x V und s R ist (u + v) x = u x + v x, (s u) x = s (u x). (9.4) Umgekehrt definiert jeder Vektor x V eine lineare Abbildung V R, die genau die gleichen Eigenschaften hat, nämlich x : V R, u u x. (9.5) Tatsächlich lässt sich jede lineare Abbildung V R so schreiben. Der zu V duale Vektorraum ist demnach V. Um diese Symmetrie zum Ausdruck zu bringen, fasst man den Punkt auch als eine bilineare Abbildung auf, die einen dualen Vektor und einen Vektor auf eine reelle Zahl abbildet, V V R : (u, x) u x. (9.6) Bilinear bedeutet linear in beiden Argumenten, also die Eigenschaften (9.3) und (9.4). Wir nennen u x auch einfach das Produkt von u und x. Zu jeder Basis e i von V gibt es eine zugehörige duale Basis e i von V. Der Index i durchläuft dabei die gleiche Indexmenge. Wir unterscheiden die Basis von der dualen Basis dadurch, dass wir den Index einmal nach unten und einmal nach oben schreiben. Die duale Basis ist dadurch eindeutig festgelegt, dass die dualen Vektoren e i V, aufgefasst als lineare Abbildungen V R, die Basisvektoren e j V auf Null oder Eins abbilden, je nachdem, ob i gleich j ist oder nicht. Das lässt sich mit dem bekannten Kronecker-Symbol schreiben, { für i = j, e i e j = δ i j = (9.7) für i j. Auch diese Bedingung ist symmetrisch in dem Sinne, dass e i dann auch die zu e i duale Basis ist. Zu jeder Basis von V gibt es eine eindeutig bestimmte duale Basis von V. Einen dualen Vektor u V können wir durch seine Komponenten bezüglich der dualen Basis e i darstellen, wobei wir den Index diesmal nach unten schreiben, damit wieder die Summenkonvention zur Anwendung kommt, u = u i e i V. (9.8) Bilden wir nun das Produkt von u und a, so finden wir u x = (u i e i ) (e j x j ) = u i (e i e j ) x j = u i δ i j x j = u i x i. (9.9) Das Produkt ist einfach durch die Summe über die Produkte der Komponenten gegeben. 2

3 Aufgabe 9. Eine andere nützliche Eigenschaften einer Basis und ihrer dualen Basis ist, dass die dualen Basisvektoren e i, aufgefasst als lineare Abbildungen V R, den Vektoren ihre Komponenten zuordnen, und umgekehrt die Basisvektoren e i, aufgefasst als lineare Abbildungen V R, den dualen Vektoren ihre Komponenten zuordnen. Man zeige das, also x = x i e i, u = u i e i x i = e i x, u i = u e i. (9.) Ein typisches Beispiel für einen Vektorraum und seinen Dualraum sieht wie folgt aus. Es sei V der Raum aller Spaltenvektoren der Länge N, also x = x. x N V, mit x,..., x N R. (9.) Jede lineare Abbildung u : V R kann dann wie folgt geschrieben werden, u : x u x = u x + + u N x N, (9.2) mit eindeutig bestimmten Koeffizienten u,... u N R. Fassen wir diese zu einem Zeilenvektor zusammen, u = ( u u N ) V, mit u,..., u N R, (9.3) so lässt sich die Abbildung (9.2) als Matrixmultiplikation schreiben, u x = ( u u n ) x. x N = u x + + u N x N. (9.4) Natürlich sind in diesem Fall die Zahlen x,..., x N die Komponenten des Vektors x bezüglich der Basis e =.,..., e N =., (9.5) und die Zahlen u,..., u N sind die Komponenten von u bezüglich der dazu dualen Basis e = ( ),..., e N = ( ). (9.6) Der zum Spaltenvektorraum V duale Vektorraum ist folglich der Zeilenvektorraum V. Dies ist gewissermaßen der Prototyp für einen Vektorraum und seinen Dualraum. Oft ist es nützlich, sich Vektoren als Spalten und duale Vektoren als Zeilen vorzustellen. Insbesondere wird dadurch klar, dass es sich um zwei verschiedene Arten von Objekten handelt. Obwohl der duale Vektorraum V die gleiche Dimension hat wie der Vektorraum V selbst, ist er nicht mit diesem identisch. Aufgabe 9.2 Die Regeln (9.3) und (9.4) entsprechen formal den Eigenschaften eines Skalarproduktes. Was ist jedoch der wesentliche Unterschied zwischen dem hier definierten Produkt und einem Skalarprodukt? 3

4 Aufgabe 9.3 Es sei V der Raum aller Spaltenvektoren der Länge N, und V der Raum aller Zeilenvektoren der Länge N. Ferner sei die folgende Basis von V gegeben, e =, e 2 =, e 3 =,, e N =. (9.7).... Man bestimme die duale Basis e i, i {,..., N}, von V. Aufgabe 9.4 Wir haben hier der Einfachheit halber nur endlich dimensionale Vektorräume betrachtet. Für Vektorräume unendlicher Dimension kann man ganz analog einen dualen Vektorraum einführen. Allerdings ist dieser in der Regel nicht mehr genauso groß wie die Vektorraum selbst. Es sei zum Beispiel V der Raum aller unendlichen Folgen a = (a, a 2,...) mit der Eigenschaft, dass alle bis auf endlich viele Glieder gleich Null sind. Das ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum, der aber noch vergleichsweise klein ist. Es lässt sich sogar recht leicht eine Basis e i von V angeben, mit i N, so dass sich jeder Vektor eindeutig als endliche Linearkombination der Basisvektoren schreiben lässt. Wie sieht diese Basis aus? Was ist der duale Vektorraum V? Gibt es eine zu e i duale Basis von V? Basistransformationen Die Komponenten eines Vektors sind immer nur bezüglich einer gegebenen Basis definiert. Ändern wir die Basis, so ändern sich auch die Komponenten. Wir müssen zwischen dem Vektor x V als solchem und seiner Darstellung durch die Komponenten x i unterscheiden, und entsprechend zwischen dem dualen Vektor u V seine Darstellung durch die Komponenten u i. Wir betrachten im folgenden zwei Basen e i und e a, die wir durch ihre Indizes unterscheiden. Der Index a durchlaufe eine andere Indexmenge als der Index i, zum Beispiel i {x, y, z} und a {, 2, 3} im Falle eines dreidimensionalen Vektorraumes. Die Beziehung zwischen den Basen kann durch eine N N-Übergangsmatrix ausgedrückt werden, wobei wieder N = dim V ist. Wir stellen dazu die Basisvektoren e a als Linearkombination der Basisvektoren e i dar, oder umgekehrt die Basisvektoren e i als Linearkombination der Basisvektoren e a, e a = e i Λ i a e i = e a Λ a i. (9.8) Damit die beiden Gleichungen zueinander äquivalent sind, müssen die Übergangsmatrizen zueinander invers sein, also Λ i a Λ a j = δ i j oder Λ a i Λ i b = δ a b. (9.9) Wir können das als Matrixmultiplikation lesen, wenn wir den ersten, oberen Index der Übergangsmatrix als Zeilenindex, und den zweiten, unteren Index als Spaltenindex interpretieren. Die Summenkonvention sorgt dafür, dass die Matrixmultiplikation richtig ausgeführt wird. Natürlich besteht dann auch ein Zusammenhang zwischen den dualen Basen e i und e a. Dieser wird durch die gleichen Übergangsmatrizen vermittelt. Es gilt nämlich e a = Λ a i e i e i = Λ i a e a. (9.2) Der Beweis ist ganz einfach. Es sei e i die zu e i duale Basis, also e i e j = δ i j. Dann ist e a e b = (Λ a i e i ) (e j Λ j b) = Λ a i (e i e j ) Λ j b = Λ a i δ i j Λ j b = Λ a i Λ i b = δ a b, (9.2) 4

5 also ist auch e a die zu e a duale Basis. Die Transformationseigenschaften (9.8) und (9.2) lassen sich leicht einprägen, denn das sind die einzigen Möglichkeiten, die Basisvektoren so mit den Übergangsmatrizen zu kombinieren, dass alle Indizes richtig zusammenpassen und dabei die Summenkonvention zur Anwendung kommt. Aus diesen Transformationsgesetzen lassen sich schließlich auch die Regeln für die Komponenten eines Vektors und eines dualen Vektors ableiten. Es sei also Dann ergibt sich aus (9.) x = x i e i = x a e a V, und u = u i e i = u a e a V. (9.22) x i = e i x, x a = e a x, u i = u e i, u a = u e a, (9.23) und durch Einsetzen von (9.8) und (9.2) das folgende Transformationsverhalten für die Komponenten eines Vektors, x a = Λ a i x i x i = Λ i a x a. (9.24) Für die Komponenten eines dualen Vektors gilt entsprechend u a = u i Λ i a u i = u a Λ a i. (9.25) Auch diese Zusammenhänge lassen sich leicht einprägen, da es keine andere Möglichkeit gibt, die Komponenten so mit der Übergangsmatrix zu kombinieren, dass die Indexstellung stimmt und die Summenkonvention zur Anwendung kommt. Alternativ können wir das auch wie folgt formulieren: Bei einem Basiswechsel transformieren sich die Komponenten von Vektoren so wie die dualen Basisvektoren und die Komponenten von dualen Vektoren so wie die Basisvektoren. Ein Vektor wird also durch einen Satz von N reellen Zahlen dargestellt, der sich beim Wechsel der Basis in einer ganz bestimmten Art und Weise transformiert. Wir können das im Prinzip als eine Definition des Begriffes Vektor auffassen. Das gleiche gilt für einen dualen Vektor, nur dass für diesen eben ein anderes Transformationsverhalten gilt. Vektoren und duale Vektoren unterscheiden sich dadurch, dass ihre Komponenten beim Basiswechsel anders transformieren. Deshalb unterscheiden wir sie durch obere und untere Indizes. Die verschiedenen Transformationseigenschaften von oberen und unteren Indizes haben zur Folge, dass eine bestimmte Kombination eines dualen Vektors und eines Vektors von der Basis unabhängig ist, nämlich das Produkt u x = u i x i = u a x a. (9.26) Einen solchen Ausdruck nennen wir einen Skalar. Ein Skalar ist einfach eine reelle Größe, die sich bei einem Basiswechsel gar nicht verändert. Aufgabe 9.5 Es sei V der Raum aller Spaltenvektoren der Länge 3, und V der dazu duale Raum aller Zeilenvektoren der Länge 3. Eine Basis e a, mit a {, 2, 3}, sei durch e =, e 2 =, e 3 = (9.27) gegeben, eine zweite Basis e i, mit i {x, y, z}, durch e x =, e y =, e z =. (9.28) Man bestimme die Übergangsmatrizen Λ a i und Λ i a, finde die dualen Basen e a und e i, und verifiziere das Transformationsverhalten (9.2). 5

6 Aufgabe 9.6 Es seien e i und e a zwei Basen von V, und e i bzw. e a die dazu dualen Basen. Man zeige, dass sich die Übergangsmatrizen wie folgt darstellen lassen, Λ a i = e a e i, Λ i a = e i e a. (9.29) Aufgabe 9.7 Es sei V der Raum aller Spaltenvektoren der Länge 2, und V der entsprechende Zeilenvektorraum. Die Basis e a, mit a {, 2}, und die Basis e i, mit i {u, v}, seien durch ( ) ( ) ( ) ( ) cos α sin α e =, e 2 =, e u =, e sin α v = (9.3) cos α gegeben, wobei α ein fest gewählter Winkel ist. Man bestimme die Übergangsmatrizen und die dualen Basisvektoren. Aufgabe 9.8 Basistransformationen können verkettet werden. Es seien e i, e a und e µ drei Basen von V, die wir durch unterschiedliche Indexmengen unterscheiden. Man zeige, dass dann die Übergangsmatrix Λ i µ, die die erste Basis in die dritte überführt, durch das Matrixprodukt der Übergangsmatrizen Λ i a und Λ a µ gegeben ist, also Λ i µ = Λ i a Λ a µ. (9.3) Die Menge aller möglichen Basistransformationen bildet folglich eine Gruppe. Um welche Matrixgruppe handelt es sich? Tensoren Das Konzept eines Vektors oder eines dualen Vektors als ein Satz von N reellen Zahlen, die sich unter einem Basiswechsel in einer ganz bestimmten Art transformieren, lässt sich verallgemeinern. Betrachten wir zum Beispiel einen Satz von N 2 reellen Zahlen, die wir in Form einer Matrix anordnen und mit A i j bezeichnen, wobei die Indizes i und j jeweils N Werte annehmen. Wir postulieren, dass sich dieses Zahlenschema unter einem Basiswechsel wie folgt transformieren soll. Beim Übergang von einer Basis e i zu einer neuen Basis e a soll sich die Matrix A i j in eine Matrix A a b = Λ a i A i j Λ j b (9.32) transformieren. Der erste, obere Index verhält sich wie der eines Vektors, der zweite, untere Index wie der eines dualen Vektors. Wird dadurch irgendein sinnvolles Objekt definiert? Tatsächlich ist das der Fall. Es handelt sich um die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung A : V V. Sie ordnet einem Vektor x mit den Komponenten x i bzw. x a einen Vektor y = A(x) mit den Komponenten y i = A i j x j bzw. y a = A a b x b (9.33) zu. Um zu zeigen, dass diese beiden Gleichungen tatsächlich äquivalent sind, also den gleichen Zusammenhang zwischen den Vektoren x und y ausdrücken, benutzen wir das Transformationsgesetz für die Komponenten von Vektoren und das postulierte Transformationsgesetz (9.32) für die Matrix. Daraus folgt y a = A a b x b = Λ a i A i j Λ j b Λ b k x k = Λ a i A i j δ j k x k = Λ a i A i j x j = Λ a i y i. (9.34) Die rechte Seite der Gleichungen (9.33) transformiert sich in der gleichen Weise wie die linke Seite. Die Gleichungen drücken denselben Sachverhalt aus, benutzen nur verschiedenen Darstellungen der Vektoren. Diese Grundidee lässt sich leicht verallgemeinern. Wir können zunächst ganz abstrakt reelle Zahlen zu einem Schema anordnen, und dann verlangen, dass sich dieses Zahlenschema bei einem Basiswechsel in 6

7 einer ganz bestimmten Art transformiert. Wir erklären das Transformationsverhalten implizit dadurch, dass wir das Zahlenschema durch ein Symbol mit m oberen und n unteren Indizes bezeichnen, etwa B i j k l, wobei jeder Index Werte aus derselben Indexmenge mit N = dim V Elementen annimmt. Insgesamt besteht das Schema dann aus N n+m Zahlen. Wir können uns die Einträge des Zahlenschemas in einem imaginären, höherdimensionalen Raum in Form von Spalten und Zeilen angeordnet vorstellen. Beim Übergang von einer Basis e i zu einer neuen Basis e a soll sich das Schema B i j k l in ein neues Schema B a b c d = Λ a i Λ b j B i j k l Λ k c Λ l d (9.35) transformieren. Wir transformieren quasi jeden einzelnen Index mit einer passenden Übergangsmatrix. Die Transformationsgesetze (9.24) für Vektoren und (9.25) für duale Vektoren sind einfache Spezialfälle davon, die sich für m = und n =, bzw. für m = und n = ergeben. Und das Transformationsverhalten (9.32) für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ergibt sich für m = und n =. Ein auf diese Weise zunächst ganz abstrakt definiertes Zahlenschema heißt Tensor der Stufe (m, n). Ein Vektor ist in diesem Sinne ein Tensor der Stufe (, ), ein dualer Vektor ein Tensor der Stufe (, ), und eine linear Abbildung V V ein Tensor der Stufe (, ). Einen Skalar, also eine reelle Zahl, die sich beim Basiswechsel gar nicht transformiert, können wir als Tensor der Stufe (, ) auffassen. Er trägt gar keine Indizes, und transformiert daher auch nicht beim Basiswechsel. Wir können das in der folgenden, leicht rekursiven, aber sehr intuitiven Definition zusammenfassen: Ein Tensor der Stufe (m, n) ist ein Zahlenschema mit m oberen und n unteren Indizes, das sich beim Basiswechsel wie ein Tensor transformiert. Wir unterscheiden zwischen dem Tensor als abstraktes Objekt, das wir mit B bezeichnen, und seiner Darstellung bezüglich einer bestimmten Basis durch ein Zahlenschema B i j k l. Als was wir uns dieses abstrakte Objekt vorstellen müssen, hängt von der Stufe des Tensors ab. Meistens gibt es mehrere Möglichkeiten, einen Tensor als mathematisches Objekt zu interpretieren. So haben wir zum Beispiel gesehen, dass sich ein Tensor A der Stufe (, ) als lineare Abbildung A : V V interpretieren lässt. Ein Tensor x der Stufe (, ) ist ein Vektor, oder auch eine lineare Abbildung x : V R. Den Raum aller Tensoren der Stufe (m, n) bezeichnen wir mir V (m,n). Das ist ein (dim V) m+n - dimensionaler Vektorraum, und als Spezialfälle haben wir V (,) = V, V (,) = V und V (,) = R. Die Addition und skalare Multiplikation in diesen Vektorräumen ist wie üblich Komponentenweise definiert. Wir addieren zwei Tensoren gleicher Stufe, indem wie die Einträge des Zahlenschemas addieren. Das gleiche gilt für die skalare Multiplikation. Das ist offenbar mit dem linearen Transformationsverhalten (9.35) verträglich, und es entspricht der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation von Vektoren. Die Summe A + B von zwei Tensoren und das reelle Vielfache s A eines Tensors existieren unabhängig von der gewählten Basis. Aufgabe 9.9 Warum kann man einen Tensor der Stufe (, ) auch als Darstellung einer linearen Abbildung V V auffassen? Aufgabe 9. Man zeige, dass das Kronecker-Symbol δ i j einen Tensor δ der Stufe (, ) definiert, indem man das Transformationsverhalten (9.35) nachweist. Einen solchen Tensor, der in allen Basen durch dasselbe Zahlenschema dargestellt wird, nennt man invarianten Tensor. Wenn wir Tensoren der Stufe (, ) als lineare Abbildungen V V interpretieren, welche spezielle solche Abbildung wird dann durch den Tensor δ dargestellt? Aufgabe 9. Ein Tensor A der Stufe (, 2) sei bezüglich einer Basis e i durch seine Darstellung A ij = δ ij, also durch das Kronecker-Symbol mit zwei unteren Indizes definiert. Man zeige, dass dies kein invarianter Tensor ist, dass also die Darstellung A ab bezüglich einer anderen Basis e a im allgemeinen nicht durch das Kronecker-Symbol δ ab gegeben ist. 7

8 Aufgabe 9.2 Bevor man das Transformationsverhalten (9.35) postulieren kann, muss man eigentlich erst zeigen, dass es konsistent ist. Wenn wir zuerst von einer Basis zu einer anderen transformieren, und dann zu einer dritten, dann muss das Ergebnis dasselbe sein wie wenn wir gleich von der ersten zur dritten Basis transformieren. Man verwende das Ergebnis von Aufgabe 9.8, um zu zeigen, dass das Transformationsverhalten (9.35) diese Konsistenzbedingung erfüllt. Aufgabe 9.3 Es sei ein Tensor der Stufe (m, n) gegeben, dargestellt durch ein Zahlenschema B i j k l bezüglich einer Basis e i. Wir definieren eine Abbildung B : V } {{ V } V } {{ V } R, (9.36) m n durch B(u,..., v, x,..., y) = B i j k l u i v j x k y l, (9.37) wobei u i,..., v j bzw. x k,..., y l die Komponenten von u,..., v bzw. x,..., y bezüglich der gegeben Basis sind. Man zeige, dass die so definierte Abbildung, die in jedem ihrer Argumente linear ist, nicht von der gewählten Basis abhängt. Jeder Tensor der Stufe (m, n) definiert auf diese Weise eine multilineare Abbildung, die als Argumente m duale Vektoren und n Vektoren hat. Man zeige umgekehrt, dass sich jeder solchen Abbildung ein Zahlenschema zuordnen lässt, welches sich wie ein Tensor transformiert. Man muss dazu nur die gegebene Abbildung B für die Basisvektoren auswerten, also B i j k l = B(e i,..., e j, e k,..., e l ). (9.38) Welche bilineare Abbildung V V R definiert der Tensor δ aus Aufgabe 9.? Der Tensor-Baukasten Tensoren lassen sich nicht nur wie Vektoren addieren und mit Zahlen multiplizieren, sondern sie lassen sich auch zu neuen Tensoren kombinieren. Das ist die eigentliche Stärke des Tensorkalküls. Zum Teil haben wir solche Operationen auch schon durchgeführt. So haben wir zum Beispiel aus einem Vektor x mit Komponenten x i und einem dualen Vektor u mit Komponenten u i einen Skalar u x = u i x i gebildet. Oder wir haben eine lineare Abbildung A, dargestellt durch eine Matrix A i j, auf einen Vektor, dargestellt durch seine Komponenten x i, angewandt, um so einen neuen Vektor y = A(x) zu bekommen, dargestellt durch y i = A i j x j. Alle diese Operationen setzen sich aus zwei Grundoperationen zusammen, die Tensoren auf andere Tensoren abbilden. Die erste Grundoperation ist die Tensormultiplikation. Wir multiplizieren zwei Tensoren beliebiger Stufe, indem wir ihre Komponenten auf alle möglichen Arten multiplizieren und das Ergebnis wieder in einem Schema anordnen. Auf alle möglichen Arten heißt, dass wir jeden Eintrag des einen Tensors mit jedem des anderen multiplizieren. Explizit sieht das zum Beispiel so aus, dass wir aus einem Tensor A der Stufe (2, ) und einem Tensor B der Stufe (, ) einen Tensor C der Stufe (3, ) bilden, der durch das Zahlenschema C ijk l = A ij B k l (9.39) dargestellt wird. Wir schreiben dafür auch C = A B, und nennen dies das Tensorprodukt von A und B. Dass auf diese Weise tatsächlich ein neuer Tensor definiert wird, müssen wir natürlich beweisen. Wir müssen also zeigen, dass das Zahlenschema (9.39) bei einem Basiswechsel wie ein Tensor transformiert. Wir setzen voraus, dass A und B Tensoren sind, das heißt für zwei beliebigen Basen e i und e a gilt A ab = Λ a i Λ b j A ij, B c d = Λ c k B k l Λ l d. (9.4) 8

9 Wenn wir die beiden Gleichungen multiplizieren, bekommen wir C abc d = A ab B c d = Λ a i Λ b j Λ c k A ij B k l Λ l d = Λ a i Λ b j Λ c k C ijk l Λ l d. (9.4) Das ist genau das Transformationsverhalten eines Tensors der Stufe (3, ). Also haben wir gezeigt, dass durch (9.39) ein solcher Tensor definiert ist, und zwar unabhängig davon, in welcher Basis wir diese Gleichung aufschreiben. Genau wir die komponentenweise Addition ist auch die komponentenweise Multiplikation von zwei Tensoren, wenn sie auf diese Weise ausgeführt wird, unabhängig von der gewählten Darstellung. Wie das Tensorprodukt zu verallgemeinern ist, ist sofort offensichtlich. Das Tensorprodukt eines Tensor der Stufe (m, n) mit einem Tensor der Stufe (p, q) ist ein Tensor der Stufe (m + p, n + q). Das einfachste Beispiel ist das Tensorprodukt eines Vektors z = z i e i mit einem dualen Vektor w = w i e i. Das ist ein Tensor A = z w der Stufe (, ), dessen Komponenten durch A i j = z i w j gegeben sind. Wenn V der Spaltenvektorraum der Länge N, V der zugehörige Zeilenvektorraum, und e i die Standardbasis (9.5) ist, dann lässt sich auch dieses Produkt als Matrixmultiplikation schreiben. Es gilt dann nämlich z = z. z N, w = ( w w N ), (9.42) und folglich A = z w = z. z N ( w w N ) = z w z w N..... z N w z N w N. (9.43) Die Matrix A wird offenbar aus allen möglichen Produkten der Komponenten von z und w gebildet. Das Tensorprodukt ist etwas anderes als das Produkt (9.6) eines Vektors mit einem dualen Vektor, das eine Zahl liefert. Mit dem Tensorprodukt lassen sich Tensoren höherer Stufe bilden. Man kann damit auch eine Basis der Vektorräume V (m,n) konstruieren. Bleiben wir bei dem Beispiel von eben, und ersetzen den Vektor z der Reihe nach durch alle Basisvektoren e i, und den dualen Vektor w der Reihe nach durch alle dualen Basisvektoren e j. Das Tensorprodukt e i e j wird dann durch eine Matrix dargestellt, die nur in der i-ten Spalte und j-ten Zeile eine Eins, und sonst nur Nullen als Einträge hat. Diese Matrizen bilden eine Basis von V (,). Das lässt sich natürlich wieder verallgemeinern. Um eine Basis von V (m,n) zu definieren, müssen wir alle möglichen Tensorprodukte von m Basisvektoren und n dualen Basisvektoren bilden. Es gibt (dim V) m+n Möglichkeiten, dies zu tun, und das ist auch die Dimension von V (m,n). Ein Tensor der Stufe (m, n) hat dann die Darstellung B = B i j k l e i e }{{} j e } k {{ e } l. (9.44) m n Aufgabe 9.4 Man beweise, dass die rechte Seite von (9.44) tatsächlich unabhängig von der Basis ist, also unter einem Basiswechsel invariant bleibt. Der so definierte Tensor B existiert also unabhängig von seiner Darstellung. Die zweite Grundoperation des Tensorkalküls ist die Spurbildung oder Kontraktion. Wir betrachten noch einmal eine lineare Abbildung A : V V, dargestellt durch eine Matrix A i j. Die Spur der Matrix ist die Summe über die Diagonalemente, also sp(a) = A i i. (9.45) 9

10 Die Spur ist unabhängig von der gewählten Basis. Das lässt sich leicht zeigen. Es gilt A a a = Λ a i A i j Λ j a = A i j δ j i = A i i. (9.46) Die Spur eines Tensors der Stufe (, ) ist ein Skalar, der nicht von der gewählten Basis abhängt. Auch das lässt sich wieder verallgemeinern. Betrachten wir einen beliebigen Tensor A, der mindestens einen oberen und einen unteren Index hat. Dann können wir über diese Indizes die Spur bilden und so einen neuen Tensor B definieren. Etwas schematisch, oder am Beispiel eines Tensors der Stufe (, 3), B = A i i, (9.47) B kl = A i kil. (9.48) Sobald ein Tensor mehr als einen oberen oder mehr als einen unteren Index hat, gibt es mehrere Möglichkeiten, eine Spur zu bilden. Wir sagen in diesem Fall, dass wir den ersten und den dritten Index des Tensors A kontrahiert haben, um den Tensor B zu bilden. Auch hier müssen wir erst nachweisen, dass durch die Kontraktion tatsächlich ein neuer Tensor definiert wird. Der Beweis ist wieder sehr einfach und völlig analog zu (9.46). Wir müssen nur ein paar zusätzliche Übergangsmatrizen ausschreiben. Wir führen ihn exemplarisch für den Fall (9.48). Es ist B cd = A a cad = Λ a i A i kjl Λ k c Λ j a Λ l d = δ j i A i kjl Λ k c Λ l d = B kl Λ k c Λ l d, (9.49) was wieder dem Transformationsverhalten eines Tensors der Stufe (, 2) entspricht. Für den allgemeine Fall ist der Beweis genauso zu führen. Die Kontraktion eines Tensors der Stufe (m, n) ergibt einen Tensor der Stufe (m, n ). Wir verstehen nun auch, warum die Summenkonvention gerade so und nicht anders formuliert ist. Der Beweis (9.49) funktioniert nur, wenn einer der Indizes, über den summiert wird, oben steht und der andere unten. Denn nur dann heben sich die beiden Übergangsmatrizen Λ a i und Λ j a gegenseitig weg. Würden wir über einen doppelt oben der doppelt unten vorkommenden Index summieren, hätte das Ergebnis nicht das richtige Transformationsverhalten, wäre also kein Tensor. Und schon gar nicht, wenn wir über einen Index summieren würden, der nur einmal oder dreimal vorkommt. Tatsächlich lassen sich jetzt alle Operationen, die wir mit Vektoren, dualen Vektoren oder Tensoren höherer Stufe durchgeführt haben, auf diese zwei Grundoperationen zurückführen. So entsteht zum Beispiel das Produkt eines Vektors mit einem dualen Vektor, u x = u i x i, durch Tensormultiplikation und anschließende Kontraktion. Ein anderes Beispiel ist die Verkettung von zwei linearen Abbildungen A und B zu einer Abbildung C = A B. Diese erfolgt durch Multiplikation der Matrizen, also C i k = A i j B j k. Auch das ergibt sich aus einer Tensormultiplikation und einer Kontraktion. Die beiden Grundoperationen können verwendet werden, um Tensoren fast beliebig zu neuen Tensoren zu kombinieren. Auf diese Weise entsteht ein Art Baukasten. Die Bausteine sind die Tensoren. Ihre Indizes kann man als Stecker und Buchen interpretieren. Man kann zwei Tensoren aneinander heften und das ganze als einen zusammengesetzten Baustein betrachten. Das entspricht der Tensormultiplikation. Man kann auch einen Stecker mit einer Buchse verbinden, und das als einen Baustein mit wenigen freien Steckern und Buchsen betrachten. Das entspricht der Kontraktion. Wir werden hier höchstens Tensoren zweiter Stufe benötigen, bis auf eine spezielle Ausnahme eines Tensor dritter Stufe, den wir am Ende dieses Kapitels einführen werden. Trotzdem ist es ganz nützlich, das allgemeine Prinzip verstanden zu haben. Das Tensorkalkül bietet eine einheitliche Sprache, in der sich fast alle Aussagen der linearen Algebra formulieren lassen. Wir wollen das im folgenden anhand von ein paar Beispielen zeigen, und dabei auch den Anschluss an das herstellen, was wir im Teil I über die Strukturen des physikalischen Raumes gesagt haben.

11 Aufgabe 9.5 Mit der Interpretation eines Tensors als multilineare Abbildung aus Aufgabe 9.3 lässt sich das Tensorprodukt auch ohne Rückgriff auf eine Basis definieren. Im hier gezeigten Beispiel (9.39) sind die Tensoren bilineare Abbildungen A : V V R und B : V V R. Man zeige, dass der Tensor C = A B durch die folgende multilineare Abbildung gegeben ist, C : V V V V R, C(u, v, w, x) = A(u, v) B(w, x). (9.5) Aufgabe 9.6 Es sei e i eine beliebige Basis von V und e i die zugehörige duale Basis von V. Man zeige, dass der Kronecker-Tensor δ aus Aufgabe 9. durch δ = e i e i dargestellt werden kann. Die Metrik Wir betrachten jetzt einen Vektorraum V, auf dem eine Metrik, also ein Skalarprodukt V V R definiert ist. Um es von dem Produkt (9.6) zu unterscheiden, für das wir den Punkt verwenden, bezeichen wir das Skalarprodukt von zwei Vektoren x, y V zunächst mit g(x, y). Die Axiome für einen metrischen Vektorraum verlangen, dass das Skalarprodukt symmetrisch und bilinear ist. Daraus folgt mit x = x i e i und y = y i e i g(x, y) = g(x i e i, y i e i ) = g(e i, e j ) x i y j = g ij x i y j, (9.5) wobei g ij eine symmetrische N N-Matrix ist. Tatsächlich handelt es sich dabei, wie man aus der Indexstellung abliest, um einen Tensor der Stufe (, 2). Es gilt nämlich beim Übergang von der Basis e i zu einer neuen Basis e a g ab = g(e a, e b ) = g(e i Λ i a, e j Λ j b) = g(e i, e j ) Λ i a Λ j b = g ij Λ i a Λ j b. (9.52) Das ist das Transformationsverhalten, das einen Tensor der Stufe (, 2) definiert. Wir nennen einen Tensor symmetrisch, wenn das Zahlenschema unter Vertauschung von zwei Indizes invariant ist, also g ij = g ji. (9.53) Außerdem müssen wir noch verlangen, dass die Metrik positiv ist. Für alle x V gilt Das ist eine weitere Forderung an die Matrix g ij, nämlich Zusammenfassend können wir sagen: g(x, x), g(x, x) = x =. (9.54) g ij x i x j, g ij x i x j = x i =. (9.55) Eine Metrik ist ein positiver, symmetrischer Tensor der Stufe (, 2). Mit einer Metrik auf V ist auch eine Metrik auf V definiert. Aus der Positivität der Matrix g ij folgt nämlich, dass sie invertierbar ist. Es existiert also eine ebenfalls symmetrische, inverse Matrix, die wir mit g ij bezeichnen, so dass g ij g jk = δ i k g ij g jk = δ i k. (9.56) Diese inverse Matrix ist die Darstellung eines Tensors der Stufe (2, ). Das müssen wir jetzt gar nicht mehr anhand der Transformationseigenschaften beweisen, sondern das können wir unmittelbar aus den Gleichungen (9.56) ablesen. Dazu argumentieren wir wie folgt. Zuerst wählen wir irgendeine Basis, und definieren einen Tensor g ij, dessen Komponenten in dieser Basis die Gleichungen (9.56) erfüllen. Dann transformieren wir diesen

12 Tensor in eine beliebige andere Basis. Von der jeweils rechten Seite der Gleichung wissen wir, dass sich δ i k wie ein Tensor transformiert. Also steht dort auch in jeder anderen Basis das Kronecker-Symbol. Auf der linken Seite wissen wir, dass sowohl g ij als auch g jk die Darstellungen von Tensoren sind. Außerdem wissen wir, dass wir Tensoren multiplizieren und kontrahieren dürfen, und dass sich das Ergebnis dieser Operation wieder wir ein Tensor verhält. Wir schließen daraus, dass die Gleichung, so wie sie dort steht, in jeder Darstellung, als für jeder Wahl der Basis gilt. Wir hätten genauso gut eine andere Basis wählen können, um die inverse Metrik als Tensor zu definieren. Das ist eine ganz wesentliche Eigenschaft der Tensorkalküls. Wir können es einer Gleichung, die eine Beziehung zwischen Tensoren herstellt, allein an ihre Form ansehen, dass sie in in jeder Basis, also für jede Darstellung der Tensoren gilt. Die Voraussetzung dafür ist, dass auf beiden seiten der Gleichung die gleichen freien Indizes erscheinen, also die, für die wir noch Werte einsetzen können. Das sind hier die Indizes i und k. Und alle Indizes, über die summiert wird, müssen genau einmal oben und einmal unten stehen. Das ist hier der Index j. Mit Hilfe der inversen Metrik können wir nun das Skalarprodukt von zwei dualen Vektoren u = u i e i und v = v i e i bilden. Wir setzen dazu g(e i, e j ) = g ij, so dass g(u, v) = g(u i e i, v i e i ) = g(e i, e j ) u i v j = g ij u i v j. (9.57) Tatsächlich können wir sogar noch einen Schritt weiter gehen. Die Tensoren g ij und g ij lassen nämlich noch eine andere Interpretation zu. Sie lassen sich als lineare Abbildungen V V, bzw. V V auffassen. Wir ordnen einem Vektor x = x i e i V umkehrbar eindeutig einen dualen Vektor x = x i e i V zu, indem wir x i = g ij x j x i = g ij x j (9.58) setzen. Wenn wir den dualen Vektor x als lineare Abbildung V R auffassen, dann lässt sich diese mit den Worten bilde das Skalarprodukt mit x anschaulich beschreiben. In einem metrischen Vektorraum entspricht also jedem Vektor eindeutig eine solche lineare Abbildung, und umgekehrt kann jede lineare Abbildung V R, also jeder duale Vektor, eindeutig als Skalarprodukt mit einen Vektor dargestellt werden. Es ist daher sinnvoll, die Räume V und V miteinander zu identifizieren, indem man den Vektor x mit dem dualen Vektor x gleich setzt. Der Punkt bekommt dann auch wieder seine Bedeutung als Skalarprodukt, denn nun ist g(x, y) = x y = x y. (9.59) Eine weitere Konsequenz ist, dass nun auch die Komponenten x i = x i und x i Darstellungen desselben Vektors sind, nämlich x = x i e i = x i e i V = V. (9.6) Für die Beziehungen zwischen den Komponenten x i und x i bzw. den Basisvektoren e i und e i finden wir x i = g ij x j, x i = g ij x j, e i = g ij e j, e i = g ij e j. (9.6) Wir können einen Vektor also wahlweise durch seine oberen oder unteren Komponenten darstellen, indem wir ihn entweder als Linearkombination der Basisvektoren, oder der dualen Basisvektoren schreiben. Die beiden Darstellungen transformieren bei einem Basiswechsel noch immer verschieden, aber sie repräsentieren beide dasselbe Objekt, nämlich den Vektor x. Diese etwas verwirrende Tatsache lässt sich, wie fast alles in einem metrischen Vektorraum, geometrisch veranschaulichen. Am Beispiel eines zweidimensionalen Vektorraumes wird dies in Abbildung 9.(a) gezeigt. Dort ist zunächst eine Basis (e, e 2 ) eingezeichnet. Der Vektor x kann in dieser Basis als Linearkombination x = x e + x 2 e 2 dargestellt werden. Die entsprechenden Komponenten (x, x 2 ) können an den Achsen, die von den Basisvektoren aufgespannt werden, abgelesen werden. 2

13 (c) (d) x 2 x 2 x 2 e 2 e 2 x e 2 x e x x e e x (a) (b) Abbildung 9.: In einem metrischen Vektorraum V gibt es zu jeder Basis e i von V eine duale Basis e i, die ebenfalls eine Basis von V ist (a). Nur eine Orthonormalbasis (b) ist zu sich selbst dual. Die duale Basis (e, e 2 ) ist eindeutig durch die Forderung e i e j = δ i j festgelegt. Dies ist jetzt eine Forderung an die Skalarprodukte der Basisvektoren mit den dualen Basisvektoren. Der Vektor e steht auf e 2 senkrecht, und sein Betrag wird dadurch bestimmt, dass das Skalarprodukt mit e gleich Eins ist. Entsprechend ist der Vektor e 2 festgelegt. Stellt man nun denselben Vektor als Linearkombination x = x e + x 2 e 2 dar, so liest man die entsprechenden Komponenten (x, x 2 ) an den gestrichelten Achsen ab, die von den dualen Basisvektoren aufgespannt werden. Sie sind im allgemeinen von der Komponenten (x, x 2 ) desselben Vektors verschieden, und sie transformieren auch bei einem Basiswechsel anders. Es gibt allerdings den Spezialfall, in dem die Basis mit der dualen Basis identisch ist. Aus (9.6) entnehmen wir, dass dies genau dann der Fall ist, wenn g ij = δ ij, und folglich auch g ij = δ ij ist, die Metrik also durch die Einheitsmatrix gegeben ist. Das ist allerdings keine Forderung an die Metrik, sondern an die Basis. Eine Basis mit dieser Eigenschaft heißt Orthonormalbasis. Wir können die wesentlichen Eigenschaften eines metrischen Vektorraumes wie folgt zusammenfassen: Ein metrischer Vektorraum ist mit seinem Dualraum identisch. Eine Orthonormalbasis ist mit ihrer dualen Basis identisch. Wenn wir eine Orthonormalbasis verwenden, dann müssen wir nicht mehr zwischen oberen und unteren Indizes unterscheiden. Wir können, wie in Abbildung 9.(b) gezeigt, alle Indizes nach unten schreiben und einen Vektor einfach als Linearkombination x = x i e i darstellen, wobei wir die Summenkonvention entsprechend abändern. So hatten wir sie ja auch ursprünglich eingeführt. Der Grund dafür ist, dass in (9.6) überall das Kronecker-Symbol steht, so dass alle Größen mit oberen Indizes zu den entsprechenden Größen mit unteren Indizes gleichgesetzt werden. Das geht natürlich nur dann, wenn wir uns darauf einigen, nur Orthonormalbasen zu verwenden. Das ist aber, wie wir später sehen werden, nicht immer sinnvoll. Deshalb werden wir auch in einem metrischen Vektorraum die Unterscheidung zwischen einer Basis und der dazugehörigen dualen Basis nicht aufgeben. Folglich müssen wir auch weiterhin zwischen oberen und unteren Indizes unterscheiden. Es gibt aber eine einfache Regel, sie ineinander umzurechnen, nämlich die Formeln (9.6). Um einen oberen Index in einen unteren zu verwandeln, müssen wir nur das jeweilige Objekt mit der Metrik multiplizieren und die Spur über den betreffenden Index bilden. Wir sagen auch, dass wir einen 3

14 Index mit Hilfe der Metrik nach unten ziehen. Entsprechend können wir den Index mit der inversen Metrik wieder nach oben ziehen. Laut (9.6) gilt diese Regel sowohl für die Komponenten von Vektoren, als auch für die Basisvektoren selbst. Sie lässt sich auf beliebige Tensoren verallgemeinern. Da wir in einem metrischen Vektorraum nicht zwischen Vektoren und dualen Vektoren unterscheiden müssen, müssen wir auch nicht zwischen Tensoren der Stufen (m, n) und (p, q) unterscheiden, falls m + n = p + q ist, falls also beide Tensoren insgesamt gleich viele Indizes haben. Mit Hilfe der Metrik können wir zum Beispiel einen Tensor der Stufe (, 2) mit einem Tensor der Stufe (2, ) identifizieren, indem wir B ij = g ik g jl B kl B ij = g ik g jl B kl (9.62) setzen, und dann beides als Darstellungen desselben Tensors zweiter Stufe B interpretieren, so wie wir x i und x i als Darstellungen desselben Vektors x betrachten können. In einem metrischen Raum können wir einfach von einem Tensor der Stufe m sprechen, wenn es sich um ein Objekt mit m Indizes handelt. Er besitzt jedoch verschiedene Darstellungen, die bei einem Basiswechsel verschieden transformieren. Aufgabe 9.7 Warum ist eine positive Matrix immer invertierbar? Aufgabe 9.8 Wenn V der Spaltenvektorraum der Länge N ist, V der entsprechende Zeilenvektorraum, und die Metrik auf V durch die Summe über der Produkte der Einträge gegeben ist, also das Standard- Skalarprodukt auf dem R N, wie sieht dann die Abbildung V V : x x aus? Mit anderen Worten, welcher Spaltenvektor wird mit welchem Zeilenvektor identifiziert, wenn man V = V setzt? Aufgabe 9.9 Für einen speziellen Tensor hatten wir bereits eine Version mit zwei oberen und eine Version mit zwei unteren Indizes definiert, nämlich für die Metrik g, die einmal durch die Matrix g ij und einmal durch die inverse Matrix g ij dargestellt wird. Ist das mit (9.62) konsistent? Mit anderen Worten, gilt diese Gleichung auch, wenn wir dort B ij = g ij und B ij = g ij setzen? Aufgabe 9.2 Auf dem dreidimensionalen Vektorraum aus Aufgabe 9.5 sei eine Metrik durch ihre Komponenten g = g 22 = g 33 = und g 2 = g 23 = g 3 = bezüglich der Basis (e, e 2, e 3 ) definiert. Man bestimmte die Komponenten bezüglich der Basis (e x, e y, e z ). Die orthogonale Gruppe Da Orthonormalbasen in der Physik eine wichtige Rolle spielen, wollen wir uns kurz mit den Besonderheiten befassen, die beim Übergang zwischen zwei solchen Basen auftreten. Es sei also e i eine Orthonormalbasis und e a eine andere Orthonormalbasis. Da in diesem Fall beide Basen mit ihren jeweiligen dualen Basen übereinstimmen, können wir in diesem Abschnitt alle Indizes nach unten schreiben. Das gilt auch für die Übergangsmatrizen, so dass der Zusammenhang zwischen den Basen durch e a = e i Λ ia e i = e a Λ ai (9.63) gegeben ist. Das ergibt sich aus (9.8), wenn wir dort einfach alle Indizes nach unten schreiben. Die Übergangsmatrizen Λ ia und Λ ai sind natürlich wieder zueinander invers, also Λ ia Λ aj = δ ij, Λ ai Λ ib = δ ab. (9.64) Sie können aber nicht beliebig gewählt werden. Aus der Forderung, dass mit e i auch e a eine Orthonormalbasis ist, ergibt sich folgende Bedingung an die Übergangsmatrizen, e a e b = (e i Λ ia ) (e j Λ jb ) = (e i e j ) Λ ia Λ jb = δ ij Λ ia Λ jb = Λ ia Λ ib = δ ab. (9.65) 4

15 Nur, wenn die Übergangsmatrix die letzte Gleichung erfüllt, bildet sie eine Orthonormalbasis wieder auf eine Orthonormalbasis ab. Wenn man die Basen e i und e a vertauscht, findet man natürlich dieselbe Bedingung für die inverse Matrix, also Λ ia Λ ib = δ ab Λ ai Λ bj = δ ij. (9.66) Eine Matrix mit dieser Eigenschaft heißt orthogonale Matrix. Um das in der üblichen Matrixnotation aufzuschreiben, schreiben wir für die Übergangsmatrizen Λ = ( Λ ai ), Λ = ( Λ ia ), (9.67) wobei der erste Index als Zeilenindex, der zweite als Spaltenindex zu lesen ist. Die zweite Gleichung in (9.66) lautet dann Λ Λ = I Λ = Λ, (9.68) wobei I die N N-Einheitsmatrix ist, die durch das Kronecker-Symbol dargestellt wird, und Λ die transponierte Matrix ist, die durch das Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht. Die erste Gleichung in (9.66) ist dazu äquivalent und macht dieselbe Aussage über die inverse Matrix Λ. Eine orthogonale Matrix Λ hat also die Eigenschaft, dass sie zu ihrer transponierten Matrix Λ invers ist. Die Menge aller dieser Matrizen bildet eine Gruppe, die man mit O(N) bezeichnet und orthogonale Gruppe der Dimension N nennt. Aufgabe 9.2 Man beweise das. Zu zeigen ist dazu, dass die Einheitsmatrix orthogonal ist, also I O(N), dass mit jeder Matrix Λ O(N) auch die inverse Matrix Λ O(N) orthogonal ist, und dass mit je zwei orthogonalen Matrizen Λ, Λ 2 O(N) auch das Produkt Λ Λ 2 O(N) orthogonal ist. Wir können hier nicht die gesamte Theorie der orthogonalen Gruppe erarbeiten, wollen aber kurz die wichtigsten Eigenschaften zusammenstellen. Diese lassen sich bereits an der Gruppe O(2) ablesen, also der Gruppe aller orthogonalen Transformation in einem zweidimensionalen Vektorraum. Wir setzen ( ) ( ) a b a c Λ = Λ =. (9.69) c d b d Die Bedingung (9.68) lautet in diesem Fall ( ) ( a b a c Λ Λ = I c d b d Komponentenweise ausgeschrieben, ) ( a 2 + b 2 a c + b d a c + b d c 2 + d 2 ) = ( ). (9.7) a 2 + b 2 =, c 2 + d 2 =, a c + b d =. (9.7) Die ersten beiden Gleichungen lassen sich durch den Ansatz a = cos α, b = sin α, c = sin β und d = cos β lösen. Die dritte Gleichung lautet dann cos α sin β + sin α cos β = sin(α + β) =, (9.72) also α + β = oder α + β = π. Eingesetzt ergibt das ( ) ( cos α sin α cos α sin α Λ = D(α) = oder Λ = S(α) = sin α cos α sin α cos α ). (9.73) 5

16 replacements (c) (d) e u e y α e y e u α e x e x e v e v (a) (b) Abbildung 9.2: In einem zweidimensionalen metrischen Vektorraum gibt es orthogonale Basistransformationen ohne (a) und mit (b) Spiegelung. Beide werden durch einen Winkel α parametrisiert. Die erste Übergangsmatrix beschreibt eine Drehung der Basis um den Winkel α. Wählen wir als Indexmenge a {u, v} und i {x, y}, so lautet die explizite Transformation der Basisvektoren e u = cos α e x + sin α e y, e v = sin α e x + cos α e y. (9.74) Die zweite Möglichkeit in (9.73) entspricht einer Drehung mit anschließender Spiegelung, e u = cos α e x + sin α e y, e v = sin α e x cos α e y. (9.75) Es gibt also zwei Arten von orthogonalen Basistransformationen, nämlich solche, die die Orientierung der Basis erhalten und solche, die sie umkehren. Das gilt in jeder Dimension, wobei sich anhand der Determinante der Übergangsmatrix entscheiden lässt, ob die Orientierung erhalten bleibt oder nicht. Aus (9.68) folgt nämlich det(λ Λ ) = det(λ) det(λ ) = det(λ) 2 = det(i) = det(λ) = ±. (9.76) Hier haben wir benutzt, dass die Determinante des Produktes von zwei Matrizen das Produkt der Determinante ist, und dass die Determinante einer Matrix beim Transponieren erhalten bleibt. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist also entweder + oder, wobei der positive Werte einer Drehung der Basis ohne Spiegelung, ein negativer Wert einer Drehung der Basis mit Spiegelung entspricht. Die Teilmenge von O(N), die die Drehungen ohne Spiegelung enthält, bildet eine Untergruppe, die spezielle orthogonale Gruppe SO(N). Sie besteht aus allen orthogonalen Basistransformationen, bei denen die Orientierung der Basis erhalten bleibt. In der Physik ist natürlich die orthogonale Gruppe O(3) von besonderer Bedeutung. Wir werden auf sie später noch ausführlicher eingehen. Im Prinzip gilt für sie aber dasselbe wir für O(N) im allgemeinen. Sie zerfällt in zwei Teilmengen, wobei die Untergruppe SO(3) die Drehgruppe ist, also alle möglichen Drehungen der Basis enthält, aber keine Spiegelungen. Aufgabe 9.22 Warum bilden die orthogonalen Basistransformationen ohne Spiegelung eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe, die Transformationen mit Spiegelung aber nicht? Aufgabe 9.23 Man beweise, dass alle Einträge einer orthogonalen Matrix vom Betrag kleiner oder gleich Eins sind. 6

17 Aufgabe 9.24 Man berechne für die Matrizen aus (9.73) die Produkte D(α) D(β), D(α) S(β), S(α) D(β) und S(α) S(β). Aufgabe 9.25 Wie lauten die explizit ausgeschriebenen Bedingungen (9.68) an die Einträge einer Matrix U O(3)? Wie viele unabhängige Gleichungen ergeben sich, und wie viele unabhängige Parameter bleiben übrig? Das Kreuz- und Spatprodukt Bei der Diskussion der Geometrie des dreidimensionalen Euklidischen Raumes hatten wir noch zwei andere Produkte von Vektoren eingeführt, nämlich das Kreuzprodukt und das Spatprodukt. Wir wollen nun zeigen, dass auch sie eine recht einfach Darstellung als Tensoren haben. Dazu sei V von nun an ein dreidimensionaler, metrischer Vektorraum, und e a eine Orthonormalbasis. Für die Metrik gilt also g ab = δ ab und g ab = δ ab. Wir definieren dann einen Tensor ω dritter Stufe, der bezüglich dieser Basis die Komponenten ω abc = ε abc bzw. ω abc = ε abc (9.77) haben soll, wobei ε abc bzw. ε abc das Levi-Civita-Symbol ist, welches wir in (2.27) definiert hatten. Es ist gleich +, wenn die Indizes {a, b, c} eine gerade Permutation der vorgegebenen Indexmenge bilden,, wenn sie eine ungerade Permutation bilden, und, wenn mindestens zwei der Indizes den gleichen Wert annehmen. Insbesondere ist der so definierte Tensor ω total antisymmetrisch. Er ändert sein Vorzeichen bei jeder Vertauschung von zwei Indizes, ω abc = ω bca = ω cab = ω acb = ω bac = ω cba. (9.78) Da wir uns in einem metrischen Vektorraum befinden, können wir Indizes wahlweise nach oben oder nach unten schreiben. Die beiden Darstellungen (9.77) repräsentieren denselben Tensor ω, und (9.78) gilt entsprechend mit oberen Indizes. Da wir zudem eine Orthonormalbasis verwenden, sind beide Darstellungen sogar gleich. Eine wichtige Frage ist nun, wie die Darstellungen des Tensors ω in anderen Basen aussehen. Dazu sei e i irgendeine andere Basis, die nicht unbedingt eine Orthonormalbasis sein muss. Dann können wir die Komponenten ω ijk des Tensor ω in dieser Basis mit Hilfe des allgemeinen Transformationsgesetzes ausrechnen. Es gilt ω ijk = Λ i a Λ j b Λ k c ω abc. (9.79) Natürlich ist der Term auf der rechten Seite wieder total antisymmetrisch, das heißt er ändert sein Vorzeichen bei jeder Vertauschung von zwei Indizes. Er ist daher bis auf eine Konstante bestimmt und proportional zum Levi-Civita-Symbol ε ijk. Wir müssen nur noch die Konstante finden. Aufgabe 9.26 Warum ist jeder total antisymmetrische Ausdruck mit drei Indizes in einem dreidimensionalen Vektorraum proportional zum Levi-Civita-Symbol? Um die Konstante zu finden, setzen wir den Ansatz ω ijk = c ε ijk in (9.79) ein und drücken die Komponenten ω abc durch (9.77) aus, c ε ijk = Λ i a Λ j b Λ k c ε abc. (9.8) Für eine fest gewählte Permutation der Zeilenindizes {i, j, k} der Übergangsmatrizen wird auf der rechten Seite über alle Permutationen der Spaltenindizes {a, b, c} summiert. Dabei werden jeweils Produkte von drei Matrixelementen gebildet, von denen nie zwei in einer Zeile oder zwei in einer Spalte stehen. Anschließend wird das Produkt mit einem Vorzeichen versehen, welches davon abhängt, ob die Permutation der Spaltenindizes {a, b, c} gerade oder ungerade ist. 7