2. so rasch ausströmen, dass keine Wärmeübertragung stattfinden kann.

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1 Aufgabe 33 Aus einer Druckluftflasche V 50 dm 3 ) mit einem Anfangsdruck p 0 60 bar strömt solange Luft in die Umgebung p U bar, T U 300 K), bis der Druck in der Flasche auf 0 bar gefallen ist. Dabei soll die Luft. so langsam ausströmen, dass ein ständiger Temperaturausgleich mit der Umgebung gewährleistet ist,. so rasch ausströmen, dass keine Wärmeübertragung stattfinden kann. a ) Wieviel kg Luft verbleiben in beiden Fällen in der Flasche? b ) Welche Wärme muss im. Fall der Flasche zugeführt werden? c ) Wie hoch steigt im. Fall der Druck in der Flasche, wenn das thermische Gleichgewicht mit der Umgebung erreicht ist und welche Wärme wird dabei übertragen? Hinweis: Die Luft soll als perfektes Gas mit der spezifischen Wärmekapazität c V 0,755 k, der Gaskonstanten R L 0,87 k, und einem Isentropenexponenten,4 betrachtet werden. Gegeben: V 50 dm 3 0,05 m 3 p 0 60 bar Pa p 0 bar Pa p U bar 0 5 Pa c V 75,5 R L 87,4 T U 300 K Gesucht: Restmasse Luft m F Zugeführte Wärme Q Druck nach Öffnen des Ventils p

2 a ) Wieviel kg Luft verbleiben in beiden Fällen in der Flasche? ) isotherm T T 0 T U const ideales Gas: p V m R T m p V R T p V F R T U 0 05 N m 0,05 m K,6 kg ) sowohl m F als auch T unbekannt rasches Ausströmen kein Wärmeübergang adiabat) reversibel isentrope Zustandsänderung Betrachtung der ZÄ der in der Gasflasche verbleibenden Gasmenge isentrope ZÄ ideales Gas: p v const ; Isentropenexponent cp c v p v R T v R T p ) p v p R T p const p p p T const p T T p T ) ) ) T T p p T T p p ) p p Zustand : T T 0 p p 0 ) ) p T T 0 p 0 T 300K ),4 0 bar,4 60 bar 9, 8 K m F p V F R T 0 05 N 0, 05 m 3 m 9, 8 K 87 m F, 590 kg

3 b ) Welche Wärme muss der Flasche im. Fall zugeführt werden?. HS Gesamtmasse geschlossenes System: 0 U Q 0 + W 0 m Ges c v 0 T Q 0 W 0 Koppelbedingung: W 0 W0 u W0 u p U dv p U V u V 0 u) 0 mit V u 0 V u + V Blase W u 0 p U V u V u V Blase) p U V Blase ) p U V Blase W u 0 m,bl R T U Massenbilanz: m,bl m 0,F m,f p 0 V F R T U p V F R T U V F R T U p 0 p ) W 0 W u 0 m,bl R T U W 0 V F p 0 p ) W 0 0, 05 m N m W 0 00 k aus. HS Q 0 W 0 zugeführte Wärme: Q k c ) Wie hoch steigt im. Fall der Druck in der Flasche, wenn das thermische Gleichgewicht mit der Umgebung erreicht ist und welche Wärme wird dabei übertragen? reversibel adiabates Ausströmen T 9,8 K Aufheizen der Flasche von T auf T U T 3

4 isochore Zustandsänderung p T const p p T T Pa 300 K 9, 8 K 7, 375 bar Wärme aus. HS für geschlossenes System): U Q + 0 W Q U c v T m 75, 5 9, 944 k 300 9, 8) K, 59 kg Aufgabe 34 Ein Festzelt wird mit Hilfe eines Heizlüfters aufgeheizt. Die Luft im Zelt hat zunächst die Umgebungstemperatur T U 80 K und den Umgebungsdruck p U bar. Während des Aufheizens findet ständig durch undichte Stellen ein Druckausgleich zwischen dem Zelt und der Umgebung statt. Das Zelt gibt, wenn es eine stationäre Temperatur erreicht hat, an die Umgebung den Wärmestrom Q ab 6038 W. Der Heizlüfter liefert einen Luftmassenstrom von ṁ 0, kg s mit der Temperatur T 4 33 K. Hierzu wird Luft aus der Umgebung über ein adiabat reversibles Gebläse verdichtet, isobar bei konstantem Querschnitt erhitzt und über eine Düse adiabat reversibel ins Zelt hinein um p 0,0005 bar entspannt. Die Luft strömt dann durch den Kreisquerschnitt 4 mit dem Durchmesser d 4 5 cm ins Zelt. 4

5 a ) Berechnen Sie die Geschwindigkeit c 4 am Lüfterauslass. b ) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit c 3, mit der die Luft in die Düse eintritt. c ) Wie groß ist die benötigte Heizleistung Q 3? d ) Berechnen Sie die Temperatur T Zelt, die sich stationär im Zelt einstellt. e ) Um wieviel Prozent hat sich die Luftmasse im Zelt nach der Aufheizung verändert? Hinweise: und dem Isentro- Die Luft kann als perfektes Gas mit der Gaskonstante R L 87 penexponenten,4 betrachtet werden. Die Geschwindigkeit, mit der die Luft aus dem Zelt ausströmt, kann vernachlässigt werden. Gegeben: T U 80 K p U bar 0 5 Pa p Z const Q ab 6038 W ṁ 0, kg s T 4 33 K p 0, 0005 bar 50 Pa d 4 5 cm 0, 5 m R 87, 4 a ) Berechnen Sie die Geschwindigkeit c 4 am Lüfterauslass. Konti-Gleichung: ṁ ρ c A const m 4 ρ 4 c 4 A 4 A 4 π 4 d 4 π 4 0, 5 m) 0, 077 m ρ 4 p 4 R T 4 p U R T Pa kg 87, K m 3 5

6 c 4 m 4 ρ 4 A 4 m 4 R T 4 π p 4 4 d 4 kg 0, s K 0 5 Pa π 4 0, 5 m) 0, 49 m s b ) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit c 3, mit der die Luft in die Düse eintritt. Düse 3 4: offenes System stationär durchströmt adiabat reversibel adiabate Zustandänderung isentrop. HS offenes System: Vorr. keine adiabat Ẇ 34 + Q 34 ṁ h tot,34 c ) 0 ṁ 34 h g 0 34 z Division durch ṁ und Verwenden von h c p T für perfektes Gas ergibt: 0 c p T 4 T 3 ) + c 4 c 3) Die Temperatur T 3 kann aus der isentropen Zustandsänderung in der Düse wie folgt berechnet werden: T 3 T 4 p3 p 4 T 3 33 K T 3 33, 05 K c p ergibt sich aus R und zu: R c p c v c p c v ), Pa 0 5 Pa c p c p R c p R mit p 3 p 4 34 p, 0005 bar ),4,4, 4 87, 4 004, 5 6

7 c 3 c p T 4 T 3 ) + c 4 ) ) R T p3 4 + c 4 p 4, 4 87 ),4 ), 0005 bar,4 33 K + 0, 49 m ), 4 bar 4, 7 m s c ) Wie groß ist die benötigte Heizleistung Q 3? Heizung 3: offenes System stationär durchströmt isboar: p p 3 A A 3. HS offenes System: c aus Konti-Gleichung: Vorr. keine Ẇ 3 + Q c ) 3 ṁ 3 h g 0 3 z Q 3 ṁ c p T 3 T ) + c 3 c ) ) ṁ const c ρ A c 3 ρ 3 A 3 A A 3 und p p 3 c p R T c 3 p 3 R T 3 c c 3 T T 3 T ergibt sich aus der isentropen Zustandsänderung von : ) p T T p T p3, 0005 bar 80 K bar 80, 04 K ) p ),4,4 7

8 c c 3 T T 3 p3 p 4, 7 m s ) 80 K 33, 05 K 3, 66 m s Q R 3 ṁ T 3 T ) + 0, kg s 864, W, 0005 bar bar c 3 c ) ) ),4,4, , 05 80, 04) K +, 4 d ) Berechnen Sie die Temperatur T Zelt, die sich stationär im Zelt einstellt. System Zelt: offenes System stationär durchströmt. HS offenes System: ) 4, 7 3, 66 ) m s de dτ 0 i Q i + 0 ṁ h ein h aus + keinev orrichtung Ẇ j t + m k h tot,k j k c ein c ) ) aus Q ab ṁ [ c p T 4 T Zelt ) + 0 )] c 4 c ab Q ab T Zelt c p c 4 + T 4 + Q ab ṁ c p 33 K + 93, 00 K 004, 5 T 4 + c p 0, 49 m s c 4 Q ) ab ṁ ) 6038 W 0, kg s e ) Um wieviel Prozent hat sich die Luftmasse im Zelt nach der Aufheizung verändert? m w : Masse der warmen Luft T Zelt, p p U ) m k : Masse der kalten Luft T U ) ) 8

9 m w m k m k m w m k m w ρ w V m k ρ k V 80 K 93 K 0, 9556 m w m k 0, 0444 p U R T Zelt R T U p U T U T Zelt Abnahme der Luftmasse um 4,44 %. Aufgabe 35 Ein -zylindriger Kolbenkompressor hat ein Hubvolumen V H 0,00 m 3 und ein Totvolumen V T 0,09 V H. Er saugt Luft aus der Umgebung Druck p U p bar, Dichte ρ U ρ,5 kg ) an, komprimiert diese auf den Druck p m 3 bar und fördert sie in einen sehr großen Druckkessel. Dies bedeutet für diese Aufgabe, dass der Druck im Druckkessel für den gesamten Zeitraum des Füllvorganges näherungsweise als konstant angenommen werden kann. a ) Welche Arbeit muss der Kompressor pro Kurbelwellenumdrehung aufbringen, wenn das Kurbelwellengehäuse: ist? - evakuiert - belüftet - abgedichtet b ) Wie groß muss die Leistung des Antriebsmotors mindestens sein, wenn der Kompressor einen Massenstrom ṁ Luft 0 g s verdichten soll? Hinweis: Die Luft soll als perfektes Gas mit,4 betrachtet werden. Sowohl die Kompression als auch die Rückexpansion der Luft sollen als reversibel adiabat angenommen werden mit p V const 9

10 Gegeben: V H 0,00 m 3 V T 0,09 V H, m 3 p U p bar 0 5 Pa ρ U ρ,5 kg m 3 p bar 0 5 Pa,4 a ) Welche Arbeit muss der Kompressor bei evakuiertem Kurbelwellengehäuse pro Kurbelwellenumdrehung aufbringen? Kurbelgehäuse evakuiert Vakuum) W ges W + W 3 + W 34 + W 4 isentrope Verdichtung der Luft im Zylinder: p V const p V p V W p dv p V V dv p V [ V ) ] V V V H + V T 0, 00 m 3 + 0, 09 0, 00 m 3 0, m 3 0

11 V p V p ) 0 5 Pa 0, m 3),4 0 5 Pa ),4, m 3 W 0 5 Pa 0, m 3 338, 096 [ ) 0, m 3,4, 4 0, 0007 m 3 ] 3 Isobare Befüllung des Kessels - Betrachtung der Luft im Kessel und im Zylinder: V 3 V T, m 3 p p 3 bar W 3 3 p dv, mit V V + V Kessel und V3 V 3 + V Kessel W 3 p V 3 V ) p V 3 V ) mit V 3 V T 0 5 Pa, 08, 7) 0 4 m 3 36, reversible adiabate isentrope) Expansion des Restgases: W p dv p 3 V 3 [ V3 ) ] V 4 ) p3 V 4 V 3 p 4, m 3 6, m 3 W Pa, m 3 64, 704 V3 p p ) bar bar ),4 [, m 3 ),4, 4 6, m 3 ]

12 4 isobare Belüftung durch Ventil I - Betrachtung der Luft in der Umgebung und im Zylinder: W 4 p dv p V V4 ) p V V 4 ) Pa 3, 08 6, 37) 0 4 m 3 67, 08 mit V 4 V 4 + V U und V V + V U W Ges,Zyl evakuiert) 4, 75 Bei einem belüfteten Kurbelgehäuse muss zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit im Zylinder auch die Volumenänderungsarbeit im Kurbelgehäuse berücksichtigt werden: W KG belüftet) W Ges belüftet) W Ges,Zyl + W KG 4 i ) pv )dv 4 p U V i,i+ i p U [V V ) + V 3 V ) + V 4 V 3 ) + V V 4 )] 0 W Ges belüftet) W Ges,Zyl + 0 4, 75 Für ein abgedichtetes Kurbelgehäuse gilt: W KG abgedichtet) 0, da W Komp. W Exp. bei reversibel adiabater Zustandsänderung mit m const W Ges abgedichtet) W Ges,Zyl + 0 4, 75

13 b ) Wie groß muss die Leistung des Antriebsmotors mindestens sein, wenn der Kompressor einen Massenstrom ṁ Luft 0 g s verdichten soll? P n W Ges geförderter Massenstrom: ṁ n m n, wobei m n die Masse pro Umdrehung ist. m n ρ V ρ U V V 4 ), 5 kg m 3 3, 08 6, 37) 0 4 m 3 Drehzahl n ṁ m n 0 g s 0, 839 g, 96 s 0, 839 g P n W Ges, 96 s 4, 75, 895 kw 3

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