Ergänzendes Material zum Beitrag Chaos für die Schule!

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1 Die folgenden Abschnitte Der Versuchsaufbau Bewegungsgleichungen des chaotischen Wasserrades Rekonstruktion von Attraktoren sind Ergänzungen zum Artikel Chaos für die Schule! von Volkhard Nordmeier und Hans-Joachim Schlichting in Physik in unserer Zeit, 34. Jahrgang 003, Nr. 1, S. 3. Der Versuchsaufbau Kernstück des Wasserrades ist das (vordere) Laufrad eines Fahrrads (Durchmesser 0,56 m). Es wird so eingespannt, dass die Drehachse parallel zum Erdboden steht (Abbildung 1). An der Felge werden zwölf Wasserbehälter befestigt, zum Beispiel Halbkugeln aus durchsichtigem Plastik, Durchmesser 14 cm, Bezugsquelle: Bastelbedarf. Hierzu wird die Felge des Rades in zwölf äquidistanten Abständen angebohrt. Die Bohrungen dienen als Halterungen für die Achsen der Behälter. Diese Achsen können beispielsweise Stricknadeln sein oder Metallstangen, die an einem Ende mit einem Gewinde versehen sind. In diesem Fall erhalten die Bohrungen in der Felge ein passendes Innengewinde zum Einschrauben. Die Wasserbehälter sollen leicht um die Achsen drehbar sein und das Rad soll sich frei um die Achse drehen können. Abb. 1 Versuchsaufbau. 1 Physik in unserer Zeit 34. Jahrgang 003 Nr. 1

2 Die Behälter sind an der tiefsten Stelle mit einem Leck versehen (durchbohrt). Die Experimente mit dem Wasserrad bestätigen eine Erwartung, die aus den theoretischen Überlegungen folgt: Das Systemverhalten hängt empfindlich von der Größe dieser Öffnungen ab. Für unsere Versuchsserien erwies sich ein Öffnungsdurchmesser von 3 mm als günstig. Als Kontrollparameter dient der Wasserstrom. Er wird in eine über dem Aufbau gelegene perforierte Regenrinne, etwa ein an den Seiten abgedichtetes PVC-Rohr, geleitet und ergießt sich auf diese Weise aufgefächert über den Querschnitt des Rades. Gute Ergebnisse erzielten wir, wenn wir den Durchmesser der Löcher in der Regenrinne mm groß wählten. Das Wasser landet schließlich in einem unter dem Rad aufgestellten Auffangbecken. Eine Tauchpumpe befördert es wieder in die Rinne zurück. Der Kontrollparameter wird also über die Variation der Pumpen-Förderleistung gesteuert. Verfügt man nicht über eine direkt regulierbare Pumpe, genügt auch das definierte Abklemmen der Wasserzuleitung. Abb. Screen-Shot der Messwerterfassungs-Software Leybold-Cassy. Dargestellt sind die Messwerttabelle, die momentane Spannung des Tachogenerators als Maß für die Winkelgeschwindigkeit und das ω-t-diagramm. Bei einem Zulauf von R = 33, cm 3 /s zeigt sich ein vorturbulenter Einschwingvorgang. Nr Jahrgang 003 Physik in unserer Zeit

3 Ein weiterer wichtiger Parameter für das Systemverhalten des Wasserrades ist die Reibung. Legt man zum Beispiel einen Faden um die Radnabe, so kann die Spannung des Fadens und damit die Stärke der Reibung mithilfe von Gewichten variiert werden. Als Alternative lässt sich mit einfachen Mitteln auch eine Wirbelstrombremse konstruieren. Dazu wird die Achse des Laufrades verlängert und senkrecht dazu zum Beispiel eine kreisrunde Aluminiumscheibe angebracht. Dreht sich diese Scheibe zwischen den Jochen eines Spulenpaars, so kann die Reibung direkt über die angelegte Spannung oder die Stromstärke reguliert werden. Die durch die Wirbelstrombremse erzeugte Reibung ist dabei proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Rades. Zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit des Wasserrades wird seine Bewegung durch einen Bewegungsmesswandler in eine Spannung umgewandelt, die der Geschwindigkeit proportional ist (leichtgängiger DC-Tachogenerator, zum Beispiel LEYBOLD Nr ). Die vom Messwandler erzeugten Spannungen werden von einem Analog-Digital-Wandler (zum Beispiel LEYBOLD CASSY) in digitale Signale umgesetzt und mit einem Computer weiter verarbeitet (Abbildung ). Bewegungsgleichung des chaotischen Wasserrades Für die Änderung des Gesamtdrehimpulses erhält man bei Vernachlässigung der Eigenmasse des Rades: Trägheit = Antriebskraft Reibung, also ( d rmω ) grmcos( ϕ ) = kω (1) mit der Reibungskonstanten k und der Erdbeschleunigung g. Der Strich über den Symbolen bezeichnet die Integration über das gesamte Winkelintervall. Die zeitliche Änderung der Massenverteilung setzt sich aus dem Massengewinn A(r + r sinϕ) durch den Wasser-Zufluss A und dem Massenverlust hm(ϕ) durch Wasser-Abfluss zusammen. Dabei sind A und h positive Konstanten. Es gilt Massenänderung = Gewinn Verlust, also: dm( ϕ) m( ϕ) m( ϕ) = + ω = Ar ( + rsin ϕ) hm( ϕ ). () ϕ ϕ Integration von Gleichung () über den Vollwinkel dm = πar hm 3 Physik in unserer Zeit 34. Jahrgang 003 Nr. 1

4 zeigt, dass der gesamte Wasserstrom konstant ( = πra) ist und dass m asymptotisch den Grenzwert πar / h annimmt. Geht man davon aus, dass sich dieser Grenzwert bereits eingestellt hat, kann man Gleichung (1) in die Form bringen: dω kh gh = ω mcos 3 ϕ. πar πr A Mit Hilfe von Gleichung () erhält man dmcosϕ d = ( m cos ) d ϕ ϕ dm = mω sinϕ + cosϕ dϕ = ωmsinϕ hmcosϕ und ebenso dmsinϕ = ω mcos ϕ hmsin ϕ + ϕ ra. Mit der linearen Koordinatentransformation t' = ht, 1 X = ω, h gr Y = mcos ϕ, kh gr gaπr Z = msinϕ + kh kh erhält man folgenden Satz von Differentialgleichungen: X! = σ ( Y X), Y! = RX Y XZ und Z! = XY Z, k gπ Ar mit σ = und R =. 3 π Ar kh Dabei bedeutet der Punkt über den Variablen die Differentiation nach der transformierten Zeit t'.vergleicht man dieses Gleichungssystem mit dem Lorenz-System, so stellt man fest, dass es sich um einen Spezialfall für b = 1 handelt. Nr Jahrgang 003 Physik in unserer Zeit 4

5 Rekonstruktion von Attraktoren Da der Attraktor die Bewegungen im Zustandsraum des Systems darstellt, ist die Kenntnis aller drei generalisierten Koordinaten nötig. Im Experiment ist jedoch auf einfache Weise nur die Winkelgeschwindigkeit ω und damit X zugänglich (vergleiche Bewegungsgleichung des chaotischen Wasserrades, S. 3). Daraus lässt sich jedoch der Attraktor mithilfe eines Rekonstruktionsverfahrens anhand von so genannten Delay-Variablen rekonstruieren. Beispiele für Rekonstruktionsverfahren finden sich in [1,]. Es sei die Folge von n zeitlich äquidistanten Werten X(t 1 ),..., X(t n ) der Variablen X bekannt. Die fehlenden Koordinaten werden nun durch die Einführung zeitverzögerter Variablen erzeugt: x i = X( t i ), y i = X( t i + τ ), z i = X( t i + τ ), Der rekonstruierte Zustandsvektor ξ i mit den Koordinaten (x i,y i,z i ) steht dann zum Beispiel für einen Punkt im dreidimensionalen Zustandsraum: ξ i = (x i,y i,z i ). Das Lorenz-System im chaotischen Regime. Oben: Strömungsgeschwindigkeits-Zeit- Diagramm (Daten aus der Simulation mit r = 8, σ = 10 und b = 8/3). Unten: Zustandsraumdarstellung, zwei-dimensionale Projektion des Lorenz-Attraktors (Temperaturverteilung Y über Strömungsgeschwindigkeit X). Mit Hilfe dieser Pseudo-Zustandsvektoren können Trajektorien rekonstruiert werden, die den jeweiligen Attraktor nicht nur topologisch äquivalent abbilden. Sie erzeugen auch bei der richtigen Wahl der Delay-Zeit τ ein dem Original-Attraktor optisch äquivalentes Gebilde. Bei der Rekonstruktion muss jedoch darauf geachtet werden, dass die Delay-Zeit τ weder zu groß noch zu klein gewählt wird. Im ersten Fall korrelieren die Werte wegen der Sensitivität 5 Physik in unserer Zeit 34. Jahrgang 003 Nr. 1

6 beziehungsweise des exponentiellen Fehlerwachstums chaotischer Systeme kaum noch miteinander, und die rekonstruierte Trajektorie verläuft auf einem übermäßig deformierten Wollknäuel. Im zweiten Fall wird der Attraktor auf der Diagonalen zusammengequetscht, da die Vektoren zu stark korrelieren. Für die optimale Wahl der Zeitverzögerung τ existieren eine Vielzahl unterschiedlicher Methoden (vergleiche zum Beispiel [3]), im Experiment lässt sich τ aber auch durch Versuch und Irrtum bestimmen. Abbildung 3 zeigt ein numerisch generiertes Strömungsgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm des Lorenz-Systems und eine zweidimensionale Projektion des Lorenz-Attraktors. Die in Abbildung 4 dargestellten Rekonstruktionen verdeutlichen die Wirkung unterschiedlicher Delay-Zeiten. Rekonstruktion des Lorenz-Attraktors mit a) τ = 0,03 s, b) τ = 0,09 s, c) τ = 0,18 s und d) τ = 0,6 s. Auf der Grundlage des beschriebenen Rekonstruktionsverfahrens lassen sich auf einfache Weise auch die experimentellen Daten des chaotischen Wasserrades verarbeiten. Die im Beitrag dargestellten experimentell ermittelten Zustandsdiagramme wurden anhand der gemessenen Werte für die Winkelgeschwindigkeit ω rekonstruiert. Nr Jahrgang 003 Physik in unserer Zeit 6

7 Literatur [1] G. Ahlers et al., Physik Journal 00,, 31. [] H. J. Schlichting et al., Physik und Didaktik 1991, 3, 196. [3] H. D. I. Abarbanel, Analysis of Observed Chaotic Data. Springer Verlag, New York Internet SiniS (Simulation nichtlinearer Systeme) (mit Lorenz-System) Filmsequenzen zum chaotischen Wasserrad Simulation und Animation zum chaotischen Wasserrad wanda.fh-aargau.ch/doz/gutknech/lrad.htm Simulationen und Animationen zum Lorenz-System Lorenz-System und seltsame Attraktoren 7 Physik in unserer Zeit 34. Jahrgang 003 Nr. 1