wenn nötig mit Untertitel nicht fett geschrieben

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1 SST September 2012 c BFS 1 Eidgenössisches Departement des Innern EDI Varianzschätzung bei vier Ungleichheitsindizes für Titel der Einkommensverteilungen Präsentation Schweizerische Statistiktage, Vaduz 2012 Monika Ferster Statistische Methoden / BFS 20. September 2012

2 Inhalt 1. Einleitung Titel der Präsentation 2. Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes 3. Anwendung Haushaltsbudgeterhebung 4. Schlussfolgerungen Autor 5. Literatur der Präsentation SST 2012 c BFS 2

3 Einleitung Einkommensungleichheit wird durch staatlich geregelte Zuund Abflüsse reduziert. Titel der Präsentation + Erwerbseinkommen + Einkommen aus Vermögen und Vermietung wenn = Primäreinkommen nötig (Vortransfereinkommen) mit Untertitel + Renten und Sozialleistungen + Monetäre Transfereinkommen von anderen Haushalten = Bruttoeinkommen obligatorische Transferausgaben Monetäre Transferausgaben an andere Haushalte = Verfügbares Einkommen (Nachtransfereinkommen) Autor Das Haushaltseinkommen der Präsentation wird auf das Ein-Personen-Haushalts-Einkommen Datum (sog. Äquivalenzeinkommen) der Präsentation umgerechnet. Im Folgenden (ev. mit ist mit Anlass) Einkommen immer das monatliche Äquivalenzeinkommen gemeint. SST 2012 Einleitung c BFS 3

4 Geschätzte Einkommensverteilungen Haushaltsbudgeterhebung HABE 2007: n =3 379, ˆN = HABE07: Äquivalenzeinkommen Zoom Titel Primäreinkommen der Präsentation Bruttoeinkommen 7487 verfügbares Einkommen 4976 Äquivalenz Einkommen Äquivalenz Einkommen Datum 0.0 der Präsentation (ev. 0.2 mit Anlass) 0.8 Anteil Haushalte Anteil Haushalte SST 2012 Einleitung c BFS 4

5 Ungleichheits-Indizes Sie quantifizieren verschiedene, sich ergänzende Aspekte der Ungleichheit von Einkommensverteilungen. Titel der Präsentation Gini-Index: beschreibt den mittleren Einkommensbereich wenn Income Quintile-Share-Ratio nötig QSR: Untertitel vergleicht die hohen mit den tiefen Einkommen nicht Theil-Index: fett reagiert geschrieben eher auf hohe Einkommen Atkinson-Index: berücksichtigt besonders Veränderungen im unteren Einkommensbereich Generell: Je grösser der Indexwert, desto ungleicher die Einkommensverteilung. SST 2012 Einleitung c BFS 5

6 Haushaltsbudget-Erhebung 2009, 2008, 2007 Gini-Index QSR Jahr Primär- verfügbares Primär- verfügbares Titel Einkommen der Einkommen Präsentation Einkommen Einkommen Schwierig zu interpretieren, weil eine Genauigkeitsangabe (zb Standardabweichung oder Autor Vertrauensintervall) der Präsentation fehlt. SST 2012 Einleitung c BFS 6

7 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes Linearisierungs-Methode nach Deville U Population der Grösse N Titel M Mass mit M(i) der = 1 für alle ipräsentation U θ = T (M) Populationsparameter, Funktional von M wenn S U einfache Zufallsstichprobe nötig dermit Grösse n, gezogen Untertitel in U { ˆθ = T ( M) mit M(i) wi für i S = 0 für i / S w i Stichprobengewicht Definition der linearisierten Variablen ẑ k, k S: T ( ẑ k = lim M + tδ k ) T ( M) t 0 t δ k Dirac-Mass mit δ k (i) = 1 genau dann, wenn i = k, sonst 0. SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 7

8 Ableitungsregeln sind anwendbar. Varianzschätzung Sei R S die Nettostichprobe der Grösse m. Die Varianz von T ( Titel Präsentation M) kann durch diejenige der linearen Statistik i R wi ẑi approximiert werden: V (T ( M)) V ( w i ẑ i ) = N 2 (1 m N ) 1 m s2 ẑ,r, i R wobei s 2 für die Stichprobenvarianz der geschätzten linearisierten Variabeln ẑ,r ẑ k steht. Das asymptotische (1 α)-vertrauensintervall von T ( M) hat die Form ] Autor [T der ( Präsentation M) z 1 α/2 ˆV (T ( M)), T ( M) + z 1 α/2 ˆV (T ( M)), wobei z 1 α/2 das 1 α/2-quantil der Standardnormalverteilung ist. SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 8

9 Gini-Index Lorenzkurve: Zeigt zum Beispiel, dass die 20% höchsten Bruttoeinkommen 37% des gesamten Bruttoeinkommens ausmachen. HABE07: Äquivalenzeinkommen Titel der Präsentation Primäreinkommen Bruttoeinkommen verfügbares Einkommen 63% 56% Gesamteinkommensanteil % absolute Gleichheit absolute Ungleichheit 1% Anteil Haushalte Gini-Index: zweimal Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 9

10 Für eine endliche Population lautet der Gini-Index: G = 2 i U r i y i Y 1 N Y mit Rang r Titel i = j U der 1 {y j y i } und Einkommenstotal Y = Präsentation i U y i. Für eine Stichprobe hat man: wenn nötig G( mit Untertitel M) = 2 i S ˆr i w i y i Ŷ ˆN Ŷ 1 mit ˆr i = j S w j 1 {yj y i }, ˆN = i S w i, Ŷ = i S w i y i und der Indikatorfunktion 1 {yj y i }. Mit Definition und Ableitungsregeln erhält man die linearisierte Variable ẑ k : ẑ Datum k = 1 k 2(Ŷ ˆNŶ der w Präsentation i y i + w k y k + y kˆr k ) y k (1 + G( (ev. mit M))(Ŷ Anlass) + ˆNy k ). i=1 SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 10

11 Income Quintile Share Ratio QSR HABE 2007 Titel der Präsentation Äquivalenz Einkommen q+ = 6935 Primäreinkommen q+ = 5330 q = 2371 q = Anteil Haushalte Äquivalenz Einkommen verfügbares Einkommen Anteil Haushalte SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 11

12 QSR = Total der 20% höchsten Einkommen Total der 20% tiefsten Einkommen Titel der Präsentation wenn Eurostat Modifikation nötig mit Untertitel Mittelwert der 20% höchsten Einkommen QSR nicht EU = fett Mittelwert geschrieben der 20% tiefsten Einkommen Begründung: Autor Ist etwasder robuster. Präsentation Gleicht aus, dass die Anzahl geschätzter Einkommen im 1. und 5. Quintil unterschiedlich sein kann. SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 12

13 Für die Stichprobe S mit den Stichprobengewichten w i erhält man Titel der Präsentation i S,y i q ( M) w. iy i Das 1. Einkommensquintil q ( M) ist durch F( M, i S x) = 1 {y i x} w i = 0.2 bestimmt. Für q + ( M) gilt QSR = Ŝ80/Ŝ20 = i S w iy i i S,y i q +( M) w iy i das Analoge. i S w i Die Berechnung der linearisierten Variabeln ẑ k ist komplex. SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 13

14 Theil Index Theil(M) = 1 N Speziell gewichtetes Mittel der logarithmierten Titel der Präsentation Mittelwertsabweichungen. Atkinson Index wenn nötig ( mit Untertitel ) 1 ɛ > 0, ɛ 1: 1 A nicht fett ɛ (M) = 1 ( N geschrieben y 1 ɛ i Ȳ )1 ɛ i U A 1 (M) = 1 1 Ȳ i U Datum Bemerkung: der Je grösser Präsentation ɛ, desto mehr werden die (ev. kleineren mit Einkommen Anlass) i U y i Ȳ log( y i Ȳ ) Grenzwertrechnung und die Regel von Bernoulli-l Hôpital liefert ɛ = 1: ( ) 1 N y i berücksichtigt. ɛ = 1 ist der übliche ɛ-wert. SST 2012 Varianzschätzung bei vier Ungleichheits-Indizes c BFS 14

15 Anwendung Haushaltsbudgeterhebung Haushaltsbudgeterhebungen des BFS der Jahre 2009, 2008, 2007 Titel der Präsentation Angaben von jeweils ca Haushalten zu Einkommen/Ausgaben eines Jahres wenn Umrechnung nötig auf monatliche mit Äquivalenzeinkommen Untertitel (Ein-Personen-Haushalte) HABE2009: n = 3317, ˆN = HABE2008: n = 3438, ˆN = HABE2007: n = 3379, ˆN = Datum Variationskoeffizient der Präsentation CV = Standardabweichung (ev. mit Anlass) Schaetzwert SST 2012 Anwendung Haushaltsbudgeterhebung c BFS 15

16 Gini-Index Primäreinkommen verfügbares Einkommen Jahr Schätzung CV (in %) Schätzung CV (in %) Titel 2007 der Präsentation Gesamthaushalte Primäreinkommen Bruttoeinkommen verfügbares Einkommen Jahr Gini Index SST 2012 Anwendung Haushaltsbudgeterhebung c BFS 16

17 Primäreinkommen verfügbares Einkommen Jahr Schätzung CV (in %) Schätzung CV (in %) Titel 2007 der Präsentation Gesamthaushalte Primäreinkommen Bruttoeinkommen verfügbares Einkommen Jahr QSR mit Eurostat Modifikation SST 2012 Anwendung Haushaltsbudgeterhebung c BFS 17

18 Schlussfolgerungen Mit der Linearisierungsmethode nach Deville hat man nun: Titel Varianzschätzung der für Präsentation vier Ungleichheits-Indizes auch für Domains handlich und schnell nicht Man kann mitfett Hilfe der linearisierten geschrieben Variabeln ẑ k einen Signifikanz-Test durchführen für den Indizes-Unterschied bei: zwei verschiedenen Einkommen derselben Stichprobe zwei unabhängigen Stichproben verschiedener Jahre SST 2012 Schlussfolgerungen c BFS 18

19 Literatur Deville, J.C. (1999). Variance estimation for complex statistics and estimators: linearization and residual Titel techniques. der Survey Präsentation Methodology, 25, Guillaume Osier (2009). Variance estimation for complex indicators of poverty and inequality using linearization techniques. Survey Research Methods, 3(3), Dell F., d Haultfoeuille X., Février P., Massé E. (2002). Mise en Oeuvre du calcul de variance par linéarisation. Insee-Méthodes: Actes des Journées de Méthodologie Statistique 2002 SST 2012 Literatur c BFS 19

20 Anhang 1: Einkommenskurven der HABE08 Primäreinkommen Bruttoeinkommen 7573 Titel verfügbares der Einkommen Präsentation Äquivalenz Einkommen HABE08: Äquivalenzeinkommen Datum der 0.4 Präsentation (ev. 0.2 mit 0.4 Anlass) Äquivalenz Einkommen Anteil Haushalte Anteil Haushalte Zoom SST 2012 Literatur c BFS 20

21 Anhang 2: Einkommenskurven der HABE09 Primäreinkommen Bruttoeinkommen 7752 Titel verfügbares der Einkommen Präsentation Äquivalenz Einkommen HABE09: Äquivalenzeinkommen Datum der 0.4 Präsentation (ev. 0.2 mit 0.4 Anlass) Äquivalenz Einkommen Anteil Haushalte Anteil Haushalte Zoom SST 2012 Literatur c BFS 21

22 Anhang 3: Theil Index Primäreinkommen verfügbares Einkommen Jahr Schätzung CV (in %) Schätzung CV (in %) Titel 2007 der Präsentation Gesamthaushalte Primäreinkommen Jahr Bruttoeinkommen verfügbares Einkommen SST 2012 Literatur Theil Index c BFS 22

23 Anhang 4: Atkinson Index für ɛ = 1 Primäreinkommen verfügbares Einkommen Jahr Schätzung CV (in %) Schätzung CV (in %) Titel 2007 der Präsentation Gesamthaushalte Primäreinkommen Jahr Bruttoeinkommen verfügbares Einkommen SST 2012 Literatur Atkinson Index für Epsilon=1 c BFS 23

24 Anhang 5: Atkinson-Index für ɛ {0.5, 1, 1.4} Titel der Präsentation Primäreinkommen Epsilon HABE07: Gesamthaushalte Atkinson Index Bruttoeinkommen verfügbares Einkommen SST 2012 Literatur c BFS 24

25 Anhang 6: Beispiele zur Einflussfunktion (= ẑ k ) Beispiel 1: Einflussfunktion eines Totals ˆθ = Titel Ŷ = i S der w iy i = T ( Präsentation M) hat die Einflussfunktion in k I wenn k (T ( M)) i S = lim nötig (w i + tδ k )y i i S t 0 mit Untertitel w iy i t = lim ty k = y k. t 0 t nicht Beispiel 2: Einflussfunktion fett geschrieben eines Quotienten aus zwei Totalen Für ˆR = ŶˆX = T ( M) mit Ŷ = i S w iy i und ˆX analog hat man I k ()( Datum M)) = I k ( der ˆR) = ˆX I k (Ŷ ) Ŷ I k( ˆX) = 1ˆX (y k Präsentation ˆX 2 (ev. mit Anlass) ˆR x k ). SST 2012 Literatur c BFS 25

26 Beispiel 3: Anwendung auf die kumulative Einkommensverteilungsfunktion F(M, x) bzw. F( M, x) Bevölkerungsanteil mit einem Einkommen von höchstens x: Titel der i U F (M, x) = Präsentation 1 {y i x} N wenn Geschätzter Bevölkerungsanteil nötig mit einem Untertitel Einkommen von höchstens x: F( nicht fett M, i S x) = geschrieben 1 {y i x} w i i S w i Das erste Quintil q 1 ( M) ist bestimmt durch F( M, q 1 ( M)) = 0.2 und man hat Autor I k (F ( der M, q 1 ( Präsentation M) q1 ( Datum der Präsentation M)fest )) = 1 i S w (1 {yk q 1 0.2). ( M)} i (ev. mit Anlass) SST 2012 Literatur c BFS 26

27 Anhang 7a: Linearisierung beim QSR QSR = Ŝ80/Ŝ20 = i S w i y i i S,y i q +( M) w i y i i S,y i q ( M) w i y i = T ( M), Titel der Präsentation wobei das 1. Einkommensquintil q ( M) durch F ( wenn M, i S x) = 1 {y nötig x} w i i i S mit Untertitel w = 0.2 bestimmt ist. i Berechnung von ẑ k mit Quotientenregel. Herleitung der Linearisierung des Nenner-Funktionals S( M, q ( M)) I k (S( M, q ( M))) = I k (S( M, q ( M) q )) + ds( M, x) ( M)fest }{{} dx x=q ( M) }{{} C I k (q ( M)) }{{} B A Datum Herleitung A: der gemässpräsentation Definition (ev. mit Anlass) Herleitung B: durch Konvolutionsprodukt Herleitung C: wie B SST 2012 Literatur c BFS 27

28 Anhang 7b: Herleitung von B beim QSR df (M, x) x=q (M) I k (q (M)) = 0 dx I k (F (M, q (M))) = I k (F (M, q (M) q (M)fest ))+ Titel und somit I k (q der (M)) = Präsentation I k (F (M,q (M) q (M)fest )) df(m,x). dx x=q (M) Ableitung F des Nenners ist 0 oder undefiniert. Deshalb Approximation von : x F (M, x) durch Konvolutionsprodukt F K (x) = F (t) K (x, t)dt mit dem Gauss schen Kern K (x, t) = 1 h (x t)2 exp( ). 2π 2h 2 Dann gilt F K (x) = 1 h 1 2π N i U exp( (x y i )2 ) und damit 2h 2 B = I k (q ( M)) = 1ˆN (1 0.2) {y k q ( M)} 1 ĥ 1ˆN 2π i S exp( (q ( M) y i ) 2 ) Datum der Präsentation (ev. mit 2ĥ2 Anlass) mit ĥ = ˆσ ˆN 1/5 = i S w i y2 i ( i S w i y i )2 / ˆN ˆN 1 ˆN 1/5. SST 2012 Literatur c BFS 28