Erinnerung VL vom

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Erinnerung VL vom"

Transkript

1 Erinnerung VL vom Analyse von Hashtabellen mit verketteten Listen Erwartete Laufzeit O(1) bei zuf. Hashfkt. und falls M O(m) Guter Ersatz (hier) für zuf. Hashfkt.: universelle Hashfunktionen Hashtabellen mit linearer Suche: Schwierigkeit bei remove Heute: Gegenüberstellung Hashing mit Verketten mit linearer Suche (Probleme bei) Anwendungen von Hashtabellen Sortieren: Motivation(, Insertion Sort) KIT Institut für Theoretische Informatik 1

2 Verketten Lineare Suche Volllaufen: Verketten weniger empndlich. Unbeschränktes Hashing mit lin. Suche hat nur amortisiert konst. Einfügezeit Cache: Lineare Suche besser. Vor allem für doall Platz/Zeit Abwägung: Kompliziert! Abhängig von n, Füllgrad, Elementgröÿe, Implementierungsdetails bei Verketten (shared dummy!, t speichert Zeiger oder item), Speicherverwaltung bei Verketten, beschränkt oder nicht,... Referentielle Integrität: Nur bei Verketten! Leistungsgarantien: Universelles Hashing funktioniert so nur mit Verketten KIT Institut für Theoretische Informatik 2

3 Perfektes Hashing hier nicht KIT Institut für Theoretische Informatik 3

4 Mehr Hashing Hohe Wahrscheinlichkeit, Garantien für den schlechtesten Fall, Garantien für linear probing höhere Anforderungen an die Hash-Funktionen Hashing als Mittel zur Lastverteilung z. B., storage servers, (peer to peer Netze,... ) Zufallsextraktion durch universelles Hashing O(1) nd / perfektes Hashing KIT Institut für Theoretische Informatik 4

5 Hashtabellen für assoziative Arrays In Java: java.util.hashtable, in Python: dict Beispiel (Python): args["username"]="fred" (CGI-Skripte) Beispiel für Sicherheitsproblem (gelöst seit 2012): Webserver beantwortet HTTP-Anfragen mit Python-Skript HTTP-Parameter werden für Skript in dict eingelesen Problem: Hashfunktion h deterministisch (d.h. fest, bekannt!) Bösartige Anfrage: viele HTTP-Parameter x y mit gleichem h(x) Konsequenz: quadratischer Aufwand bei Einlesen/Verarbeiten von Skriptparametern Denial of Service Wie reparieren? KIT Institut für Theoretische Informatik 5

6 Kryptographische Hashfunktionen Universelle Hashfunktionen: kurze Ausgabe (typisch: 32 Bit), Kollisionen gleichmäÿig Kryptographische Hashfunktionen: längere Ausgabe (typisch: Bit), Kollisionen existieren, sind aber schwer zu nden Anwendungen für kryptographische Hashfunktionen: Fingerabdruck von groÿen Datenmengen Zertikate (z.b. für Webserver) Nutzerauthentikation (Unix: /etc/passwd) Beispiele: MD5 (unsicher), SHA-1 (unsicher), SHA-256, SHA-3 Mehr in Sicherheits-Vorlesung KIT Institut für Theoretische Informatik 6

7 Sortieren & Co KIT Institut für Theoretische Informatik 7

8 Formaler Gegeben: Elementfolge s = e 1,...,en Gesucht: s = e 1,...,e n mit s ist Permutation von s e e 1 n für eine Totalordnung ` ' KIT Institut für Theoretische Informatik 8

9 Anwendungsbeispiele Allgemein: Vorverarbeitung Suche: Telefonbuch unsortierte Liste Gruppieren (Alternative Hashing?) KIT Institut für Theoretische Informatik 9

10 Beispiele aus Kurs/Buch Aufbau von Suchbäumen Kruskals MST-Algorithmus Rucksackproblem Scheduling, die schwersten Probleme zuerst Sekundärspeicheralgorithmen, z. B. Datenbank-Join Viele verwandte Probleme. Zum Beispiel Transposition dünner Matrizen, invertierten Index aufbauen, Konversion zwischen Graphrepräsentationen. KIT Institut für Theoretische Informatik 10

11 Überblick Einfache Algorithmen / kleine Datenmengen Mergesort ein erster ezienter Algorithmus Eine passende untere Schranke Quicksort das Auswahlproblem ganzzahlige Schlüssel jenseits der unteren Schranke KIT Institut für Theoretische Informatik 11

12 Einfache Sortieralgorithmen Procedure insertionsort(a : Array [1..n] of Element) for i := 2 to n do invariant a[1] a[i 1] move a[i] to the right place Beispiel: 4, 7,1,1 4,7, 1,1 1,4,7, 1 1,1,4,7, KIT Institut für Theoretische Informatik 12

13 Sentinels am Beispiel Sortieren durch Einfügen Procedure insertionsort(a : Array [1..n] of Element) for i := 2 to n do invariant a[1] a[i 1] // move a[i] to the right place e:= a[i] if e < a[1] then // new minimum for j := i downto 2 do a[j]:= a[j 1] a[1]:= e else // use a[1] as a sentinel for (j := i; a[j 1] > e; j ) a[j]:= a[j 1] a[j]:= e KIT Institut für Theoretische Informatik 13

14 Analyse Die i-te Iteration braucht Zeit Θ(i). n i=2 i = n(n + 1) 1 = Θ ( ) n 2 2 Die i-te Iteration braucht Zeit O(1) z. B. (beinahe) sortiert. n i=2 O(1) O(n) KIT Institut für Theoretische Informatik 14

15 Sortieren durch Mischen Idee: Teile und Herrsche Function mergesort( e 1,...,en ) : Sequence of Element if n = 1 then return e 1 // base case else return merge( mergesort( e,...,e 1 n/2 ), mergesort( e n/2 +1,...,en )) Gegeben: zwei sortierte Folgen a und b Berechne: sortierte Folge der Elemente aus a und b KIT Institut für Theoretische Informatik 15

16 Beispiel KIT Institut für Theoretische Informatik 16

17 Mischen Jeweils min(a, b) in die Ausgabe schieben. a b c operation 1,2,7 1,2,8,8 move a 2,7 1,2,8,8 1 move b 2,7 2,8,8 1,1 move a 7 2,8,8 1,1,2 move b 7 8,8 1,1,2,2 move a 8,8 1,1,2,2,7 concat b 1,1,2,2,7,8,8 Zeit O(n) KIT Institut für Theoretische Informatik 17

18 Analyse Analyse: T (n) = O(n) + T ( n/2 ) + T ( n/2 ) = O(n log n). KIT Institut für Theoretische Informatik 18

19 Analyse T (n) = Θ(n) + T ( n/2 ) + T ( n/2 ) Problem: Runderei Ausweg: genauer rechnen (siehe Buch) Dirty trick: Eingabe auf Zweierpotenz aufblasen (z. B. (2 log n n) anhängen) normales Master-Theorem anwendbar Zeit Θ(n log n) KIT Institut für Theoretische Informatik 19

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Programmieren I. Kapitel 7. Sortieren und Suchen

Programmieren I. Kapitel 7. Sortieren und Suchen Programmieren I Kapitel 7. Sortieren und Suchen Kapitel 7: Sortieren und Suchen Ziel: Varianten der häufigsten Anwendung kennenlernen Ordnung Suchen lineares Suchen Binärsuche oder Bisektionssuche Sortieren

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Divide-and-Conquer. Vorlesung 9: Quicksort (K7)

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Divide-and-Conquer. Vorlesung 9: Quicksort (K7) Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 9: (K7) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.rwth-aachen.de/i2/dsal0/ Algorithmus 8. Mai 200 Joost-Pieter

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2015/16 12. Vorlesung Hashing Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I 2 Übungen Begründen Sie grundsätzlich alle Behauptungen außer die Aufgabe

Mehr

3. Übung Algorithmen I

3. Übung Algorithmen I Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der

Mehr

In vergleichsbasierten Suchbäumen wird nicht in Schlüssel hineingeschaut.

In vergleichsbasierten Suchbäumen wird nicht in Schlüssel hineingeschaut. Binäre Suchbäume Tries (Folie 182, Seite 58 im Skript) In vergleichsbasierten Suchbäumen wird nicht in Schlüssel hineingeschaut. In Tries entspricht die ite Verzweigung dem iten Zeichen des Schlüssels.

Mehr

Suchen in Listen und Hashtabellen

Suchen in Listen und Hashtabellen Kapitel 12: Suchen in Listen und Hashtabellen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Einleitung Lineare Suche Binäre Suche (in sortierten Listen) Hashverfahren

Mehr

Sortierte Folgen 250

Sortierte Folgen 250 Sortierte Folgen 250 Sortierte Folgen: he 1,...,e n i mit e 1 apple applee n kennzeichnende Funktion: M.locate(k):= addressof min{e 2 M : e k} Navigations Datenstruktur 2 3 5 7 11 13 17 19 00 Annahme:

Mehr

Sortierverfahren für Felder (Listen)

Sortierverfahren für Felder (Listen) Sortierverfahren für Felder (Listen) Generell geht es um die Sortierung von Daten nach einem bestimmten Sortierschlüssel. Es ist auch möglich, daß verschiedene Daten denselben Sortierschlüssel haben. Es

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

Sortieren durch Einfügen. Prof. Dr. W. Kowalk Sortieren durch Einfügen 1

Sortieren durch Einfügen. Prof. Dr. W. Kowalk Sortieren durch Einfügen 1 Sortieren durch Einfügen Prof. Dr. W. Kowalk Sortieren durch Einfügen 1 Schon wieder aufräumen Schon wieder Aufräumen, dabei habe ich doch erst neulich man findet alles schneller wieder Bücher auf Regal

Mehr

Suchen und Sortieren (Die klassischen Algorithmen)

Suchen und Sortieren (Die klassischen Algorithmen) Suchen und Sortieren (Die klassischen Algorithmen) Lineare Suche und Binäre Suche (Vorbedingung und Komplexität) Sortieralgorithmen (allgemein) Direkte Sortierverfahren (einfach aber langsam) Schnelle

Mehr

16. All Pairs Shortest Path (ASPS)

16. All Pairs Shortest Path (ASPS) . All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e

Mehr

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte 1 35 2 30 3 30 4 15 5 40 6 30 Gesamt 180 1 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse

Mehr

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012 Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Mathematische Grundlagen: Das Handwerkszeug Mariano Zelke Datenstrukturen 2/26 Formeln: n - i = n (n+1) 2 und - i=1 k i=0 a i = ak+1 1 a 1, falls a 1 Rechnen

Mehr

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs Worst-case-Laufzeit pt (a) Folgender Algorithmus löst das Problem der

Mehr

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps Suchen und Heaps (Folie 245, Seite 63 im Skript) 3 7 21 10 17 31 49 28 14 35 24 42 38 Definition Ein Heap ist ein Binärbaum, der die Heapeigenschaft hat (Kinder sind größer als der Vater), bis auf die

Mehr

AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl:

AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: AVL-Bäume Analyse (Folie 85, Seite 39 im Skript) Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: 0 falls n = 0 F n = 1 falls

Mehr

13. Binäre Suchbäume

13. Binäre Suchbäume 1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),

Mehr

Name: Seite 2. Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort.

Name: Seite 2. Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort. Name: Seite 2 Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort. Aufgabe 1 (8 Punkte) 1. Wie viele negative Zahlen (ohne 0) lassen sich im 4-Bit-Zweierkomplement darstellen?

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Bäume Symboltabellen Suche nach Werten (items), die unter einem Schlüssel (key) gefunden werden können Bankkonten: Schlüssel ist Kontonummer Flugreservierung: Schlüssel ist Flugnummer, Reservierungsnummer,...

Mehr

Lösungsvorschläge. zu den Aufgaben im Kapitel 4

Lösungsvorschläge. zu den Aufgaben im Kapitel 4 Lösungsvorschläge zu den Aufgaben im Kapitel 4 Aufgabe 4.1: Der KNP-Algorithmus kann verbessert werden, wenn in der Funktion nexttabelle die Zuweisung next[tabindex] = ruecksprung; auf die etwas differenziertere

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen

Mehr

Sortierverfahren. Sortierverfahren für eindimensionale Arrays

Sortierverfahren. Sortierverfahren für eindimensionale Arrays Sortierverfahren Sortierverfahren Sortieren durch Einfügen Sortieren durch Auswählen Sortieren durch Vertauschen (Bubblesort) Quicksort Sortierverfahren für eindimensionale Arrays 1 Gegeben ist eine beliebige

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015. Vorlesung 5, Donnerstag, 20.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015. Vorlesung 5, Donnerstag, 20. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 5, Donnerstag, 20. November 2014 (Wie baut man eine Hash Map, Universelles Hashing)

Mehr

Fragen für die Klausuren

Fragen für die Klausuren Fragen für die Klausuren Vom Quellcode zum ausführbaren Programm Was ist ein Quellcode? Ist der Quellcode von einem Programm auf unterschiedlichen Rechner gleich? Nennen Sie drei Programmiersprachen. Was

Mehr

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Algorithmen und Datenstrukturen 265 10 Binäre Suchbäume Suchbäume Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Kann als Wörterbuch, aber auch zu mehr eingesetzt werden (Prioritätsschlange)

Mehr

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen Was bisher geschah abstrakter Datentyp : Signatur Σ und Axiome Φ z.b. ADT Menge zur Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) mehrerer Elemente desselben Typs Spezifikation einer Schnittstelle Konkreter

Mehr

Digitale Magazine ohne eigenen Speicher

Digitale Magazine ohne eigenen Speicher Stefan Lucks Digitale Magazine ohne eigenen Speicher 1 Digitale Magazine ohne eigenen Speicher Wie man die Integrität fremdgespeicherter Archivalien sicherstellen kann Stefan Lucks Professur für Mediensicherheit

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015. Vorlesung 8, Donnerstag 11.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015. Vorlesung 8, Donnerstag 11. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 8, Donnerstag 11. Dezember 2014 (Cache-Effizienz, Teile und Herrsche) Junior-Prof. Dr.

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Programmieren ++ Begleitende Übungen zu Veranstaltungen + Umsetzen des Algorithmus in ein lauffähiges Programm

Programmieren ++ Begleitende Übungen zu Veranstaltungen + Umsetzen des Algorithmus in ein lauffähiges Programm Studienanforderungen Studiengang Maschinenbau Programmieren Begleitende Übungen zu Veranstaltungen Umsetzen des Algorithmus in ein lauffähiges Programm Studiengang Bauingenieurwesen Programmieren Begleitende

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Analyse von Algorithmen Algorithmenentwurf Algorithmen sind oft Teil einer größeren Anwendung operieren auf Daten der Anwendung, sollen aber unabhängig von konkreten Typen sein Darstellung der Algorithmen

Mehr

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element

Mehr

Ideen der Informatik Suchen und Sortieren [Ordnung muss sein ] Kurt Mehlhorn Adrian Neumann viele Folien von Kostas Panagiotou

Ideen der Informatik Suchen und Sortieren [Ordnung muss sein ] Kurt Mehlhorn Adrian Neumann viele Folien von Kostas Panagiotou Ideen der Informatik Suchen und Sortieren [Ordnung muss sein ] Kurt Mehlhorn Adrian Neumann viele Folien von Kostas Panagiotou Suchen Welche Telefonnummer hat Kurt Mehlhorn? Wie schreibt man das Wort Equivalenz?

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2012 / 2013. Vorlesung 9, Dienstag 18.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2012 / 2013. Vorlesung 9, Dienstag 18. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2012 / 2013 Vorlesung 9, Dienstag 18. Dezember 2012 (Performance Tuning, Profiling, Maschinencode) Prof. Dr.

Mehr

Informatik II Greedy-Algorithmen

Informatik II Greedy-Algorithmen 7/7/06 lausthal Erinnerung: Dynamische Programmierung Informatik II reedy-algorithmen. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Zusammenfassung der grundlegenden Idee: Optimale Sub-Struktur:

Mehr

8: Zufallsorakel. Wir suchen: Einfache mathematische Abstraktion für Hashfunktionen

8: Zufallsorakel. Wir suchen: Einfache mathematische Abstraktion für Hashfunktionen Stefan Lucks 8: Zufallsorakel 139 Kryptogr. Hashfunkt. (WS 08/09) 8: Zufallsorakel Unser Problem: Exakte Eigenschaften von effizienten Hashfunktionen nur schwer erfassbar (z.b. MD5, Tiger, RipeMD, SHA-1,...)

Mehr

1. Grundlagen... 2. 2. Sortieren... 6. 1.1. Vertauschen... 13. 1.2. Selektion... 16. 1.3. Einfügen... 19. 1.4. Quicksort... 22. 3. Suchen...

1. Grundlagen... 2. 2. Sortieren... 6. 1.1. Vertauschen... 13. 1.2. Selektion... 16. 1.3. Einfügen... 19. 1.4. Quicksort... 22. 3. Suchen... Suchen und Sortieren In diesem Kapitel behandeln wir Algorithmen zum Suchen und Sortieren Inhalt 1. Grundlagen... 2 2. Sortieren... 6 1.1. Vertauschen... 13 1.2. Selektion... 16 1.3. Einfügen... 19 1.4.

Mehr

Sortieren. Eine Testmenge erstellen

Sortieren. Eine Testmenge erstellen Sortieren Eine der wohl häufigsten Aufgaben für Computer ist das Sortieren, mit dem wir uns in diesem Abschnitt eingeher beschäftigen wollen. Unser Ziel ist die Entwicklung eines möglichst effizienten

Mehr

Programmierung Paralleler Prozesse

Programmierung Paralleler Prozesse Vorlesung Programmierung Paralleler Prozesse Prof. Dr. Klaus Hering Sommersemester 2007 HTWK Leipzig, FB IMN Sortierproblem Gegeben: Menge M mit einer Ordnungsrelation (etwa Menge der reellen Zahlen) Folge

Mehr

Einführung in Computer Microsystems

Einführung in Computer Microsystems Einführung in Computer Microsystems Kapitel 9 Entwurf eines eingebetteten Systems für Anwendungen in der IT-Sicherheit Prof. Dr.-Ing. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik Integrierte Schaltungen und Systeme

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden

Mehr

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v) Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der

Mehr

Laufzeit und Komplexität

Laufzeit und Komplexität Laufzeit und Komplexität Laufzeit eines Algorithmus Benchmarking versus Analyse Abstraktion Rechenzeit, Anzahl Schritte Bester, Mittlerer, Schlechtester Fall Beispiel: Lineare Suche Komplexitätsklassen

Mehr

Programmierung I Einführung in Python, Beyond the Basics

Programmierung I Einführung in Python, Beyond the Basics Höhere Datenstrukturen Programmierung I Einführung in Python, Beyond the Basics G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de Eines der Features, das Python so mächtig macht (VHLL)

Mehr

Einführung in die Informatik 1

Einführung in die Informatik 1 Einführung in die Informatik 1 Datenorganisation und Datenstrukturen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00

Mehr

HEUTE. Datenstrukturen im Computer. Datenstrukturen. Rekursion. Feedback Evaluation. abstrakte Datenstrukturen

HEUTE. Datenstrukturen im Computer. Datenstrukturen. Rekursion. Feedback Evaluation. abstrakte Datenstrukturen 9.2.5 HUT 9.2.5 3 atenstrukturen im omputer atenstrukturen ie beiden fundamentalen atenstrukturen in der Praxis sind rray und Liste Rekursion Feedback valuation rray Zugriff: schnell Umordnung: langsam

Mehr

Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz

Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz Datenstruktur BDD 1986 von R. Bryant vorgeschlagen zur Darstellung von aussagenlogischen Formeln (genauer: Booleschen Funktionen)

Mehr

6-1 A. Schwill Grundlagen der Programmierung II SS 2005

6-1 A. Schwill Grundlagen der Programmierung II SS 2005 6-1 A. Schwill Grundlagen der Programmierung II SS 25 6. Suchen Suchen = Tätigkeit, in einem vorgegebenen Datenbestand alle Objekte zu ermitteln, die eine best. Bedingung, das Suchkriterium, erfüllen und

Mehr

Beispiel zu Datenstrukturen

Beispiel zu Datenstrukturen zu Datenstrukturen Passend zum Kurs 01661 Version Juni 2008 Dieter Hoffmann Dipl.-Inform. Diese Kurshilfe zum Kurs Datenstrukuren I (Kursnummer 01661) bei Prof. Dr. Güting (Lehrgebiet Praktische Informatik

Mehr

Vergleich verschiedener Möglichkeiten des Table-Lookups für größere Tabellen

Vergleich verschiedener Möglichkeiten des Table-Lookups für größere Tabellen Vergleich verschiedener Möglichkeiten des Table-Lookups für größere Tabellen Ralf Minkenberg Input Clinical Research GmbH Lütticher Str. 507 Aachen r.minkenberg@input-cro.de Zusammenfassung Sehr häufig

Mehr

Sortieralgorithmen. Inhalt: InsertionSort BubbleSort QuickSort. Marco Block

Sortieralgorithmen. Inhalt: InsertionSort BubbleSort QuickSort. Marco Block Inhalt: InsertionSort BubbleSort QuickSort Block M.: "Java-Intensivkurs - In 14 Tagen lernen Projekte erfolgreich zu realisieren", Springer-Verlag 2007 InsertionSort I Das Problem unsortierte Daten in

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Grundlagen der Programmierung

Grundlagen der Programmierung Grundlagen der Programmierung Algorithmen und Datenstrukturen Die Inhalte der Vorlesung wurden primär auf Basis der angegebenen Literatur erstellt. Darüber hinaus sind viele Teile direkt aus der Vorlesung

Mehr

Programmieren in C. Rekursive Funktionen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff

Programmieren in C. Rekursive Funktionen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Programmieren in C Rekursive Funktionen Prof. Dr. Nikolaus Wulff Rekursive Funktionen Jede C Funktion besitzt ihren eigenen lokalen Satz an Variablen. Dies bietet ganze neue Möglichkeiten Funktionen zu

Mehr

! DBMS organisiert die Daten so, dass minimal viele Plattenzugriffe nötig sind.

! DBMS organisiert die Daten so, dass minimal viele Plattenzugriffe nötig sind. Unterschiede von DBMS und files Speichern von Daten! DBMS unterstützt viele Benutzer, die gleichzeitig auf dieselben Daten zugreifen concurrency control.! DBMS speichert mehr Daten als in den Hauptspeicher

Mehr

MATHEMATISCHE ANALYSE VON ALGORITHMEN

MATHEMATISCHE ANALYSE VON ALGORITHMEN MATHEMATISCHE ANALYSE VON ALGORITHMEN Michael Drmota Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, TU Wien michael.drmota@tuwien.ac.at www.dmg.tuwien.ac.at/drmota/ Ringvorlesung SS 2008, TU Wien Algorithmus

Mehr

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO DAP2 SS 2009 2./4. Juni 2009 1 2. Übungstest

Mehr

Überblick. Lineares Suchen

Überblick. Lineares Suchen Komplexität Was ist das? Die Komplexität eines Algorithmus sei hierbei die Abschätzung des Aufwandes seiner Realisierung bzw. Berechnung auf einem Computer. Sie wird daher auch rechnerische Komplexität

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

SOI 2013. Die Schweizer Informatikolympiade

SOI 2013. Die Schweizer Informatikolympiade SOI Die Schweizer Informatikolympiade Lösung SOI Wie schreibe ich eine gute Lösung? Bevor wir die Aufgaben präsentieren, möchten wir dir einige Tipps geben, wie eine gute Lösung für die theoretischen

Mehr

Kapitel 6. Komplexität von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

Kapitel 6. Komplexität von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung Kapitel 6 Komplexität von Algorithmen 1 6.1 Beurteilung von Algorithmen I.d.R. existieren viele Algorithmen, um dieselbe Funktion zu realisieren. Welche Algorithmen sind die besseren? Betrachtung nicht-funktionaler

Mehr

Uebersicht. Webpage & Ilias. Administratives. Lehrbuch. Vorkenntnisse. Datenstrukturen & Algorithmen

Uebersicht. Webpage & Ilias. Administratives. Lehrbuch. Vorkenntnisse. Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Uebersicht Administratives Einleitung Ein einführendes Beispiel Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 2 Administratives Dozent Prof. Zwicker, zwicker@iam.unibe.ch

Mehr

- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen:

- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen: 6 Partiell geordnete binäre Bäume: Heap (Haufen) Motivation für manchen Anwendungen nur partielle Ordnung der Elemente statt vollständiger nötig, z.b. - Prioritätsschlange: nur das minimale (oder maximale)

Mehr

Algorithmen und Programmierung

Algorithmen und Programmierung Algorithmen und Programmierung Kapitel 7 Ausgewählte Algorithmen A&P (WS 4/): 07 Ausgewählte Algorithmen Überblick Suchen in sortierten Folgen Sortieren Anhang: Entwurf von Algorithmen per Induktion A&P

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395 Kostenmaße Bei der TM nur ein Kostenmaß: Ein Schritt (Konfigurationsübergang) kostet eine Zeiteinheit; eine Bandzelle kostet eine Platzeinheit. Bei der RAM zwei Kostenmaße: uniformes Kostenmaß: (wie oben);

Mehr

PHP 4. E i n e K u r z e i n f ü h r u n g. Vortragender: Kevin Bransdor Datum: 08.05.2002 Folie 1

PHP 4. E i n e K u r z e i n f ü h r u n g. Vortragender: Kevin Bransdor Datum: 08.05.2002 Folie 1 PHP 4 E i n e K u r z e i n f ü h r u n g Vortragender: Kevin Bransdor Datum: 08.05.2002 Folie 1 Was ist PHP? PHP ist eine serverseitige, in HTML eingebettete Skriptsprache. Die Befehlsstruktur ist an

Mehr

Grundlagen der Programmierung 2. Parallele Verarbeitung

Grundlagen der Programmierung 2. Parallele Verarbeitung Grundlagen der Programmierung 2 Parallele Verarbeitung Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 27. Mai 2009 Parallele Algorithmen und Ressourcenbedarf Themen: Nebenläufigkeit,

Mehr

5. Basisalgorithmen für DB-Operationen

5. Basisalgorithmen für DB-Operationen 5. Basisalgorithmen für DB-Operationen Datenbankparameter Komplexität von Grundalgorithmen Unäre Operationen (Scan, Selektion, Projektion) Binäre Operationen: Mengenoperationen Berechnung von Verbunden

Mehr

Skript zur Vorlesung Algorithmentheorie

Skript zur Vorlesung Algorithmentheorie Skript zur Vorlesung Algorithmentheorie Prof. Dr. Georg Schnitger WS 2010/11 Hinweise auf Fehler und Anregungen zum Skript bitte an matthias@thi.informatik.uni-frankfurt.de Mit einem Stern gekennzeichnete

Mehr

Vorlesung 09: Mengen. Peter Thiemann SS 2010

Vorlesung 09: Mengen. Peter Thiemann SS 2010 Vorlesung 09: Mengen Peter Thiemann Universität Freiburg, Germany SS 2010 Peter Thiemann (Univ. Freiburg) JAVA 1 / 43 Inhalt Mengen HashSet LinkedHashSet CopyOnWriteArraySet EnumSet SortedSet NavigableSet

Mehr

Wirtschaftsinformatik I

Wirtschaftsinformatik I Wirtschaftsinformatik I - Tutorium 6/ 7 (April 2010) Zusatzinformationen - Lösungsvorschläge Wirtschaftsinformatik I Tutorium Jochen Daum (4.Semester BWL) Universität Mannheim Rechtshinweis: Diese Präsentation

Mehr

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling Approximationsalgorithmen: Klassiker I Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling VO Approximationsalgorithmen WiSe 2011/12 Markus Chimani

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011

Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011 Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 19.04.2011 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei

Mehr

DAP2-Klausur 07.08.2004

DAP2-Klausur 07.08.2004 DAP2-Klausur 07.08.2004 Vorname : Familienname: Ich studiere (Bitte markieren): Informatik/Inform. Lehramt/Inf.technik/Physik/ Mathe/Statistik/Sonstiges: Bitte beachten: Auf jedem Blatt Matrikelnummer

Mehr

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Codes und Informationsgehalt

Codes und Informationsgehalt Aufgaben 2 Codes und Informationsgehalt Auf wie viele Dezimalziffern genau können vorzeichenlose ganze Zahlen in einem binären Code der Länge 32 bit dargestellt werden? 2 Codes und Informationsgehalt Auf

Mehr

Suchen und Sortieren

Suchen und Sortieren (Folie 69, Seite 36 im Skript) 5 6 1 4 Als assoziatives Array geeignet Schlüssel aus geordneter Menge Linke Kinder kleiner, rechte Kinder größer als Elternknoten Externe und interne Knoten Externe Knoten

Mehr

Name:... Vorname:... Matrikel-Nr.:... Unterschrift:...

Name:... Vorname:... Matrikel-Nr.:... Unterschrift:... Studiengang Bachelor of Computer Science Modulprüfung Praktische Informatik 1 Wintersemester 2010 / 2011 Name:... Vorname:... Matrikel-Nr.:... Unterschrift:... Hinweise: 1.) Schreiben Sie Ihren Namen und

Mehr

IMPLEMENTIERUNG VON OPERATIONEN AUF RELATIONEN

IMPLEMENTIERUNG VON OPERATIONEN AUF RELATIONEN Joins 1 IMPLEMENTIERUNG VON OPERATIONEN AUF RELATIONEN Literatur Priti Mishara, Maragaret H. Eich, Join Processing in Relational Databases, ACM Computing Surveys, Vol. 24, No. 1, March 1992 Goetz Graefe,

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

Übung Grundlagen der Programmierung. Übung 05: Arrays. Abgabetermin: xx.xx.xxxx. Java-Programm Testplan Testergebnisse

Übung Grundlagen der Programmierung. Übung 05: Arrays. Abgabetermin: xx.xx.xxxx. Java-Programm Testplan Testergebnisse Übung 05: Arrays Abgabetermin: xx.xx.xxxx Name: Name, Vorname Matrikelnummer: 0XXXXXX Gruppe: G1 (Prähofer) G2 (Wolfinger) G3 (Wolfinger) Aufgabe Punkte gelöst abzugeben schriftlich abzugeben elektronisch

Mehr

Informationsverarbeitung im Bauwesen

Informationsverarbeitung im Bauwesen V14 1 / 30 Informationsverarbeitung im Bauwesen Markus Uhlmann Institut für Hydromechanik WS 2009/2010 Bemerkung: Verweise auf zusätzliche Information zum Download erscheinen in dieser Farbe V14 2 / 30

Mehr

Kapitel 9 Suchalgorithmen

Kapitel 9 Suchalgorithmen Kapitel 9 Suchalgorithmen Technische Universität München Suchverfahren: Verfahren, das in einem Suchraum nach Mustern oder Objekten mit bestimmten Eigenschaften sucht. Vielfältige Anwendungsbereiche für

Mehr

Entwurf von Algorithmen - Kontrollstrukturen

Entwurf von Algorithmen - Kontrollstrukturen Entwurf von Algorithmen - Kontrollstrukturen Eine wichtige Phase in der Entwicklung von Computerprogrammen ist der Entwurf von Algorithmen. Dieser Arbeitsschritt vor dem Schreiben des Programmes in einer

Mehr

ALP I. Funktionale Programmierung

ALP I. Funktionale Programmierung ALP I Funktionale Programmierung Sortieren und Suchen (Teil 1) WS 2012/2013 Suchen 8 False unsortiert 21 4 16 7 19 11 12 7 1 5 27 3 8 False sortiert 2 4 6 7 9 11 12 18 21 24 27 36 Suchen in unsortierten

Mehr

Kryptographie und Fehlertoleranz für Digitale Magazine

Kryptographie und Fehlertoleranz für Digitale Magazine Stefan Lucks Kryptographie und Fehlertoleranz für digitale Magazine 1 Kryptographie und Fehlertoleranz für Digitale Magazine Stefan Lucks Professur für Mediensicherheit 13. März 2013 Stefan Lucks Kryptographie

Mehr

Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen Ausarbeitung zum Thema Approximationsalgorithmen im Rahmen des Fachseminars 24. Juli 2009 Robert Bahmann robert.bahmann@gmail.com FH Wiesbaden Erstellt von: Robert Bahmann Zuletzt berarbeitet von: Robert

Mehr

Inf 12 Aufgaben 14.02.2008

Inf 12 Aufgaben 14.02.2008 Inf 12 Aufgaben 14.02.2008 Übung 1 (6 Punkte) Ermitteln Sie eine mathematische Formel, die die Abhängigkeit der Suchzeit von der Anzahl der Zahlen N angibt und berechnen Sie mit Ihrer Formel die durchschnittliche

Mehr

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1 3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)

Mehr

Algorithms & Datastructures Midterm Test 1

Algorithms & Datastructures Midterm Test 1 Algorithms & Datastructures Midterm Test 1 Wolfgang Pausch Heiko Studt René Thiemann Tomas Vitvar

Mehr

Verteilte Systeme - P2P-Computing

Verteilte Systeme - P2P-Computing Verteilte Systeme - PP-Computing... alois.schuette@h-da.de Alois Schütte. Oktober / 7 Inhaltsverzeichnis Die Kommunikation in verteilten Systemen, bei denen eine Menge von gleichberechtigten Partnern gemeinsam

Mehr

Algorithmen und Programmieren II Einführung in Python

Algorithmen und Programmieren II Einführung in Python Algorithmen und Programmieren II Einführung in Python SS 2012 Prof. Dr. Margarita Esponda 1 Was ist Python? eine Skript-Sprache Anfang der 90er Jahre entwickelt. Erfinder: Guido van Rossum an der Universität

Mehr

Algorithmen. Suchalgorithmen

Algorithmen. Suchalgorithmen Algorithmen Suchalgorithmen Suchen in Tabellen Der Standardfall. Wie in der Einleitung beschrieben, handelt es sich bei den Datensätzen, die durchsucht werden sollen, um Zahlen. Ein Array könnte beispielsweise

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen

Mehr

Schulinternes Curriculum im Fach Informatik

Schulinternes Curriculum im Fach Informatik Schulinternes Curriculum im Fach Informatik Unterricht in EF : 1. Geschichte der elektronischen Datenverarbeitung (3 Stunden) 2. Einführung in die Nutzung von Informatiksystemen und in grundlegende Begriffe

Mehr