1 3 Z 1. x 3. x a b b. a weil a 0 0. a 1 a weil a 1. a ist nicht erlaubt! 5.1 Einführung Die Gleichung 3 x 9 hat die Lösung 3.

Transkript

1 5 5. Einführung Die Gleichung x 9 ht die Lösung. x 9 Z 9 x Die Gleichung x ht die Lösung. x Z x Definition Die Gleichung x, mit, Z und 0, ht die Lösung: x x Ist kein Vielfches von, so entsteht eine neue Zhl, Bruch oder rtionle Zhl gennnt. Sie ilden die Menge Q. Dividend Zähler Divisor Nenner : Quotient Bruch Quotient Bruch Z; Z \ 0, Spezilfälle 0 0 weil 0 0 weil ist nicht erlut! 0 Vorzeichen Die Division ist die Umkehrung der Multipliktion. Deshl gelten sinngemäss die gleichen Vorzeichenregeln wie für die Multipliktion.

2 Bruchrten Stmmrüche: z. B. ; ; 5 Echte Brüche: z. B. 4 ; ; 4 9 Unechte Brüche: z. B. 0 7 ; ; Scheinrüche: z. B ; ; Reziproke zw. inverse Brüche: z. B. 5 7 und ; und 7 5 Dezimlrüche: z. B. 0,; 0,7; 0,6 Gleichnmige Brüche: z. B. 4 6 ; ; Ungleichnmige Brüche: z. B. 4 ; ; Erweitern und Kürzen Brüche knn mn erweitern und kürzen. Ihr Wert verändert sich dei nicht. Solche Brüche nennt mn gleichwertig. Erweitern heisst: Zähler und Nenner mit der gleichen Zhl 0 multiplizieren. z. B erweitern mit 4 Kürzen heisst: Zähler und Nenner durch die gleiche Zhl 0 dividieren. z. B. 0 0 :5 5 5 :5 kürzen mit 5 Merke: Mn kürzt nur, wenn eide Divisionen gnze Zhlen ergeen. Es dürfen nur Fktoren gekürzt werden: nie us Summen kürzen!

3 5. Kleinstes gemeinsmes Vielfches (kgv) Jede ntürliche Zhl lässt sich ls Produkt von Primzhlen (eine Primzhl ist nur durch sich selst oder durch teilr) schreien, lässt sich lso in Primfktoren zerlegen. Die kleinsten Primzhlen sind,, 5, 7,,, 7, 9,, 9, Zur Bestimmung des kgv stellt mn jede Zhl ls Produkt ihrer Primzhlen dr. Tritt dei eine Primzhl öfter uf, so enutzt mn die Potenzschreiweise. Für die Bestimmung des kgv (8,, 4) mcht mn eine Primfktorzerlegung: 8 : : 4 : 4 : 6 : 7 :7 : : Mn dividiert solnge durch die kleinstmögliche Primzhl, is unten stehen leit. Alle Primzhlen, durch die mn dividiert ht, sind die Primfktoren der Zhl. Ds kgv ekommt mn nun ddurch, dss mn jeden vorkommenden Primfktor in seiner höchsten Potenz miteinnder multipliziert: kgv 7 = 68 Für einfche Terme knn ds kgv durch Betrchten der Vielfchen ermittelt werden. Ist zum Beispiel ds kgv von 6 und 60 gesucht, dnn schreit mn lle Vielfchen von 6 und 60 uf, is mn ds kleinste Vielfche findet, ds ei eiden uftritt: 6 60 V 6, 7, 08, 44, 80, V 60, 0, 80, Somit: kgv (6, 60) = 80 Merke. Unterschied zum ggt: Für ds kgv nimmt mn lle vorkommenden Primfktoren, uch wenn sie nicht in llen Zhlen uftreten. Für den ggt nimmt mn nur diejenigen, die in llen Zhlen zu finden sind. Für ds kgv enötigt mn jeweils die höchste vorkommende Potenz des Primfktors. Für den ggt nimmt mn hingegen die kleinste uftretende Potenz.. Anwendung vom kgv: Gleichnmig mchen von Brüchen

4 5.4 Grösster gemeinsmer Teiler (ggt) Wird ein Bruch durch den grössten gemeinsmen Teiler, den ggt, gekürzt, so ist er nicht weiter zu kürzen. Für die Bestimmung des ggt (8, 4, 540) mcht mn eine Primfktorzerlegung: 8 : 4 : 540 : 9 : : 70 : : 6 : 5 : : 45 : 5 : 5 :5 Mn dividiert solnge durch die kleinstmögliche Primzhl, is unten stehen leit. Alle Primzhlen, durch die mn dividiert ht, sind die Primfktoren der Zhl. Den ggt ekommt mn nun ddurch, dss mn lle gemeinsmen Primfktoren in seiner kleinsten vorkommenden Potenz miteinnder multipliziert: ggt = 6 Für einfche Terme knn der ggt durch Betrchten der Teiler ermittelt werden. Ist zum Beispiel der ggt von 6 und 60 gesucht, dnn schreit mn lle Teiler von 6 und 60 uf, is mn den grössten Teiler findet, der ei eiden uftritt: 6 60 T,,, 4, 6, 9,, 8, 6 T,,, 4, 5, 6, 0,, 5, 0, 0, 60 Somit: ggt (6, 60) = Merke. Unterschied zum kgv: Für den ggt nimmt mn nur diejenigen, die in llen Zhlen zu finden sind. Für ds kgv nimmt mn lle vorkommenden Primfktoren, uch wenn sie nicht in llen Zhlen uftreten. Für den ggt nimmt mn die kleinste uftretende Potenz. Für ds kgv hingegen enötigt mn jeweils die höchste vorkommende Potenz des Primfktors.. Anwendung vom ggt: Kürzen von Brüchen 4

5 5.5 Primzhl, kgv und ggt mit dem TI Beispiel Ist 7 eine Primzhl? Einge: istprim(7) Ergenis: whr oder (Vrinte) Einge: Fktor(7) Ergenis: 7 (Wird nicht zerlegt, 7 ist somit eine Primzhl!) Hinweis: Die Funktion istprim() ist üer erreichr. Beispiel kgv 44,0? Einge: kgv(44,0) Ergenis: 70 Hinweis: Die Funktion wird nur für Zhlen usgewertet. Die Funktion kgv() ist üer erreichr. Beispiel kgv 8,,4? Einge: kgv(kgv (8,),4) Ergenis: 68 Beispiel 4 ggt 44,0? Einge: ggt(44,0) Ergenis: 4 Hinweis: Die Funktion wird nur für Zhlen usgewertet. Die Funktion ggt() ist üer erreichr. Beispiel 5 ggt 48,84,0? Einge: ggt(ggt (48,84),0) Ergenis: 5

6 5.6 Üungen. Erweitern Sie den Bruch so, dss der in der Klmmer ngegeene Nenner entsteht. c. c c c x y x. x y x x x y x y x x y. Erweitern Sie mit z z z z z z 6

7 . Kürzen Sie so weit wie möglich c. d. x x x x x x x x x x x x e. oder 7

8 5.7 Üungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgen: Nummer Seite Bemerkungen 45 (, c, und d) Kontrolle mit TI üen 46 (, d, e und f) Kontrolle mit TI üen 47 (, c, d und f) Kontrolle mit TI üen 48 (, d, e und f) Kontrolle mit TI üen 49 ( und ) Kontrolle mit TI üen 8

9 5.8 Addition und Sutrktion von Brüchen. von gleichnmigen Brüchen d d c c c c Gleichnmige Brüche werden ddiert zw. sutrhiert, indem mn die Zähler der Brüche ei unverändertem Nenner ddiert zw. sutrhiert. Beispiele. 5x 7x x? 5x 7x x x. n x n x? x x n x n x n x x.? 4.? n n n n 9

10 . von ungleichnmigen Brüchen Ungleichnmige Brüche muss mn vor dem Addieren und Sutrhieren gleichnmig mchen. Der Huptnenner ist ds kgv der Einzelnenner. Beispiele.? x x x? 6 9 x x x 8 9x x 8x 9x ? 4.? ? 4 0

11 6.? 7.? 5.9 Üungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgen: Nummer Seite Bemerkungen 5 (,, d und e) Kontrolle mit TI üen 54 (, und d) Kontrolle mit TI üen

12 5.0 Multipliktion und Division von Brüchen. Multipliktion c c d d Brüche werden multipliziert indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Achtung: Die Brüche müssen nicht gleichnmig gemcht werden! Beispiele. x? x x.? 4.? m n n? m mn m m n m n m n m x y x y? x y x y 5. x y x y x x y y y x x y 0 x x y y x y x y x y y x Klmmer nicht notwendig

13 . Division c d d : d c c Brüche werden dividiert, indem mn den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Beispiele. : x? (Hinweis: Erzeugen Sie keinen unnötigen Doppelruch!) x : x x. :? 5 x 9x 5 0 x x 5. : :? y x y x 6 5 5y x x :? 4. (Achtung: Summen wenn möglich in Fktoren zerlegen!) x x : x 5. :? m m m (Achtung: keine einzelnen Summnden stürzen!) m m m m : m m m m m m m m

14 c. Doppelrüche (Mehrfchrüche) c d d : c d c c d Sind Zähler und Nenner eines Bruches wieder Brüche, so spricht mn von einem Doppelruch. Dei knn der Huptruchstrich durch einen Doppelpunkt ersetzt werden. Der Huptruchstrich efindet sich uf der Höhe des Gleichheitszeichens. Der Doppelruch ist lso nichts nderes ls die Division von zwei Brüchen. Beispiele 8 5xy.? 9 5y 8 5y 5xy 9 5x. 7? Achtung: keine einzelnen Summnden stürzen! Zuerst Zähler und Nenner gleichnmig mchen. Dnch Divisionsregel von Brüchen nwenden! ? Achtung: keine einzelnen Summnden stürzen! Zuerst Zähler und Nenner gleichnmig mchen. Dnch Divisionsregel von Brüchen nwenden! 4

15 4. d c? d c c d c d c d c d c d c d 5. x y? x y y x xy x y xy x y y x xy y x y x xy 6. c c c c 4? c c c c c 4 c c 4 c c c c 4 c c 4 c c c c 8c c c c c 4 c 4 c c c c c c 7.? 5

16 5. Bruchrechnen mit dem TI Beispiel? Einge: gemnenn / / Ergenis: Hinweis: Brüche werden mit gemnenn() ddiert. Diese Funktion mcht gleichnmig, ddiert (sutrhiert) und kürzt mehrere Brüche. Die Funktion gemnenn() ist üer erreichr. Beispiel x y y x? y x x y Einge: gemnennx / y y / x * y / x x / y Ergenis: x y xy 4 4 Hinweis: Die Funktion gemnenn() mcht gleichnmig und kürzt mehrere Brüche. Die Funktion gemnenn() ist üer erreichr. Beispiel x y? x y y x Einge: / x / y / x / y y / x Ergenis: x y Hinweis: Brüche werden ohne esondere Aufforderung gekürzt. 9x 6x 8x : x 4? Beispiel 4 Einge: PzlBruch9* x ^ 6* x ^ 8* x / * x 4 Ergenis: x x Hinweis: Die Funktion PzlBruch() zerlegt einen Bruch in den gnzzhligen Anteil und den Rest. Dies ist unter Polynomdivision eknnt. 6

17 5. Üungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgen: Nummer Seite Bemerkungen 55 (, d und e) 4 Kontrolle mit TI üen Theorie Multiplizieren lesen 4 57 (,, c und d) 5 Kontrolle mit TI üen 58 (,, c, d und e) 5 Kontrolle mit TI üen 59 (d, e und f) 5 Kontrolle mit TI üen 60 (,, c, e und f) 6 Kontrolle mit TI üen 6 (d, e und f) 6 Kontrolle mit TI üen 6 (lösen Sie mindestens Aufgen) 6 Kontrolle mit TI üen 6 (c und d) 7 Kontrolle mit TI üen 64 (freiwillig) 7 Kontrolle mit TI üen 7

18 5. Division eines Polynoms durch ein Glied Jedes einzelne Glied des Dividenden wird durch den Divisor geteilt : Beispiele. x : x? x x x x x x. 9y 5y 9cy? y 9 y y 7 5 y 9cy y y 5 7c x 5 : 5x? 4c d. x 4c 5 x 5 0c 9dx 5x 5 d 5 x 5 x Division von einem Glied durch ein Polynom Achtung: Es können nur Fktoren gekürzt werden (nicht us Summen kürzen)! nx nx : n n cn n n cn nx x n c c Merke: nx nx nx nx nx x sondern n n n n n n n Beispiel. 6x : x x 6cx? 6 x 6 c x 6 c 8

19 5.5 Polynomdivision (Prtildivision) Hinweis: Rot (fett) drgestellt sind jeweils diejenigen Teile, die in dem etreffenden Schritt für die Rechnung genutzt zw. ls Ergenis dieses Rechenschritts erhlten werden. Die Terme sind ereits geordnet!. x 6x 9x 4 : x x Erstes Glied des Dividenden wird dividiert durch ds erste Glied des Divisors. :. x 6x 9x 4 : x x x x Ds Ergenis wird zurückmultipliziert mit dem gnzen Divisor (x + ).. x x x 6x 9x 4 : x x 5 x 9x 4 Ds Ergenis x x wird vom Dividenden sutrhiert und mn erhält ls Ergenis den neuen Dividenden 5x 9x 4 4. x x x 6x 9x 4 : x x 5x 5x 9x 4 : Ds Verfhren wird wiederholt, is die Division ufgeht oder ein Rest leit. 5. x x x 6x 9x 4 : x 5x 5x 9x 4 5x x 5x 6. x x x 6x 9x 4 : x x 5x 5x 9 5x 5x x 4 4x 4 9

20 7. x x x 6x 9x 4 : x 5x 5x 9x 4 5x 5x 4x 4 : 8. x x x 4 x 6x 9x 4 : x 5x 5x 9x 4 5x 5x 4x 4 4x 4 x 4 9. x 6x 9x 4 : x x 5x 4 x x 5x 9x 4 5x 5x 4x 4 0 4x 4 0. Kontrolle durch zurückmultiplizieren: x x 5x 4 x 6x 9x 4 Vorgehensweise (Zusmmenfssung). Dividend und Divisor ordnen. Erstes Glied des Dividenden wird dividiert durch ds erste Glied des Divisors. c. Zurückmultiplizieren mit dem gnzen Divisor. d. Ds Ergenis wird vom Dividenden sutrhiert und mn erhält den neuen Dividenden. e. Ds Verfhren wird wiederholt, is die Division ufgeht oder ein Rest leit. Hinweis: Sorgfältiges Areiten lohnt sich. Ein Fehler wirkt sich meistens so us, dss die Areit nicht fortgesetzt werden knn. Ds Verfhren knn wie ein Rezept ngewendet werden. 0

21 5.6 Üungen Führen Sie die folgenden Divisionen us! 0x 6x 6x : x? (Achtung: Dividend und Divisor zuerst ordnen). ordnen ordnen 6x 6x 0x : x 8x 4x 6x 8x 8x 0x 8x 4x 6x 6x 0 :? 4 4. :

22 4. x : x? (Achtung: Polynomdivision mit Rest!) x : x x x x x x 4 4 x x x x x x x x x :? (Achtung: Polynomdivision mit Rest!) 4. : 6x 6x 4 : x x? (Achtung: Polynomdivision mit Rest!) 5. 6x 6x 4 : x x 7x 4 8x 7 x x 6x 8x 4x 4 4x 7x 7x 4

23 Welche Zhl muss mn für x einsetzen, dmit die folgende Division ufgeht? 4 6. x 4 6 :? x : x x 6 6 4x x Rest Dmit die Division ufgeht muss der Rest 'verschwinden'. Dies edeutet der Rest muss gleich 0 sein! somit: 9 4x x : x 9 Mn muss für x einsetzen, dmit die Division ufgeht! 4 9 Kontrolle: in Rest einsetzen, der Rest muss verschwinden ( keine 00% Kontrolle). 4 oder 9 in Originl einsetzen und Polynomdivision durchführen (00% Kontrolle) : 8 6 (Kontrolle mit TI)

24 Welche Zhl muss mn für x einsetzen, dmit die folgende Division ufgeht? 7. x 6 : 6?. Vrinte. Vrinte ordnen x 6 : ordnen x 6 : 6 6 x x x 6 x 6 Rest x x x Rest somit: Rest = 0 somit: Rest = 0 x x : 6 x 6 x 0 x : x Mn muss für x einsetzen, dmit die Division ufgeht! Mn muss für x einsetzen, dmit die Division ufgeht! 4

25 5.7 Üungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgen: Nummer Seite Bemerkungen 65 (lle) 8 Kontrolle mit TI üen 66 (lle) 8 Kontrolle mit TI üen 67 ( und c) 8 Kontrolle mit TI üen 68 (c und d) 8 Kontrolle mit TI üen 5

26 5.8 Dezimlrüche in Brüche umwndeln Begriffe Zur Umwndlung von Dezimlrüchen in gewöhnliche Brüche unterscheidet mn drei verschiedene Arten von Dezimlrüchen, für die mn jeweils etws unterschiedlich vorgeht: Brüche ohne Periode, solche ei denen die Periode gleich nch dem Komm eginnt, sogennnte rein periodische Brüche und schliesslich sogennnte gemischt-periodische Dezimlrüche, ei denen zwischen Komm und Periode noch ndere Ziffern stehen. Brüche ohne Periode rein periodische Brüche gemischt periodische Brüche z. B. 0. z. B. 0. z. B. 0.6 z. B. 0.5 z. B. 0. z. B z. B z. B z. B Vorgehen ei Dezimlrüchen ohne Periode Nicht periodische Dezimlrüche knn mn in Brüche umwndeln, indem mn ls Nenner ds entsprechende Zehnervielfche nlog der Anzhl Dezimlstellen einsetzt: 45 9 ' oder ' '000 Vorgehen ei rein periodischen Dezimlrüchen Beginnt die Periode sofort nch dem Komm, ist es ein rein periodischer Dezimlruch. Bei rein periodischen Dezimlrüchen ist ds Verfhren zur Umwndlung in Brüche ufwändiger. Durch geschickte Sutrktion muss der periodische Teil des Dezimlruchs ufgelöst werden. Beispiele: x 0.4 x 0.6 0x x x x x x x x

27 Vorgehen ei gemischt periodischen Dezimlrüchen Beginnt die Periode nicht direkt hinter dem Komm, ist es ein sogennnter gemischt periodischer Dezimlruch. Auch hier knn durch geschickte Sutrktion der periodische Teil des Dezimlruchs ufgelöst werden. Beispiele: x.0 x x x x x '000x ' x '900x x '575 ' ' Allgemeines Vorgehen ei rein und ei gemischt periodischen Dezimlrüchen Die Umwndlung durch geschickte Sutrktion funktioniert ei rein und ei gemischt periodischen Dezimlrüchen sehr ähnlich. Wenn Sie die vier Beispiele genu etrchten, dnn wird der ursprüngliche Dezimlruch zweiml multipliziert. Die Fktoren sind ein Vielfches von Zehn, jedoch je nch Dezimlruchrt unterschiedlich gross. Doch wie wählt mn diese eiden Fktoren korrekt us? Hier noch einml ein Beispiel: erste Periode x Z Zehnerpotenz '000 x Z : so dss ds Komm hinter der ersten Periode steht! 0 x Z : so dss ds Komm vor der Periode steht! Z Zehnerpotenz 990x 56 x Zusmmenfssung des Vorgehens:. Mn multipliziert die periodische Dezimlzhl mit der Zehnerpotenz Z, so dss ds Komm hinter der ersten Periode steht.. Dnn multipliziert mn die Zhl mit der Zehnerpotenz Z, so dss ds Komm vor der Periode steht.. Die Differenz der Ergenisse ildet den Zähler, die Differenz der Zehnerpotenzen den Nenner des zugehörigen Bruches. Der Bruch muss dnn eventuell noch gekürzt und in eine gemischte Zhl umgewndelt werden. 7

28 Wendet mn dieses Verfhren uf verschiedene rein periodische Dezimlrüche n, erkennt mn weitere Zusmmenhänge: ' ' '999 ' Zusmmenfssung des Vorgehens:. Im Zähler (uf dem Bruchstrich) steht die Periode.. Im Nenner (unter dem Bruchstrich) steht eine Zhl, die us so vielen Neunen esteht wie die Länge der Periode vorgit. Achtung: Diese Regel gilt nur, wenn die Periode sofort nch dem Komm eginnt! Anwendung der neuen Erkenntnisse ei gemischt periodischen Dezimlrüchen Schon der Nme «gemischt periodische» Dezimlrüche lässt vermuten, wie mn hier uch noch vorgehen knn. Mn zerlegt den Dezimlruch in zwei Bestndteile: einml in den nicht periodischen Anteil und einml in die Periode mit nur Nullen ls weiteren Ziffern dvor. Beispiele: '000 ' ' '0 00 '00 0 '000 6'500 mit TR usrechnen! direkt mit dem Tschenrechner erechnen: ' '650 llgemein: Z Erklärung, weshl durch 00 dividiert werden muss! llgemeine Formel direkt in TR eintippen P 5 NP P NP Neuner 99 '07 Z 00 '6 50 direkt in TR eintippen 8

29 ' '0 llgemein: Erklärung, weshl durch 0 dividiert werden muss! P 7 NP Neuner 999 Z 0 llgemeine Formel direkt in TR eintippen direkt in TR eintippen '77 '0 Zusmmenfssung des Vorgehens (Formel für «Eintippmethode»): P NP Neuner Z NP: nicht periodischer Anteil P: periodischer Anteil Neuner: so viele Neunen wie die Länge der Periode vorgit Z: Zehnerpotenz Z, so dss ds Komm vor der Periode steht. Hinweis: Diese Formel gilt für rein periodische und für gemischt periodische Dezimlrüche. Bei rein periodischen Dezimlrüchen ist die Zehnerpotenz Z = 0 0 =. 9

30 5.9 Periodische Dezimlrüche in Brüche umwndeln mit dem TI Beispiel? 0.? Einge: Ergenis: Periode Tolernz zweiml (Genuigkeit) exkt(0., 0. ) Hinweis: Die Funktion exkt() ist üer erreichr. Mit dem Prmeter nch dem Komm knn die Genuigkeit eingestellt werden. Achtung: Es werden nicht lle Dezimlrüche korrekt umgewndelt. Kontrolle Resultt in Eingezeile holen und drücken. Beispiel?.5? Einge: Ergenis: Periode zweiml Tolernz (Genuigkeit) exkt(.55, 0. ) 5 4 sttt 4 99 Einge: Ergenis: Fzit: Periode vierml Tolernz (Genuigkeit) exkt(. 5555, 0. ) 5 4 sttt 4 99 Die Erhöhung der Periodenwiederholung nützt hier nichts! Einge: Ergenis: Fzit: Periode zweiml Tolernz (Genuigkeit) exkt(.55, 0.00 ) 4 99 Die Erhöhung der Genuigkeit liefert hier ds korrekte Resultt! 0

31 Beispiel? 0.4? Einge: Ergenis: Periode Tolernz zweiml (Genuigkeit) exkt(0. 44, 0. ) 7 4 sttt 6 9 Einge: Ergenis: Fzit: Periode Tolernz zweiml (Genuigkeit) exkt(0. 44, ) 4 sttt 5 9 Die Erhöhung der Genuigkeit nützt hier nichts! Einge: Ergenis: Fzit: Periode Tolernz dreiml (Genuigkeit) exkt(0. 444, 0. ) 4 9 Die Erhöhung der Periodenwiederholung liefert hier ds korrekte Resultt! Eine Erhöhung der Genuigkeit oder die Erhöhung der Periodenwiederholung knn ds Resultt eeinflussen. Deshl unedingt den erechneten Wert mit kontrollieren (genügend Stellen nzeigen lssen)!

32 5.0 Üungen Verwndeln Sie die folgenden Dezimlrüche mit Hilfe einer geeigneten Sutrktion in normle Brüche. Achtung: Nicht mit der «Eintippmethode» lösen! Kontrollieren Sie Ihre Ergenisse mit Hilfe des Tschenrechners! x 0.5 0x x x 5 x 9 x 0.5 '000x x x 5 x 999 x.4 00x x x x 99 x.4 00x x x 9 x 90 x 0.9 0x x x 9 x 9 (Sind Sie erstunt üer ds Ergenis?)

33 Verwndeln Sie die folgenden Dezimlrüche mit Hilfe der Formel uf Seite 9 («Eintippmethode») in normle Brüche. Kontrollieren Sie Ihre Ergenisse mit Hilfe des Tschenrechners! P 5 NP Neuner Z P 5 NP 0 Neuner Z (Vergleichen Sie ds Ergenis mit der Aufge 6!) P NP 0 Neuner Z P NP Neuner 9 Z P 5 NP 8 Neuner Z P 4 NP 975 Neuner 99 96' Z 0 99'000 ' P 69 NP '078 Neuner 999 9' Z 4 0 '0'000 0'000

34 5. Üungen Frommenwiler (Vermischte Aufgen) Lösen Sie die folgenden Aufgen: Nummer Seite Bemerkungen 7 9 Kontrolle mit TI üen 7 (lle) 9 Kontrolle mit TI üen 74 d 0 Kontrolle mit TI üen 75 d 0 Kontrolle mit TI üen 76 (c und d) Kontrolle mit TI üen 77 Kontrolle mit TI üen 78 Kontrolle mit TI üen 4