Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen

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1 Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C Wir können das Matrixprodukt M M zweier Matrizen M und M bilden, wenn die Zahl der Spalten von M gleich der Zeilen der Zeilen von M ist Merkregel: (k, m (m, n (k, n, dh, das Produkt einer (k m-matrix mit einer (m n-matrix liefert eine (k n-matrix Im vorliegenden Fall ist A eine (, 3-Matrix, B eine (, -Matrix und C eine (3, -Matrix Wir können also die Produkte AC, BA und CB bilden Exlpizit ergibt sich AC ( 88 6 ; BA ; CB Berechnen Sie die Bilder der Punkte P ( 3 und P ( 4 unter einer Drehung d 60 der Ebene um 60 Welcher Punkt hat als Bild den Punkt P 3 ( (dh, finden Sie das Urbild von P 3? Die Drehung d 60 hat in Matrixform die Gestalt ( cos 60 sin 60 d 60 ( / 3/ sin 60 cos 60 3/ / Das Bild des Punktes P ( 3 ergibt sich daher durch die Multiplikation ( / 3/ 3/ / ( 3 ( 3 3/ 3 + 3/ Analog erhält man für P ( / 3/ 3/ / ( 4 ( / + 3 3/ Das Urbild von P 3 erhält man durch Anwendung der inversen Abbildung d 60, also ( ( ( / 3/ + 3/ 3/ / 3 + /

2 3 Berechnen Sie die Matrix der Abbildung, die sich aus der Ausführung einer Drehung d 0 gefolgt von der Spiegelung s 45 ergibt Welche Matrix erhält man, wenn man die Reihenfolge der Abbildungen vertauscht? Wir berechnen zunächst allgemein das Resultat der Hintereinanderausführung einer Drehung d α gefolgt von einer Spiegelung s β Dafür erhalten wir ( ( cos β sin β cos α sin α s β d α sin β cos β sin α cos α ( cos β cos α + sin β sin α cos β( sin α + sin β cos α sin β cos α + ( cos β sin α sin β( sin α + ( cos β cos α ( ( cos(β α sin(β α cos (β α/ sin (β α/ sin(β α cos(β α sin (β α/ cos (β α/ Das Ergebnis lässt sich auffassen als Matrix einer Spiegelung mit Winkel β α/, dh, s β d α s β α/ In der Aufgabe ergibt sich damit s 45 d 0 s 5 Bei Vertauschung der Reihenfolge von Drehung und Spiegelung erhält man ( ( cos α sin α cos β sin β d α s β sin α cos α sin β cos β ( cos α cos β + ( sin α sin β cos α sin β + ( sin α( cos β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β + cos α( cos β ( ( cos(β + α sin(β + α cos (β + α/ sin (β + α/ sin(β + α cos(β + α sin (β + α/ cos (β + α/ Es handelt sich hierbei also um eine Spiegelung mit Winkel β + α/, dh, d α s β Aufgabe erhält man d 0 s 45 s 05 s β+α/ In der 4 Zeigen Sie, dass die Verkettung der Spiegelungen s α gefolgt von s β eine Drehung um den Winkel (β α ergibt Ein Vorgehen analog zu Aufgabe 4 liefert ( ( cos β sin β cos α sin α s β s α sin β cos β sin α cos α ( cos β cos α + sin β sin α cos β sin α + sin β( cos α sin β cos α + ( cos β sin α sin β sin α + ( cos β( cos α ( cos (β α sin (β α sin (β α cos (β α Die Verkettung liefert also wie behauptet eine Drehung um den Winkel (β α 5 Berechnen Sie die Matrixprodukte AB und BA der Matrizen A ( 3 und B Es ist AB ( 3 ( ( 3

3 (Skalar, während BA ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( 3 ( (3 3-Matrix! 6 Berechnen Sie die Inversen der Matrizen, sofern sie existieren ( 8 (a A 4 5 Gemäß der im Kurs angegebenen Formel berechnen wir ( A ( ( ( (b A 3 6 Wir stellen fest, dass die Determinante von A verschwindet, dh, det A 6 ( ( 3 0 Die Inverse existiert also nicht 7 Zeigen Sie, dass die Matrizen 3 A 3 und B zueinander invers sind Durch explizite Matrixmultiplikation stellen wir fest, dass AB BA (hierbei bezeichnet die Einheitsmatrix Die Matrizen sind also zueinander invers (Anmerkung: Im allgemeinen gilt für die Matrixprodukte zweier beliebiger Matrizen A und B, dass AB BA; im Fall AB wissen wir aber ohne weitere Rechnung, dass auch BA ( 8 Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A Ein Vektor v ungleich dem Nullvektor ist Eigenvektor von A mit Eigenwert λ, falls die Beziehung A v λ v erfüllt ist Wie im Kurs gezeigt, ist diese Beziehung äquivalent zu (A λ v 0 (hierbei bezeichnet die ( -Einheitsmatrix und 0 den zweidimensionalen Nullvektor Damit letztere Gleichung eine von Null verschiedene Lösung für v hat, darf die Matrix (A λ nicht invertierbar sein, dh, für ihre Determinante muss det(a λ 0 gelten Wir berechnen det(a λ det λ λ [( ( λ 0 0 λ ] ( λ det ( λ λ Aus λ λ 0 folgen die Eigenwerte λ 0 und λ Die zugehörigen Eigenvektoren können wir direkt aus der Gleichung (A λ v 0 nach Einsetzen der Werte für λ / ablesen Bei λ 0 ergibt sich (A λ v A v ( ( v v ( 0 0

4 ( Diese Gleichung wird erfüllt für v v 0 oder v α ( ( v ergeben sich bei λ aus der Beziehung ( α 9 Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem v 4x 0 5x 3x 5 x in Matrixform, und lösen Sie es mit Hilfe einer Matrixinversion Wir schreiben das Gleichungssystem zunächst als was in Matrixform als ( x + 5x 0 x + 3x 5, ( x x ( 0 5 dargestellt wird Wir multiplizieren nun beide Seiten mit der Inversen von Lösung ergibt ( x x ( ( 0 5 mit beliebigem reellem α Analog ( 0 die Eigenvektoren v 0 ( 5/ 40/ 0 Eine quadratische Matrix A heißt antisymmetrisch, falls A T A ( ( 5/ 0/, woraus sich die (a Bestimmen Sie die Spur einer antisymmetrischen Matrix (dh, die Summe der Diagonalelemente Für die Matrixelemente einer antisymmetrische Matrix gilt aufgrund der Definition a ij a ji Insbesondere folgt für i j, also die Diagonalelemente, die Beziehung a ii a ii, dh, a ii 0 Für die Spur erhält man also Tr A n i a ii 0 (b Zeigen Sie, dass jede quadratische Matrix M als Summe einer symmetrischen Matrix und einer antisymmetrischen Matrix geschrieben werden kann Aus der Matrix M und ihrer Transponierten M T bilden wir die Kombinationen S (M+M T / und A (M M T / Wegen und S T (M + MT T MT + M M + MT A T (M MT T MT M M MT ist S symmetrisch und A antisymmetrisch Aus der Beziehung S A folgt somit die Behauptung M M + MT + M MT S + A

5 In welchem Sinn kann das Skalarprodukt zweier Vektoren als Spezialfall eines Matrixproduktes aufgefasst werden? Das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v ergibt sich als u v n i u iv i Wenn wir u als (, n- Matrix (dh, als Zeilenvektor und v als (n, -Matrix (dh, als Spaltenvektor auffassen, ist das Skalarprodukt mit dem Matrixprodukt dieser Matrizen identisch