Versuch Nr. 9 Aufbauten 9 a bzw. 29 a Wärmeleitfähigkeit und elektrische Leitfähigkeit von Metallen

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1 Hochschule Augsburg Versuch Nr. 9 Aufbauten 9 a bzw. 29 a Wärmeleitfähigkeit und elektrische Leitfähigkeit von Metallen Physikalisches Praktikum 1. Grundlagen_und_Versuchsidee 1.1 Elektrische Leitfähigkeit Der Widerstand R eines Zylinders, Drahtes oder Stabes der Länge l und des Querschnittes A ist R = l/a (1) Dabei ist der spezifische elektrische Widerstand eine Stoffkonstante. Der reziproke Wert von heißt spezifische elektrische Leitfähigkeit (Einheit 1/Ohm m oder S/m): 1.2 Wärmeleitfähigkeit = 1/ = l/a R = I l / (A U) (2) Der Transport von Wärme Q durch einen Körper mit dem Querschnitt A entlang der Länge l ist proportional dem Temperaturgradienten dt/dl. Es liege dabei die Länge l in Richtung des Temperaturgefälles. Es gilt dann die Wärmeleitgleichung: dt/dl d/dl ("Phi") = dq/dt = - A dt/dl = = (3) R th R th ist dabei die spezifische Wärmeleitfähigkeit eines Stoffes. Diese ist eine Materialkonstante (Einheit ist W/m K). Die Wärmeleitfähigkeit ist also die Proportionalitätskonstante zwischen dem Wärmefluß Phi und dem Temperaturgradienten d/dl (bei konstanter Querschnittsfläche A). Ist die Temperaturverteilung orts- und zeitabhängig, so gilt die allgemeine Wärmeleitgleichung oder Transportgleichung. Diese ist gleich der allgemeinen Diffusionsgleichung mit Diffusionskoeffizient /. c = D. d dt d 2 T d² = = = (4) dt dt c d l 2 c dl² Dabei ist die Dichte und c die spezifische Wärmekapazität. Nach einiger Zeit stellt sich ein stationärer, d.h. nicht mehr zeitabhängiger Zustand ein und die zeitliche Ableitung dt/dt wird 0. d 2 T d² = =0 (5) c dl 2 c dl² Beim stationären Zustand ergibt sich an den Enden eine konstante Temperatur von T 1 bzw. T 2 und es kann mit diesen Grenzwerten (5) integriert werden mit dem Ergebnis: T 2 - T T(l) = l+ T 1 (l) = l+ 1 (6) l 12 l / Ri / 9 / 1

2 < l 12 > = dq/dt ^ 1 T = 2 > l (1) Wärmereservoir (Kalorimeter) Abb.1 (2) Wärmeisolation (3) Metallstab 1.3 Wärmeübergang Bei Wärmeleitung über die Phasengrenze zweier verschiedener Materialtypen (z. B. Metall- Luft, Metall- Wasser oder Wasser- Luft) tritt ein Temperatursprung T auf. Diesen Vorgang nennt man Wärmeübergang. Hierbei wird dem Energiestrom von einem zum anderen Medium ein Wärmewiderstand entgegengesetzt. = dq/dt = A T (7) heißt der Wärmeübergangs- Koeffizient (Einheit W/m² K). Er ist eine spezifische Stoffkonstante der Kombinationen von jeweils 2 Stoffen. 1.4 Wiedemann- Franz- Gesetz der Leitfähigkeiten Die guten elektrischen und thermischen Leitfähigkeiten der Metalle beruhen auf der Tatsache, dass sich die Elektronen im Metall nahezu frei bewegen können (Vorstellung vom Elektronengas). Sie werden erst nach einer Stoßzeit von einer Gitterschwingung (thermische Schwingung) gestreut und bewegen sich zwischen den Streuvorgängen praktisch geradlinig. Mit dieser Modellvorstellung kann man das Ohmsche Gesetz erklären: Zwischen zwei Stößen erhält das Elektron durch die Beschleunigung durch das elektrische Feld E eine Zusatzgeschwindigkeit v v = -e E /m (e ist die Elementarladung, m die Masse des Elektrons.) Beim Stoß geht diese Zusatzgeschwindigkeit wieder verloren und das Elektron fängt wieder bei der Zusatzgeschwindigkeit 0 an. Die Folge ist, dass es im zeitlichen Mittel mit der halben Zusatzgeschwindigkeit driftet. Dies ist die Driftgeschwindigkeit v D = v/2 = -e E /2 m / Ri / 9 / 2

3 Die Beweglichkeit b des Elektrons ist das Verhältnis der Drift- Geschwindigkeit zum elektrischen Feld. b = v D /E = - e /2 m (9) Diese Beweglichkeit b und die Elektronendichte n (Zahl pro Volumen) bestimmen die Leitfähigkeit eines Materials. Stellt man sich eine Scheibe im Material mit der Fläche A und die Dicke dl vor, so ergibt sich die Leitfähigkeit aus der Elektronendichte oder Ladungsträgerdichte n wie folgt: Volumen V = dl A Anzahl Elektronen N = n dl A Ladung Q = N e = n e dl A Strom i = dq/dt= v dq/dl = v n e A v = dl/dt Leitfähigkeit = l/ar = l i /A U Feldstärke = Spannung pro Länge E = U/l = i/ea = v n e A/EA = v n e/e Gemäß Definition ist Beweglichkeit b = v/e und damit = v n e/e = b n e Die Leitfähigkeit ist also das Produkt aus Beweglichkeit, Ladungsträgerdichte und Elementarladung. = e n b = e² n /2 m (10) Die Leitfähigkeit ist also eine Materialkonstante und hängt nicht vom Feld ab. Dies ist das Ohmsche Gesetz. Die Wärmeleitfähigkeit im Metall ist ebenfalls durch die Elektronen gegeben, da die Elektronen eine relativ gute Beweglichkeit und eine relativ große Reichweite zwischen den Stößen mit den Gitterschwingungen haben. Nach der kinetischen Gastheorie ist die Anzahl der strömenden Teilchen pro Zeit (die Teilchenstromdichte j) der von T 1 nach T 2 driftenden Teilchen (Elektronen): (j = dn/da dt) in Vorwärtsrichtung: j 1 = 1/3 n 1 v 1 (11) in Gegenrichtung: j 2 = 1/3 n 2 v 2 (12) Summe: j 1 + j 2 = 0 (13) Die Summe muß 0 sein, da kein Strom fließt. Durch Einsetzen von (11) und (12) in (13) folgt: - n 1 v 1 = n 2 v 2 = n v (14) Die transportierte Wärme, also die transportierte Energie, ist Teilchendichte mal Energie pro Teilchen = Wärmestrom: dq/dt = j W el A in "Vor"-Richtung dq 1 /dt = j 1 (W el A) 1 =1/3 n v 3/2 k T 1 A (15) in Gegenrichtung dq 2 /dt = j 2 (W el A) 2 =1/3 n v 3/2 k T 2 A (16) 91-98/ Ri/ 9/ 3

4 Summe = gesamter Wärmestrom = dq/dt =dq 1 /dt -dq 2 /dt =1/2 n v k (T 1 -T 2 ) A =1/2 n v k T A (17) Weil die Wärmeleitfähigkeit nach (3) wie folgt definiert ist: = dq/dt = - A dt/dl (3) ergibt sich aus Gleichsetzen von (3) und (17): = 1/2 n v k dl (18) Aus der Betrachtung der Elektronen im Elektronengas mit der Stoßzeit kann man ersehen: Stoßzeit = Verhältnis Wegstrecke zur Geschwindigkeit: = dl/v (19) (19) ergibt eingesetzt in (18) = 1/2 n v² k (20) Man sieht bei dem Vergleich von Formel (10) mit (20), dass sowohl die elektrische Leitfähigkeit als auch die Wärmeleitfähigkeit (20) sowohl proportional der Elektronendichte n als auch der Stoßzeit sind. Bildet man das Verhältnis aus Wärmeleitfähigkeit zur elektrischen Leitfähigkeit, so ergibt sich nach Kürzen von n und : k v² 3 k² = m = T (21) e² e² Nach der kinetischen Gastheorie ist die kinetische Energie eines Elektrons 1/2 m v² = 3/2 k T. Nachdem k und e Naturkonstanten sind, ist dieses Verhältnis also für alle Metalle bei gleicher Temperatur gleich. Dieses Gesetz bezeichnet man als Wiedemann- Franzsches Gesetz. = L T (22) L = Lorenz- Zahl. Eine genaue quantenmechanische Rechnung ergibt: ² k² L = (23) 3 e² Setzt man die Konstanten ein, so ergibt sich: L = 2, W Ohm/K² 2._Beschreibung_der_Apparatur 2.1 Allgemeines Die Apparatur besteht aus zwei getrennten Aufbauten zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit einerseits und zur Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit andererseits. Da die Wärmeleitfähigkeit der Quotient aus Wärmefluß und Temperaturgradient ist, werden diese beiden Größen in getrennten Versuchsreihen gemessen. 99+ / Ri / 9 / 4

5 2.2 Metallstäbe Die Leitfähigkeitsmessungen werden an Stäben aus folgenden Metallen ausgeführt: (1) Elektrolytkupfer (elektrolytisch hergestelltes Kupfer für Leiterzwecke) Cu 99 % Reinheitsgrad, (2) Duraluminium (handelsübliches Aluminium) AlSi mit etwa 98% Reinheit, 2% Beilegierungen aus Silizium/Magnesium (Si,Mg) (3) Reines Magnesium Mg 99,9 % (4) Reines Zinn Sn 99,75 % (5) Reines Eisen Fe 99,8 % rostgeschützt (6) Reines Nickel Ni 99,6 % (7) Reines Molybdän Mo 99,9 % Zur Messung der elektrischen Leitfähigkeit sind in die Stäbe je zwei Buchsen für Bananenstecker, unten axial, oben radial, für die Stromzufuhr eingelassen sowie je zwei Buchsen radial im Abstand von 315 mm für den Abgriff von Spannung. Der Durchmesser der Stäbe ist 25 mm, bei Mg 25,4 mm, bei Titan (Ti) 21,4 mm. Zur Messung der Wärmeleitfähigkeit sind in die Stäbe je zehn Vertiefungen eingelassen. Diese haben einen Abstand von je 35 mm voneinander. Der Abstand unterste Vertiefung - unteres Stabende ist ebenfalls 35 mm. Die Vertiefungen des Stabes sind mit Wärmeleitpaste zur besseren Wärmeübertragung versehen. Zur Vermeidung elektrischer Kurzschlüsse sowie der Wärmeleitung an die umgebende Luft sind die Stäbe an der Mantelfläche mit Plexiglas umhüllt. 2.3 Aufbau zur Messung der elektrischen Leitfähigkeit Die elektrische Leitfähigkeit der verschiedenen Metallstäbe wird durch den Spannungsabfall gemessen, den ein bekannter Strom in den Stäben hervorruft. Dazu dient eine Konstant- Gleichspannungsversorgung (1) und ein Schiebewiderstand 10 Ohm/6A (2) zum Regeln des Stromes. Der Schaltplan (Abb. 2) zeigt die Verdrahtung. Zur Spannungsmessung dient ein Universalmessverstärker zum Verstärken (Faktor 10 3 ) der an dem Stab M abfallenden Spannung (3) mit zugehöriger Stromversorgung (4). Strom und verstärkte Spannung werden mit zwei Mehrbereichsmessinstrumenten (5) und (6) angezeigt. = 1 = 4 << U 3 6 M I / Ri / 9 / 5 Abb. 2

6 2.4 Kalorimeteranordnung zur Messung der Wärmeleitfähigkeit Bei Messung der Wärmeleitfähigkeit ist der Metallstab (1) zwischen einer Diesel-Glühkerze (2) und einem unteren Kalorimetertopf (3) mit den Temperaturen T o bzw. T u befestigt. Die Befestigung erfolgt mit einer Stativstange (4). Auf dem Podest über der Stativstange befindet sich die Stromversorgung für die Glühkerzen sowie ein Amperemeter. Zur Ableitung des Stromes durch die Glühkerzen ist (1) oben mit einer radialen Bohrung (2) für einen Bananenstecker versehen, I T u 7 3 u in die das andere Stromkabel der Glühstromversorgung gesteckt wird. Die Temperatur T u wird durch Eiswasser dargestellt. Um eine gleichmäßige Temperatur in (3) zu erlangen, ist (3) mit einer Umlaufpumpe (7) versehen, die über 2 Plastikschläuche (8) das Wasser in (3) umwälzt. Die Pumpe kann nur blasenfreies Wasser pumpen, daher sind die Schläuche vor Einschalten in Wasser zu tauchen. Die Temperaturmessung geschieht durch drei 100-Ohm- Platin(Pt)- Temperaturfühler nach DIN 43760, davon 2 Folien- Oberflächenfühler (9) und eine Tauchsonde (6). Die Pt-Temperaturfühler sind an einer Stativstange (5) beweglich aufgehängt, so dass die Oberflächenfühler entlang des Metallstabes verschoben werden können und die Tauchsonde in das Kalorimeter (3) bewegt werden kann. Beim Bewegen der Temperaturfühler sowie Ein- und Ausbau des Metallstabes ist darauf zu achten, dass die empfindlichen Temperatursonden nicht verbogen oder beschädigt werden. Um ein Vorheizen eines Metallstabes während der Messung des anderen zu ermöglichen, ist diese Kalorimeteranordnung doppelt vorhanden / Ri / 9 / 6

7 2.5 Heizanordnung zur Aufrechterhaltung des Temperaturgefälles An den oberen Kalorimetertöpfen ist eine ungeregelte Stromversorgung für 20V/25V installiert, um die Glühkerzen in den Stäben zu erhitzen. Bei Belastung geben die Stromversorgungsgeräte eine Gleichspannung mit erheblicher Restwelligkeit ab. Die Spannung wird auf 5,5 V= gestellt. Das Amperemeter ist im Messbereich 15A und sollte beim Einschalten bis 10 A, nach einigen Minuten 4A bis 7 A anzeigen. 2.6 Gerät zur Temperaturmessung Die Messung der Widerstände der Pt 100 Messfühler geschieht durch Zuführung eines konstanten Stromes von 1 ma durch 2 Leiter und Abgriff der am Pt 100 abfallenden Spannung durch 2 getrennte Leiter (4 Leiter- Technik). Die Abhängigkeit der angeschlossenen Platinwiderstände von der Temperatur folgt gemäß DIN der Temperaturkennlinie: R()/R 0 =1+0, [-1,81 (/100-1) /100 -a (/100-1) (/100) 3 ] mit: a = 0 über 0 C a = 0,1 unter 0 C R 0 ist dabei der Widerstand bei 0 C, 100 Ohm (daher der Name "Pt 100"). Für die Auswertung im Messgerät wird diese Gleichung umgeformt in die quadratische Gleichung: / C = 28, ,117 (R/R 0 ) + 12,1 (R/R 0 )² Die Auswertung nach dieser Gleichung geschieht im Temperatur- Messgerät mittels eines Mikroprozessors. Beim Messplatz befinden sich 2 Oberflächen- Temperaturfühler für feste Körper sowie eine Temperatur- Tauchsonde für Flüssigkeiten. 2.7 Sonstige Messmittel Dem Messplatz sind folgende Messmittel beigefügt: (1) Messbecher zum Abmessen der verwendeten Wasservolumina (2) Vorratsgefäß mit destilliertem Wasser zum Nachgießen 3._VERSUCHSDURCHFÜHRUNG,_BITTE_REIHENFOLGE_GENAU_EINHALTEN 3.1 Vorbereitung (1) Protokollieren sie, welche Metallstäbe Sie messen. (2) Die 2 Kalorimetergefäße durch Zufügen von Eis im Netz (ca. 10 Würfel) auf eine Temperaturen nahe 0 C eingestellt, dazu Wasser in K3 zufügen (etwa zur halben Höhe) und nachdem die Schlauchenden in die Kalorimeter getaucht sind Pumpen einschalten. 3.2 Messung der elektrischen Leitfähigkeit (1) Schaltplan gemäß Versuchsbeschreibung prüfen, der Verstärker ist wegen der Drift bereits eingeschaltet worden. (2) Bei angeschlossenem Metallstab Nullpunkt des Messverstärkers justieren, also Spannung am Ausgang auf 0V justieren. (3) Stromversorgungsgerät auf 3 V (bei Sn bis 4 V) einschalten. (4) Bei 5 Stromwerten zwischen 3 A und 5 A den Spannungsabfall messen (U=3V bis 5V, t=0,1s, V= 10 3, R= 10 4 ) (5) Strom am Stab durch Tauschen der Leitungen umpolen (6) Temperatur des Metalls messen (einmal) / Ri / 9 / 7

8 (7) Bei 5 Stromwerten zwischen -3 A und -5 A den Spannungsabfall messen. Dabei wird folgende Tabelle verwendet: Tabelle 1 Metall:... Metall:... I/mA U 10 3 /mv / C I/mA U 10 3 /mv / C nur 1 Wert (8) Den gemessenen 1. Metallstab zwischen die Kalorimeter einbauen, damit die Temperaturen sich angleichen können. Dabei wird der Metallstab in die Öffnung des oberen Podestes geschoben und die Stromversorgung an die Glühkerze angeschlossen (5,5V=) und eingeschaltet. (9) Mit dem 2. Metallstab wird die Messung nach Tab.1 wiederholt. (10) Der 2. Metallstab wird in das verbleibende Kalorimeter eingebaut und ebenfalls an die Stromversorgung angeschlossen. (11) Während auf Temperaturausgleich gewartet wird, werden aus den Ergebnissen die elektrischen Leitfähigkeiten der beiden Metalle berechnet und die Ergebnisse in folgende Tabelle 2 eingetragen: Tabelle 2 Stab (Metall)... Stab (Metall)... I/A U/µV R/µ I/A U/µV R/µ Länge l: Mittelwert Mittelwert Fläche A: Leitwert in S/mm in S/mm 3.3 Messung der Wärmeflüsse und der Temperaturgradienten an den Metallstäben (1) Temperaturen in den Kalorimetern messen und protokollieren, Tab.3 Nach Temperaturausgleich in 10 Messstellen in aufsteigender Reihenfolge die Temperaturen messen und in Tabelle 3 eintragen (Abstand = l, je 11 Messungen). Es können 2 Temperaturen mit 2 Fühlern gleichzeitig gemessen werden. Tabelle 3 Metall 1 =... Metall 2 =... Position l/mm / C / C K3 Stab Bei jeder Temperatur-Messung wird wegen des Temperaturausgleichs etwa 1 min gewartet. (2) Das Eis aus K3 wieder entfernen, sonst darf der Aufbau nicht verändert werden. Die Temperatur K3 sollte unter 4 C liegen. Die Änderung der Temperatur in K3 wird in Abhängigkeit von der Zeit t während 5 min aufgenommen und die Ergebnisse in Tab. 4 eingetragen, dabei wird jede Minute gemessen. (3 ) Die Messungen werden mit dem 2. Wärmeleitstab wiederholt. Tabelle 4 Messung mit Metallstab V(H 2 O)/cm 3 t/s Metall 1 / C Metall 2 / C (4) Wassermengen in den beiden Kalorimetern V(H 2 O) ohne Eis nachmessen. 08 / Ri / 9 / 8

9 4._Auswertung_und_Aufgabenstellung 4.1 Die Ergebnisse von Tabelle 3 werden in Graphen für gegen l in mm eingetragen. /l wird graphisch mittels einer Ausgleichsgeraden durch die 10 Messpunkte bestimmt. Aus der Steigung der Geraden wird der mittlere Temperaturgradient /l in K/m bestimmt. 4.2 Aus den Ergebnissen gemäß Tabelle 4 wird der Wärmefluß ges der in Versuch 3.3 geflossen ist, berechnet, Ergebnisse in Tabelle 5. Dazu wird in Q mit Hilfe der Wassermenge und der Wärmekapazität des unteren Kalorimeters C(kal)=60 J/K umgerechnet, c=4,2 J/gK Wärmemenge Wasser plus Kalorimeter: Q = c m T + C(kal) T Tabelle 5 Metall 1... Metall 2... t /s / C Q /J ges /W / C Q /J ges /W Mittelwerte ges ges Umgebungseinfluss u = -3 W _ -3 W Differenzen Wärmeflüsse = = Berechnung der Wärmeflüsse durch die Metalle aus den Differenzen der gemittelten Wärmeflüsse = ges - u mit Umgebungseinfluss u =3W aus der Umgebung und aus der Pumpe in das Kalorimeter. Die Differenz der beiden Wärmeflüsse ist der Wärmefluß durch das Metall. 4.3 Berechnung der Wärmeleitkoeffizienten aus den Wärmeflüssen (4.2), den Gradienten (4.1) T/l und der Fläche A nach Gleichung (3), und die die Lorenzzahl L nach (22) für beide Metalle, Tab. 6, Zehnerpotenz bei Umrechnung von mm nach m beachten. Tabelle 6 Metall S/mm dt/dl K/m A mm² W/mK T K L W/K² 4.4 Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten Metall- Wasser für ein Metall gemäß (7). Dazu wird die Temperatur an dem Stab zu dem unteren Stabende mit Hilfe des Graphen 4.1 extrapoliert und T wie in Zeichnung Seite 3 bestimmt. 08 / Ri / 9 / 9

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