U = U, v i λ i = o und (z.b.) λ 1 0. i=1 1 = i=2. i=2
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- Gerd Goldschmidt
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1 7 Lineare Unabhängigkeit, asis Existenzsatz M Am Ende des vorigen Paragraphen betrachteten wir bei vorgegebener Teilmenge T eines K-Vektorraumes V das Erzeugnis U von T in V. Die ildung des Erzeugnisses ist dabei ein wichtiges Prinzip, das auch in anderen Gebieten der Algebra in ähnlicher Weise herangezogen wird. Die Information über das Erzeugnis ist dabei jeweils schon ganz in dem Erzeugendensystem enthalten. In unserem Falle lässt sich U = T mit Hilfe von Linearkombinationen von T beschreiben. Wir verlagern entsprechend unseren Standpunkt: Wir geben den Unterraum U vor und fragen nach erzeugenden Mengen von U. Zunächst stellen wir fest: U = U, so dass also jeder Unterraum als Erzeugnis (seiner selbst) geschrieben werden kann. Es ist aber, zweckmäï 1 2ig, das Erzeugendensystem T von U möglichst klein auszuwählen, also ohne solche Vektoren, die sich aus den übrigen durch Linearkombination ergeben. Diese treten auf, wenn es v 1,..., v n T gibt mit n v i λ i = o und (z..) λ 1 0. Denn dann ist v 1 selbst Linearkombination der übrigen v i : M v 1 = ( n i=2 v i λ i )λ 1 1 = n i=2 v i ( λ i λ 1 1 ). 7.1 Definition: Lineare Unabhängigkeit, lineare Abhängigkeit (a) (i) Eine endliche Teilmenge T von V heißt linear abhängig (lin.abh., l.a.) g.d.w. gilt: Es existieren Elemente λ 1,..., λ n K, nicht alle λ i = 0, und v 1,..., v n T mit v i v j für i j derart, dass n v i λ i = o. (Es existiert dann also eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors.) (ii) Das n-tupel von Vektoren (v 1,..., v n ) V n heißt linear abhängig g.d.w. gilt: {v 1,..., v n } lin.abh. v 1,..., v n nicht paarweise verschieden. (In diesem Falle sagen wir auch: die Vektoren v 1,..., v n sind linear abhängig.) (iii) v 1 heißt linear abhängig von v 2,..., v n, wenn v 1 LK({v 2,..., v n }) gilt; dann sind insbesonder v 1, v 2,... v n linear abhängig. (iv) Eine Teilmenge M von V (nicht notwendig endlich) heißt linear abhängig, wenn gilt: Es existiert eine endliche Teilmenge von M, die linear abhängig ist. (b) linear unabhängig (lin.unabh., l.u.) nicht linear abhängig, also für M V : M lin.unabh. Jede endliche Teilmenge von M ist lin.unabh.. 106
2 und: v 1,..., v n lin.unabh. : v 1,..., v n nicht lin.abh. {v 1,..., v n } lin.unabh. und v 1,..., v n paarweise versch. [ n ] v i λ i = o λ i = 0 für alle i {1,..., n} 7.2 eispiele (a) V = R 2 (i) (1, 0) und (2, 2) sind linear unabhängig. eweis. Zu zeigen ist (1, 0) λ + (2, 2) µ = 0 λ = µ = 0 für alle λ, µ R. (1, 0)λ + (2, 2)µ = (0, 0) (λ, 0) + (2µ, 2µ) = (0, 0) (λ + 2µ, 2µ) = (0, 0) λ + 2µ = 0 µ = 0 λ = µ = 0. (ii) (1, 0), (2, 2), ( 2, 1), (1, 2) sind linear abhängig. eweis. (1, 0) 3 + (2, 2) ( 1 2 ) + ( 2, 1) 1 + (1, 2) 0 = o (Aus dem eweis sehen wir, dass sogar (1, 0), (2, 2), ( 2, 1) linear abhängig sind). (b) V = K n, K Körper; e i := (0, 0,..., 0,1, 0,..., 0) i-te Stelle (vgl. eispiel (b) nach (6.9) (i) {e 1,..., e n } ist linear unabhängig. eweis. n e i λ i = o (λ 1,..., λ n ) = o i = 1,..., n : λ i = 0. (ii) Die Menge {(λ 1,..., λ n ), e 1,..., e n } ist linear abhängig für jedes n-tupel (λ 1,..., λ n ) K n \ {e 1,..., e n }. eweis. (λ 1,..., λ n ) ( 1) + n e i λ i = o und 1 0. Anmerkung. (λ 1,..., λ n ) = n e i λ i LK({e 1,..., e n }) 107
3 (c) Verallgemeinerung von (b): In K I definieren wir e i für i I durch { I K, e i := (δ ij ) j I : wobei δ ij = j δ ij. { 0 K für i j 1 K für i = j. Dann ist {e i i I} linear unabhängig. n eweis. Für jede endliche Teilmenge {e i1,..., e in } folgt aus e ik λ k = o zunächst ( o = n n ) (δ ik j) j I λ k = δ ik jλ k, also n δ ik jλ k = 0 für jedes j I. Wählen wir j I für l {1,..., n} nun j = i l, so erhalten wir daraus und aus δ ik j = 0 für i k i l = j sofort δ il i l λ l = 0, also λ l = 0. (d) In P(R), dem Vektorraum der Polynomabbildungen über R, ist {(id R ) i i N 0 } linear unabhängig. eweis. Wäre die Menge linear abhängig, so gäbe es eine linear abhängige endliche Teilmenge, insbesondere ein m N 0 und Elemente λ 0,..., λ m K mit m o = (id) i λ i und λ m 0. i=0 Für alle x R gilt somit m x i λ i = 0. Durch m-maliges Differenzieren erhält man i=0 λ m m! = 0. (Widerspruch) Anmerkung. In P ( GF(2) ) sind schon (id GF(2) ), (id GF(2) ) 2 linear abhängig: [ idgf(2) +(id GF(2) ) 2] (x) = x + x 2 = 0 für alle x GF(2). Es gilt sogar: id GF(2) = (id GF(2) ) Hilfssatz: Teilemengen linear unabhängiger Mengen Sei V ein K-Vektorraum. (i) Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig. (ii) Jede Obermenge einer linear abhängigen Menge ist linear abhängig. eweis. Die ehauptung folgt unmittelbar aus Definition (7.1). Anmerkung. Insbesondere gilt: ist linear unabhängig! Nun können wir auf Erzeugendensysteme zurückkommen. 108
4 7.4 Satz: Entbehrliche Elemente in linear abhängigen Mengen Voraussetzung: V K-Vektorraum, M V. ehauptung: M lin.abh. a M : M \ {a} = M. Insbesondere sind in einem linear abhängigen Erzeugendensystem Elemente entbehrlich. eweis. M lin.abh. v 1,..., v n M, λ 1,..., λ n K : n v i λ i = o und λ k 0 für mindestens ein k {1,..., n}; für diese Elemente folgt v k λ k = n v i λ i, also v k = ( n i k v i λ i ) λ 1 k = n i k a M = M \ {a} a LK(M \ {a}) b 1,..., b n M \ {a}, λ 1,..., λ n K : a = n {a, b 1,..., b n } l.a. M lin.abh. i k v i (λ i λ 1 k ), d.h. v k M \ {v k } und M = M \ {v k }. b i λ i a 1 + n b i ( λ i ) = o Im Folgenden interessieren wir uns hauptsächlich für linear unabhängige Erzeugendensysteme. 7.5 Definition: asis Sei V ein K-Vektorraum und V. Dann heißt asis von V g.d.w. linear unabhängiges Erzeugendensystem ist, also gilt: (1) ist linear unabhängig, (2) V =. 7.6 eispiele (a) In K n ist = {e 1,..., e n } mit e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) eine asis, die sogenannte kanonische asis von K n. Denn ist linear unabhängig (sp. (b) s.o.) und jedes x = (ξ 1,..., ) aus K n ist Linearkombination von : x = n e i ξ i. (b) Verallgemeinerung: In K (I) ist = {e i i I} mit e i = (δ ij ) j I asis: ist linear unabhängige Teilmenge von K I (s. eispiel (c), s.o.) und damit von K (I). Ist x = (λ i ) i I K (I), so gibt es eine endliche Teilmenge J von I mit λ i = 0 für 109
5 i I \ J; damit gilt x = e i λ i (wobei nur endlich viele Summanden auftreten). 37 i J Also K (I) =. Anmerkung. Ist I unendlich, so ist keine asis von K I. Zum eispiel lässt sich die konstante Folge (a i ) i N in K N mit a i = a 0 nicht als Summe von e i mit endlich vielen Summanden darstellen. (c) {n 1, n 2 } ist eine asis von V (dem R-Vektorraum der Ebene), ebenso {a, b}, wenn a, b linear unabhängig sind; (vgl. (1.1)!) (d) ist asis des Nullraumes eines Vektorraums; denn: ist lin.unabh. (es existiert keine lin.abh. Teilmenge von ) und = {o}, s.o.! (e) = {id i R j N 0 } ist asis von P(R). ( ist lin.unabh. gemäß eispiel (d) nach (7.1); P(R) = gemäß sp. (c) nach (6.9) 7.7 Satz (Charakterisierung von asen) eweis. Sei V ein K-Vektorraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) ist asis von V ; (d.h. ist lin.unabh. Erzeugendensystem). (b) ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V (d.h. lin.unabh. und für alle x V \ : {x} lin.abh.) (c) ist ein minimales Erzeugendensystem von V (d.h V = x : \ {x} V.) (d) Jeder Vektor v V lässt sich (abgesehen von Summanden der Form b j 0, Reihenfolge und Aufspalten von Summanden) auf genau eine Weise als Linearkombination von darstellen. (a) (b) Ist asis, so definitionsgemäß lin.unabh. V = = (6.10) LK(). Sei x V \, dann x LK() und x / und daher ( ) {x} lin.abh.. (b) (a) maximal linear unabhängige Teilmenge ( l.u. x V \ : {x} lin.abh.) ( lin.unabh. x LK() f.a. x V ) ( lin.unabh. V = LK() = ). (6.10) (a) (c) Nach Satz 7.4 ist ein lin.unabh. Erzeugendensystem minimal und umgekehrt. 37 Man schreibt dann auch x = i I e iλ i, wobei zu beachten ist, dass nur endlich viele der formal auftretenden Summanden von o verschieden sind. 110
6 (a) (d) Sei asis und v V. Dann gilt v = LK(). Wir zeigen die Eindeutigkeit der Darstellung von v als Linearkombination von. Seien v = n b i λ i und v = m c j µ j zwei solche Darstellungen (mit n, m N, j=1 b i, c j, λ i, µ j K und paarweise verschiedenen b i bzw. c j ). Durch Addieren von Summanden b i µ i mit µ i = 0 zur zweiten Darstellung im Falle, dass b i nicht unter den c j vorkommt, und von Summanden c j λ j mit λ j = 0 zur ersten Darstellung, wenn c j nicht unter den b i vorkommt, sowie durch Änderung der Nummerierung (falls b i = c j ) und der ezeichnungen (z.. b n+1 := c 1, falls c 1 / {b 1,..., b n } usw.), erhält man v = l b k λ k und v = l b k µ k. Zu zeigen ist nun: λ k = µ k f.a. k {1,..., l}. Zunächst erhält man o = v v = l l b k λ k b k µ k = l b k (λ k µ k ). Als endliche Teilmenge von ist {b 1,..., b l } linear unabhängig. Damit gilt λ k µ k = 0 f.a. k {1,..., l}, was zu zeigen war. (d) (a) V = LK() V =. (6.10) Wäre linear abhängig, so ließe sich o auf verschiedene Weisen als Linearkombination von darstellen.(wieso?) 7.8 Definition von Koordinaten Sei V ein K-Vektorraum, der eine endliche asis = {b 1,..., b n } besitzt. Durch die Nummerierung der Elemente von legen wir eine Reihenfolge fest. In diesem Fall sprechen wir von der geordneten asis = (b 1,..., b n ). Nach (7.7) lässt sich jedes x V auf genau eine Weise in der Form x = n b i ξ i darstellen. ξ i heißt dann die i-te Koordinate von x bzgl. = (b 1,..., b n ). ξ 1 Schreibweise: x =.. 111
7 Es gilt ξ 1. η 1 +. η n = b i ξ i + b i η i = ξ 1 + η 1 b i (ξ i + η i ) =. + η 1 Entsprechend wird die S-Multiplikation komponentenweise ausgeführt. Anmerkung. Die Zuordnung V K n ξ 1 ξ 1 M :.. ist ein Isomorphismus von (V, +) auf (K n, +), der mit der S-Multiplikation verträglich ist, also eine ijektion mit M (v + w) = M (v) + M (w) für alle v, w V und (VR-Isomorphismus s.u.). M (v λ) = M (v) λ für alle v V und λ K ξ 1 (ξ 1,..., ) oder auch M (x) :=. heißt Koordinatenvektor von x =. eispiele (1) V hat die asis {n 1,( n 2 }. ) Jedem x V mit ξ1 x = n 1 ξ 1 + n 2 ξ 2 = ist durch i ξ n1,n 2 2 n 1,n 2 das Paar (ξ 1, ξ 2 ) R 2 zugeordnet; dies ist auch das Koordinatenpaar des Punktes mit Ortsvektor x. (Siehe Figur 7.1!) n 2 ξ 2 n 2 (2) Sei V = K n, = (e 1,..., e n ). Dann gilt (λ 1,..., λ n ) =.. (ξ 1, ξ 2 ) ξ 1 n 1 n 1 ξ 1 Figur 7.1: Koordinaten eines Vektors der Ebene. Eine Verallgemeinerung auf Vektorräume, die eine unendliche asis besitzen, ist mit Koordinaten-Familien möglich. Es erhebt sich die Frage nach der Existenz einer asis in einem beliebigen Vektorraum. Zunächst betrachten wir Vektorräume, die ein endliches Erzeugendensystem besitzen: λ 1 λ n 112
8 7.9 Satz (asis-ergänzungs-satz bei endlichem Erzeugendensystem) Ist V endlich erzeugter Vektorraum, A linear unabhängige Teilmenge und S ein endliches Erzeugendensystem von V mit A S, dann existiert eine asis von V mit A S Korollar (asis-existenz-satz für endlich erzeugte Vektorräume) Jeder endlich erzeugte Vektorraum V besitzt eine asis. eweis von (7.10): Man setze A =, wähle S als endliches Eerzeugendensystem von V und wende (7.9) an! eweis von (7.9): Sei S endliches Erzeugendensystem von V, A linear unabhängige Teilmenge von S. etrachte X := {C A C S C linear unabhängig}! Da S endlich ist, enthält S nur endlich viele Teilmengen; somit ist X endlich. Daher existiert bzgl. der Ordnung ein maximales Elemenmt in X. Laut Definition ist A. Ist x S und x /, dann gilt {x} S und wegen der Maximalität von dann {x} / X; daraus folgt die Lineare Abhängigkeit von {x}. Da linear unabhängig ist, erhält man x < >. Da x beliebig in S \ gewählt war, ergibt sich S < > und daraus V =< S >=< >. Also ist asis. Anmerkung: Man kann zeigen, dass die Existenz einer asis für jeden K Vektorrraum äquivalent zur Gültigkeit des Auswahlaxioms bzw. zum Zornschen Lemma ist. Wir zeigen hier unter Voraussetzung des Zornschen Lemmas: 7.11 Satz (asis-ergänzung und asis-existenz allgemein) Voraussetzung: Zermelo-Fraenkelsches Axiomensystem + Auswahlaxiom (ZFC)/bzw. Zornsches Lemma (a) Ist V Vektorraum, A linear unabhängige Teilmenge und S ein Erzeugendensystem von V mit A S, dann existiert eine asis von V mit A S. (b) Jeder Vektorraum V besitzt eine asis. eweis von (7.11 (b)): (analog zu 7.10): Man setze A = und S = V und wende (7.11 (a)) an! eweis von (7.11 (a)): (a) Definition: Sei X := {C A C S C lin.unabh.} (V ). Wegen A X ist X und daher (X, ) nicht-leere geordnete Menge. 113
9 (b) Zwischenbehauptung: (X, ) ist induktiv geordnet (vgl. Def ): Sei T X nicht leer und total geordnet, eine sogenannte Kette! Wir wollen zeigen, dass C T := C obere Schranke von T in (X, ) ist, also (X, ) induktiv geordnet. C T (i) Da konstruktionsgemäß C T : C C T gilt, ist C T obere Schranke; es reicht daher der Nachweis von C T X. (ii) Laut Definition gilt C T : A C S und daher A C = C T S. (iii) ehauptung: C T ist lin.unabh.. Sei U = {c 1,..., c n } endliche Teilmenge von C T = Dann gilt: i {1,..., n} C i T : c i C i. Da T total geordnet ist, existiert ein größtes Element C k in {C 1,..., C n }; damit gilt C i C k für i {1,..., n} und U n C i = C k. C k ist linear unabhängig, da C k T. Daher ist U als endliche Teilmenge linear unabhängig. Also: Jede endliche Teilmenge von C T ist linear unabhängig, d.h. C T ist linear unabhängig. Aus (i), (ii) und (iii) folgt: C T ist obere Schranke von T in X. (X, ) erfüllt daher die Voraussetzung des Zornschen Lemmas (2.7.4); dessen Anwendung liefert: (c) Es existiert ein maximales Element in X. (d) ehauptung: ist asis der geforderten Eigenschaft. C T (i) Wegen X ist linear unabhängig und A S. (ii) Ist = S, so sind wir fertig. Sei andernfalls s S \! Dann gilt {s}. Da maximales Element von X ist, gilt {s} / X. Aus A {s} S ergibt sich daher {s} als linear abhängig, also s. Mit S erhalten wir V = S und daraus V =. C. C T 114
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