3 Vektorräume abstrakt

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1 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare Hülle von W Beispiele: V = P W = { x x } W = {P : P (x = a + a x + a x } = P {( ( ( } V = R : LH = { } = = ( λ { ( (λ + µ { ( + µ ( ( = λ + ν {( ( } = LH ( + ν ( + ν : λ ν R : λ µ ν R : λ µ ν R } } Satz: Seien v v n V (n Dann sind äquivalent Ist v = λ j v j mit λ j K so sind die Koeffzienten λ j eindeutig bestimmt dh j= λ j v j = j= µ j v j λ j = µ j für j = n j= Ist λ j v j = so folgt λ = λ = = λ n = j= Keiner der Vektoren v j ist Linearkombination der übrigen 4 Die lineare Hülle jeder echten Teilmenge von {v v n } ist echte Teilmenge von LH{v v n } 4 Definition: Die Menge {v v n } V heißt linear unabhängig falls sie die äquivalenten Bedingungen des vorigen Satzes erfüllt sonst heißt sie linear abhängig sei linear unabhängig

2 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Allgemeiner heißt eine Menge {v i : i I} V linear unabhängig falls jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist Gilt darüberhinaus V = LH{v i : i I} dh jeder Vektor v V ist (eindeutige! Linearkombination aus {v i } dann heißt {v i } eine Basis von V und I die Länge der Basis Ist v = λ j v j j= so heißen die Koeffizienten λ j auch Koordinaten von v bezüglich der Basis {v i : i I} und (λ λ n K n heißt Koordinatenvektor 5 Diskussion: {v} ist linear abhängig v = {v v } linear abhängig v = v = v = λv v v zeigen in gleiche Richtung {x y z} R ist linear unabhängig LH{x y z} = R linear abhängig x y z liegen in einer Ebene durch (oder sogar auf einer Geraden durch 4 Falls {v v n } dann ist {v v n } linear abhängig 5 {v i : i I} linear unabhängig Jede Teilmenge ist linear unabhängig 6 {v i : i I} linear unabhängig {v i : i I} ist Basis von LH {v i : i I} 7 {v i : i I} Basis von V w V {v i : i I} {w} ist linear abhängig 6 Beispiele: {e e n } K n ist Basis von K n : x x = x = x j e j x x n Koordinaten bezüglich {e e n } x n j= Sind a a n K n \ {} so dass a j links/oben mehr Nullen hat als a k für j > k dann ist {a a n } linear unabhängig und Basis von K n Konkret in R : a = ( a = ( a = ( 4

3 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Für x = ( x x x R gilt λ i a + λ a + λ a = x λ + + = x λ + λ + = x λ + + 4λ = x λ = x λ = x λ = x x λ = 4 (x λ = 4 (x x a λ λ λ eindeutig {a a a } linear unabhängig b x = x a + ( x x a + (x 4 x a LH{a a a } = R {a a a } ist Basis des R x = ( x x x (x 4 x = Koordinaten bezüglich der Basis {a a a } Sei P n : K K : x x n (K = R oder K = C Dann ist {P n : n N } in F = {f : K K} linear unabhängig: Sei I N I endlich λ j P j = j I P : x j I λ j P j (x ist Polynom mit unendlich vielen Nullstellen P = also λ j = für j I B := {P n : n N } ist Basis von P = {Polynome P : K K} Ist P : x a j x j so gilt P = a P + a P + + a n P n + P n+ + j= P hat die Koordinaten (a a n 4 Die Menge {x e ax : a R} ist linear unabhängig in F := {f : R R} Sei c e a x + c e a x + + c m e amx = für x R und sei a m der größte Koeffizient: a m > a i für i = m c e (a a mx + c e (a a n + + c m e (a m a n + c m e = x c m = =c m Entsprechend: c m = c m = = c = Warum sind linear unabhängige Vektoren wichtig? Mit linear unabhängigen Vektoren kann man Koordinaten einführen und wie in K n rechnen:

4 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Sei {v v n } V Definiere T : K n V : x x n x j v j j= Dann ist T linear (leicht 7 Satz: Äquivalent sind: a LH {v v n } = V b T ist surjektiv Äquivalent sind: a {v v n } ist linear unabhängig b T ist injektiv Äquivalent sind: a {v v n } ist Basis von V b T ist bijektiv 8 Definition: Seien V W Vektorräume Ist T : V W linear und bijektiv so heißt T (Vektorraum-Isomorphismus Dann ist auch T : W V ein Isomorphismus V und W heißen isomorph falls ein Isomorphismus T : V W existiert Wir schreiben V = W Isomorphe Vektorräume sind als Vektorräume gleich Also: Ist {v v n } Basis von V so ist V = K n 9 Beispiele: V = P = {reelle Polynome vom Grad } P : x P : x x P : x x T : R P : {P P P } ist Basis ( a a a (x a + a x + a x ist Isomorphismus Addition von Vektoren im R ˆ= Addition von Polynomen etc Eine lineare Abbildung auf P zb Translation wird zu einer linearer Abbildung auf R Frage: Besitzt jeder Vektorraum eine Basis? Antwort: Ja (Beweis mit Zornschem Lemma

5 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 74 Dimension Satz: Der Vektorraum V besitze eine Basis aus n Elementen Dann gilt: Je n + Vektoren aus V sind linear abhängig Jede Basis hat genau n Elemente Folgerung: Hat V eine endliche Basis so ist V isomorph zu einem Vektorraum K n für genau ein n N Definition: Ist {v v n } Basis von V so heißt n die Dimension von V : dim V := n (n ist eindeutig Besitzt V keine endliche Basis so heißt V unendlichdimensional Beispiele: V = LH {( ( ( } V = P : Basis = {x x x x x } dim V = V = P : dim V = da Basis = {P n : x x n n N } : dim V = 4 Bemerkungen: Ist dim V = n N und U V Untervektorraum so gilt dim U dim V : Ist B = {v v k } Basis von U so ist B linear unabhängig in V k dim V Manchmal ist es nötig die Basis eines Unterraumes U V durch Hinzunahme weiterer Vektoren zu einer Basis des Vektorraumes V zu ergänzen ( Basisergänzungssatz Ist zb {v v } R linear unabhängig E := {λ v + λ v : λ λ R} die von v v aufgespannte Ebene und n := v v der Normalenvektor so ist B := {v v n} Basis des R Ist (x x x der Koordinatenvektor eines Punktes x bezüglich B: x = x v + x v + x n so gilt x E x =

6 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 75 4 Skalarprodukte 5 Definition: Sei V Vektorraum über R oder C Eine Abbildung V V K : (x y x y heißt Skalarprodukt auf V falls (SP λ x + µ y z = λ x z + µ y z (SP y x = x y (SP x x ; x x = x = (vgl Kapitel Ein Vektorraum mit Skalarprodukt (V heißt auch euklidischer (K = R oder unitärer (K = C Vektorraum 6 Diskussion: Für festes y V ist die Abbildung x x y linear nach (SP Nach (SP und (SP x λ y = λ y x = λ y x = λ x y x y + z = y + z x = y x + z x = x y + x z ( y V : x y = x = (Setze y := x siehe (SP 7 Beispiele: Standard-Skalarprodukt auf R n oder C n ZB ( ( + i + i = ( + i( i + i( i = + = i i ( ( x y x y := x y + x y definiert ein Skalarprodukt auf C ( ( x y x y := x y x y definiert kein Skalarprodukt auf C 4 In der Analysis: [a b] R V := {f : [a b] C f stetig} definiert ein Skalarprodukt auf V f g := b a f(x g(x dx

7 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 76 8 Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (CSU: Für x y V gilt x y x x y y 9 Satz: Ist (V ein Vektorraum mit Skalarprodukt so definiert x := x x eine Norm auf V (vgl Kapitel 8 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung wird zu x y x y Beispiele: V = C n x = x + + x n ( b / V = {f : [a b] C f stetig } f = f(x dx a 5 Orthogonalität Definition: Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt x y V heißen orthogonal (x y falls x y = Eine Familie (v i i J V mit v i heißt Orthogonalsystem falls v i v j für i j und Orthonormalsystem (ONS falls v i v j = δ ij = { für i j für i = j Ist ein ONS gleichzeitig Basis so heißt es Orthonormalbasis (ONB Bemerkung: Sei x y Dann gilt x + y = x + y x + y = x x + x y + y x + y y x y = x + y (Satz des Pythagoras Satz: Ist (v i i I ein Orthogonalsystem (oder sogar ONS so ist {v i : i I} linear unabhängig

8 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 77 4 Beweis: = λ v + + λ n v n k { n} = λ v + + λ n v n v k λ k = = λ v v k + + λ k v k v k + + λ n v n v k = = v k = 5 Satz: (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren: Sei (V Vektorraum mit Skalarprodukt {v v } V endliche oder abzählbare linear unabhängige Menge Dann gibt es ein ONS {e e } mit k N mit k Anzahl {v v } : LH{v v k } = LH{e e k } Beweis: (konstruktiv wichtig Setze e := v v LH{v } = LH{e } f := v v e e da v / LH{e } f e = v e v e e e = also f e Setze e := f f {e e } ist ONS LH {v v } = LH{e e } Seien e e k schon konstruiert Dann gilt v k / LH{e e k } Setze e k := f k f k k f k := v k v k e j e j j= k f k e i = v k e i v k e j e j e i = j= =δ ij 6 Folgerung: Ist dim V < so besitzt V eine ONB und jedes ONS lässt sich zu einer ONB ergänzen 6 Warum sind ONB s wichtig? Entwicklung nach ONB 7 Satz: Seien u v V und {e e n } ONB von V Es gilt v = v e j e j dh v e v e n sind die Koordinaten von v bezüglich {e e n } j=

9 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 78 Ist u = λ j e j v = j= Insbesondere gilt µ j e j so gilt j= u v = (Parsevalsche Gleichung λ j µ j = j= u = u u = λ λ n λ j = j= µ µ n C n u e j j= 8 Folgerung: Der Isomorphismus T : K n V : x x n x j e j j= erhält das Skalarprodukt und die Norm: x y K n = T (x T (y V K n und V können als identisch angesehen werden {( ( } cos ϕ sin ϕ 9 Beispiele: V = R ONB =: {e sin ϕ cos ϕ e } mit festem ϕ R ( ( ( cos ϕ λ = = cos ϕ sin ϕ = λ e + λ e mit ( ( sin ϕ λ = = sin ϕ cos ϕ ( x Allgemein: = (x y cos ϕ + x sin ϕ e + ( x sin ϕ + x cos ϕ e V = C([ π] := {f : [ π] C stetig} f g = π f(xg(xdx f = e : x π e n : x π sin(nx (n N e n : x π cos(nx (n N ( π / f(x dx Dann ist {e e } ein ONS (nachrechnen! und insbesondere linear unabhängig Ist f LH{e n : n N } so gilt f = f e n e n : x b + n a n sin(nx + b n cos(nx n= n=

10 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 79 mit b = π f(t dt b n = π π a n = π f(t sin(nt dt π π f(t cos(nt dt Lässt man auch unendliche Summen zu so kann man praktisch jede Funktion f so entwickeln : Theorie der Fourierreihen 7 Orthogonale Projektion Erinnerung: Sei G = {λ e : λ R} mit e = Für x R ist y := x e e die orthogonale Projektion auf G und es gilt x y e Geometrisch klar: y ist der Punkt von G der den kleinsten Abstand von x hat Satz: Sei U V endlichdimensionaler Unterraum {e e k } ONB von U und x V fest Für y U sind äquivalent y = k x e j e j j= x = y + z mit z U (dh ỹ U : z ỹ ỹ U : x y x ỹ Beispiel: Projektion auf Ursprungsebene im R : { ( ( } ( E := s + t : x t R x := ( e := ( ( f := e := 6 ( ( ( ONB von E (Gram-Schmidt: = ( ( = (

11 Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 8 {e e } ist ONB von E Projektion: y = ( ( = ( / = / ( ( + ( ( + ( 6 ( des Satzes: y ist der Punkt auf E der den kleinsten Abstand zu x hat 6 ( des Satzes: y ist der einzige Punkt auf E so dass z = x y E (y ist also Lotfußpunkt von x auf E Bemerkung: Aus dem Satz: Für x V! y U : x y ist minimal Es gilt y = k x e j e j j= Die Abbildung P : V U : x von V auf U k x e j e j ist linear und heißt orthogonale Projektion j=