Kapitel 4. Der globale Cauchysche Integralsatz

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1 Kapitel 4 Der globale Cauchysche Integralsatz Die Ergebnisse, die wir im vorigen Kapitel gewonnen haben, leben in der Regel davon, dass über einfach geschlossene Kurven integriert wird. Wie sich die Aussagen verhalten, wenn wir zulassen, dass ein Weg auch mehrfach oder in umgekehrter Richtung durchlaufen werden darf, ist Gegenstand dieses Kapitels. Ausgehend davon, dass wir schon bisher Integrale über zusammengsetzte Wege als die Summe der einzelnen Wegintegrale definiert haben, führen wir einige explizite Rechenvorschriften ein, wie Wege addiert werden können. Definition 4. Eine Kette in U lc ist eine Abbildung der Menge der Integrationswege in U in die Menge ZZ der ganzen Zahlen, die nur auf endlich vielen Wegen einen von Null verschiedenen Wert hat. Bemerkung: Ketten bilden mit der üblichen Addition ZZ wertiger Funktionen eine Abelsche Gruppe. Identifizieren wir den Integrationsweg γ mit der Kette, die nur auf γ den Wert und sonst den Wert 0 hat, so bezeichnen wir die Kette auch mit γ. Jede Kette ist endliche Linearkombination von Integrationswegen: k = n l γ l, n l ZZ. Beispiel: l= = γ 2γ 2 + 3γ 3 = 2γ 2 γ 3 + 5γ = γ + 2γ 3 + 5γ 4 56

2 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 57 Bezeichnung: Ist = l n lγ l, nennen wir Sp = n l 0 Sp(γ l) die Spur von. Ist f : Sp() lc stetig, setzen wir f(z) dz := n l f(z) dz. l γ l Wir können sofort feststellen, dass für Integrale über Ketten folgende Aussagen gelten:. f(z) dz max f(z) z Sp l n l L(γ l ), 2. Ist f : Sp Sp 2 lc stetig, gilt f(z) dz = + 2 f + f. 2 Definition 4.2 Eine Kette = k l= n lγ l heißt geschlossen oder Zyklus, wenn jeder Punkt z lc unter Berücksichtigung der Vielfachheit n l genau so oft Anfangs- wie Endpunkt eines γ l ist. Beispiel 4.3. Jeder geschlossene Integrationsweg ist ein Zyklus; ebenso jede Linearkombination von geschlossenen Wegen (etwa Randkurven von positiv berandeten Gebieten). 2. Ist γ ein Integrationsweg, so ist γ + γ ein Zyklus. 3. Sind γ,..., γ k Integrationswege, die zu einem geschlossenen Weg γ γ k zusammengesetzt werden können, dann ist γ γ k ein Zyklus. Satz 4.4 G lc sei ein Gebiet, f : G lc sei stetig. f besitzt genau dann auf G eine Stammfunktion, wenn für alle Zyklen in G gilt: f(z) dz = 0.

3 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 58 Beweis: : Dies ist die Aussage von Satz 3.5. : F sei Stammfunktion von f auf G, und = k l= n lγ l sei ein Zyklus. k f(z) dz = n l f(z) dz γ l = l= k ( n l F (E(γl )) F (A(γ l )) ) l= = z ( k l= z=e(γ l ) n l k λ= z=e(γ λ ) n λ } {{ } =0, da Zyklus ) F (z). Definition 4.5 sei ein Zyklus. Für z lc \ Sp(γ) definieren wir die Umlaufszahl von bezüglich z durch n(, z) := dζ 2πi ζ z. Der Vorteil dieser Definition ist, dass wir uns von der geometrischen Anschauung trennen. Für die Umlaufszahl können wir sofort feststellen: Beispiel 4.6 n( + 2, z) = n(, z) + n( 2, z), n(, z) = n(, z).. Sei γ(t) = z 0 + re imt, 0 t 2π. Dann ist n(γ, z 0 ) = dζ = 2π 2πi ζ z 0 2πi γ 0 im dt = m. Für z z 0 < r deckt sich dies mit unserer geometrischen Vorstellung der Umlaufszahl. Ist z z 0 > r, also z lc \ D r (z 0 ), gilt n(γ, z 0 ) = dζ 2πi ζ z = 0, γ denn die Funktion ζ /(ζ z) ist in lc \ {z} holomorph, und γ liegt ganz in einer der Halbebenen {Imζ > Imz}, {Imζ < Imz}.

4 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ Sei := κ(r, z 0 ) κ(r, z ), wobei D r (z ) D R (z 0 ). 0 0 Dann ist, z D R (z 0 ) \ D r (z ) n(, z) = 0, z z < r z z 0 > R Satz 4.7 Es seien ein Zyklus und z lc \ Sp(). Dann ist n(, z) eine ganze Zahl. Beweis: Sei = k l= n lγ l mit Wegen γ l : [0, ] lc (dies erreicht man durch eventuelles Umparametrisieren). Für t [0, ] definieren wir h(t) := 2πi l n l t 0 γ l (s) γ l (s) z ds. Es gilt h(0) = 0 und h() = n(, z). Wir wollen zeigen: e 2πih() =, woraus folgt, dass h() = n(, z) ZZ. h ist stückweise differenzierbar. Folglich ist auch g(t) := e 2πih(t) l (γ l (t) z) n l stückweise differenzierbar mit Ableitung g (t) = e 2πih(t) l (γ l (t) z) nl ( 2πih (t) + n λ γ λ (t) ). γ λ (t) z λ }{{} =0

5 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 60 Da g auf [0, ] stetig ist, folgt: g ist auf [0, ] konstant. Es gibt also ein c lc mit (γ l (t) z) n l = ce 2πih(t) c 0. Falls l } {{ } (z / Sp) 0 (4.) k k (γ l (0) z) n l = (γ l () z) n l, l= l= ist e 2πih(0) = e 2πih(0) =, da h(0) = 0. Ist w ein Punkt, der als Anfangs- oder Endpunkt eines γ l auftritt, so gilt n l = w=γ l (0) w=γ l () ( ist ein Zyklus!). w z kommt in (4.) auf beiden Seiten gleich oft vor. Also gilt (4.). Satz 4.8 lc sei ein Zyklus. Dann ist lc \ Sp z n(, z) ZZ auf jeder Wegkomponente konstant und auf der unbeschränkten Komponente gleich Null. Beweis: α) z n(, z) ist stetig, bildet also zusammenhängende Teilmengen von lc in zusammenhängende Teilmengen von ZZ ab. Folglich ist n(, z) auf jeder Wegkomponente konstant. β) Sp ist kompakt, also existiert ein R > 0 mit Sp D R (0). Mithin ist lc \ D R (0) offen, zusammenhängend und zu Sp disjunkt. Es gibt also genau eine Wegkomponente von lc \ Sp, die lc \ D R (0) enthält; dies ist die einzige unbeschränkte Wegkomponente. Sei {z ν } eine Folge in dieser Wegkomponente mit dist(z ν, Sp) ν. Dann gilt denn n(, z ν ) = γ l k l= n l 2πi γ l dζ ζ z ν ν 0, dζ L(γl ) ζ z ν dist(z ν, ) ν 0.

6 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 6 Definition 4.9 Ein Zyklus in einer offenen Teilmenge U lc heißt nullhomolog, wenn für jeden Punkt z U die Umlaufzahl n(, z) = 0 ist. Zwei Zyklen heißen homolog, wenn ihre Differenz nullhomolog ist. Bildlich gesprochen bedeutet dies, dass sich der Zyklus auf einen Punkt zusammen ziehen lässt. Beispiel 4.0. Sei U = B 2 (0), = κ(, 0) Für jeden Punkt z U ist n(, z) = 0. Dieser Zyklus ist nullhomolog. 2. Sei U = B 2 (0) \ {0}, wie zuvor sei = κ(, 0). Dieser Zyklus ist nicht nullhomolog, denn n(, 0) =. U Bildlich: dieser Zyklus lässt ich nicht auf einen Punkt in U zusammen ziehen, denn der Nullpunkt ist im Weg. 3. Wie zuvor sei U = B 2 (0) \ {0}, und sei := κ(, 0) κ(/2, 0). Dieser Zyklus ist nullhomolog, denn im Gegensatz zum vorherigen Beispiel gilt an der kritischen Stelle z = 0: n(, 0) = dz = 0 z U Bildlich: diesen Zyklus kann man auf einen Punkt in U zusammen ziehen, denn: man kann einen Null-Zyklus, etwa 0 := [(0.5, 0), (, 0)] [(, 0), (0.5, 0)] zu addieren und entlang 0 aufschneiden.

7 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 62 Satz 4. (Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz und allgemeine Cauchysche Integralformel) Es seien ein nullhomologer Zyklus in der offenen Menge U lc und f : U lc holomorph. Dann gilt:. f(z) dz = Für jeden Punkt z U \ Sp und alle k = 0,, 2,... gilt (4.2) n(, z)f (k) (z) = k! f(ζ) dζ. 2πi (ζ z) k+ Beweis: Ad 2. Sei k = 0 der allgemeine Fall ergibt sich durch Differenzieren. Für z U \ Sp gilt n(, z)f(z) = f(z) 2πi ζ z dζ = 2πi ( f(z) ζ z dζ + f(ζ) f(z) } ζ z {{ } =:h(z) ) dζ Was für den Beweis der Aussage 2 für k = 0 zu zeigen bleibt, ist, dass das zweite Integral verschwindet. Dabei lassen wir uns von folgender Idee leiten: wir zeigen, dass sich h auf ganz lc zu einer holomorphen Funktion fortsetzen lässt mit lim z h(z) = 0. Aus dem Satz von Liouville folgt dann, dass h 0. Wir definieren dazu: f(ζ) f(z), z ζ g(ζ, z) := ζ z f (z), z = ζ Dann ist g : lc 2 U U lc stetig, denn für einen festen Punkt (ζ 0, z 0 ) U U gilt: Ist ζ 0 z 0, so gilt in der Nähe von (ζ 0, z 0 ) die Formel f(ζ) f(z) g(ζ, z) =. ζ z Ist ζ 0 = z 0, unterscheiden wir wieder zwei Fälle: z = ζ g(z, z) g(z 0, z 0 ) = f (z) f (z 0 ), f(ζ) f(z) z ζ g(ζ, z) g(z 0, z 0 ) = f (z 0 ) ζ z = (f (w) f (z 0 )) dw. ζ z [z ζ]

8 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 63 Da der Potenzreihenentwicklungssatz die Stetigkeit von f in z 0 garantiert, folgt, dass g auf U U stetig ist. Wir setzen h 0 (z) := g(ζ, z) dζ. Wegen der Stetigkeit von g ist h 0 : U lc stetig. Wir zeigen: h 0 ist auch holomorph. Dazu sei γ der positiv orientierte Rand eines Dreieck in U. Um den Satz von Morera anzuwenden, müssen wir zeigen, dass γ h 0(z) dz = 0. γ h 0 (z), dz = ( ) = γ ( ( γ ) g(ζ, z) dζ dz ) g(ζ, z) dz dζ. Im Schritt ( ) ging ein, dass g : U U lc stetig ist und somit der Satz von Fubini aus der Integration in mehreren Veränderlichen anwendbar ist. Für festes ζ ist offensichtlich die Funktion U \ {ζ} z g(ζ, z) holomorph. Aus dem Cauchyschen Integralsatz für Wegintegrale folgt g(ζ, z) dz = 0 und somit h 0 (z) dz = 0. γ Nun bringen wir die Voraussetzungen über ins Spiel. Sei U 0 := {z lc; n(, z) = 0}. Auf U 0 gilt einfacher: h 0 (z) = f(z) ζ z dζ }{{} =n(,z)=0 γ f(ζ) ζ z dζ =: h (z). Offenbar ist h in U 0 holomorph. Wir können setzen: h 0 (z), z U h(z) := h (z), z U 0 \ U Damit ist h : U U 0 lc holomorph. Da nullhomolog ist, ist allerdings U U 0 = lc. Also ist h : lc lc holomorph ( eine ganze Funktion ).

9 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 64 Sei nun z U 0 (dazu gehört insbesondere die unbeschränkte Komponente). Es gilt h(z) = h (z) L() max ζ f(ζ) dist(z, ) z 0 Folglich ist h beschränkt und damit nach dem Satz von Liouville konstant. Wegen h(z) 0 folgt h 0. Ad. Sei a (U U 0 ) \ Sp. (Ein solcher Punkt a existiert, da dist(sp, U) > 0 ist.) Die Funktion F (z) := f(z)(z a) ist auf U holomorph. Mit 2 folgt n(, a) F (a) = }{{} 2πi =0 F (z) z a dz = 2πi f(z) dz. Satz 4.2 Seien, homologe Zyklen in U und f : U lc holomorph. Dann gilt f(z) dz = f(z) dz. Beweis: ist nullhomolog. Bemerkung: Aus Satz 4.2 folgt insbesondere, dass das Residuum von f um z U kurvenunabhängig ist. Definiert man res z f := f(ζ) dζ 2πi κ(r,z) für hinreichend kleines r > 0, so ist der Wert identisch für jedes Integral über einen zu κ(r, z) homologen Zyklus. Beispiel 4.3. Für f(z) = /(z a) ist res a f =, für f(z) = (z a) n (n 2) ist res a f = Sei f(z) = /(z(z i) 2 ). Diese Funktion ist auf lc \ {0, i} holomorph.

10 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 65 Betrachten wir zunächst die Laurent Entwicklung dieser Funktion in dem Kreisring {z; 0 < z < }: z(z i) 2 = z = z ( z k=0 i ) 2 (k + ) ( z i ) k = z + i (k + 2) ( z ) k. i k=0 Da in der Reihe keine negative Potenz von z auftaucht, gilt folglich res 0 f =. Betrachten wir die Laurententwicklung um 0 in dem unbeschränkten Gebiet {z; < z < }: z(z i) 2 = z 3 ( i/z) 2 = z 3 = 3 k= i k (k + 2)z k. k=0 (k + ) ( i z In dieser Reihenentwicklung tritt kein Summand zum Index auf. Die Laurententwicklung um i im Kreisring {0 < z i < } ergibt das folgende Residuum: z(z i) 2 = also res i f =. Zusammengefasst: i (z i) + 2 z i z, res 0 f =, res i f =. Die Bedeutung des Residuums wird erst durch den folgenden Satz deutlich: Satz 4.4 (Residuensatz) Sei U lc offen, f : U lc sei holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Dann gilt für jeden nullhomologen Zyklus in U (4.3) f(ζ) dζ = 2πi n(, z)res z f. z U ) k

11 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 66 Die Summe auf der rechten Seite von (4.3) ist endlich, denn n(, z) 0 gilt nur auf den beschränkten Wegkomponenten von, deren Vereinigung A in U liegt und wo A kompakt ist. Allerdings können in A nur endlich viele Singularitäten von f liegen. In allen anderen Punkten verschwindet res z f. Beweis: z,..., z m seien die Singularitäten von f mit n(, z µ ) 0, M sei die Menge der sonstigen Singularitäten. h µ (z) sei der Hauptteil der Laurententwicklung von f um z µ. Dann ist h µ : lc \ {z µ } lc holomorph. Ebenfalls ist die Funktion f m µ= h µ auf U \ M holomorph. Der Zyklus ist in U und somit auch in U \ M nullhomolog. Aus dem globalen Cauchyschen Integralsatz folgt damit ( m ) f(z) h µ (z) dz = 0 oder äquivalent f(z) dz = µ= m µ= h µ (z) dz. Schreiben wir h µ (z) = ν= a νµ(z z µ ) ν, gilt m f(z) dz = a νµ (z z µ ) ν dz = µ µ= ν= a,ν (z z µ ) dz = µ ( reszµ f n(, z µ ) ) 2πi. In der ersten Zeile dieser Rechnung haben wir stillschweigend davon Gebrauch gemacht, dass die Laurentreihe auf kompakten Teilen des Konvergenzbereichs gleichmäßig konvergiert, also Integration und Summation vertauscht werden können. Ferner haben wir den globalen Cauchyschen Integralsatz verwendet: (z z µ ) ν = 2πi n(, z µ ) } (ν ) {{}. =0,ν 2 Definition 4.5 Ein Gebiet, in dem jeder Zyklus nullhomolog ist, heißt einfach zusammenhängend.

12 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 67 Bildlich gesprochen, hat ein einfach zusammenhängendes Gebiet keine Löcher. Korollar 4.6 Seien U ein einfach zusammenhängendes Gebiet und ein Zyklus in U. Dann gilt f(ζ) dζ = 2πi n(, z)res z f, z U sofern f bis auf isolierte Singularitäten in U holomorph ist und durch keine Singularität läuft. Geometrisch kann das auch in etwa wie folgt beschrieben werden: Sei in U der Randzyklus eines offenen Menge V U, d. h. V U, V = Sp, n(, z) = für z V, n(, z) = 0 für z / V. V γ 2 γ = γ + γ 2 Ist f : U lc holomorph bis auf isolierte Singularitäten, von denen keine auf liegt, so gilt f(z)dz = 2πi res z f. z V Zum Abschluss des Kapitels und als Vorgriff auf das nächste geben wir ein Beispiel an, welches den Nutzen des Residuenkalküls verdeutlichen soll. Beispiel 4.7 Die Berechnung des uneigentlichen Riemann Integrals I := dx + x 4.

13 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 68 Dieses Integral existiert, wie man sich leicht klar macht. Zur Berechnung des Integrals macht man einen Umweg über lc: Statt f(x) = ( + x 4 ) schreiben wir f(z) = ( + z 4 ). Diese Funktion hat Polstellen erster Ordnung in den Punkten z = e i π/4 = 2 ( + i) z 2 = e i 3π/4 = 2 ( + i) z 3 = e i 5π/4 = 2 ( i) z 4 = e i 7π/4 = 2 ( i) Keine der Polstellen liegt auf der reellen Achse. Wir definieren daher die folgenden Integrationswege γ,r := [ R, R], γ 2,R := Re it, 0 t π. γ 2,R R z 2 z γ,r R Schätzen wir zunächst das Integral über den Halbkreis ab:

14 KAPITEL 4. DER GLOBALE CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 69 γ 2,R dz π = + z 4 Für das Integral über γ,r gilt γ,r dz R + z = dx 4 R + x. 4 Mit R := γ,r + γ 2,R ist demnach dz lim R + z = dx 4 + x. 4 R 0 + R 4 e i4t irei4t dt Nun gilt aber für R > : dz + z = 2πi(res 4 z + z + res 4 z 2 + z ) 4 R Rechnen wir die Residuen daher aus: res z + z 4 = lim z z z z + z 4 res z2 =... = + z 4 2 = 4 Setzen wir dies ein, gilt R R 4 π (R ) 0. = lim z z (z z 2 )(z z 3 )(z z 4 ) = (z z 2 )(z z 3 )(z z 4 ) 2 = 4 i (z 2 z )(z 2 z 3 )(z 2 z 4 ) i + dx 2 = 2πi + x 4 4 ( i + i + ) = πi 2 (i ) + (i + ) 2 2 = 2 2 π.