FESTIGKEITSLEHRE FÜR INGENIEURE. DTPL.-ING. H. WINKELt DR.-ING. K. LACHMANN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1927 VON

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1 FESTIGKEITSLEHRE FÜR INGENIEURE VON DTPL.-ING. H. WINKELt S'l'UIJIENRAT AN lleu BEUTHSCHULE NACH DEM TODE DES VERFASSERS Bl<~ARBEITET UND ERGANZT VON DR.-ING. K. LACHMANN MIT 363 TEXTABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1927

2 ISBN DOI / ISBN (ebook) ALLI<J RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN :FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN. COPYRIGHT 1927 BYSPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG URSPRÜNGLICH ERSCHIENEN BEl JULIUS SPRINGlJR IN BERLIN 1927 SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1927

3 Vorwort. Am 11. Januar 1926 starb ganz unerwartet Studienrat Dipl.-Ing. Hans Winkel, ein vornehmer Mensch, ein ausgezeichneter Ingenieur, ein hervorragender Lehrer. H. Winkel hatte an der Beuth-Schule zu Berlin Festigkeitslehre vorgetragen, und als Frucht dieser Tätigkeit entstand das vorliegende Buch, dessen Eigenart durch die Entstehung gekennzeichnet ist: in erster Linie für Lernende und Lehrende bestimmt, sind die theoretischen Betrachtungen möglichst ausführlich, elementar und leicht verständlich gegeben. Eine große Anzahl von Beispielen sollen den Lernenden mit der praktischen Anwendung der Theorie bekannt machen, die sichere Handhabung der Formeln erleichtern und den Grund zur selbständigen Anwendung der gebrauchten Sätze legen. Das Buch umfaßt das Gesamtgebiet der Festigkeitslehre. Dementsprechend werden zunächst die verschiedenen Arten der Festigkeit (Zug, Druck, Biegung, Drehung, Schub, Knickung) und die zusammengesetzte Festigkeit behandelt. Es folgt eine ausführliche Berechnung der statisch unbestimmten Systeme und der schwach und stark gekrümmten Stäbe; ÜlRbcsondere werden Federn, Hohlkörper und Gefäße, Platten und umlaufende Räder und Scheiben untersucht. Der letzte Abschnitt des Buches bringt die Wärmespannungen. Besonderer Wert wurde auf die ausführliche Angabe der benutzten Literatur gelegt, um dem Leser ein vertieftes Studium einzelner Probleme zu ermöglichen. Einzelne Abschnitte, z. B. die Berechnung der gekröpften Welle und des statisch unbestimmten Freiträgers sowie das Kapitel über Wärmespannungen, sind früheren Arbeiten entnommen, die H. Winkel in der Zeitschrift "Der praktische Maschinen-Konstrukteur" veröffentlicht hat. Ferner sind die Kapitel, welche H. Winkel für das von H. Dubbel herausgegebene Taschenbuch: für den Maschinenbau verfaßt hat, für das vorliegende Buch benutzt worden. Die Bearbeitung und Ergänzung der Handschrift wurde von der Verlagsbuchhandlung dem Unterzeichneten übertragen. Die Umstellung einzelner Teile empfahl sich als zweckmäßig; Ungenauigkeiten wurden beseitigt und einzelne theoretische Ableitungen (z. B. S , ) exakter gefaßt. Die Behandlung der Bohrmaschinen, mit der die Handschrift abbrach, wurde zu Ende geführt. Die von dem Herausgeber neu bearbeiteten Abschnitte sind durch einen Stern (*) im Inhaltsverzeichnis kenntlich gemacht. Möge das Werk die Hoffnung des verstorbenen Verfassers erfüllen, dem Studierenden ein Führer, dem Ingenieur ein Helfer in der Praxis zu sein. Besonderer Dank gebührt der Verlagsbuchhandlung für die Sorgfalt, mit der das Buch ausgestattet und die Abbildungen hergestellt wurden. Berlin, den l. Juli K. Lachmann.

4 Inhaltsverzeichnis. Einleitung Seite Aufgabe der Festigkeitslehre. 1 I. Grundbegriffe I. Längenänderungen und Normalspannungen Der Zugversuch Der Druckversuch Beziehungen zwischen Dehnungen und Normalspannungen Winkeländerungen und Schubspannungen Formänderungsarbeit Federnde oder Nachwirkung Schwingungsfestigkeit Einfluß der Temperatur Arten der Festigkeit 18 II. Die zulässige Spannung und die Sicherheit gegen Bruch 19 III. Zug- und Druckfestigkeit I. Unveränderlicher Querschnitt Veränderlicher Querschnitt Die Kraft sei veränderlich a) Der Querschnitt sei unveränderlich 28 b) Der Querschnitt sei veränderlich Der Zugstab gleicher Festigkeit Wärmespannungen Die Vorspannung IV. Spannung, Formänderung, Bruchgefahr 46 I. Der einachsige Spannungszustand, schiefe Schnittrichtung Der Mohrsehe Spannungskreis Der zweiachsige Spannungszustand Beziehungen zwischen dem Dehnmaß E und Gleitmaß G Der ebene Spannungszustand Bruchgefahr *7. Die Bachsehe Gleichung V. Die Biegungsfestigkeit I. Allgemeines über Biegung a) Der Schnitt durch den gebogenen Stab 62 b) Querkraft und Biegungsmoment.. 62 c) Momentenlinie und Momentenfläche 64 d) Querkraftlinie und Querkraftfläche Biegungsspannungen a) Voraussetzung b) Der rechteckige Querschnitt c) Der beliebig begrenzte, aber symmetrische Querschnitt Trägheitsmomente ebener Flächen mit Symmetrieachse. 72 a) Das Rechteck b) Das Dreieck c) Das regelmäßige Sechseck d) Der Kreisquerschnitt e) Zusammengesetzte Querschnitte 76 f) Der beliebig begrenzte Querschnitt 78

5 Inhaltsverzeichnis. tleite 4. Die einfachen Belastungsfälle a) Der Freiträger b) Der Träger auf zwei Stützen.. 89 c) Der einfach überhängende Träger 96 d) Der doppelt überhängende Träger 98 e) Zahlenbeispiele Weitere Belastungsfälle a) Mehrfache Belastung b) Beliebig geformte Belastung. IIO c) Wandernde Einzellasten Träger mit veränderlichem Querschnitt ll4 7. Träger gleicher Biegungsfestigkeit... ll9 a) Der Freiträger mit rechteckigem Querschnitt von gleichbleibender Breite und veränderlicher Höhe ll9 b) Der Freiträger mit rechteckigem Querschnitt von gleichbleibender Höhe und veränderlicher Breite c) Der J<~reiträger mit kreisförmigem Querschnitt. 121 d) Der Träger auf zwei Stützen Momente zweiter Ordnung für ebene Flächen a) Trägheits- und Zentrifugalmomente für rechtwinklige Achsen 124 b) Das Zentrifugalmoment für schiefe Achsen c) Die Trägheitsellipse d) Der Trägheitskreis nach Mohr-Land e) Die Bestimmung von Trägheits- und Zentrifugalmomenten ebener Flächen Unsymmetrische Belastung. 135 VI. }'ormänderung durch Biegung 141 I. Grundgleichungen Träger mit gleichbleibendem Querschnitt 145 a) Zeichnerische Ermittlung der Biegungslinie nach Mohr. 146 b) Der Freiträger c) Der Träger auf zwei Stützen d) Der überhängende Träger e) Tafel für Träger mit gleichbleibendem Querschnitt Träger mit veränderlichem Querschnitt a) Das Verfahren von Mohr b) Beziehungen zwischen der Biegungslinie und der Seilkurve lotrechter Kräfte. Differentialgleichung der Seilkurve 176 c) Das Verfahren von Nehls d) Die Biegungslinie als Integrallinie Die Formänderungsarbeit der Biegung Die allgemeinen Beziehungen zwischen Spannungen und Formänderungen VII. Die JJrehungsfestigkeit I. Der kreisförmige Querschnitt. 221 a) Randspannungen b) Polares und axiales Trägheitsmoment 223 c) Die Drehmomentenfläche d) Das Prinzip von de Saint-Venant. 224 e) Die zulässige Drehungsspannung f) Zeichnerische Bestimmung des Verdrehungswinkels 229 g) Angenäherte Berechnung bei veränderlichem Querschnitt Der beliebig geformte Querschnitt a) Die Hauptgleichung der strengen Theorie der Verdrehung 234 b) Die Schublinie Die Lösung der Verdrehungsaufgabe durch den V ersuch nach Prand tl V

6 VI Inhaltsverzeichnis. :>eite VIII. Die Schub- oder Scherfestigkeit I. Annahme gleichmäßiger Verteilung der Schubspannungen über den Querschnitt Schubspannungen bei gleichzeitig auftretender Biegung 261 a) Der rechteckige Querschnitt b) Der Kreisquerschnitt Formänderung irrfolge der Schubspannungen Das Aufzeichnen der elsatischen Linie. 267 IX. Die Knickfestigkeit I. Die Eulerschen Knickgleichungen Gültigkeitsbereich der Eulerschen Gleichungen Die Versuche von v. Tetmajer Die Formeln von Ostenfeld und Natalis 272 X. Zusammengesetzte Festigkeit I. Zug und Biegung Druck und Biegung Normal- und Schubspannungen. 284 a) Zug (Druck) und Drehung. 284 b) Biegung und Drehung *c) Schub und Biegung 288 XI. Die gekröpfte Welle I. Die Festigkeit der gekröpften Welle. 291 a) Kräfte senkrecht zur Kröpfungsebene. 291 b) Kräfte in der Kröpfungscheue Die Formänderung der gekröpften Welle 302 a) Kräfte senkrecht zur Kröpfungsebene. 303 b) Kräfte in der Kröpfungscheue 304 XII. Die statisch unbestimmten Träger l. Der dreifach gelagerte Träger a) mit gleichen Öffnungen und gleichmäßig verteilter Last b) mit verschiedenen Qffnungen und gleichmäßig verteilter Last 312 c) mit verschiedenen Qffnungen und Einzellasten d) mit verschiedenen Offnungen und beliebig vielen Einzellasten. - Einflußlinie für den Stützdruck Der durchlaufende Träger auf beliebig vielen Stützen bei gleichbleibendem Querschnitt a) Die Dreimomentengleichung b) Die Festpunkte des durchlaufenden Trägers gleichen Querschnittes c) Bestimmung der Stützmomentenfläche eines belasteten Trägerfeldes d) Der Träger auf drei Stützen e) Der durchlaufende Träger auf vier Stützen. 332 f) Der durchlaufende Träger auf n-stützen Der Freiträger mit Außenstütze Der Freiträger mit Außenstütze und Kragarm Der zweifach eingespannte Träger Der Träger auf elastisch senkbaren Stützen. 354 *7. Die dreifach gelagerte Welle *8. Die dreifach gelagerte und einfach gekröpfte Welle 371 a) Kräfte senkrecht zur Kröpfungsebene b) Kräfte in der Kröpfungsebene XIII. Stäbe, deren Einzelteile gerade sind und schwach Stäbe. :.... I. Der Portalträger mit zwei Gelenken Der Bogenträger mit. zwei Gelenken Der geschlossene Rahmen Festigkeitsberechnung von Bohrmaschinen. gekrümmte

7 Inhaltsverzeichnis. XIV. Stark gekrümmte Stäbe.... I. Der Spannungszustand Die Ermittlung der Hilfsfläche.F'. a) Zeichnerische Ermittlung nach M. Tolle b) Rechnerische Ermittlung.. :3. Die Formänderung a) Der Krümmungshalbmesser. *b) Formänderung der Mittellinie. 4. Angenäherte Berechnung eines Kolbenringes *5. Berechnung eines Lasthakens *XV. IHe Festigkeit der }'edern 1. Die Blattfeder a) Die Rechteckfeder. b) Die Dreieckfeder.. c) Die geschichtete Dreieckfeder 2. Die gewundene Biegungsieder.. a) Die ebene Spiralfeder (Schneckenfeder) b) Die Schraubenfeder :3. Die gewundene Drehungsfeder.. a) Die zylindrische Drehungsfeder. b) Die Kegelfeder *XVI. Hohlkörper und Gefäße I. Berechnung eines Rohres a) Rohr unter innerem Druck b) Rohr unter äußerem Druck 2. Berechnung eines Hohlzylinders a) Hohlzylinder unter innerem Druck. b) Hohlzylinder unter äußerem Druck :3. Berechnung einer Hohlkugel.... a) Hohlkugel unter innerem Druck. b) Hohlkugel unter äußerem Druck. *XVII. Die Festigkeit ebener Platten.... I. Die kreisförmige Platte a) mit gleichförmig verteilter Belastung b) mit Einzelkraft Die quadratische Platte a) mit gleichförmig verteilter Belastung b) mit Einzelkraft :3. Die rechteckige Platte a) mit gleichförmig verteilter Belastung b) mit Einzelkraft XVIII. Umlaufende Räder und Scheiben I. Festigkeitsberechnung eines Schwungrades a) Formänderung des Kranzes b) Formänderung des Armes. e) Spannungen im Kranz.. d) Spannungen in den Armen e) Zahlenbeispiel f) Spannungen irrfolge eines Drehmomentes *2. Berechnung umlaufender Scheiben a) Die Scheibe gleicher Festigkeit. b) Die Scheibe gleicher Dicke XIX. Wärmespannungen.... VII Seite