3. Taylorformel und Taylorreihen

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1 Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I i eier Potezreihe etwickle lässt, dh wa gilt f() a ( ) für geeigete a R ud für ( R, + R) mit R >? Mit 7 wisse wir: Gilt eie solche Darstellug, so ist f differezierbar auf ( R, +R) ud f () a ( ) Diese Potezreihe hat wieder Kovergezradius R (ach 7) ud damit ist auch f differezierbar mit f () ( )a ( ) Per Iduktio ach l N folgt u, dass f auf ( R, + R) l-mal differezierbar ud f (l) () ( )( l + )a ( ) l l gilt (also ist f tatsächlich oft differezierbar!) Für erhalte wir isbesodere ud damit erhalte wir die Formel: f (l) ( ) l(l ) a l l!a l Wir fasse zusamme: a l f(l) ( ) l! Satz 3 Sei f : ( R, + R) R, R > eie Fuktio mit f() a ( ) ( R, + R) Da ist f oft differezierbar ud es gilt a f() ( )! für alle N getext: Julia Wolters

2 Vorlesug SS 9 Aalysis Prof Dr Siegfried Echterhoff Beispiel 3 Oft ka ma Fuktioe durch zurückführe auf bekate Fuktioe i Potezreihe etwickel Betrachte zb f : (, ) R; f() l( + ) Da gilt: f () + ( ) geom Summe ( ) ( ) Isbesodere ist f() l(+) eie Stammfuktio vo g() ( ) Nach 8 ist F : (, ) R, F() ( ) + + ( ) auch eie Stammfuktio vo g Für gilt l( + ) l() ud F(), ud damit folgt u l( + ) F() ( )! (Beachte: Da f ud F Stammfuktio vo g eistiert ach ei c R mit f() + c F() (, ) Da f() F() folgt c, also f F) I adere Fälle ka ma die Koeffiziete der Reihe wie i 3 bereche, ud muss da zeige, dass die so erzeugte Potezreihe die Fuktio f darstellt Ei wichtiger Satz hierzu ist gegebe durch die Taylorformel Satz 33 (Taylorformel) Sei I R ei echtes Itervall ud sei f : I R (+) mal stetig differezierbar Da gilt für alle, I: f() f( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) + + f() ( ) ( ) + R + ()!! ( t) mit R + () f (+) (t)dt! Bezeichug: Das Polyom T f() f () ( ) ( ) k heißt -tes Taylorpolyom vo f im Etwicklugspukt Die Fuktio R + () f() T f() heißt Restglied ( + ) ter Ordug Beweis: Iduktio ach ud partielle Itegratio: : f() f( ) + (f() f( )) f( ) + f (t)dt : Nach Iduktiosvoraussetzug gelte f() f k ( ) ( ) k + R () mit R () ( t) f () (t)dt für ei gegebees ( )! getext: Julia Wolters 3

3 Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 Partielle Itegratio liefert: R () ( t)! f () (t) + ( t)! f (+) (t)dt f() ( ) ( ) +R + ()! ( Behauptug) Folgerug 34 Sei f : I R ( + ) mal differezierbar mit f (+) () Da ist f ei Polyom Beweis: Nach Voraussetzug gilt R + (), also f() I f () ( ) ( ) k Bemerkug: Wir erhalte isbesodere eie leichte Formel dafür, wie ma ei Polyom p() a k k auf die Form b k ( ) k umschreibt, als p im Pukt etwickelt Es gilt b k p(k) ( ) Diskussio 35 Sei f : I R eie Fuktio ud I Wir wisse: We sich f im Pukt i eier Potezreihe a k ( ) k etwickel, so muss f uedlich oft stetig differezierbar sei ud es muss a k f(k) ( ) gelte (Satz 3) Sei also f : I R oft (stetig) differezierbar Nach 33 gilt für das -te Taylorpolyom f() T f() R + () ud damit gilt für ei I ud a k f(k) ( ) f() a k ( ) k f() T f() R + () für Um zu zeige, dass sich f im Pukt duch die Taylorreihe f () ( ) ( ) k beschreibe lässt, müsse wir zeige, dass R + () für gilt Dazu ist es ützlich, alterative Beschreibuge für das Restglied zu kee Satz 36 (Lagrage Form des Restglieds) Sei f : I R (+) mal stetig differezierbar ud seie, I Da eistiert ei [, ] (bzw [, ], falls < ) mit R + () f(+) ( ) ( + )! ( ) + 4 getext: Julia Wolters

4 Vorlesug SS 9 Aalysis Prof Dr Siegfried Echterhoff Beweis: Nach 33 gilt R + () ( t)! f (+) (t)dt Ist, so ist ( t)! t [, ] ud damit eistiert ach dem Mittelwertsatz der Itegralrechug (Aalysis, 8) ei [, ] mit ( t)! f (+) (t)dt f (+) ( ) ( t) dt f (+) ( )! ( t)+ ( + )! f (+) ( ) ( )+ ( + )! Ist, so obe! ( t)! f (+) (t)dt ( t)! f (+) (t)dt mit ( t)! Verfahre wie Wir wolle u ei wichtiges Beispiel für die Taylorreiheetwicklug eie Fuktio agebe: Satz 37 (Biomische Reihe) Sei α R fest Da gilt für alle < : ( + ) α ( ) α mit für ud ( α ) ( ) α : k α k + k α(α ) (α + )! Beachte: Ist α N, so stimme die obige Defiitio für ( α ) mit der bereits bekate Defiitio aus Aalysis I überei Isbesodere gilt da ( α ) > α ud wir erhalte die übliche biomische Formel α ( ) α ( + ) α Ist α N, so gilt aber ( α ) N! Beweis: Sei obda α / N Wir bereche die Taylorreihe vo f() ( + ) α im Etwicklugspukt Per leichter Iduktio ach zeigt ma: f () () α(α )(α ) (α + )( + ) α, also gilt a f() () α(α ) (α +) ( α!! ) Wege ( +) α ( α )!α(α )(α ) (+)!α(α )(α +) + folgt mit dem Quotietekriterium, α dass die Reihe ) dem Kovergezradius R besitzt Die Reihe kovergiert damit ( α absolut für alle (, ) gege f() ( + ) α kovergiert Dazu müsse wir zeige, dass R + () für, (, )! getext: Julia Wolters 5

5 Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 Fall: >, < : Nach Lagrage eistiert ei [, ] mit ( ) R + () f (+) ( ) ( + )! + α ( ) ( ) + (a + ) α + α ( + ) α + + +, also R + () ( α ) α + Da ( ) α kovergiert, folgt R + () ( α ) ( α ) für für alle [, ) Fall: <, > Da gilt ach der Taylorformel 33: R + () ( t) f (+) (t)dt! ( ) α ( + ) ( t) α dt + ( ) Substitutio: t t α ( + ) ( + t) ( t) α dt + +tt da < ( α ( + ) + ) ( ) ( t) α ( + )! ( + t) α dt! ( ) t ( ) α dt t ( t ) < Nu gilt für alle t [, ] : t t ( t), also t Zusamme mit der Gleichug ( + ) ( ) α + α(α ) (α ) α ( ) α! folgt da ( ) ( ) R + () α α ( t) α dt c α mit c α ( t) α dt Da ( ) α koverget R + () c ( ) α für Beispiel 38 () Für α erhalte wir ( ) ( )( )( ) ( ) Es folgt! ( + ) ( ), < (geometrishe Reihe für ( )!) + () Für α erhalte wir mit der Formel ( α ( ) ( ),, ( ) ) ( α ) α +, ( ) 8 3, ( ) 6 4 5, etc Damit folgt: Terme höhere Ordug 6 getext: Julia Wolters

6 Vorlesug SS 9 Aalysis Prof Dr Siegfried Echterhoff Ma erhält so relativ gute Approimierug vo Wurzel Wir wolle u zeige, dass es uedlich oft differezierbare Fuktioe f : I R gibt, dere Taylorreihe zwar auf gaz R koverget, die aber ur im Etwicklugspukt gege f( ) kovergiert! Beispiel 39 Sei f : R R defiiert durch { } e f() für für Da gilt: f ist -oft differzezierbar ud f () () ) N ( Tf() Beweis: Wir zeige per Iduktio ach, dass für jedes N ei Polyom P eistiert mit { ( ) } f () P () e, ( ), Die Behauptug folgt da durch Auswertug i : : + : Nach Iduktiosvoraussetzug sei P Polyom mit ( ) Da gilt für : f (+) () P mit P + (y) P (y)( y ) + P (y) y 3 Im Pukt gilt f () () f () () lim de für alle k N gilt: ( ) ( ) ( ) e + P e P 3 + lim P lim m ( ) e m e a k a k (lim k e k ) ( ) e 3 für geeigete a k R, m N, de für y > gilt lim e k y lim y yk e y, y k e y y k e y für y ach Aalysis, 49() getext: Julia Wolters 7

7 Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 Für die Fuktio f aus Beispiel 39 folgt: Die Taylorreihe Tf() f () ()! ist die Null- Reihe, also Tf() R, aber es gilt f() für alle R\{} Dh obwohl Tf i alle Pukte R absolut koverget ist, kovergiert sie ur im Etwicklugspukt gege f()! Erierug: Wir habe i 3 gesehe, dass die Fuktio f : (, ) R; f() l( + ) die Taylorreiheetwicklug f() ( ), (, ) besitzt Mit dem Leibitz-Kriterium wisse wir, dass die Reihe auch für kovergiert Frage: Gilt da auch ( ) + l() f()? 3 (Abelscher Grezwertsatz) Seie b R, N ud sei Da kovergiert die Potezreihe f() b für alle (, ] ud die Fuktio f : (, ] R ist stetig b koverget Awedug: Betrachte g : (, ] R; g() l( + ) Nach 3 ist die Fuktio f : (, ] R, ( ) f() stetig auf (, ] Da ach 3 g() f() ) l() g() g stetig lim g ( lim f (der Wert der alterierede harmoische Reihe (, ) folgt da ( ) f stetig f() ( ) ( ) ist damit l()) Beweis: Da b koverget ist (b ) eie Nullfolge ud damit eistiert c > mit b c Für de Kovergezradius R vo b folgt damit < α mit α R lim b lim c, also Reihe f() b für alle (, ] kovergiert ud 8 getext: Julia Wolters

8 Vorlesug SS 9 Aalysis Prof Dr Siegfried Echterhoff ach Aalysis I, 33 ist f stetitg auf (, ) Es bleibt zu zeige, dass f stetig i! Sei dazu s k+ b k für alle Z Nach Voraussetzug gilt s für ud wie obe folgt, dass s koverget für alle (, ) Für (, ) gilt da: f() f() f() b s + s s (s s ) s + s s s + ( ) s s + + s Sei u ε > beliebig Wähle N N mit s ε N ud K > mit s K (eistiert, da s ) Setze s : ε > Da folgt für alle [, ) KN mit y < δ: so f() f() ( ) s ( ) s N ( ) s + ( ) < ( )NK + ε ( ) N s N ε KN NK + ε ( ) ε + ε ε getext: Julia Wolters 9

9 Prof Dr Siegfried Echterhoff Vorlesug SS 9 Aalysis 4 NORMIERTE UND METRISCHE RÄUME Teil : Differezialrechug vo Fuktioe mit mehrere Variable 4 Normierte ud metrische Räume Alle wichtige Begriffe i der Aalysis (Kovergez, Stetigkeit, Differezierbarkeit) sid letztedlich davo abhägig, dass wir auf R ud auf C mit Hilfe des Betrags eie verüftige Abstadsbegriff habe Viele Kozepte lasse sich daher problemlos auf allgemeie Räume verallgemeier, we wir dorf eie verüftige Abstadsbegriff eiführe köe Defiitio 4 Sei X eie Mege Eie Metrik (Abstadsfuktio) auf X ist eie Abbildug d : X X [, ) mit de Eigeschafte d(, y) > für alle, y X mit y ud d(, ) für alle X d(, y) d(, y) für alle, y X 3 d(, z) d(, y) + d(y, z) für alle, y,z X [Bedigug 3 ist die Dreicksugleichug Sie besagt: Umwege lohe sich icht!] Ist d eie Metrik auf, so heißt (X, d) ei metrischer Raum ud für, y X heißt d(, y) der Abstad vo zu y Beispiel 4 Sei X C ud sei d (z,w) z w für alle z, w C Da ist (C, d ) ei metrischer Raum Aalog (R, d) mit d(, y) y ist metrischer Raum Ist (X, d) ei metrischer Raum ud ist A X, so ist d A : A A [, ), d A (, y) d(, y) für alle, y A eie Metrik auf A d A heißt Eischräkug vo d auf A zb ist (A, d ) ei metrischer Raum für alle A C Der Betrag auf C bzw R ist ei Beispiel für eie Norm Viele wichtige Metrike (zb auf R bzw C ) sid etspreched durch eie Norm gegebe: Defiitio 43 Sei V ei K-Vektorraum mit K R oder C Eie Abbildug : V [, ), v v heißt Norm auf V, falls gilt: v v λv λ v für alle λ K, v V 3 (Dreiecksugleichug) v + w v + w für alle v, w V 3 getext: Julia Wolters