Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 2 3. Semester ARBEITSBLATT 2

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1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester ARBEITSBLATT Natürlich treten quadratische Gleichungen nicht nur direkt auf, sondern entstehen nach verschiedenen Umformungen. Beispiel: Gi die Lösungsmenge für GR an: ( 8 )( 3 0) ( 3 7)( 7 ) 3 ( 8 )( 3 0) ( 3 7)( 7 ) 3 Wir führen die Multiplikationen durch Klammer auflösen. ( ) Wir fassen die linke Gleichungsseite zusammen / / :9 + 0 Wir setzen in die Lösungsformel ein. ± Wir rechnen den Wurzelausdruck aus. ± 9 ± 5 ± 5 Wir rechnen einmal mit Plus und einmal mit Minus Üungen: Üungslatt ; Aufgaen -

2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester Herleitung der Großen Lösungsformel : (Sie sollen die Herleitung verstehen, ein eigenständiges Rechnen ist aer nicht verlangt) Die Grundidee üerlegen wir uns zunächst an einem speziellen Beispiel: Der Ausdruck auf der linken Seite entspricht einer inomischen Formel. Wir schreien den Ausdruck um. ( +) 0 ( + )( + ) 0 Nun können wir wieder eine Fallunterscheidung durchführen: Das Produkt zweier Werte ist nur dann Null, wenn einer der eiden Werte Null ist Wenn wir die quadratische Gleichung also als inomische Formel schreien können, können wir die entstehende Gleichung immer mittels Fallunterscheidung lösen. Allerdings ist nicht jede quadratische Gleichung sofort eine inomische Formel. Wie wir diese aer so umformen können, sehen wir uns nun an einem weiteren Beispiel an: 0 Wir ringen den Zahlenwert zunächst auf die rechte Seite. / + Betrachten wir nun die linke Gleichungsseite. Diese wollen wir zu einem Ausdruck der Form a a + erweitern. Das unseres Terms entspricht dem a, das dem a. Wir müssen also noch das, zw. estimmen. Da das a ist, muss folglich a sein. Weiters wissen wir, dass: a Für a können wir einsetzen: Nun können wir uns ermitteln: 3 9 Anmerkung: Wenn vor dem der Koeffizient steht, muss das immer die Hälfte von a sein! Wenn wir also ei unserer Gleichung 9 dazugeen, so haen wir auf der linken Seite eine inomische Formel. / +9 Man nennt diesen Vorgang: Erweitern auf ein vollständiges Quadrat Nun schreien wir die linke Seite um:

3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester ( 3) 5 Wir ziehen auf eiden Gleichungsseiten die Wurzel. / 3 5 Vorsicht: Die Quadratwurzel liefert ekannterweise eine positive und eine negative Lösung. 3 ±5 Nun rechnen wir wieder einmal mit Plus und einmal mit Minus Mit diesem Trick des Erweiterns auf ein vollständiges Quadrat lässt sich also jede quadratische Gleichung ermitteln. Damit wir unsere Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten müssen wir nun diesen Rechenschritt allgemein durchführen. Wir wollen nun also die Gleichung a + + c 0 a,, c R a 0 lösen: a + + c 0 / :a c Wir ringen den Ausdruck ohne auf a a die rechte Seite. c / a c + Nun müssen wir auf der linken Seite a a wieder auf ein vollständiges Quadrat ergänzen. Da vor dem der Koeffizient steht, muss das der inomischen Formel die Hälfte des Ausdrucks vor dem sein: : a a a Zum Erweitern rauchen wir dieses Element noch zum Quadrat: c a a a a c + + a a a c + ± + a a a a a Nun erweitern wir eide Gleichungsseiten um diesen Ausdruck. Die linke Gleichungsseite entspricht nun einer inomischen Formel: 3 Wir ziehen auf eiden Seiten die Wurzel. / Wir ringen den Ausdruck in der Wurzel auf gemeinsamen Nenner.

4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester ac + ± Für die Wurzel gilt: a a ± ac + a a auf die rechte Sei- ± ac + Nun ringen wir a a te. / a ± a ± ac a ac a a Im Nenner können wir die Wurzel ziehen. a a Nun schreien wir die rechte Seite auf einen Bruchstrich und haen das Ergenis. Die Satzgruppe von Vieta Satzgruppe von Vieta: Hat die Gleichung + p + q 0 in R zwei Lösungen, genannt und oder eine Doppellösung, so gilt: a) + p (Die Summe der eiden Lösungen ergit den Koeffizienten vor dem -Glied. ) q (Das Produkt der eiden Lösungen ergit den Wert ohne ) c) + p + q ( ) ( ) (Der Gleichungsterm lässt sich in Linearfaktoren zerlegen) Anmerkung: Beachten Sie itte, dass ei der Anwendung des Satzes von Vieta vor dem unedingt der Koeffizient stehen muss. Besonders wichtig an dieser Satzgruppe ist der Teil c). Betrachten wir nun die Anwendung dieses Satzes: Beispiel: Zerlege in ein Produkt von Linearfaktoren. Wir wenden den Teil c) des Satzes von Vieta an: + p + q ) ( ) ( Zunächst erechnen wir uns die eiden Lösungen und des Terms:

5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester 0 Wir wenden die Große Lösungsformel an. ± + 8 ± 0 Wir ermitteln die eiden Lösungen Nun folgt aus dem Satz von Vieta die ( 7)( + 3) Noch ein weiteres Beispiel: Beispiel: Zerlege + 5 in Linearfaktoren: Wir wenden wieder den Teil c) des Satzes von Vieta an: + p + q ( ) ( ). Wie ersichtlich muss aer der Koeffizient vor dem unedingt sein. Folglich heen wir zuerst heraus: Nun können wir den Ausdruck + in Linearfaktoren zerlegen. Dazu estimmen wir dessen Lösungen: 5 Wir setzen in unsere Lösungsformel + 0 ein: 0 Wir rechnen die Wurzel aus: ± + 3 ± ± 9 ± Wir ermitteln die eiden Lösungen: 5

6 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester Es gilt also: + +, und daraus folgt: Üung: Üungslatt ; Aufgae 3 Die Aufgaenstellung kann natürlich auch variieren: Beispiel: Gi eine quadratische Gleichung an, welche die Lösungen 3 und 5 esitzt. Nach dem Teil c) des Satzes von Vieta muss das Produkt der Linearfaktoren die dazugehörige quadratische Gleichung liefern: + p + q ( ) ( ) Bei unserem Beispiel lauten die Linearfaktoren also: ( + 3)( 5) Nun müssen wir nur noch ausmultiplizieren Wir fassen zusammen. 5 Es gilt also: 5hatdieLösungen 3und 5 Üung: Üungslatt ; Aufgae Nun zum nächsten Fall: Beispiel: Berechne den fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung der Gleichung + p + q 0! Gegeen sei: p 7; 9 Teil a) des Satzes von Vieta lautet: + p Daraus können wir uns erechnen. Wir setzen ein und formen um: / +9 Wenn wir nun in den zweiten Teil des Satzes von Vieta einsetzen, können wir q ermitteln: q Wir setzen ein: 9 ( ) q

7 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 3. Semester q 8 Üung: Üungslatt ; Aufgae 5 Beispiel: Berechne die fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung der Gleichung a + + c 0. Gegeen sei: a ; 9;, 5 Wir setzen die ekannten Werte in die Gleichung ein: c 0 Da eine Lösung ist, muss es die Gleichung erfüllen. Also setzen wir für ein: c 0 Nun lässt sich c erechnen: c c c 0 c 8 Die Gleichung lautet also Um die zweite Lösung zu erhalten, lösen wir z.b. die Gleichung: Wir verwenden unsere Lösungsformel: 9 ± 8+ Wir erechnen die Wurzel: 9 ± 5 9 ± Üung: Üungslatt ; Aufgae Wir spalten auf: 7