1.4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen

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1 .4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen Reellwertige Funktionen Eine reelle Relation ist eine beliebige Teilmenge F der Ebene (also eine ebene "Fläche"). Von einer reellen Funktion spricht man, wenn es sich um eine Relation handelt, bei der es zu jedem x höchstens ein y gibt, so daß (x, y) in F liegt. Die Menge aller x, zu denen ein solches y existiert, heißt Definitionsbereich oder Quelle von F; das zu x gehörige y wird mit F(x) bezeichnet und Bild von x genannt. Die Menge aller solchen Bilder y heißt Wertebereich von F. 0,0,0 0 4 x Relation = "Teich", Funktion = "Fluss" Die graphische Darstellung von Funktionen liefert anschaulich Kurven. Es gibt aber auch Kurven, die keiner Funktion im obigen Sinne entsprechen (nämlich, wenn senkrechte Geraden die Kurve mehrfach schneiden). Beispiel : Parabeln Die Normalparabel {(x,y) : y = x } ist eine Funktion, nicht hingegen die "liegende Parabel" {(x,y) : x = y }! Denn hier gibt es zu jedem x > 0 zwei Werte y mit x = y. 0

2 Beispiel : Eine rotierende Sinuskurve Eine gewöhnliche Sinuskurve wird beschrieben durch die Funktion f 0 x = sin x. Für jeden festen Winkel ist f x = x cos sin x sin, x sin sin x cos eine um den Winkel in der Ebene gedrehte Sinuskurve. Warum das so ist, klären wir, wenn wir Drehungen genauer behandeln. Diese Kurven sind nur für Drehungen zwischen 4 und 4 Funktionen! 0 Parameterdarstellungen liefern die bequemste und vielseitigste Möglichkeit, Kurven mathematisch zu beschreiben. Wir werden in einem späteren Kapitel noch genauer auf diese wichtige Darstellungsform eingehen, wollen aber schon hier die einfachsten Grundlagen erwähnen, da sie in der Praxis immer wieder gebraucht werden. Parameterdarstellungen sind Abbildungen von einem reellen Intervall A nach, oder allgemein n, geschrieben g : A n. Man interpretiert sie als einen zeitlichen Durchlauf der Kurve, wobei jedem Zeitpunkt t ein Kurvenpunkt g t = x t, y t oder g t = ( g t, g t (bei ebenen Kurven) bzw. g t = x t, y t, z t oder g t = ( g t, g t, g t (bei Raumkurven) zugeordnet wird. Üblich sind auch Schreibweisen wie x(t) = (x t, x t ) oder x(t) = (x t, y t ), oder man setzt einen Pfeil über das Funktionssymbol, um anzudeuten, dass es sich um eine vektorwertige Funktion (mit mehreren Koordinaten) handelt. Beispiel : Parameterdarstellungen eines verschobenen Kreises mit Radius r und Mittelpunkt a, b sind u. a. g t = a r cos t, b r sin t h t = a r cos t, b r sin t k t = a r cos t, b r sin t

3 5 4 a =, b =, r = r a 0 4 Das Kartesische Koordinatensystem mit aufeinander senkrecht stehenden Achsen ist nach dem französischen Mathematiker René Descartes ( ) benannt. Wir verdanken ihm aber auch die Entdeckung und Beschreibung schöner Kurven. Beispiel 4: Das Blatt des Descartes y = a x y ist für festes a > 0 die Gleichung einer Kurve. Wie sieht sie aus? Eine der vielen Parameterdarstellungen lautet x x = a t t 9, y = a t6 t 9 Die hohen Potenzen von t bewirken einen einigermaßen nachvollziehbaren Kurvendurchlauf. Für a = ergibt sich folgender Verlauf : Variation des zusätzlichen Parameters a zwischen und 0 liefert folgende Kurvenbilder:

4 Beispiel 5: Die rutschende Leiter Mathe versucht, nach altbayerischer Tradition bei Inge fensterln zu gehen. Leider gerät dabei die Leiter ins Rutschen und Mathe landet unsanft auf dem Boden der Tatsachen. Auf welcher Kurve bewegt sich der Mittelpunkt der Leiter, während sie von der Wand wegrutscht? Hat die Leiter die Länge d und ihr Fußpunkt den Abstand a von der Wand, so hat der höchste Punkt die Ordinate h = d a und diese verhält sich zum Abstand a wie die Höhe y des Leiterpunktes (x,y) zu a x. Daher wird die Seitenkante der Leiter beschrieben durch die Strecke { (x, a x d a a ) : x = 0... a}. Der Mittelpunkt hat somit die Koordinaten 0,9 0,8 0,7 x 0, 0, y 0, 0 x a-x 0 0,0,0, ( a, d a ). Er bewegt sich also auf einem Kreis vom Durchmesser d!

5 ,0 0,8 0, 0 0 0, 0,8,0 Beispiel 6: Die gleichschenklige Schubkurbel Bei mechanischen Getrieben kann Mathe seine unangenehme Erfahrung positiv umsetzen und eine geradlinige Bewegung in eine kreisförmige transformieren (oder umgekehrt).,0,0 0,0,0