Musterloesung. Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:...

Transkript

1 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B 17. Juli 2004 Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Bearbeitungszeit: 135 Minuten Trennen Sie den Aufgabensatz nicht auf. Benutzen Sie für die Lösung der Aufgaben nur das mit diesem Deckblatt ausgeteilte Papier. Lösungen, die auf anderem Papier geschrieben werden, können nicht gewertet werden. Weiteres Papier kann bei den Tutoren angefordert werden. Notieren Sie bei der Aufgabe einen Hinweis, wenn die Lösung auf einem Extrablatt fortgesetzt wird Schreiben Sie deutlich! Doppelte, unleserliche oder mehrdeutige Lösungen können nicht gewertet werden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift! Schreiben Sie nur in blau oder schwarz! 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 1 von 17

2 17. Juli 2004 A1 1. Aufgabe (5 Punkte): Fragen aus verschiedenen Gebieten Beantworten Sie die folgenden Fragen Verstärkerbetriebsarten (1 Punkt) A-Betrieb AB-Betrieb Verstärker mit Transistoren können in verschiedenen Betriebsarten betrieben werden. Kennzeichnen Sie die Lage der Arbeitspunkte im gegebenen Ausgangskennlinienfeld für A-Betrieb B-Betrieb C-Betrieb B-Betrieb AB-Betrieb 1.2. Gegentaktendstufe (0,5 Punkte) Zeichnen Sie den prinzipiellen Aufbau einer Gegentaktendstufe mit komplementären Transistoren 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 2 von 17

3 17. Juli 2004 A1 +U b NPN U E U A PNP -U b 1.3. Stromverstärkung (0,5 Punkte) Wie beschreibt man die Stromverstärkung eines bipolaren Transistors? Die Stromverstärkung ist das Verhältnis von Kollektorstrom zu Basisistrom: B = I C I B β = i c i b (1) 1.4. Ersatzschaltbild (0,5 Punkte) Zeichnen Sie das Wechselspannungsersatzschaltbild des Transistors. Benennen Sie alle Elemente und tragen Sie Strom- und Spannungspfeile ein. i b r BE ßi b u e v r u CE 1 r CE u a 1.5. Induktivität (0,5 Punkte) Wie errechnet man die Induktivität einer Spule mit einem Kern, dessen relative Permeabilität mit µ core gegeben ist. Der Kern hat die Querschnittsfläche A, die mittlere freie Weglänge der Feldlinien ist l core 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 3 von 17

4 17. Juli 2004 A1 L = N 2 R core (2) l core mit R core = µ 0 µ core A (3) L = N 2 µ0µ core A l core (4) 1.6. Magnetisierungskurve (0,5 Punkte) Kennzeichnen Sie in der gegebenen Magnetisierungskurve die Remanenzinduktion und die Koerzitivfeldstärke. B Remanenzinduktion B R Koerzitivfeldstärke H C H 1.7. Hystereseschleife (0,5 Punkte) Die oben in Aufgabe 6 gezeichnete Magnetisierungskurve umschließt eine Fläche. Welche physikalische Entsprechung hat diese Fläche? Zykliche Magnetisierungen führen zu einem Umlaufen der Hystereseschleife mit jeder Periode. Die Fläche der Hystereseschleife entspicht den Hystereseverlusten beim Ummagnetisieren [Vorlesungsscript S 46ff] Transformator (0,5 Punkte) Kerne für Manteltransformatoren werden aus einzelnen dünnen, gegeneinander isolierten Blechen hergestellt, wie in der Abbildung dargestellt. Warum fertigt man den Kern nicht aus massivem Material? 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 4 von 17

5 17. Juli 2004 A1 TauscherTransformer STEU... EN61558 pri:230/400v 50-60Hz sec:2x12v t 40/B a -15V 0 +15V 230V 400V geblechter Kern Die Blechung von Kernen in Transformatoren minimiert die Wirbelstromverluste im Eisenkern Ausgleichsvorgänge (0,5 Punkte) Welchen Ansatz verwenden Sie zur Lösung der folgenden Differentialgleichung 1.Ordnung du c (t) + 1 τ u C(t) 1 τ U 0 =0 Für Differentialgleichung der Form a dx + x = K macht man den Ansatz x = Ae αt + B (5) Die Konstanten A, α und B werden dann aus den Randbedingungen gefunden 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 5 von 17

6 17. Juli 2004 A2 2. Aufgabe (5 Punkte): Dimensionierung einer Transistorschaltung Gegeben ist folgende Transistorschaltung bestehend aus den Transistoren T 1 und T 2,der Zenerdiode D 1 und den Widerständen R 1... R 4 : U B U E R 1 R 3 I C1 U BE1 U Z T 1 D 1 U BE2 I C2 T 2 R 2 R 4 U A I C1 =10mA U BE1 =U BE2 =0,6V U B =20V B T1,T2 = U Z =6,4V U E =15V 200 R 3 = 400 Ω U A =12V Hinweis: Die Z-Diode D 1 ist als ideale Zenerdiode mit U Z =6,4 V anzunehmen. Zur Vereinfachung ist für T1 und T2 die Näherung I E I C zu verwenden (mit I B2 0). Anmerkung: Der Lösungsweg muss klar erkennbar sein! 2.1. Berechnung I C2 (1 Punkt) Berechnenn Sie den Strom I C2. I C2 = U B U A = R 3 20 V 12 V 400 Ω = 8 V =20mA (1 Punkt) (6) 400 Ω 2.2. Berechnung R 1 und R 2 (2 Punkte) Berechnen Sie die Widerstände R 1 und R 2 mit der Vereinfachung I E I C und I B2 0. Nehmen Sie an, dass U E keinen Stromanteil liefert. Man errechnet zunächst R 1 R 1 = U B U E I C1 B (T 1) 20 V 15 V = 10 ma 200 = 5 V = 100 kω (1 Punkt) (7) 50 µa 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 6 von 17

7 es folgt R Juli 2004 A2 R 2 = U E U BE1 U z I C1 15 V 0, 6 V 6, 4 V = 10 ma = 8 V = 800 Ω (1 Punkt) (8) 10 ma 2.3. Berechnung R 4 und U CE (2 Punkte) Berechnen Sie den Widerstand R 4 und bestimmen Sie U CE von T 2 Man errechnet R 4 zu R 4 = U E U BE1 U z U BE2 = I C2 15 V 0, 6 V 6, 4 V 0, 6 V 20 ma = 7, 4 V = 370 Ω (1 Punkt) (9) 20 ma Die Spannung U CE,T2 ist die Differenz der Betriebsspannung abzüglich der Spannungsabfälle an den Widerständen R 3 und R 4 : U CE,T2 = U B U R3 U R4 = U B I C2 R 3 I E2 R 4 = U B (R 3 + R 4 ) I C2 mit der erlaubten Vereinfachung I E2 = I C2 =20V (370 Ω Ω) 20 ma =4, 6 V (1 Punkt) (10) 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 7 von 17

8 17. Juli 2004 A3 3. Aufgabe (5 Punkte): Anwendung des Induktionsgesetzes Eine quadratische Leiterschleife bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v durchzwei räumlich begrenzte homogene Magnetfelder der Induktion B 1 = B 2 = B 0 hindurch (siehe Skizze). Die Leiterschleife tritt bei t =0in das Magnetfeld B 1 ein. B 1 B 2 u (t) i a v a B 0 =1, 2 T v =2m/s a =0, 1 m a a a 3.1. Berechnung des magnetischen Flusses (3 Punkte) Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ(t) und tragen Sie den zeitlichen Verlauf in das vorbereitete Diagramm (Achten Sie auf dierichtung des Magnetfeldes!) ein. Ö(t) 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 8 von 17

9 Berechnung: 17. Juli 2004 A3 t<0:φ(t) =0 0 t<t 1 :Φ(t) =B 0 t 1 t<t 2 :Φ(t) = B 0 t 2 t<t 3 :Φ(t) = B 0 A(t) 0 da = B 0 A(t) =B 0 a v t A(t t 1 ) A(t 1 ) da = B 0 A(t t 1 )+B 0 A(t 1 ) = B 0 a v (t t 1 )+B 0 a 2 A(t t 2 ) da = B 0 A(t t 2 )+B 0 A(t 2 ) Nebenrechnungen: t 1 = a v t 2 = 2 a v t 3 = 3 a v A(t 1 )=a 2 A(t 2 )=0 A(t 3 )=a 2 A(t 2 ) = B 0 a v (t t 2 )+0= B 0 a v (t t 2 ) A(t t 3 ) t 3 t<t 4 :Φ(t) =B 0 da = B 0 A(t t 2 ) B 0 A(t 3 ) Diagramm: A(t 3 ) = B 0 a v (t t 3 )+B 0 a Φ / Vs t / s Abbildung 1: Dreieck mit Φ max =0, 012 Vs=12mV s 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 9 von 17

10 17. Juli 2004 A Spannungsberechnung (2 Punkte) Berechnen Sie gemäß des Induktionsgesetzes die induzierte Spannung u i (t) und tragen Sie den zeitlichen Verlauf im unteren Diagramm ein. u (t) i 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t Berechnung: u i = dφ oder u i = dφ ergibt Rechteckverlauf (siehe Diagramm) mit der Amplitude u max = B 0 a v =1, 2 Vs 0, 1 m 2 m m 2 s =0, 24 V Zeitverlauf: u / V t / s Abbildung 2: Lösung für u i = dφ u / V t / s Abbildung 3: Lösung für u i = dφ 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 10 von 17

11 17. Juli 2004 A4 4. Aufgabe (5 Punkte): Magnetkreis Gegeben ist die folgende magnetische Anordnung: l l µ r2 I 1 N 1 µ r1 µ r1 d N 2 I 2 (11) d =0.63cm, l =10cm, A =1cm 2 (Querschnittsfläche), µ 0 = Vs/Am,µ r1,µ r2 = 1000/1.26, I 1 =1A, N 1 = 1000,I 2 =1A, N 2 = Ersatzschaltbild (1 Punkt) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild der Anordnung (magnetische Widerstände, Fluss durch die Widerstände und magnetische Spannungen einzeichnen). Welchen Einfluss hat der Strom I 1 auf den Fluss durch den Luftspalt? Begründen Sie Ihre Antwort! Φ m R m θ 1 R ml Φ l θ 2 Der Strom I 1 hat keinen Einfluss auf den Fluss durch den Luftspalt, weil die ideale Quelle θ 2 direkt an R ml angeschlossen ist und einen Innenwiderstand von R i =0hat Magnetischer Fluss (3 Punkte) Berechnen Sie alle magnetischen Widerstände, den magnetischen Fluss durch den Luftspalt und den Fluss durch das obere Eisenstück mit der Permeabilität µ r2! 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 11 von 17 (12)

12 17. Juli 2004 A4 l R m = µ 0 µ r2 A = 0.1m A Vs 1000 Am m 2 =106 Vs R l = d µ 0 A = m Vs Am m =50 A (14) Vs Fluss durch den Luftspalt berechnen; Erkennen, dass magnetische Spannung θ 1 keinen Anteil am Fluss durch den Luftspalt hat: (13) Φ l = θ 2 R l = N 2I 2 R l = 500 1A A Vs = Vs (15) Fluss durch Eisenstück mit Superposition berechnen; Φ m1 ist Anteil der Quelle θ 1 und Φ m2 ist Anteil der Quelle θ 2 : Φ m =Φ m1 +Φ m2 = N 1I 1 N 2 I 2 R m = Φ m1 = θ 1 R m = N 1I 1 R m Φ m2 = θ 2 = N 2I 2 R m R m A 500 1A = Vs (16) 10 6 A Vs 4.3. Stromänderung (1 Punkt) Der Strom I 2 sei nun gleich Null. Welchen Wert muss I 1 haben, damit die magnetische Spannung über dem oberen Eisenstück mit der Permeabilität µ r2 konstant bleibt (also gleich der magnetischen Spannung aus Aufgabenteil 1.2)? Magnetische Spannung über dem Eisenstück soll konstant bleiben Fluss Φ m muss konstant bleiben: Φ m = N 1I 1 R m! = Vs I 1 = VsR m N 1 = Vs10 6 A Vs 1000 =0.5A (17) 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 12 von 17

13 17. Juli 2004 A5 5. Aufgabe (5 Punkte): Berechnung einer Kapazität aus einer gegebenen Geometrie Zur Füllstandsmessung wird folgende Kondensatoranordnung genutzt (siehe Abbildung). Der Zylinderkondensator besteht aus einem Kupferrohr, in dem eine mit Kunststoff ummantelte (und somit vollständig isolierte) Kupferelektrode eingebracht ist. Die Dielektrizitätskonstante des Kunststoffs beträgt ε r =5. r 3 r 2 r 1 Kupferelektrode Kunststoff-Ummantelung Kupferrohr Höhe l Wasserstand x U Geometrische Daten: l =10cm r 1 =1mm r 2 =2mm r 3 =10mm Dielektrizitätskonstante Kunststoff ε r =5 12 As elektrische Feldkonstante ε 0 =8, Vm Kapazität eines Zylinderkondensators: C = 2πεl ln ρa ρ i 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 13 von 17

14 17. Juli 2004 A Ersatzschaltbild (1,5 Punkte) Zeichnen Sie die Ersatzschaltbilder für folgende Zustände und geben Sie dazu eine kurze Erklärung: a) die Kondensatoranordnung ist vollständig leer (luftgefüllt) b) die Kondensatoranordnungist vollständig mit Wasser gefüllt c) die Kondensatoranordnung ist nur teilweise mit Wasser gefüllt Hinweis: Das Wasser sei ideal leitfähig. Die Randeffekte sind zu vernachlässigen. CLuft Ckunststoff a) nur Luft und Kunststoff (l) Ckunststoff b) nur Kunststoff (l), da Wasser leitfähig c) CLuft Ckunststoff,1 Ckunststoff,2 Kapazitäten am Kunststoff und in der Luft von x abhängig 5.2. Kapazität (2 Punkte) Geben Sie allgemein die Ausdrücke für die Teilkapazitäten und die Gesamtkapazität der Anordnung für einen beliebigen Wasserstand x an. C Luft = 2πε 0(l x) ln( r 3 r 2 ) C K,1 = 2πε 0ε r (l x) ln( r 2 r 1 ) C K,2 = 2πε 0ε r x ln( r 2 r 1 ) C = C K,2 + C Luft C K,1 C Luft + C K,1 =2πε 0 ε r ( ) x ln( r 2 r 1 ) + l x ε r ln( r 3 r 2 )+ln( r 2 r 1 ) 0,5 Punkte (18) 0,5 Punkte (19) 0,5 Punkte (20) 0,5 Punkte (21) 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 14 von 17

15 17. Juli 2004 A Elektrische Ladung (0,5 Punkte) Der Kondensator sei an eine Spannungsquelle U =5V angeschlossen und zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Welche LadungQ wird an den Elektroden gespeichert. C(x =0, 5 l) =2, F =21, 6pF Q = CU =21, 6pF 5V = C 0,5 Punkte (22) 5.4. Spannung (1 Punkt) Der Kondensator wird nun von der Spannungsquelle getrennt und anschließend langsam entleert. Welche Ladung ist nun an den Elektroden gespeichert und welche Spannung U neu ist zwischen den Platten messbar? Die Ladung an den Platten bleibt erhalten 0,5 Punkte (23) Q U neu = C(x =0) C(x =0)=3, 18pF U neu 34V 0,5 Punkte (24) 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 15 von 17

16 17. Juli 2004 A6 6. Aufgabe (5 Punkte): Ausgleichsvorgänge Die abgebildete Schaltung enthält einen Kondensator mit der Kapazität C =3µF,eine Spule mit der Induktivität L = 100 mh und zwei Widerstände mit den Werten R 1 =1, 1 kω und R 2 =2, 2 kω. Die Spannung beträgt U = 330 V. Die Schaltung befindet sich bei Schalterstellung a im eingeschwungenen Zustand. Zum Zeitpunkt t =0wird der Schalter S 1 von Punkt a auf den Punkt b umgeschaltet. Die zeitlichen Verläufe von u L (t) und i(t) sind zu ermitteln. Gegeben ist die folgende Schaltung: R 1 a S 1 b i(t) U R 2 u C (t) C L u L (t) 6.1. Randbedingungen (0,5 Punkte) Berechnen Sie für den eingeschwungenen Zustand zum Zeitpunkt t<0die am Kondenstor anliegende Spannung. (Tipp: Hierzu muss keine DGLaufgestellt werden!) Einfacher Spannungsteiler: u C (t<0) = U R 2 2, 2 kω = 330 V R 1 + R 2 3, 3 kω = 220 V = U 0 (0,5 Punkte) 6.2. Aufstellen der DGL (1,5 Punkte) Stellen Sie die Maschengleichung für die Zeit t 0 auf und leiten Sie daraus die Differentialgleichung für den Strom i(t) her. Die Maschenregel liefert die Gleichung: u C (t) u L (t) =0 (0,5 Punkte) mit den Spannungsgleichungen : } u L (t) = L di(t) u C (t) = 1 C i(t) i(t) =C du C (t) folgt: L di(t) + 1 i(t) =0 C d2 i(t) i(t) =0. LC (0,5 Punkte) (0,5 Punkte) 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 16 von 17

17 17. Juli Lösung der Differentialgleichung (2,5 Punkte) Machen Sie einen Lösungsansatz für den Zeitverlauf des Stroms i(t) für t 0 und finden Sie mit Hilfe der Anfangsbedingungen eine endgültige Lösung für i(t 0) und u L (t 0). Lösungsansatz: i(t) =î sin(ω 0 t) einsetzen in DGL: Aus den Anfangsbedingungen ergibt sich: (0,5 Punkte) ω0 2 î sin(ω 0 t)+ 1 LC î sin(ω 0 t)=0 ω 0 = 1 (0,5 Punkte) LC u L (t =0)=u C (t =0)=U 0 u L (t) =L di(t) = L ω 0 î cos(ω 0 t) (0,5 Punkte) U 0 = L ω 0 î (0,5 Punkte) î = U 0 C = U 0 (0,5 Punkte für eine der beiden Schreibweisen) L ω 0 L Für die Spannung und den Strom ergeben sich für t>0 also: C u L (t) =U 0 cos(ω 0 t) i(t) =U 0 L sin(ω 0t) 6.4. Skizze (0,5 Punkte) Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf der Spannung u L (t) und des Stroms i(t) für t 0 in das gegebende Koordinatensystem ein und beschriften Sie die Verläufe. u L, i u L (t) = U 0 cos(ω 0 t) i(t)=i 0 sin(ω 0 t) 0 ω 0 t 2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-B Seite 17 von 17