f : N R a 1 = = 2 a 2 = = 1 a 3 = = 6 a 4 = = 13 a 5 = = 22

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "f : N R a 1 = = 2 a 2 = = 1 a 3 = = 6 a 4 = = 13 a 5 = = 22"

Transkript

1 Å Ø Ñ Ø º Ë Ñ Ø Ö

2 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ½ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÓÐ Ò Ä ½º½ Ö Ö Ö ÓÐ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÜÔÐ Þ Ø ÙÒ Ö ÙÖ Ú Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ä º º º º º º º º º ½º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä ½ ¾º½ Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¼Ä º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¾Ä º º º º º º º º º º ½ ¾º Ö Ø Ñ Ø Ê Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä ¾ º½ Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¼Ä º º º º º º º º º ¾ º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¾Ä º º º º º º º º º º ¾ º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ½ ½¾Äµ º½ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ø ÓÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º¾ Å Ö ØÙ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ô Ð Ò ÞÛ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ ÙÑ Ö ÑÑ Ö Û ÐÐ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò ½½Ä º½ Ò Ø ÓÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö ÒÞ Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÑ ØÖ Ê Ò Ò Ö ÓÑ ØÖ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ä º½ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØ Ø Ø ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ ½ Ä ½¼ º½ Ò Ø ÓÒ Ö Ð ØÙÒ Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ð ØÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ø ¾Ä º º º º º º º º º º ½½ º À Ö Ð ØÙÒ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ô Ð Ò Ö È Ý Ã Ò Ñ Ø µ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

3 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ¾ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ¾ ½ º½ Ù ÐÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö Ù ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Î Ö ÒÞ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

4 ½ ÇÄ Æ Ä ½ ½º½ ÓÐ Ò Ä Ö Ö Ö ÓÐ ½Ä Ò ÓÐ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ö N Ò ÓÐ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f : N R Ë Ö Û Ò a n := f(n) (a n ) := fº Ö Ò ÁÒ Ü n Ò Ù Ù Ø Ò i,j,k,l,m ÖÙ Ð º Ô Ð ½ Ò Ø ÓÐ a n := n 3. Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö a,...,a 5 º a = 3 = a = 3 = a 3 = 3 3 = 6 a 4 = 4 3 = 3 a 5 = 5 3 = Ô Ð ¾ Ò Ø ÓÐ a i := i+. Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö a,...,a 5 º a = + = 3 a = + = 5 a 3 = 3+ = 7 a 4 = 4+ = 9 a 5 = 5+ =

5 ½ ÇÄ Æ Ä Ù Ò Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ö Ì ÒÖ Ò Ø Ò Ø ÖÐ Ù Ø Ù ½ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a n := 4n µ a n := n+3 µ a n := n 3 + µ a n := (n+) Ù ¾ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a k := k µ a k := k µ a k := k k µ a k := k+ : k Ù Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a n := n! n! ÔÖ n ÙÐØØ µ Ø Ò ÖØ ÙÖ n! :=... nµ ½ µ a n := n : n! µ a n := (n+)! n! µ a n := (n+)! : n! Ù Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a i := i i+ µ a i := i(i+) µ a i := i3 + i+ µ a i := i i 6 i+ µ a i := sin(i π 6 ) ½ Ð Ó! =! = = 3! = 3 = 6 4! = 3 4 = 4 ººº

6 ½ ÇÄ Æ Ä Ù ½ Ä ÙÒ Ò Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò µ a n := 4n a = 4 = 3,a = 4 = 7,a 3 = 4 3 =,a 4 = 4 4 = 5,a 5 = 4 5 = 9 µ a n := n + 3 a = + 3 =,a = + 3 =,a 3 = = 3,a 4 = 4+3 = 5,a 5 = 5+3 = 7 µ a n := n 3 + a = 3 + = 3,a = 3 + = 0,a 3 = = 9,a 4 = = 66,a 5 = = 7 µ a n := (n+) a = + =,a = + = 3,a3 = +3 = 4,a4 = +4 = 5,a5 = +5 = 6 Ù ¾ µ a k := k a = 0 =,a = =,a 3 = = 4,a 4 = 3 = 8,a 5 = 4 = 6 µ a k := k a = =,a = = 3,a 3 = 3 = 7,a 4 = 4 = 5,a 5 = 5 = 3 µ a k := k k a = =,a = = 0,a 3 = 3 3 =,a 4 = 4 4 = 0,a 5 = 5 5 = 7 µ a k := k+ : k ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÙÖ Ã ÖÞ Òµ a k = = 4 k Nº ÁÒ ÓÒ Ö a = a = a 3 = a 3 = a 4 = a 5 = 4µ Ù µ a n := n! a =! =,a =! =,a 3 = 3! = 6,a 4 = 4! = 4,a 5 = 5! = 0 µ a n := n : n! a = :! = : =,a = :! = 4 : =,a 3 = 3 : 3! = 8 : 6 = 4 3,a4 = 4 : 4! = 6 : 4 = 3,a5 = 5 : 5! = 3 : 0 = 4 5 µ a n := (n+)! n! a =!! = =,a = 3!! = 6 = 4,a 3 = 4! 3! = 4 6 = 8,a 4 = 5! 4! = 0 4 = 96,a 5 = 6! 5! = 70 0 = 600 µ a n := (n + )! : n! ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÙÖ Ã ÖÞ Òµ a n = n + a =,a = 3,a 3 = 4,a 4 = 5,a 5 = 6 Ù µ a i := i i+ a = =,a = 3 = 6,a3 = 3 4 =,a4 = 4 5 = 0,a5 = 5 6 = 30 µ a i := i(i+) a = = (+),a = = (+) 6,a3 = = 3(3+),a4 = = 4(4+) 0,a5 = = 5(5+) 30 µ a i := i3 + i+ a = 3 + = = +,a = 3 + = 9 = + 3 3,a3 = 33 + = 8 = ,a4 = = 65 = ,a5 = 53 + = 6 = º 5+ 6 Å Ø Ö ÒÓÑ ÓÖÑ Ð a 3 +b 3 = (a+b)(a ab+b ) Ó Ö Ö ÈÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ ÒÒØ Ñ Ò Ò ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÞÙ a i = i3 + = i+ i i+º Ö Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö ÐÓ ÒØ Ö Ù Û Ò Ö ÙѺµ µ a i := i i 6 i+ ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÙÖ Ã ÖÞ Òµ a i = i i 6 i+ = (i+)(i 3) i+ = i 3º a = 3 =,a = 3 =,a 3 = 3 3 = 0,a 4 = 4 3 =,a 5 = 5 3 = µ a i := sin(i π 6 ) Ò Ø Ö Þ Ò Òµ a = sin(π 6 ) =,a = sin π 3 = 3,a3 = sin π =,a4 = sin 4π = sin( π ) = 3 π,a5 = sin(5 ) = 6 3 6

7 ½ ÇÄ Æ Ä ½º¾ ÜÔÐ Þ Ø ÙÒ Ö ÙÖ Ú Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ä Ï Ö Ò Ð Ö a n Ò Ö ÓÐ ÐÐ Ò Ö Ò ÁÒ Ü n Ò ÖØ ÔÖ Ø Ñ Ò ÚÓÒ ¹ Ò Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò Ò Ø ÓÒº Ô Ð ÐÐ Ö ÔÖÓ Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ò Ô Ð Ò ÙÒ Ù Ò Ð Ó Þº º a n := n º Ï Ö Ò Ð Ö a n Ò Ö ÓÐ Ñ Ø Ð¹ ÚÓÖ Ö Ò Ö Ð Ö Ò ÖØ ÔÖ Ø Ñ Ò ÚÓÒ Ò Ö Ö ÙÖ Ú Ò Ò Ø ÓÒº Ô Ð Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒµ Ò ÓÐ Ø Ò ÙÖ a := 6 a n := a n +5º Ö Ò Ò Ë a 5 º a = a +5 = 6+5 = a 3 = a +5 = +5 = 6 a 4 = a 3 +5 = 6+5 = a 5 = a 4 +5 = +5 = 6 Ñ Ö ÙÒ Ö ÎÓÖØ Ð Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ù Ö À Ò Å Ò ÒÒ Ò ÓÐ Ò Ð a n Ö Ø Ù Ö Ò Ò Ó Ò ÐÐ ÎÓÖ Ò Ö Ð Ö Ù Ö Ò Ò ÞÙ Ñ Òº ÍÑ Ñ Ó Ò Ö ÙÖ Ú Ò Ô Ð a 00 Ù ÞÙÖ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ò ÞÙ Ö Ø ÐÐ ÎÓÖ Ò Ö Ð Ö a a 3 a 4 ººº a 99 Ù Ö Ò Ò µ

8 ½ ÇÄ Æ Ä Ù Ò Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ù Ö ÒÙÒ Ù Ò Ñ ÎÓÖ Ò Ö Ð µ Ö Ò Ò Ë a 5 º µ a := a n+ := a n +8 µ a := 4 a n := a n +3 µ a := a n := 3a n µ a := 3 a n := 3a n + µ a := 4 a n := a n +n µ a := a n+ := 3a n n µ a := 0 a n := a n + n µ a := 5 a n := a n +n+ Ù Ö ÒÙÒ Ù Ñ Ö Ö Ò ÎÓÖ Ò Ö Ð ÖÒµ Ö Ò Ò Ë a 6 º µ a := a := 3 a n+ := a n +a n µ a := 0 a := 6 a n := (a n +a n ) µ a := a := 5 a 3 := 3 a n := a n 3 a n +a n µ a := a := a n := a n +a n ÓÒ ¹ ÓÐ ¾ µ ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n := 5 [( + 5 ) n ( 5 ) n ] ÛÙÖ Ö Ø ½ ¼ ÚÓÑ Ö ÒÞ Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ö Ñ ÅÓ ÚÖ ÙÒ Òº

9 ½ ÇÄ Æ Ä Ù Ä ÙÒ Ò Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò µ a := a n+ := a n +8 a = a +8 = +8 = 0,a 3 = a +8 = 0+8 = 8,a 4 = a 3 +8 = 8+8 = 6,a 5 = a 4 +8 = 6+8 = 34 µ a := 4 a n := a n +3 a = a +3 = 4+3 = 7,a 3 = a +3 = 7+3 = 0,a 4 = a 3 +3 = 0+3 = 3,a 5 = a 4 +3 = 3+3 = 6 µ a := a n := 3a n a = 3a = 3 = 3,a 3 = 3a = 3 3 = 9,a 4 = 3a 3 = 3 9 = 7,a 5 = 3a 4 = 3 7 = 8 µ a := 3 a n := 3a n + a = 3a + = 3 3+= 8,a 3 = 3a + = 3 ( 8) + = 5,a 4 = 3a 3 + = = 74,a 5 = 3a 4 + = 3 ( 74)+ = 3 µ a := 4 a n := a n + n a = a + = 4 + = 0,a 3 = a + 3 = 0+3 = 3,a 4 = a 3 +4 = 3+4 = 50,a 5 = a 4 +5 = 50+5 = 05 µ a := a n+ := 3a n n a = 3a = 3 = 5,a 3 = 3a = 3 5 = 3,a 4 = 3a 3 3 = = 36,a 5 = 3a 4 4 = = 04 µ a := 0 a n := a n + n a = a + = 0+4 = 4,a 3 = a + 3 = 4+8 =,a 4 = a = +6 = 8,a 5 = a = 8+3 = 60º µ a := 5 a n := a n +n+ a = a + += 5+5 = 0,a 3 = a + 3+= 0+7=7,a 4 = a = 7+9= 6,a 5 = a = 6+= 37 Ù µ a := a := 3 a n+ := a n +a n a 3 = a +a = +3 = 4,a 4 = a +a 3 = 3+4 = 7,a 5 = a 3 +a 4 = 4+7 =,a 6 = a 4 +a 5 = 7+ = 8 µ a := 0 a := 6 a n := (a n +a n ) a 3 = (a + a ) = (0 +6) = 8,a 4 = (a +a 3 ) = (6+8) =,a 5 = (a 3 +a 4 ) = (8+) = 0,a 6 = (a 4 +a 5 ) = (+0) = µ a := a := 5 a 3 := 3 a n := a n 3 a n +a n a 4 = a a +a 3 = 5+ 3 = 3,a 5 = a a 3 +a 4 = = 8,a 6 = a 3 a 4 +a 5 = = 6 µ a := a := a n := a n +a n a 3 = a +a = + =,a 4 = a +a 3 = + = 3,a 5 = a 3 +a 4 = +3 = 5,a 6 = a 4 +a 5 = 3+5 = 8

10 ½ ÇÄ Æ Ä Ô Ð Ò Ö Ò Ë ÓÐ,4,7,0,3,... ÓÛÓ Ð ÜÔÐ Þ Ø Ð Ù Ö ÙÖ¹ Úº Ê ÙÖ Ú a := a n := a n +3 ÜÔÐ Þ Ø a n := 3n Ö ÒÞ ÞÛ Ö Æ Ö Ð Ö Ø º ÖØ ÞÙÑ Ò ØÞ a n := 3nº Å Ò ØØ Ó 3,6,9,,5,...º ÁÒ Ö ÓÐ Ø Ð ÙÑ ¾ Ö Ö Ð Ò Ö Ú ÖÐ Ò Ø Òº Ð Ó Ò Ö a n := 3n µ

11 ½ ÇÄ Æ Ä ½¼ Ù Ò ÓÐ Ò ÓÛÓ Ð Ö ÙÖ Ú Ð Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ù Ù Þ Ð Ò ÓÖÑ ¹ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Òµ Ò Ë ÓÐ ÓÛÓ Ð ÜÔÐ Þ Ø Ð Ù Ö ÙÖ Ú Òº µ 6,3,0,7,34,... µ 4,, 6,, 6,,... µ 6,,4,48,96,... µ, 3, 4, 5,... µ 3,33,333,3333,... Ì ÔÔ Ö ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë ÓÐ Ò Ð Ñ Ø 3 ÙÒ ØÙ Ö Ò Ë ÞÙ Ö Ø ÓÐ ºµ µ 6,4,0,70,5040,... µ 0.,0.0,0.00,0.000,... µ 7,7,7,7,... Ù Ù Þ Ð Ò ÓÖÑ ¹ Ö ÙÖ Ú Ö Ø ÐÐÙÒ µ Ò Ö Ò Ë ÓÐ Ö ÙÖ Úº µ,0,00,000,... µ 5,,3,47,95,... µ 7,0,59,76,57,... µ,4,6,56,... Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ¹ Ö ÙÖ Ú Ö Ø ÐÐÙÒ µ Ò Ö Ò Ë ÓÐ Ö ÙÖ Úº Ì ÔÔ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ô Ö ÓÐ Ò Ð ¹ Ö Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ó Ø Ò Ë ºµ µ a n := 3n µ a n := 3 n µ a n := n µ a n := n n

12 ½ ÇÄ Æ Ä ½½ Ù Ä ÙÒ Ò ÓÐ Ò ÓÛÓ Ð Ö ÙÖ Ú Ð Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐ Ò µ 6,3,0,7,34,... Ê ÙÖ Ú a := 6,a n = a n +7 ÜÔÐ Þ Ø a n = 7n µ 4,, 6,, 6,,... Ê ÙÖ Ú a := 4,a n = a n 5 ÜÔÐ Þ Ø a n = 5n+9 µ 6,,4,48,96,... Ê ÙÖ Ú a := 6,a n := a n ÜÔÐ Þ Ø a n := 6 n µ, 3, 4, 5,... Ê ÙÖ Ú a := 4,a n := a n ÜÔÐ Þ Ø a n := n+ µ 3,33,333,3333,... Ê ÙÖ Ú a := 3,a n := 0a n +3 ÜÔÐ Þ Ø a n := 0n 3 µ 6,4,0,70,5040,... Ê ÙÖ Ú a := 6,a n := a n (n+) ÜÔÐ Þ Ø a n := (n+)! µ 0.,0.0,0.00,0.000,... Ê ÙÖ Ú a := 0.,a n := a n 0. ÜÔÐ Þ Ø a n := 0 n µ 7,7,7,7,... Ê ÙÖ Ú a := 7,a n := a n ÜÔÐ Þ Ø a n := 7 Ù µ,0,00,000,... a :=,a n := a n 00+ µ 5,,3,47,95,... a := 5,a n := a n + µ 7,0,59,76,57,... a := 7,a n := 3a n µ,4,6,56,... a :=,a n := a n Ù µ a n := 3n a =,a = 5,a 3 = 8,... a =,a n := a n +3 µ a n := 3 n a = 6,a = 8,a 3 = 54,... a = 6,a n := 3a n µ a n := n a =,a = 4,a 3 = 9,a 4 = 6... a =,a = a + 3,a 3 = a +5,a 4 = a 3 +7,... a =,a n := a n +(n ) µ a n := n nº a = =,a = = 0,a 3 = 3 3 = 3,a 4 = 4 4 = 8,a 5 = 5 5 = 5,... a =,a = a +,a 3 = a +3,a 4 = a 3 +5,a 5 = a 4 +7,... a =,a n := a n +(n 3)

13 ½ ÇÄ Æ Ä ½¾ Ô Ð Ö ÒÙÒ Ð Ò Ø Ò ÓÐ Ò Ð µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð Ö ÓÐ a n := 6 n 3n+9 ÓÐ ÒØ ÔÖ Ø Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ f(x) = 6 x 3x+9º Ë Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 3 6 = 9 v = f(9) = TR = 4.5 y 9 a 9 = 4.5 Ø Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð 8 7 a = a = a 3 =.5 0 a 4 = 0.33 a 5 =.83 a 6 = a 9 = x

14 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù Ò Ï Ø Ö Ù Ò Ù ½¼ Ö Ø ÙÒ Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð Öµ µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø Ð Ö ÓÐ a n := 0.5n n+3 µ Ï Ð Ø Ö Ø Ð Ö ÓÐ a n := 3n +4n 7 µ Ï Ð Ø Ö Ø Ð Ö ÓÐ a n := 3n +3n µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø Ð Ö ÓÐ a n := 3n +4n 7 Ù ½½ ÃÐ Ò Ø Ö ÁÒ Ü Ñ Ø Ò ÙÒ Òµ Ù Ø Ø Ö Ð Ò Ø ÁÒ Ü n Ö Ò a n Ö Ö Ð ½¼¼¼ غ µ a n :=.5 n µ a n :=. n Ù ½¾ ÃÐ Ò Ø Ö ÁÒ Ü Ñ Ø Ò ÙÒ Òµ Ù Ø Ø Ö Ð Ò Ø ÁÒ Ü n Ö Ò a n Ð Ò Ö Ð ¼º½ غ µ a n := 0.9 n µ a n := n Ù ½ ÒÞ Ð Ð Ö Ñ Ø Ø ÑÑØ Ö Ò Øµ Ò Ø Ö ÙÖ Ú Ò ÖØ ÓÐ a := 04 a n := a n º Ï Ú Ð Ð Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ö Ð 0.

15 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù ½¼ Ä ÙÒ Ò Ï Ø Ö Ù Ò µ ÓÐ a n := 0.5n n+3 ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = 0.5x x+3º Ë Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 0.5 = ºv = f() = = 69º a = 69 µ ÓÐ a n := 3n +4n 7 ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 3x +4x 7º Ë Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 4 ( 3) = 7º v = f(7) = = 40º a 7 = 40 µ ÓÐ a n := 3n +3n ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = 3x +3xº Ë ¹ Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 3 ( 3) = 6 3 = 5.3º 5.3 Ð Ø Ò Ö Ð Ö Ø Ð Ø a 5 º f(5) = = 85º a 5 = 85 µ ÓÐ a n := 3n +4n 7 ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 3x +4x 7º ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÑØ Ð Ð Ò Ï ÖØ Ò Ð Ò Ö Ð Þº º µ ÞÙ Ö È Ö Ð Ò ÙÒØ Ò Ò Ø Øº ÍÒ Ð Ò ÑÑØ Ù ÓÐ Ð Ð Ò Ï ÖØ Òº Ü Ø ÖØ Ò Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð º Ù ½½ µ a n :=.5 n º a n = n = 000 nln.5 = ln000 n = ln000 ln.5 = 7.04 n = 8 µ a n :=. n a n = 000. n = 000 nln. = ln000 n = ln000 ln. = 7.48 n = 73 Ù ½¾ µ a n := 0.9 n a n = n = 0. nln0.9 = ln0. n = ln0. ln0.9 =.85 n = µ a n := n a n = n = 0. nln0.999 = ln0. n = ln0. ln0.999 = n = 30 Ù ½ Ö ÓÐ ÞÙ Ö Ø ÜÔÐ Þ Ø a = 04,a = 04,a 3 = 04 ( ),a 4 = 04 ( )3 ººº a n = 04 ( )n º ÆÙÒ ÞÙÖ Ò ÙÒ a n = ( )n = 0. ( )n = 0. (n )ln( 0. ) = ln( 04 ) n = ln( ) ln( ) n = 04 ln( ) ln( ) + = 4.3 n = 4 º

16 ½ ÇÄ Æ Ä ½ ½º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò ¾Ä a i Ò ÓÐ ÙÒ k < n Nº n i=k a i := a k +a k+ +a k a n Ø ËÙÑÑ Ö ÓÐ Ò Ð Ö a k a n º i Ø ÁÒ ÜÚ Ö Ð Ó Ö Ä Ù Ú Ö Ð º ÁÒ ÜÚ Ö Ð i ÙÖ ÐÙ Ø ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ k nº Ô Ð Ö Ò Ò Ë 6 (i 5) i=3 6 (i 5) = ( 3 5)+( 4 5)+( 5 5) i=3 +( 6 5) = = 6 Ô Ð Ö Ò Ò Ë 5 i= i 5 i = i= = = 54

17 ½ ÇÄ Æ Ä ½ n i=k a i := a k a k+ a k+... a n Ø ÈÖÓ Ù Ø Ö ÓÐ Ò Ð Ö a k a n º i Ø ÁÒ ÜÚ Ö Ð Ó Ö Ä Ù Ú Ö Ð º ÁÒ ÜÚ Ö Ð i ÙÖ ÐÙ Ø Û Ö ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ k nº Ô Ð Ö Ò Ò Ë 7 (i 7) i=4 7 (i 7) = ( 4 7)( 5 7)( 6 7)( 7 7) i=4 = = 05 Ô Ð Ö Ò Ò Ë 4 i= i 4 i= i = 3 4 = = 576

18 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù ½ ËÙÑÑ Òµ Ö Ò Ò Ë µ 5 i= (+i) µ 0 i=5 (i ) µ 6 i= (i 3) µ 5 i=3 i Ù ½ ÈÖÓ Ù Ø µ Ö Ò Ò Ë µ 5 i= i µ 6 i= (i+) µ 5 i=3 3i Ù Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò µ 4 i= i Ù ½ ËÙÑÑ Òµ Ë Ö Ò Ë Ñ Ø Ñ ËÙÑÑ ÒÞ Ò Ë Ñ Ò Ò Ø Ù Ö Ò Òµ µ ËÙÑÑ Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼¼ ½¼¼¼ µ ËÙÑÑ Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ½¼¼ µ!+3!+4! ! µ ËÙÑÑ Ö ÙÒ Ö Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò ÚÓÒ 49 Ð Ò,,3,4,... =,4,9,6,... Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Òµ Ç Ò Ö Ø Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ù ÒÒ ÙÒ Ö Û ÒÒ ÞÙ Ö ÙÒ ¹ Ö Øº Ô 9 = 3 ÓÛÓ Ð Ð Ù Ò ÙÒ Ö ºµ µ ËÙÑÑ Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ¼ Ù ½ ÈÖÓ Ù Ø µ Ë Ö Ò Ë Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò Ë Ñ Ò Ò Ø Ù Ö Ò Òµ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼ ½¼¼ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¼¼ ¼¼ Ù ½ ÓÐ Ò Ñ Ø ËÙÑÑ Òµ Ö Ò Ò Ë ½º ¾º ÙÒ º Ð Ö ÓÐ º µ a n := n i= i µ a n := n i= 0i µ a n := n i= (i+) Ù ½ ÓÐ Ò Ñ Ø ÈÖÓ Ù Ø Òµ Ö Ò Ò Ë ½º ¾º ÙÒ º Ð Ö ÓÐ º µ a n := n i= 0i µ a n := n i= i i+ µ a n := n i= (i )

19 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù ½ Ä ÙÒ Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò µ 5 i= (+i) = = 0 µ 0 i=5 (i ) = (5 ) + (6 ) + (7 ) + (8 ) + (9 ) + (0 ) = = 349 µ 6 i= (i 3) = = 5 µ 5 i=3 i = = = 56 Ù ½ µ 5 i= i = = = µ 6 i= (i+) = = 50 µ 5 i=3 3i = (3 3) (3 4) (3 5) = = 60 µ 4 i= i = 3 4 = 0 = 04 Ù ½ µ ËÙÑÑ Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼¼ ½¼¼¼ 000 i=00 i µ ËÙÑÑ Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ½¼¼ 50 i= i µ!+3!+4! ! 50 i= i! µ ËÙÑÑ Ö ÙÒ Ö Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò ÚÓÒ = 4 i=5 (i+) µ ËÙÑÑ Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ¼ 65 i=6 4i Ù ½ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼ ½¼¼ Π 50 i=5i µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ Π 49 i=4(i+) Ù Þº º Π 50 i=5(i )µ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¼¼ ¼¼ Π 300 i=003i Ù ½ µ a n := n i= i a = i= i = = a = i= i = + = 5 a 5 = 5 i= i = = 55 µ a n := n i= 0i a = i= 0i = 0 0 = a = i= 0i = = +0 = a 5 = 5 i= 0i = = = µ a n := n i= (i + ) a = i= (i + ) = + = 3 a = i= (i + ) = ( +)+( +) = 8 a 5 = i= (i+) = = 35 Ù ½ µ a n := n i= 0i a = i= 0i = 0 = 0,a = i= 0i = 0 0 = 000,a 5 = 5 i= 0i = = 0 5 µ a n := n 5 i= i= i i+ a := i= i = = i i = i+ + = 3,a := i= i = =,a5 := i µ a n := n i= (i ) Û Ð Ö Ö Ø ØÓÖ ÑÑ Ö ¼ ص ai = 0 i N a = a = a 5 = 0

20 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ½ ¾ ¾º½ Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¼Ä Ò ÓÐ (a n ) Ø Ö Ø Ñ Ø ÓÐ µ Û ÒÒ Ò d R Ø Ñ Ø a n = a n +d. d Ø Ö ÒÞ Ö ÓÐ º Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ Æ Ñ Ò ÁÒ Ò Ö Ø ÓÐ Ò Ð Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ð Ò Ö Ò Æ Ö Ð Ö a n = an +an+ Ô Ð ¾ ½½ ½ ººº Ø Ò Ñ Ø d = 3º ¾º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¾Ä Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ö Ö ÒÞ d ÐØ Û a n = a +(n )d a a +d a 3 a +d = (a +d)+d = a +d a 4 a 3 +d = (a +d)+d = a +3d a 5 a 4 +d = (a +3d)+d = a +4d a n a +(n )d Ô Ð ½¼ Ò Ø Ò ÙÖ a := a = 9º Ö Ò Ò Ë a 000 º d = a a = 9 = 7 a 000 = = 7005 Û a n +a n+ = (an d)+(an+d) = a n

21 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾¼ Ç ÓÖÑ Ð ÒÒ Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒ Ñ Ò Ö ÓÖØ Ð ÙÖ Ò ¹ Ð Ð k N Ö ØÞ Òµ Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ö Ö ÒÞ d ÐØ a n = a k +(n k)d Ñ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ð ÐØ k,m N Ò ÓÒ Ö Ö k Ð Ó Ù Ö Ö Ò Ð n Û µº Û a k+ = a k +d a k+ = a k+ +d = (a k +d)+d = a k +d a k+3 = a k+ +d = (a k +d)+d = a k +3d a k+4 = a k+3 +d = (a k +3d)+d = a k +4d = = a n = a k+(n k) = a k +(n k)d Ù Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò a k Ð ÖØ a k = a n + (k n)d Û Þ Ø k Ù Ö Ö Ò Ö Ð nº Ô Ð ½½ ÁÒ Ò Ö Ø a 9 = 4 ÙÒ a = 50º Ö Ò Ò Ë a 89 º d = a 89 = a = a 9 +( 9)d 50 = 4+d 36 = d d = 3 a 89 = a +(89 )d = = = 54

22 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾½ Ù Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò µ Ù ¾¼ Ä Ø Ò ÚÓÖ µ Ð Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ö µ 3, 4, 6 µ 4, 5, 0 µ, 3, 6 µ 4, 9, 36 Ù ¾½ Ö ÒÞ d Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ö ÒÞ d Ö º µ a 5 = 3 a 8 = 5 µ a 0 = a 38 = 6 µ a 7 = 44 a 5 = 3 µ a 9 = 8 a = 8 Ù ¾¾ ÓÐ Ò Ð Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ù Ø Ð Ö º µ a 6 = 3 a 4 = 45 a 50 =? µ a 5 = 00 a 75 = 5 a 50 = µ a = 7 a = 3 a 0 = µ a 5 = 8 a 3 = 50 a =? Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Òµ Ú Ðº Ó Ù µ Ò Ë Ò ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ë Ñ Ø Ù Ø Ð Ö º µ a 6 = 3 a 4 = 45 a 50 =? µ a 5 = 00 a 75 = 5 a 50 = Ù ¾ Ò ÙÒ Ò Ò Ð Öµ ÁÒ Ò Ö Ø a = 7 a 3 = º Ï Ú Ð Ð Ö Ò Ö Ö Ð ¼ Ù ¾ Ò ÙÒ Ò Ò Ð Öµ ÁÒ Ò Ö Ø a = 0 a = 8º Ï Ú Ð Ð Ö Ò Ð Ò Ö Ð ½¼¼¼ Ù ¾ ÓÐ ÚÓÒ Ï Ö ÐÒµ Ò Ò ÓÐ ÚÓÒ Ï Ö ÐÒ Ö Ò Ã ÒØ ÒÐÒ Ò a n ÓÐ a n := n Ð Òº µ (f n ) ÓÐ Ö Ö Ç Ö Òº Á Ø (f n ) Ò µ (v n ) ÓÐ Ö Ö ÎÓÐÙÑ Òº Á Ø (v n ) Ò

23 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾¾ Ù ¾¼ Ä ÙÒ Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò µ µ 3, 4, = 6 4 = µ 4, 5, = = 0 Ò Ò µ, 3, 6 3 = = 6 µ,, = 5 = Ù ¾½ µ a 5 = 3 a 8 = 5 a 8 = a 5 +3d d = a 8 a 5 d = 5 3 = µ a 0 = a 38 = 6 d = a 38 a 0 8 d = 6 ( ) 8 = 4 µ a 7 = 44 a 5 = 3 d = a 5 a 7 8 d = = 3 µ a 9 = 8 a = 8 d = a a 9 3 d = = 0 Ù ¾¾ µ a 6 = 3 a 4 = 45 a 50 =? d = a 4 a 6 = 45 3 = 4º a = a d = = 89 µ a 5 = 00 a 75 = 5 a 50 = d = a 75 a 5 = 5 00 = 3º a50 = a5 +5 d = 00+5 ( 3) = 6.5 µ a = 7 a = 3 a 0 = d = 3 7 = 4º a 0 = a +9d = 7+9( 4) = 9 µ a 5 = 8 a 3 = 50 a? d = a 3 a 5 = Ù ¾ = º a = a3 +( 0)d = 50+( 0) = µ Ç Ù d = 4º a = a 6 + ( 6)d = 3 + ( 5) 4 = 7 a n = a +(n )d = 7+(n ) 4 = 7+4n 4 = 4n º a 50 = 4 50 = 89 µ Ç Ù d = 3º a = a5+( 5)d = 00+( 4) ( 3 ) = 36 an = a +(n )d = 36+(n )( 3 ) = 36 (n ) 3 = 36 3 n+3 =.5n+37.5º a 50 = = 6.5 Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ d = a 3 a = 7 = 77 a n = a +(n )d = +(n )( ) = (n ) Ä Ð ÙÒ a n = 0 7 (n ) 77 = 0 77 (n ) = 0 = (n ) = n n = 6.5 n = 6 Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ d = a a = 8 0 = 8 a n = a +(n )d = 0+(n ) 8 Ä Ð ÙÒ a n = (n ) 8 = 000 (n ) 8 = 990 n = = 4.75 n = 4 Ù ¾ µ f n = 6(n ) = 6nº f n f n = 6n 6(n ) = 6 = konstant (f n) Ø µ v n = (n ) 3 = n 3 º v v = 3 3 = 8 =.83º v3 v = = 7 8 =.37 (vn) Ø Ò

24 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ ¾º Ö Ø Ñ Ø Ê Ò ¾Ä (a n ) Ò º ÙÖ n s n := i= Ò ÖØ ÓÐ (s n ) Ø Ö Ø Ñ Ø Ê º a i Ô Ð (a n ) Ø Ò ÙÖ a n := 3n+º Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ð Ö Ö Ö Ø Ñ Ø Ò Ê (s n )º a = 4 a = 7 a 3 = 0 a 4 = 3 a 5 = 6 s = s = s 3 = s 4 = s 5 = a i = a = 4 i= a i = a +a = 4+7 = i= 3 a i = a +a +a 3 = = i= 4 a i = a +a +a 3 +a 4 = = 34 i= 5 a i = a +a +a 3 +a 4 +a 5 i= = = 50

25 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ ÍÑ s n Ò Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ø Ò ÓÖÑ Ð Ö Ò (a n ) ÙÒ Ö Ê (s n ) ÐØ s n = n (a +a n ) Ô Ð ½¾ ÙÑ Ó Ò Ô Ðµ Ò Ø a n := 3n + Ù Ó Ñ Ô Ðº Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ò Ð Öº s 5 = 5 (a +a 5 ) = 5 (4+6) = 50 Ô Ð ½ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½ º =? Ò Ö a n := n º ÒÒ Ø a = a = 3 a 3 = 5 a 50 = 99 s 50 = 50 (a +a 50 ) = 5(+99) = 500

26 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ù Ò Ö Ø Ñ Ø Ê Ò Êµ Ù ¾ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ ÐÐ Ö µ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ½¼³¼¼¼ µ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼¼ ½¼³¼¼¼ µ ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ µ ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ Ù ¾ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò ½¾ Ð Ö Ö º µ a = 5 d = 3 µ a = 5 a 6 = 45 µ a 7 = 0 a 5 = 44 Ò µ Ù ¾ Ï Ú Ð Ð Ö Ö,,3,... ÑÙ Ñ Ò a ÒÒ Ò Ñ Ò¹ Ø Ò Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ö Ð ½¼¼¼¼ Ö ÐØ Ò Û ÐÐ Ù ¼ Ò Ø a n := 0 nº Ö Û Ð n N ÐØ s n 000 Ù ½ ÁÒ Ò Ö Ø s 7 = 33 ÙÒ s = 378º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ dº Ì ÔÔ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò a ÙÒ d Ù Ø ÐÐ Òµ Ò Ù µ Ù ¾ Ò Ö Ø a = d = ÙÒ s n = 8º Ö Ò Ò Ë n ÙÒ a n º Ù Ò Ö Ø d = 3 ÙÒ a 7 = 50º Ö Ò Ò Ë s 7 º Ù Ð Ò Ò Ö ÒÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ð Öغ ÁÒ Ö ÙÒØ Ö Ø Ò Ë Ø Ð Ò ¼ Ð Òº Ï Ú Ð Ð Ò Ò Ò ÑØ Ù Ò Ò Ö È ÖØÝ Ø Ø Ö Ñ Ø Ñ Òº Ö Ð Ò Ò Ð Ö ½¾¼ Šк Ï Ú Ð È Ö ÓÒ Ò Ò Ò Ö È ÖØÝ Ù ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò n Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ø ½ Å Ð Ó ÖÓ Û Ö Ø Ö Ð Òº Ö Ò Ò Ë nº

27 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ù ¾ µ =? Ä ÙÒ Ò Ö Ø Ñ Ø Ê Ò Êµ Ò Ö a n := nº a =,a = 4,a 3 = 6,...,a = s = (a +a 5 000) = (+0 000) = º µ =? Ò Ö a n := n+98º a = 00,a = 0,a 3 = 04,...,a 495 = 0 000º Ö ÒÙÒ ÁÒ Ü 495 n+98 = Ù Ò Ò nº n = 495µ s 495 = 495 (a +a 495 ) = 495 ( ) = º µ =? Ò Ö a n := n+997º a = 999,a = 00,a 3 = 003,...,a 450 = 9999 s 450 = 450 (a +a 450 ) = 450 ( ) = µ =? Ò Ö a n := 7n+70º a = 77,a = 84,a 3 = 9,...,a 0 = 7777 s 0 = 0 (a +a 0 ) = 0 ( ) = Ù ¾ µ a = a +( )d = 5+( 3) = 9 s = (a +a ) = 6(5+9) = 46 µ a 6 = a +5d 45 = 5+5d d = º a = a +d = 5+ = 7. s = (a +a ) = 6( 5+7) = 6 µ a 5 = a 7 +(5 7)d 44 = 0+8d d = 3º a = a 7 +( 6)d = 0 6 3= º a = a +( )d = + 3=35 s = (a +a ) = 6(+35) = Ù ¾ s n = n (a +a n ) = 0 000º a = a n = n Ò ØÞ Ò n (+n) = n + n = n + n = 0 TR n = 4.9,n = 40.9º ÁÒ Þ Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ò ÓÑÑØ n Ò Ø Ò Ö º n = 4 Ù ¼ Ö Î Ö ØÒ Ò ÐØ a n > 0 Ö n 50 ÙÒ a n < 0 Ö n > 50º Ð Ø ÓÐ (s n ) Û Ò Ö n 50 ÙÒ ÐÐ Ò Ö n > 50º

28 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ s n = 000 n (a +a n ) = 000ºa = 99,a n = 0 n Ò ØÞ Ò n (99+0 n)= 000 n (00 n) = 000 n(00 n) = = n 00n+000 TR n = 7.6,n = 7.4 n = 8,n = 7 8 n 7 Ù ½ s 7 = 7 (a +a 7 )º a 7 = a +6d Ò ØÞ Ò s 7 = 7 (a +6d) = 7a +dº Ò Ù Ó s = (a +a )º a = a +d Ò ØÞ Ò s = 6(a +d) = s = a +66dº s 7 = 33 ÙÒ s = 378 Ò ØÞ Ò Ð ÖØ Ð Ò Ö Ð ÙÒ ØÝ Ø Ñ 33 = 7a +d 378 = a +66d TR a = 4,d = 5 Ù ¾ s n = n (a +a n ) a n = a +(n )d = +(n ) = n º a n ÙÒ s n = 8 ÙÒ a = Ò Ó Ð ÙÒ Ò ØÞ Ò 8 = n ( +n ) 8 = n n = 6 n = ±4º 4 ÓÑÑØ Ð ÁÒ Ü Ò Ø Ò Ö n = 4 º Ç Ò Ò ØÞ Ò a 4 = 4 = 7 Ù a 7 = a +(7 )dº Ð Ò Ò ØÞ Ò 50 = a +6 3 a = º s 7 = 7 (a +a 7 ) = 7 (+50) = 44 Ù = 70 (+70) = 485 Ù Þ Ò n ÒÞ Ð È Ö ÓÒ Ò Ò Ö È ÖØݺ Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò ÈÖÓÞ Ó ÚÓÖ Ò È Ö ÓÒ Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ó n Å Ð ÙÒ ØÞØ Ò Ð Ò Û Ö Òº ÒÒ Ø Ø Ò Ø È Ö ÓÒ Ù ÙÒ Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ò È Ö ÓÒ Ò Ò Ð Ó n Å Ð ÙÒ ØÞØ ÒÒ Û Ö Òº Ò Ø È Ö ÓÒ Ø Ø Ñ Ø n 3 È Ö ÓÒ Ò Ò Ù Ûº Ð ØÞØ È Ö ÓÒ Ù Ø Ø Ø Ø ÒÓ Å Ð Òº ÁÒ ÑØ Ð Ò ÐØ Ð Ó (n ) Šк Ø Ò Ê Ñ Ød = a = ÙÒ a n = n º Ð Ó Ø ËÙÑÑ s n = n (a +a n ) = n (+n )= n nº Ð Ò ÐØ ½¾¼ Å Ð Ð Ó Ø n n = 0º (n )n = 40 n n 40 = 0 n = 5,n = 6º n ÒÒ Ò Ø Ò Ð Ó Ò n = 6 È Ö ÓÒ Òº Ù n = 5n n ( + n) = 5nº Ù Ò Ò n n 9n = 0 n(n 9) = 0 n = 0,n = 9º Æ ÙÒ Ö Ö Ò Ø ÓÒ ÚÓÒN Ø0 / Nº n = 9

29 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä º½ Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¼Ä Ò ÓÐ (a n ) Ø ÓÑ ØÖ ÓÐ µ Û ÒÒ Ò q R Ø Ñ Ø a n = a n q. q Ø Ö ÉÙÓØ ÒØ Ö ÓÐ º Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ Æ Ñ Ò ÁÒ Ò Ö Ø Ö ØÖ ÓÐ Ò Ð Ó¹ Ñ ØÖ Å ØØ Ð Ò Ö Ò Æ Ö Ð Ö a n = a n a n+ Ò ÙÒ Ò Ò (a n ) Ï Ö Û Ö Ò ÒÙÖ ØÖ Ø Ò Ö Ò a n = 0 Ø ÏÖ Ò ÒÞ a n = 0 Ó ÛÖ Ò Û Ò a n = a n q Ù ÐÐ Ò ÖÒ a n = 0º (a n ) Ø ÒÒ Ò Ñ Ø d = 0µº Ò Ù Ó Û Ö Ò Û Ö q ÚÓÖ Ù ØÞ Ò ÒÒ Ö q = Ð Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ ÚÓÖ º º Û ÖÙÑ Ò Ñ Ø d = 0µº Ô Ð ¾ ½ ¾ ººº Ø Ò Ñ Ø q = º º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¾Ä Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ñ ÉÙÓØ ÒØ Ò q ÐØ Û a n = a q n a a q a 3 a q = (a q) q = a q a 4 a 3 q = (a q ) q = a q 3 a 5 a 4 q = (a q 3 ) q = a q 4 a n a q n Ô Ð ½ Ò Ø Ò ÙÖ a := a = 8º Ö Ò Ò Ë a 0 º a = a q 8 = q q = 3 a 0 = a q 9 = ( 3 )9 = Û a n a n+ = q an qan = a n = an

30 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ç ÓÖÑ Ð ÒÒ Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒ Ñ Ò Ö ÓÖØ Ð ÙÖ Ò ¹ Ð Ð k N Ö ØÞ Òµ Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ñ ÉÙÓØ ÒØ Ò q ÐØ a n = a k q n k Ñ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ð ÐØ k,m N Ò ÓÒ Ö Ö k Ð Ó Ù Ö Ö Ò Ð n Û µº Û a k+ = a k q a k+ = a k+ q = (a k q)q = a k q a k+3 = a k+ q = (a k q )q = a k q 3 a k+4 = a k+3 q = (a k q 3 )q = a k q 4 = = a n = a k+(n k) = a k q n k Ù Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò a k Ð ÖØ a k = a n q k n Û Þ Ø k Ù Ö Ö Ò Ö Ð nº Ô Ð ½ ÁÒ Ò Ö Ø a 9 = 4 ÙÒ a = 50º Ö Ò Ò Ë a 89 º q = a 89 = a = a 9 q 9 50 = 4q 50 4 = q q = ±. a 89 = a q 89 = =

31 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¼ Ù Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò µ Ù Ä Ø Ò ÚÓÖ µ Ð Ò Ò Ò Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ö µ,.,.,.33 µ 0., 0.,0.4, 0.8 µ 4,8, µ,, 4, 8 Ù a 000 Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë ½¼¼¼º Ð Ö º µ 8,8.5,... µ 6,,... Ù ÓÐ Ò Ð Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ù Ø Ð º µ a 4 = 0 a = 40 a 8 =? µ a 4 =. a 8 = a 5 =? Ò Ø Ñ Ù Ù Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒµ µ a 7 = 00 a 0 =.5 a 8 =? Ù ¼ ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Òµ Ò Ë Ò ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÙÒ Ö Ò Ò Ë Ù Ø Ð º µ a 4 = 7 q = 0.3 a 7 =? µ a 5 =.7 q =.3 a 0 =? Ò Ø Ñ Ù µ µ a 6 = 00 a = 50 a 5? Ò Ø Ñ Ù µ Ù ½ Ï Ú Ð Ð Ö Ö 8,9,... Ò Ð Ò Ö Ð 0 Ù ¾ Ï Ú Ð Ð Ö Ö 000,999,... Ò Ö Ö Ð Ù Ï Ú Ð Ð Ö Ö,.,... Ð Ò ÞÛ Ò 000 ÙÒ Ù Û Ò 5 ÙÒ 5 Ò ¾ Ð Ö Ó ÒÞÙ Ò Ò ÒØ Ø Øº Ù ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÚÓÒ µ µ (a n ) Ò º Ò Ë Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ï ØÙÑ ÙÒ Ø ÓÒ f(t) = ab t Û Ð ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ º º Ö f(n) = a n n N Ðغ µ Ð Ò Ô Ð ÞÙ µ Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f Ò Û Ð,3,... ÒØ ÖÔÓÐ Öغ Ù ¾¼³¼¼¼ Öº Û Ö Ò Û Ö Ò ½ Â Ö Ò ÞÙ 6% Ò Ð Øº Ù Û Ð Ò ØÖ Û Ø Ã Ô Ø Ð Ò Ö Ø Òº Ù ËØÖÓÑÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÖÙ Ò Ö Ë Û Þ Ñ Â Ö ½ ¼ kwh Ñ Â Ö ½ kwhº µ Ö Ò Ò Ë Ñ ØØÐ Ö ÖÐ ÙÒ Ñ Ò ÈÖÓÞ ÒØ Ò µ Ö Ò Ò Ë ËØÖÓÑÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ñ Â Ö ¾¼½¼ ÙÒØ Ö Ö ÒÒ Ñ Ñ ØØÐ Ö ÖÐ ÙÒ Ñ Ò µ ÞÙØÖ Øº

32 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ½ Ù µ. =.. =.33. ja µ = = ja µ nein Ä ÙÒ Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò µ µ 4 nein Ù µ q = =.065 a 000 = a q 999 = = µ q = 6 = 0.75 a 000 = a q 999 = 6 ( 0.75) 999 = Ù µ a = a 4 q 8 40 = 0q 8 q = ±4 8 = ± 4 a 8 = a 4 q 4 = 0 (± 4) 4 = 0 = 0 µ a 8 = a 4 q 4 =.q 4 q = ±(. ) 4 = ± º a 5 = a 8 q 7 a 5 = (±0.9554) 7 = ±0.73 µ a 0 = a 7 q 3.5 = 00q 3 q = (.5 00 ) 3 = 0,5 º a 8 = a 7 q = 00 ( 0.5) = 50 Ù ¼ µ Æ Ö ÓÖÑ Ð a n = a k q n k Ø a = a 4 q 3 = = 000 º Ò Ö ÓÖÑ Ð a n = a q n µ a n = n º a 7 = = µ a = a 5 q 4 =.7 (.3) 4 = a n = (.3) n º a 0 = (.3) 9 = 6.3 µ a = a 6 q 5 50 = 00q 5 q = ( ) 5 = a = a 6 q 5 = = 00 a n = n º a 5 = = Ù ½ q = 9 8,a = 8 ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n = 8 ( 9 8 )n º a n = 0 8 ( 9 8 )n = 0 º Ù Ò Ò n ( 9 8 )n = 0 8 (n )ln( 9 8 ) = ln(0) ln( ) n = ln( 9 8 ) n = ln(0 8 ) ln( 9 8 ) + n = 7.9 n = 7 Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n = 000 ( )n º a n = 000 ( )n = ( )n = (n ) ln( 000 ) = ln( 000 ) n = ln( 000 ) n = ln( ) ln( 000 ) ln( ) + = n = 6905

33 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n =. n º µ Ò ÙÒ a n 000 a n = 000. n = 000 (n )ln. = ln000 n = ln000 ln. n = ln000 ln. + = 73.5º n = 74 Ø Ö Ð Ò Ø ÁÒ Ü Ñ Ø a n 000 µ Ò ÙÒ a n 0000 a n = Ò ÐÓ ÞÙ µµ n = ln0 000 ln. + = 97.6º n = 97 Ø Ö Ö Ø ÁÒ Ü Ñ Ø a n µ Ò ÙÒ Ò µ ÙÒ µ ÞÙ ÑÑ Ò a 74,...,a 97 Ò Ò Ù Ð Ö ÞÛ Ò ½¼¼¼ ÙÒ ½¼³¼¼¼º 4 ËØ Ù 5 = 5q 3 q = ( 5 5 ) 3 = 8 5 º a k = 5 ( 8 5 ) = 00 a k+ = 5 ( 8 5 ) = 30 Ù µ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Ö a n = a q n º f(t) = a q t ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ (a n )º Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö ÓÖÑ f(t) = ab t f(t) = a q qt º µ a =,q = 3 =.5 Ð Ò Ò µ Ò ØÞ Òµ f(t) = 4 3.5t Ù Ã Ô Ø Ð Ñ Ò ½º Â Ö a = Ã Ô Ø Ð Ñ Ò ¾º Â Ö a = Ã Ô Ø Ð Ñ Ò ½ º Â Ö a 5 = = Fr Ù µ Ñ Ø a = a 9 = º Ò ØÞ Ò Ò a 9 = a q = q 8 q = ( ) 9 8 =.056º ÖÐ ÙÒ Ñ Ø.56% µ ¾¼½¼ ÒØ ÔÖ Ø Ñ ÓÐ Ò Ð a 3 º a 3 = a q 30 = (.056) 30 = kwh

34 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä (a n ) Ò º ÙÖ n s n := i= Ò ÖØ ÓÐ (s n ) Ø ÓÑ ØÖ Ê Êµº a i Ô Ð (a n ) Ø Ò ÙÖ a n := 3 n º Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ò Ê (s n )º s = s = s 3 = s 4 = s 5 = a i = a = 3 = 6 i= a i = a +a = 6+3 = 8 i= 3 a i = a +a +a 3 = = 4 i= 4 a i = a +a +a 3 +a 4 = = 90 i= 5 a i = a +a +a 3 +a 4 +a 5 = = 86 i=

35 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ÍÑ s n Ò Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ø Ò ÓÖÑ Ð Ö Ò (a n ) ÙÒ Ö Ê (s n ) ÐØ s n = a q n q (q ) Û ÙÖ ÒÛ Ò Ò Ú ÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ Ö ÐØ Ñ Ò Ð ÙÒ (q n ) : (q ) = q n +q n +q n Ö Ù ÓÐ Ø s n = a +a +a a n = a +a q +a q +...+a q n = a (+q +q +...+q n ) = a qn q Ô Ð ½ ÙÑ Ó Ò Ô Ðµ (a n ) Ø Ò ÙÖ a n := 3 n º Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ð Öº q = a a = 6 = º s 5 = a q 5 q = 6 5 = 6 ( 5 ) = 86

36 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä Ù Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Êµ Ù Ò Ø,.5,...º Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò ½¼¼ Ð Öº Ò Ù µ Ù Ï Ú Ð Ð Ö Ö 5,6,... ÑÙ Ñ Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ò Û ÒÒ Ö ËÙÑÑ Ö Ö Ð Ò Å ÐÐ Ö = 0 9 µ Û Ö Ò ÓÐÐ Ù ¼ ÁÒ Ò Ö Ø a = ÙÒ a 0 = º Ö Ò Ò Ë s 3 Ù Ò Öص Ù ½ ÁÒ Ò Ö Ø s = 00 ÙÒ s = 0º Ö Ò Ò Ë s 6 Ù ¾ Ö Ò Ò Ë i= i +3 i Ù ÁÒ Ò Ö Ø a = q = 3 ÙÒ s n = 364º Ö Ò Ò Ë n ÙÒ a n º Ù ÁÒ Ò Ö Ø q = 0.5 ÙÒ s 8 = 85 3 º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ a 8 º Ù ÁÒ Ò Ö Ø a 3 =.5 ÙÒ s =.5º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ qº Ì ÔÔ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø ¾ Î Ö Ð Ò Ù Ø ÐÐ Òµ Ù Ë Ö Øص Ë Ò Ò Ë Ö ØØ ÚÓÖ Ð Òº Ë Ð Ò Ò Ê ÓÖÒ Ù Ö Ø Ð ÞÛ Ù ÞÛ Ø Ú Ö Ù Ö ØØ Ø Ù Ú ÖØ Ù Ûº Î Ö ÓÔÔ ÐÙÒ µ ÞÙÑ Ð ØÞØ Ò Ð ÆÖº º Ï Ð Ò Ò Ë Ø Ø Û ÒÒ Ë Ë ÙÒ Ò Ê ÓÖÒ Ð Ò Ù È Ö Ó ÐÙÒ Òµ ÙÖ Ò ÒÞ ÖÙÒ Ò Ò Ò À Ù Þ ÐØ Ò Ñ Ð Û Ö Ò ½¼ Â Ö Ò Û Ð Ñ Â Ö Ò Ò ¼¼¼ Öº Ù Ò ËÔ Ö Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ù 5%º Ï Ð ÙØ Ò ØÞØ Ñ Ð Ñ Ò Ö ½¼ Â Ö Ù ÎÓÒ Ò Ö ÒÒØ Ñ Ò s = 0 ÙÒ s = 9º Ö Û Ð n ÐØ s n > 99

37 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä Ä ÙÒ Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Êµ Ù s n = a q n q º s 00 = = = Ù s n = 0 9 q a n q = 09 5 (6 5 )n 6 5 = ( (6 5 )n = n ln 5 = ln(09 5 ) n = ln(09 Ù ¼ Ù Ö Ø q Ö Ò Ò a 0 = a q 9 = q 9 q = 9 º Ñ Ø Ö Ò s 3 s 3 = q3 q = ( 9) 3 Ù ½ Ù Ö Ø q Ö Ò Ò 9 = 0 9 ( 6 5 )n = n = 37.º n = 38 5 )n 5 5 ) ln 6 5 = = s = a q q º a = s = 00 ÙÒ s = 0 Ò ØÞ Ò 0 = 00 q q 0 = 00(q+) q = 4 5 º Ñ Ø Ö Ò s 6 q s 6 = a 6 q = 00 ( 4 5 )6 = Ù ¾ i= i +3 i = i= i + i= 3i = = Ö Ø Ð ÙÒ ÐØ Û Ò ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ Ö Ø ÓÒº Ù q s n = a n q º Ð Ò Ò ØÞ Ò 364 = 3n 3 3n = 78 nln3 = ln78 n = ln79 ln3 n = 6 º a 6 = a q 5 = 3 5 = 43 Ù q s 8 = a 8 85 q º Ð Ò Ò ØÞ Ò 3 = a ( 0.5) = a 85 8 a = 4 º a 8 = a q 7 = 4 ( )7 = 3 Ù a 3 = a q q s = a q.5 = a q q.5 = a q.5 = a q.5 = a (q +) I:II.5.5 = q q+.5(q +) = q.5 0 =.5q.5q.5 q = 0.6,q =.5º q Ò ØÞ Ò Ò Á.5 = a ( 0.6) a = 6.5º q Ò ØÞ Ò Ò Á.5 = a.5 a = º Ð Ó ÒØÛ Ö a = 6.5 ÙÒ q = 0.6 Ó Ö a = ÙÒ q =.5 Ù Ù Ñ Ö Ø Ò Ð Ø a = ÃÓÖÒ Ù Ñ ÞÛ Ø Ò a = à ÖÒ Ö Ù Ñ Ö ØØ Ò a 3 = 4 Ù Ñ Ú ÖØ Ò a 4 = 8 Ù Ûº Ø Ò Ñ Ø q = º s 64 = a q 64 q = 64 = 64 Ë ÙÒ Òº Ò = Â Ö Ù Ñ Ò Ò Ö Ø Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò ½¼ Â Ö Ò

38 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä Ã Ô Ø Ð º Ñ Ò Ò ÞÛ Ø Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò Â Ö Ò Ã Ô Ø Ð º Ñ Ò Ò Ö ØØ Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò Â Ö Ò Ã Ô Ø Ð º º º Ñ Ò Ò Þ ÒØ Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò ½ Â Ö Ã Ô Ø Ð º ½¼ ØÖ Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ö Ñ Ø q =.05º ÁÒ ÑØ Ø Ñ Ò Ò ½¼ Â Ö Ò Ð Ó Ã Ô Ø Ð K = = = Ù q s = a q s = a (q+)ºa = s = 0 ÙÒ s = 9 Ò ØÞ Ò 9 = 0(q+) q = 9 0 º q s n = 99 a n q = ( 0 )n 9 0 = 99 0 ( 9 0 )n = 99 00[( 9 0 )n ] = 0 99 ( 9 0 )n = ( 9 0 )n = 00 nln( 9 0 ) = ln 00 n = ln 00 n = ln n = 44

39 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ º½ º½º½ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ½ ½¾Äµ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ ¾Ä Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ ÙÒØ Ö Ù Ø Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ º Ô Ð ÚÓÒ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ï Ö Ò Ò Ï Ö Ð Ó Ö Ò Ö Å ÒÞ Þ Ò Ò Ö Ã ÖØ Ö Ò Ò Ð Ö ¹ º Ñ Ð Ò Ù Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ÙÒ Û Ö Ò Ó Ø Ñ Ø ω Þ Ò Øº Ô Ð Ñ Ï Ö ÐÒ Þ Ò Ø ω = 4 Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ò ¹ Û Ö ÐØ Û Ö º º½º¾ Ò Ø ÓÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ö Ö Ò Ö ÙÑ Ω Ò Ù ÐÐ ÜÔ ¹ Ö Ñ ÒØ Ø Å Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö ¹ Ò ωº Ô Ð Ñ Ï Ö ÐÒ ÐØ Ω ={,,3,4,5,6} Â Ñ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω ÓÖ Ò Ø Ñ Ò Ò Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ Ø p(ω) ÞÙº Ô Ð Ñ Ï Ö ÐÒ ÐØ p() = p() =... = p(6) = 6 º Ò Ö Ò Ö ÙÑ Ω Ñ ¹ Ñ Ð Ñ ÒØ ω Ò Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö¹ ÒÐ Ø p(ω) 0 ÞÙ ÓÖ Ò Ø Û Ö Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ ÐÐ ω Ωp(ω) = ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö¹ Û Ö ÒÐ Ø Ò Ø ½µ Ç Ω Ø Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ p(ω) = p()+...+p(6) = = ω Ω

40 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ò Ö Ò A Ø Ò Ì ÐÑ Ò ÚÓÒ Ωº Ñ Ö ÙÒ Ö Ò Û Ö Ò Ñ Ø ÖÓ Ù Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ñ Ø ÃÐ Ò¹ Ù Ø Ò Þ Ò Øº Ô Ð A Ö Ò Ñ ÒÑ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ð Ó Ö Ö Û Ö ÐØ Û Ö º ÒÒ ÐØA = {3,4,5,6}º Ï Ö ÒÐ ØP(A) Ò Ö¹ Ò A Ω Ø P(A) = ω Ap(ω) ËÙÑÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ ¹ Ø Ò ÚÓÒ µ ÁÒ ÓÒ Ö ÐØ P(Ω) = Ö Ö Ò µ ÙÒ Ñ Ò Ú Ö Ò ÖØP( ) =0 ÙÒ¹ Ñ Ð Ö Ò µº Ô Ð ½ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ñ Ó Ò Ô Ð Ñ ÒÑ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ð Ó Ö Ö Û Ö ÐØ Û Ö P(A) = p(3)+p(4)+p(5)+p(6) = 4 6 = 4 6 = 3 A Ç Ò ØÐ ÐØ Ö P(A) = ÐÐ p(ω) Ò Ð Ò Ï ÖØ Òº Ω Ë Ò Ò Ò Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ Ø Ò p(ω) Ð ÖÓ Ó ÐØ Ö Ö Ò A Ω P(A) = A Ω ËÓÐ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ Ñ Ø ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ Ø Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÊÙÑ º

41 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¼ Ù Ò ½ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ Ù Ð Ö µ Ò Ð Ö Ø Ò ½¾ Ð ÃÖ ØÓÖ Ò Ò Ø ÐØ Û Ð ÚÓÒ ½ ½¾ ÙÖ ¹ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò º Û Ö ÒÑ Ð Ö Øº µ Ë Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö¹ Ò ÞÙ Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÒÐ Ø Òº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ø Ð µ Ö Ö Ð Ø µ ÙÒ Ð ½¾ Ø µ Ð Ò Ö Ð Øº Ù ¼ ÓÒ ÓÒ ¹ Ó µ ÁÒ Ò Ö ÓÒ ÓÒ ¹ Ó Ò Ò ËÓÖØ Ò ÓÒ ÓÒ ½¾ Ö Ö¹ ÓÒ ÓÒ ½ À Ñ Ö¹ ÓÒ ÓÒ ÙÒ ¾ È ÖÑ ÒÞ¹ ÓÒ ÓÒ º ØÞ Ò ÑÑØ Ó Ò ÒÞÙ Ù Ò Ò ÓÒ ÓÒ Ö Ù º µ Ë Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö¹ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Òº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ö¹ ÓÒ ÓÒ Ò À Ñ Ö¹ ÓÒ ÓÒ ÞÛº Ò È ÖÑ ÒÞ¹ ÓÒ ÓÒ ÖÛ Ø º Ù ½ Ð Ö µ Ö Ñ Þ Ò Ø Ò Ð Ö Ø Ð Ö Ò Ò ÎÓ Ð ÓÔÔ ÐØ Ó ÖÓ Û Ö Ò Ò ÃÓÒ ÓÒ ÒØ Òº Ê Û Ö ÒÑ Ð Ö Øº Ò µ Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò º µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ð Ö Ò Ñ ÎÓ Ð Ø Ò Ð Øº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ÃÓÒ ÓÒ Ø Òº Ù ¾ Û Ö Å ÒÞÛÙÖ µ Û Å ÒÞ Ò Û Ö Ò Ð Þ Ø ÛÓÖ Òº Â Þ Ø ÃÓÔ Ó Ö Ð Òº µ Ë Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ p(ω) Ò ω Ωº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÞÛ Ñ Ð ÃÓÔ Ó Ö ÞÛ Ñ Ð Ð ÐÐغ µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ò Ø Ò ÒÑ Ð ÃÓÔ ÐÐغ Ù Â ÖØ Òµ ÎÖ Ò Þ Ø Ù Ò Ñ Â ÖØ Ò¹ËÔ Ð Ã ÖØ Ò Ö Òµ Ò Ã ÖØ º Å Ø Û Ð¹ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Þ Ø µ Ò Ð µ Ò Ò Ç Ö Ó Ö Ã Ò µ ÊÓ Ò¹ µ Ò Ð Ó Ö Ò Æ ÙÒº Ù ÓÖÑ Ð Ù µ Ò Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ñ Ø P(A B) = 4 5 P(A B) = 5 4 P(A B) = 5 º Ö Ò P(A) P(B) P(A B) P(A B)º

42 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ½ Ä ÙÒ Ò ½ Ù µ Ω := {,,3,4,5,6,7,8,9,0,,} p(ω) = ω Ω µ µ A := {6,7,8,9,0,,} P(A) = A Ω = 7 µ B := {,,3,4,5,6,7,8,9,0,} P(B) = B Ω = µ C := {,,3,4,5,6,7,8} P(C) = C Ω = 8 = 3 Ù ¼ µ Ω := {e,e,e 3,...,e,h,h,h 3,...,h 6,p,p,p 3,...,p 3} p(ω) = 60 ω Ω µ E := {e,e,e 3,...,e } P(E) = E Ω = 60 = 5 H := {h,h,h 3,...,h 6} P(H) = H Ω = 6 60 = 4 5 P := {p,p,p 3,...,p 3} P(P) = P Ω = 3 60 = 8 5 Ù ½ µ Ω := {a,b,s,r,e,n} p(a) = p(e) = 4 p(b) = p(s) = p(r) = p(n) = 8 Ø Ö Ø Ù ÛÓ Ω Ò Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑ Øºµ µ V := {a,e} P(V) = p(a)+p(e) = = µ K := {b,s,r,n} P(K) = p(b)+p(s)+p(r)+p(n) = 4 8 = Ù ¾ µ Ω := {kk,kz,zk,zz} p(ω) = 4 ω Ω µ A := {kk,zz} P(A) = A Ω = 4 = µ B := {kk,kz,zk} P(B) = B Ω = 3 4 Ù Ω = 36 µ A := Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ð Þ Ø A = 9 P(A) = A Ω = 9 36 = 4 µ B := Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ò Ç Ö Ó Ö Ã Ò Þ Ø P(B) = B Ω = = 9 µ C := Ö Ò ÎÖ Ò ÊÓ Ò¹ Þ Ø P(C) = C Ω = 36 µ D := Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ð Ó Ö Ò Æ ÙÒ Þ Ø P(D) = D Ω = = 7 9 Ù A B A B A B A B ÒÙÒ µ P(A) = P(A B)+P(A B) = = µ P(B) = P(Ω) P(B) = P(Ω) [P(A B)+P(A B)] = [ 4 + ] = µ P(A B) = P(A B)+P(A B)+P(A B) = = µ P(A B) = P(A B) = P(Ω) P(A B) = c) 4 = 5 5

43 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¾ º¾ º¾º½ Å Ö ØÙ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾Ä Ô Ð Ò ÞÛ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô Ð ½ Ö ØÞ ÙÒ ÎÖ Ò ÐÓ Ò Ù Û Ö Û Ò ÑÙ º ÞÙ Ú ÖÛ Ò Ò ¾ Ì Ô ÞÙ ÑÑ Ò Ð Ù ÙÒ Û ÃÙ ÐÒ ÒØ ÐØ Òº ½ ¾ ÎÖ Ò Û ÐØ Ñ Ø Ú Ö ÙÒ Ò Ò Ù Ò Ò Ò ÌÓÔ Ù ÙÒ Þ Ø Ò Ð Ò Ò Ã٠к Á Ø Ð Ù Ø ÛÓÒÒ Òº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û ÒÒØ Ω := {w,b,w,b} º º ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = b ÎÖ Ò Ö ¾ ÒØ ¹ Ø ½º ËØÙ µ ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ù Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Ø ¾º ËØÙ µº A := {b,b} = Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Øº P(A) = p(b)+p(b) = = = = 7 40

44 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ º¾º¾ ÙÑ Ö ÑÑ Ö Û ÐÐ µ ½ 6 0 Å Ö ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ö Ò Ó Ø Ñ Ø Ó Ò ÒÒØ Ò ÙÑ Ö ÑÑ Ò Ö ¹ Ø ÐÐØ ¾ Ð Ù Û Ð Ù Û ÃÙ Ð ÃÙ Ð 3 4 ½º ËØÙ Ï Ð ¾º ËØÙ Ï Ð Ö ÃÙ Ð ÎÖ Ò Þ Ø Ò Ð Ù ÃÙ Ð Ñ Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø p = = = 7 40 ÙÒ Ò Û ÃÙ Ð Ñ Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø p = = = 3 40 Ó ØÙÒ È Ö ÐÒµ È ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ð Ï Ö ÒÐ Ø Ò ÐÒ Ò È Û Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Þ Öغ È Ø ÓÒ Ö Ð Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ú Ö Ò Ö È Û Ö Ò Öغ

45 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ò ¾ Å Ö ØÙ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù À ÐØ Ö Ò Ò Ð ÑÙ Ò Ò Ñ Ø ÑÑØ Ò Ì Ò Ö Ö Ä Ø ÞÙ Ö Ñ À Ù Ò Ù ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Òº ÞÙ Ò Ø Ø À Ð Ö Ð º Á Ø À ÐØ Ö Ò Ò Ò Ñ Ì ÙØ Ð ÙÒØ ØÖ Ø Ñ Ø ± Ï Ö ÒÐ Ø ÞÙµ ÓÖ Ø Ö Ð Ñ Ø ¼± Ï Ö ÒРغ Á Ø À ÐØ Ö Ò Ò Ò Ø ÙØ Ð ÙÒØ ÓÖ Ø Ö ÒÙÖ Ñ Ø ¾¼± Ï Ö ÒРغ Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ØÖ Ø Ö Ð Ä Ø Ñ Ø ÑÑØ Ò Ì Ù Å Ü ÙÒ ÅÓÖ ØÞ Û Ö Ò Û ÐÙÒ Û Ù Ò Ò ÐØ Ò ÐÙÑ Ò¹ ØÓÔ º Â Ö Û Ö Ø ÞÛ Ñ Ðº Å Ü ÒÒغ Å Ü Þ Ö Ø ÖØ Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Ò Ñ ÏÙÖ Ñ Ø ¾¼± Ï Ö ÒÐ Ø ÅÓÖ ØÞ Ñ Ø 30%º Ò Þ Ö Ø ÖØ Ö ÌÓÔ ÙØ Ø Ò Ø ÖÐ Ò ËÔ Ð ºµ µ Ï ÖÓ Ø ÖÐ Ò Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Ñ ËÔ Ð µ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø ÅÓÖ ØÞ Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Þ Ö Ø ÖØ µ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø Å Ü Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Þ Ö Ø ÖØ Ù ÒÒ ÙÒ Ö Ö Û Ö ÐÒ ÒÑ Ð Ñ Ø Ò Ñ Ö ÙÐÖ Ò ËÔ ÐÛ Ö Ðº ÒÒ ÒÒغ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ð µ Ð Ö ÚÓÒ ÒÒ Ø µ Ð Ò Ö Ð ÚÓÒ ÒÒ Ø µ Ö Ö Ð ÚÓÒ ÒÒ Ø Ù ÁÒ Ò Ñ Ò Ò ÖÓØ ÙÒ Ð Ù ÃÙ ÐÒº Ö Ò Þ Ø Ò ÃÙ Ð ÒÓØ ÖØ Ö ÙÒ Ð Ø ÞÙÖ Ë Ø º Ò Ð Ò Þ Ø Ö Ò ÞÛ Ø Ã٠к Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÞÛ Ø ÃÙ Ð ÖÓØ Øº Ù ÁÒ Ò Ñ Ò Ò ÖÓØ ÙÒ Ð Ù ÃÙ ÐÒº ÍÖ Þ Ø Ö ÃÙ ÐÒ Ó Ò ÙÖ Ð Òº Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö µ ÖÓØ ÃÙ ÐÒ Þ Øº µ Ð Ù ÃÙ ÐÒ Þ Øº µ ¾ ÖÓØ ÙÒ Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Øº µ ¾ Ð Ù ÙÒ Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº Ù ¼ ÁÒ Ò Ö Ë Ø Ð Ð Ò ½¼ Ù ÖÐ Ò Ø ÙÒØ Ö Ö Ð Ö¹ Ò Òº Ò Ù ÞÛ Ö Ð ÖÒ Ò Ò ÐÐ Ö Ò Øº Ò ÒÙÒ ÐÓ È Ö ÓÒ Ò ÑÑØ ÞÛ Ð ÖÒ Ò Ù Ö Ë Ø Ðº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø µ Ò Ð ÖÒ Ò ÒÞ µ Ò Ð ÖÒ Ò Ø µ Ø Ò Ù Ò Ð ÖÒ Ø Ù ½ Ã Ö Ò ØÖ Ø Ò ÃÓÖ Ñ Ø ÐÐ Ô Ð ÔÖÓ ÏÙÖ Ñ Ø ¼± Ï Ö¹ ÒРغ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ï Ö Ò µ Ð ÙØ Ö ÌÖ Ö ÖÞ Ðغ µ Ñ Ò Ø Ò ¾ ÌÖ Ö ÖÞ Ðغ Ù ¾ Ì Ñ Û Ö Ø Ö Å ÒÞ Ò Ð Þ Ø ÌÓÑ ÒÙÖ ÞÛ º Ï ÖÓ Ø Ï Ö Ð Ø ÌÓÑ Ñ Ö Å ÒÞ Ò ÃÓÔ Þ Ò Ð Ì Ñ

46 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ä ÙÒ Ò ¾ Ω := {gf,gn,sf,sn}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω := gn À ÐØ Ö Ò ÙØ Ð ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò Ø ÓРѺ A := {gf,sf} Ω Ø Ö Ò Ö Ð ÓРغ Ù P(A) = p(gf)+p(sf) = = 0.5 Ω := {t,nt,nnt,nnnt,nnnn}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω := nnt Ö Ø Ò Ò Ï Ö Ò ÌÖ Ö Ò ÙÒ Ö Ö ØØ Ö ÌÖ Öº º º Å Ü ØÖ Ø Ò Ò Ñ ÞÛ Ø Ò ÏÙÖ ºµ µ A := {nnnn} = Ö Ò Ö ÌÓÔ ÖÐ Ø P(A) := p(nnnn) = = µ B := {nt,nnnt} = Ö Ò ÅÓÖ ØÞ Ò ÌÓÔ Þ Ö Ø ÖØ P(B) = p(nt)+p(nnnt) = = µ C := {t,nnt} = Ö Ò Å Ü Ò ÌÓÔ Þ Ö Ø ÖØ P(C) = p(t)+p(nnt) = = 0.3 Ù Ω := {,,3,...,64,65,66} ÒØ ÐØ Ð Ñ ÒØ º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = 5 ÒÒ Û Ö Ø ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ö ¾º Ø Ò Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑ Ñ Ø p(ω) = 36 ω Ωº µ A := {,,33,44,55,66} P(A) = A Ω = 6 36 = 6 µ B := {,3,3,4,4,43,5,5,53,54,6,6,63,64,65} P(B) = B Ω = 5 36 = 5 µ C := {,3,4,5,6,3,4,5,6,34,35,36,45,46,56} P(C) = C Ω = 5 36 = 5 Ù Ω := {rr,rb,br,bb}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = br Ö Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ð Ù ÙÒ Ò Ð Ò Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº Ã Ò Ä ÔÐ ¹ Ê Ùѵ A := {rr,br} = Ö Ò ÞÛ Ø ÃÙ Ð ÖÓØ Øº P(A) = p(rr) +p(br) = = = 56 = 3 8 Ù Ω := {rrr,rrb,rbr,brr,rbb,brb,bbr,bbb}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö¹ Ò ω = rbr ÍÖ ÞÙ Ö Ø Ò ÖÓØ ÒÒ Ò Ð Ù ÙÒ Ñ Ë ÐÙ Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº Ã Ò Ä ÔÐ ¹Ê Ùѵ

47 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ µ A := {rrr} = Ö Ò ÍÖ ÖÓØ ÃÙ ÐÒ Þ Øº P(A) = = 56 µ B := {bbb} = Ö Ò ÍÖ Ð Ù ÃÙ ÐÒ Þ Øº P(B) = = 5 8 µ C := {rrb,rbr,brr} = Ö Ò ÍÖ ÞÛ ÖÓØ ÙÒ Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Øº P(C) = p(rrb)+p(rbr)+p(brr) = = 5 56 µ D := {rbb,brb,bbr} = Ö Ò ÍÖ ÞÛ Ð Ù ÙÒ Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº P(D) = p(rbb)+p(brb)+p(bbr) = = 5 8 Ù ¼ Ω := {dd,dg,gd,gg}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = dg È Ö ÓÒ ÞÙ Ö Ø Ò Ø ÖÒ Þ Ø ÙÒ Ò Ð Ò Ò ÒÞ º µ A := {gg} = Ö Ò Ð ÖÒ Ò ÒÞ Ò P(A) = p(gg) = = 8 45 µ B := {dd} = Ö Ò Ð ÖÒ Ò Ø Ò P(B) = p(dd) = 0 9 = 45 µ C := {dg,gd} = Ö Ò Ò Ù Ò Ð ÖÒ Ø Ø P(C) = p(dg)+p(gd) = = 6 45 Ù ½ Ω := {ttt,ttn,tnt,ntt,nnt,ntn,tnn,nnn}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ ¹ Ö Ö Ò ω = tnt Ã Ö Ò Ñ Ö Ø Ò Ë Ù ØÖ Ø Ñ ÞÛ Ò Ò Ø ÙÒ Ñ Ö ØØ Ò Û Ö ØÖ Øº µ A := {ttt} = Ö Ò Ã Ö Ò ÐÐ Ò Ë Ò ØÖ Ø P(A) = p(ttt) = = 0.5 µ B := {ttt,ttn,tnt,ntt} = Ö Ò Ã Ö Ò Ñ Ò Ø Ò ¾ ÌÖ Ö ÖÞ ÐØ P(B) = p(ttt)+p(ttn)+p(tnt)+p(ntt) = = Ù ¾ Å Ð Ø Ò Ö Ì Ñ kkk,zkk,kzk,kkz,kzz,zkz,zzk,zzz Å Ð Ø Ò Ö ÌÓÑ kk,zk,kz,zz Ï Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ ÚÓÖ ÞÙ Ö Ø Ì Ñ Û Ö Ø ÙÒ ÒÒ ÌÓÑ Ç ÒØ Ö Ò Ò Ö Û Ö Ò Ó Ö Ð Þ Ø Ô ÐØ Ö Ò ÊÓÐÐ ºµ Ω := {(kkk,kk),(kkk,zk),(kkk,kz),...,(zzz,zz)} Ø Ø Ù ÐÐ Ò 8 4 = 3 ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ð Ø Ò Ñ Ø Ï Ö Ò ÚÓÒ Ì Ñ ÙÒ ÌÓѺ Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑ Ñ Ø p(ω) = 3 ω Ωµ ÌÓÑ Ñ Ö ÃÓÔ Û Ö Ø Ð Ì Ñ Ø ÒÙÖ Ñ Ð Û ÒÒ Ì Ñ Ø Ò Ò Å Ð ÃÓÔ Û Ö Ø A := {(zzz,kk),(zzz,zk),(zzz,kz),(kzz,kk),(zkz,kk),(zzk,kk)} Ö Ò ÌÓÑ Ñ Ö ÃÓÔ Û Ö Ø Ð Ì Ñ P(A) = A Ω = 6 3 = 3 6

48 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ º Ò Ö Ò ¾Ä A Ω Ò Ö Ò º ÒÒ Ø A := Ω\A Ò Ö Ò ÚÓÒ Aº Ω A A P(Ω) = P(A)+P(A) = P(A)+P(A) P(A) = P(A) P(A) = P(A) Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ð Ø Ð Ó Ù Ö Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ö Ò Ö Ò Òº ÒÒ Ñ Ò ÞÙ ÆÙØÞ Ñ Ò Û ÒÒ Ö Ø ¹ Ö ÒÙÒ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ù ÛÒ Ö Ø Ð ÚÓÒ P(A)

49 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ô Ð ½ À Ò Û Ö ÐØ Ñ Ð ÒØ Ö Ò Ò Öº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û Ö ÐØ Ö Ñ Ò Ø Ò Ò Ω := {000,00,00,00,0,0,0,} º º ÙØ Ø ω = 0 À Ò Ñ Ö Ø Ò ÏÙÖ Ò Û Ö Ø Ñ ÞÛ Ø Ò Ò ÙÒ Ñ Ö ØØ Ò Û Ö Ò º Ö ÒÙÒ Ó Ò Ò Ö Ò A := {00,00,00,0,0,0,} = Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ÞÙ Û Ö Òº P(A) = p(00)+p(00)+p(00)+p(0) +P(0)+p(0)+p() = 3 ( 5 6 ) 6 +3 ( 6 ) 5 = ( 6 )3 Ö ÒÙÒ Ñ Ø Ò Ö Ò A = {000} = Ö Ò Ò ÞÙ Û Ö Òº P(A) = P(A) = ( 5 6 )3 = 0.4 ÁÑ Ò Ø Ò Ô Ð Ø Ö ÍÒØ Ö Ê Ò Ù Û Ò Ñ Ø ÙÒ Ó Ò ¹ Ò Ö Ò ÒÓ Ú Ð Ö Öº

50 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ô Ð ¾¼ Ï Ó Ø ÑÙ À Ò Û Ö ÐÒ Ö Ñ Ø ± Ë Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò Ø A := Ö Ò Ñ Ò¹ Ò ÏÙÖ Ò ÞÙ Û Ö Ò A := Ò Ö Ò Ñ Ò¹ Ò ÏÙÖ Ò ÞÙ Û Ö Ò P(A) 0.98 P(A) P(A) 0.0 ( 5 6 )n ln0.0 ln[( 5 6 )n ] ln0.0 nln( 5 6 ) ln 0.0 ln( 5 6 ) n.46 n = n Ñ Ö ÙÒ ÁÑ Ð ØÞØ Ò Ô Ð ¾¼ Ò Û Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ò Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ù Ö Ò A ÙÒ A Ò Ø ÜÔÐ Þ Øº Ñ Ø Ñ Ò Ó Ø Þº º Û ÒÒ Ö Ë Ö Ù Û Ò ÖÓ Ø Û Öµº Ö Ò Ò¹ Ò ÏÙÖ Ø ÒÑÐ Ω := { }{{}, }{{}, }{{},...,...0 }{{},... }{{} } n n n n n A := Ω\{ } A = { } Ω ÒØ ÐØ n Ð Ñ ÒØ A ÒØ ÐØ n ÙÒ A Ò ÒÞ Ñ Ø Ö Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö¹ ÒÐ Ø p( ) = ( 5 6 )n

51 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¼ Ù Ò Ò Ö Ò Ù À Ò Þ Ø Å Ð ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò ÃÙ Ð Ù Ò Ö ÍÖÒ Û Ð ½ ÖÓØ ÙÒ Û ÃÙ ÐÒ ÒØ Ðغ Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Þ Ø Ö Ñ Ò¹ Ø Ò ½ ÖÓØ ÃÙ Ð µ Û ÒÒ Ö ÞÓ Ò ÃÙ Ð Û Ö ÞÙÖ Ð Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Þ Ø µ Û ÒÒ Ö ÞÓ Ò ÃÙ Ð Ø Ð Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Þ Ø Ù Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ó ÖÙÒ Ù Ö Ð ÞÙ ØÓ Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ø ±º Ö Û Ú Ð Ó ÖÙÒ Ò ÑÙ Ð Ö Ø ÐØ Ò Û Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø µ ± Ë Ö Ø Ð Ò Ò Û ÐÐ µ ± Ë Ö Ø Ð Ò Ò Û ÐÐ Ù Ï Ó Ø ÑÙ Ñ Ò ÞÛ Ö ÙÐÖ ËÔ ÐÛ Ö Ð Û Ö Ò Ñ Ò Ñ Ø ± Ë Ö Ø Ò ÓÔÔ Ð ÛÓÖ Ò Ø Ù Ò ÐØ Ò ÃÖ Ò Ø ØÖ ØØ Ñ Ø ¼º¼½± Ï Ö ÒÐ Ø Ù º Ò Å Þ Ò ØÙ ÒØ Ò Ø Ø Ö Ò ÖØ Ø ÓÒ Ò È Ö ÓÒ Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Øº Ï Ú Ð È Ö ÓÒ Ò ÑÙ Ö ÙÒØ Ö Ù Ò ÙÑ Ñ Ø ± Ë Ö Ø Ò È Ö ÓÒ Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Ø ÞÙ Ò Ò Ù ÁÒ Ò Ñ Ò Ò Û ÙÒ Ò Û ÖÞ Ã٠к µ Â Ñ Ò Þ Ø Ñ Ø ÞÙÖ Ð Ò ½¼¼¼ ÃÙ ÐÒº Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Û ÖÞ ÃÙ Ð Ò ÞÓ Ò Û Ö º µ Ï Ú Ð ÃÙ ÐÒ ÑÙ Ñ Ò Ñ Ø ÙÖ Ð Ò Þ Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø ± Ë ¹ Ö Ø Û ÖÞ ÃÙ Ð Þ Ò Û Ðк

52 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ½ Ä ÙÒ Ò Ù Ω := {rrr,rrw,rwr,wrr,rww,wrw,wwr,www}º A := {rrr,rrw,rwr,wrr,rww,wrw,wwr} A := {www} µ P(A) = P(A) = ( 7 0 )3 = = µ P(A) = P(A) = = = Ù P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø n Ó ÖÙÒ Ò Ù Ö Ð ÞÙ ØÓ Ò P(A) := 0.9 n = Ï Ö ÒÐ Ø n Ó ÖÙÒ Ò Ø Ù Ö Ð ÞÙ ØÓ Ò µ P(A) 0.95 P(A) P(A) n ln() n = 36 µ Ò ÐÓ ÞÙ µ n n = 56 Ù P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ï Ö Ò Ò ÓÔÔ Ð ÞÙ Û Ö Ò P(A) := ( )n = Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ï Ö Ò Ò ÓÔÔ Ð ÞÙ Û Ö Ò P(A) 0.95 P(A) P(A) 0.05 ( 35 n = 07 Ù P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Ø Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ù ØÖ ØØ P(A) := n = Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Ø Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ¹ Ò Ò Ø Ù ØÖ ØØ P(A) 0.99 P(A) P(A) 36 )n ln() n ln() n = Ù µ p = = µ P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö Û ÖÞ ÃÙ Ð Ò ÙÒ Ò ¹ ÞÓ Ò Û Ö P(A) := n = Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö Û ÖÞ ÃÙ Ð Ò ¹ ÙÒ Ò Ò Ø ÞÓ Ò Û Ö P(A) 0.99 P(A) P(A) n ln() n = 4603

53 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¾ º ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Ä Def : n! := 3... n 0! = n! Û Ö Ò ÙÐØØ Ù ÔÖÓ Òº ÙÐØØÞ Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ ÌÁ Ñ Ø Ò Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Û Ð Ò ÚÓÒ º ÈÖÓ Ð Øݺ Ô Ð 4! = 3 4 = 4 Ë ØÞ Å Ø Ò Ù Ø Ò Æ Ì ÒÒ Ñ Ò ( ) n n! := (k = 0,,,...,n) k k!(n k)! Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ n Ð Ò Û Ð Ò Ù Ø Ò Ì k Ñ Ð ÒØ ÐØ Òº ( n k) Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Òº Ô Ð ¾½ Ï Ú Ð Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò Ù Ø Ò Ì ÙÒ Æ Ð Ò Û Ð Ò Ù Ø Ò Ì Ò Ù ÞÛ Å Ð ÒØ ÐØ Ò Ù Þ Ð Ò ÌÌÆ ÌÆÌ ÆÌÌ Ê Ò Ò ( ) 3 = 3!!(3 )! = 3!!! = 6 = 3 Ô Ð ¾¾ ÖÓØ Ð Ù ÙÒ Û ÃÙ ÐÒ ÓÐÐ Ò Ù ½¾ ÈÐØÞ Ð Ø Û Ö Òº Ï Ú Ð ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø ( 5) Å Ð Ø Ò ÖÓØ Ò ÃÙ ÐÒ Ù ½¾ ÈÐØÞ ÞÙ Ú ÖØ Ð Ò ( Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø 7 ) 4 Å Ð Ø Ò Ð Ù Ò ÃÙ ÐÒ Ù Ö Ò ÈÐØÞ ÞÙ Ú ÖØ Ð Ò N = ( 7 ) 5) ( 4 =! 5!( 5)! 7! 4!(7 4)! = 7 70

54 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Û Ë ØÞ ½º Ë Ö ØØ Ù Ø Ò Ì Ò ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ï Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ò Ö ÚÓÖ ÙÒ Ö ØÐ Ò ÃÓÔ Ò Ù Ø Ò Ì T,T,...,T k Û Ð Û Ö ÚÓÒ ½ ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò ÙÒ Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ð Òº ÍÑ Ö Ø ÃÓÔ T ÞÙÐ Ò Ò Û Ö n Å Ð Ø Òº º T Ö Ö Ò Å Ð Ø Ò Ð Ò Ö ÞÛ Ø ÃÓÔ n Å Ð Ø Òº ÁÒ ÑØ Ø Ð Ó n (n ) Å Ð Ø Ò T ÙÒ T ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº º T T Ö Ö n(n ) Å Ð Ø Ò Ð Ò ÒÙÒ n Å Ð Ø Ò ÃÓÔ T 3 ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº ÁÒ ÑØ Ð Ó n(n )(n ) Å Ð Ø Ò T T ÙÒ T 3 ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº º T T T 3 ÍÒ Ó Û Ø Ö ÍÑ Ð ØÞØ ÃÓÔ ÞÙÐ Ò Ø n k + Å Ð Ø Òº ÁÒ ÑØ Ð Ó n(n )(n )...(n k +) Å Ð Ø Ò ÐÐ ÃÓÔ Ò T,...,T k Ù Ò Ò ÈÐØÞ Ò ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö n = 0 ÙÒ k = 3 ÒÒØ ÒÓÖ ÒÙÒ Þº º Û Ñ Ó Ò Ð Ù Ò Ø Ò ÚÓÒ = 70 Å Ð Ø Òº ¾º Ë Ö ØØ Ù Ø Ò Ì Ò Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ð Ó ÙÒÙÒØ Ö Öº Æ ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò ÃÓÔ Ò ÚÓÒ Ì Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö Öغ º º Û ÒÒ Û Ö Þº º T ÙÒ T Ú ÖØ Ù Ò Ò Ó Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ø Ñ Ò Ö ÒÓÖ ¹ ÒÙÒ Ñ Æ Ò Ò Ò Ø Òº Å Ø Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò Ì Ø Ð Ó Û Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ð Ò Ë Ö ØØ ½ Ö Ò Ø ÒÞ Ðº Å Ø Ò Ù Ò Ð Ò ÖÐ ÙÒ Ò Û Ò Ë Ö ØØ ½ Ø Ñ Ò k(k )(k )... 3

55 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Å Ð Ø Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò Ì ÙÒØ Ö Ò Ò Ö ÞÙ Ú ÖØ Ù Ò ÁÒ Ò Ò ÒØ ÖÒØ Ñ Ò ÐÐ T,...,T k ÚÓÒ Ö Ò ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Û Ð ÈÐØÞ Ð Ø Û Ö Ò ÙÒ Ú ÖØ ÐØ ØÞØ ÃÓÔ Ò Ò Ù Ù Ð Ò ÈÐØÞ Ö Ò Ð Ö Ê Ò ÓÐ µº Ö T Ø Ñ Ò k Å Ð Ø Ò Ö T k Ö T 3 k Ù Ûº Ö T k Ð Ø ÒÙÖ ÒÓ ½ ŠРغ º Ë Ö ØØ Ù Ë Ö ØØ ½ ÙÒ ¾ Ð Ø Ù Ø ÒÞ Ð Ö Ò Òº ÐÐ ÍÑÒÓÖ ÒÙÒ Ò Ò Ë Ö ØØ ¾ Ò Ø ÚÓÒ Ò Ò Ö ÙÒØ Ö Ö Ò Û ÒÒ Ì Ò Ø ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò ÓÐ Ø Ù Ò Ë Ö ØØ Ò ½ ÙÒ ¾ n(n )(n )...(n k +) k(k )(k )... 3 ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø Ö ÒØ Ò ÃÓÔ Ò ÚÓÒ Ì Ù Ò Ò ÈÐØÞ Òº º Ë Ö ØØ Ò Ì ÖÑ Ò Ë Ö ØØ Ò Ò Û Ò Ø Ò ÙÑ ÓÖÑ Òº ÞÙ ÖÛ Ø ÖØ Ñ Ò Ò Ì ÖÑ ÚÓÒ Ë Ö ØØ Ñ Ø Ñ ØÓÖ Ð Ó Ñ ØÓÖ (n k)! (n k)(n k )(n k )... 3, n(n )(n )...(n k +) k(k )(k )... 3 = n! k!(n k)! = ( ) n k

56 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ï Ú Ð Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½½ Ø ÒÙÖ Ù Ø Ò ÒØ ÐØ Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Å Ð ÒØ ÐØ Ò Ù Å Ò Ø ½¼ Ð Ñ ÒØ º Ï Ú Ð Ì ÐÑ Ò Ò Ñ Ø µ µ µ ½ µ ¼ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ù ¼ Û ÙÒ Û ÖÞ ÃÙ ÐÒ ÓÐÐ Ò Ù ÈÐØÞ Ú ÖØ ÐØ Û Ö Òº Ï Ú Ð ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø Ù ½ ÍÖ Û Ö Ø Ò Å ÒÞ ¼ Šк Ö ÐØ Ö ½ Å Ð ÃÓÔ º Ï Ú Ð Ú Ö Ò Ë ÕÙ ÒÞ Ò Ö ÄÒ ¼ ÒØ ÐØ Ò Ò Ù ½ Å Ð ÃÓÔ Ù ¾ Û Û ÖÞ ÙÒ Ð Ù ÃÙ ÐÒ ÓÐÐ Ò Ù ½ ÈÐØÞ Ú ÖØ ÐØ Û Ö Òº Ï Ú Ð ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø Ù Ï Ú Ð Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½ Ø ÒÙÖ Ù Ø Ò ÒØ ÐØ Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Å Ð ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Å Ð ÒØ ÐØ Ò Ù Ù Û Ú Ð ÖØ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ò ÄÓØØÓÞ ØØ Ð Ò Ö ÙÞ Ò ÙÑ Ò Ò ÄÓØØÓ¹ ¹ Ö ÞÙ ÖÞ Ð Ò

57 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù N = ( ) 4 =! 4!( 4)! = 330 Ù µ N = ( ) 0 3 = 0! 3!(0 3)! = 0 µ N = ( ) 0 7 = 0! 7!(0 7)! = 0 µ N = ( ) 0 = 0!!(0 )! = 0 µ N = ( ) 0 0 = 0! 0!(0 0)! = Ù ¼ N = ( ) 8 5 = 8! 5!(8 5)! = 56 Ù ½ N = ( ) 30 8 = 30! 8!(30 8)! = Ä ÙÒ Ò Ù ¾ Ø ( 3 6) Å Ð Ø Ò Û Ò ÃÙ ÐÒ ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ö Å ¹ Ð Ø Ò Ø ( 7 4) Å Ð Ø Ò Û ÖÞ Ò ÃÙ ÐÒ Ù Ò ÒÓ ÞÙÖ Î Ö¹ ÙÒ Ø Ò Ò ÈÐØÞ ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ð Ù Ò ÃÙ ÐÒ Ø Ñ Ò Ò Ï Ð Ñ Öºµ Ð Ó ( ) ( ) 3 7 3! N = = 6 4 6!(3 6)! 7! 4!(7 4)! = Ù Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò ½ Ö Ø Ø ÐÐØ ÈÐØÞ Ö Ù Ø Ò ÚÓÖ Ø ( 5 6) Å Ð Ø Ò ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 9 4) Å Ð Ø Ò Ú Ö Ù Ò ÒÓ Ö Ð Ò Ò ÈÐØÞ ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ò Ø Ñ Ò Ò Ï Ð Ñ Öºµ Ð Ó ( ) ( ) 5 9 5! N = = 6 4 6!(5 6)! 9! 4!(9 4)! = Ù Ñ ( Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ö ÙÞØ Ò ÄÓØØÓÞ ØØ Ð ÚÓÖº Ø 6 ) 5 Å Ð Ø Ò Ù Ò Ö Ø Ò Ö ÙÞØ Ò Ð Ò Ù ÞÙÛ Ð Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 39 ) Å Ð Ø Ò Ò Ö Ò Ø Ò Ö ÙÞØ Ð Ö Ù ÞÙÛ Ð Òº Ð Ó ( ) 6 N = 5 ( 39 ) = 6! 5!(6 5)! 39! = 6 39 = 34!(39 )!

58 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ô Ð ¾ Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÞ ÐØ Ñ Ò Ò Ò ÄÓØØÓ¹Ë Ö Ñ ÄÓØØÓ Ö ÙÞØ Ñ Ò Ð Ò Ò Ò Ñ Ð ÚÓÒ Ð Ò Òºµ Ω := Å Ò ÐÐ Ö Å Ð Ø Ò Ð Ò ÚÓÒ ÒÞÙ Ö ÙÞ Ò Ä ÔÐ ¹Ê Ùѵ A := Ö Ö Ø Ò Ö ÙÞØ ÄÓØØÞ ØØ Ð P(A) = A ( 45 Ω = 45! 6!(45 6)! 6) = = Ô Ð ¾ Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÞ ÐØ Ñ Ò Ò Ò ÄÓØØÓ¹ Ò Ö Ω := Û Ò Ô Ð ¾ A := Å Ò Ö Ñ Ð Ò ÄÓØØÓÞ ØØ Ð Ò Ò ¹ Ö ÖÞ Ð Òº A =? Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò Ö Ø Ò ¹ Ö ÙÞØ Ò ( ØØ Ð ÚÓÖ Ð Ò ÚÓÖº Ø 6 ) 5 Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò ÃÖ ÙÞ Ò Ù ¹ ÞÙÛ Ð Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 39 ) Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò Ò Ø Ò¹ Ö ÙÞØ Ò Ð ÖÒ Ò Ù ÞÙÛ Ð Òº A = ( 6 39 ) 5) ( = 6! 5!(6 5)! 39!!(39 )! = 34 P(A) = A Ω = Ò ÓÖÑ Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ø Þº º Ω := {a a...a 45 a i {0,} ÙÒ ÒÞ Ð a i Ñ Ø a i = Ø 6Ð

59 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ù Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÞ ÐØ Ñ Ò Ñ ÄÓØØÓ µ Ò Ò Î Ö Ö µ Ò Ò Ö Ö µ Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ö Ö Ù ÍÖÒ Ó Ò ÞÙÖ Ð Òµ Ò ÍÖÒ ÒØ ÐØ ½¼ ÃÙ ÐÒ Ñ Ø Ò Ð Ò ½ ¾ ººº½¼ ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò º Ö ØÞ Þ Ø ÃÙ ÐÒ ÙÒ Ð Ø Ò Ò Ò Ò Ö Òº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Þ Ø Ö ÃÙ ÐÒ µ ÙÒ ÛÓ Ê Ò ÓРРص µ ÙÒ Ò Ö Ê Ò ÓÐ Ù ÓÒÓ Óµ Ö ÓÒÓ Ó Â Ò ØÞØ ÚÓÖ Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö¹Ì Ø ØÙÖ Ö ÐÐ Ì Ø Ò Ø Ò Ù Ö ¼ Ñ Ø Ò Ò Ö Ò ÓÐÐ ¾ Ù Ø Ò ººº ÍÑÐ ÙØ ÙÒ Ä Ö Ð Ø Ø º Â Ò Ø ÔÔØ Å Ð Ñ Ø Ñ Ò Ö Ù Ì Ø ØÙÖº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø ÔÔØ µ Ú Ö Ù Ø Ò Ö Æ Ñ Ò Ó Ò Ö Ø ÙÒ Ö Ê Ò ÓÐ Ö Ù Ø Ò Ö Ø Ì Ø Ø Ò Ò Å Ðº ÓÒÓ Ó Ò Ö ÓÐ Ò Ö ØÒ Ð Å Ò Òºµ µ Ö Ò Æ Ñ Ò Ë Ö Ð Ì Ø Ñ ÖÑ Ð Ö Òºµ µ Ö ÔÖ Ø Ò Ñ Å ØØ Ù ¹ Ú Ò Ð ÙÑ Û ÒÒ Ñ Ò Ö Ó Ð Ò Ø Ð Ø Ö Ì ÜØ Ò ÍÑ Ò Ö Ö ÔÖ Ø Ø Ð Ó ØÛ ¼¼¼ Ò ÑØ Ä Ö Ð Ò Å ØØ Ù Ã Ô Ø Ð µ Ù À Ò Ø ÖÓØ Ð Ù ÙÒ Ö Ò Ó ¹ÃÙ ÐÒ Ò Ò Ö ËÔÓÖع Ø º Ö Ð Ø ÃÙ ÐÒ Ò Ò Ö Ê Ù Ò Ì º Å Ø Û Ð Ö Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ð Ø Ö Ë ÕÙ ÒÞ ÖÖ Ö Ö ÖÖ Ò

60 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ä ÙÒ Ò µ A := Ö Ò Ò Ò ¹ Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò Ö Ø Ò ¹ Ö ÙÞØ Ò ØØ Ð ÚÓÖº Ø ( 6 4) Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø Ñ Ò ( 39 ) Å Ð Ø Ò ÞÛ Ö Ò Ø Ò ¹ Ö ÙÞØ Ò Ð Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ð Ó A = ( 6 39 ) 4) ( = 5º Ω = ( 45 6) = º P(A) = 5 = % µ B := Ö Ò Ò Ò ¹ Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ø ( 6 3) Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø Ñ Ò ( 39 3) Å Ð Ø Ò Ö Ö Ò Ø Ò Ö ÙÞØ Ò Ð Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ð Ó B = ( ( 6 3) 39 3) = 8 780º Ω = ( ) 45 6 = º P(B) = = % µ P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P(B) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P(C) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P(D) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P = P(A)+P(B)+P(C)+P(D) = % Ù µµ µµ Ô Ð ¾ µ Ô Ð ¾ µ µ A := Ö Ò ÙÒ ÞÙ Þ Òº Ω := Å Ò ÐÐ Ö Å Ð Ø Ò ÃÙ ÐÒ ÞÙ Þ Òº P(A) = A = Ω ( 0 3) = = % 0 µ A := Ö Ò ÙÒ Ò Ö Ê Ò ÓÐ ÞÙ Þ Òº ¹ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ P(A) = p(359) = = = % Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ñ Ð Ð Ò Ö Ð Ò µº Ð Ø Ö Ò Å Ð Ø Ò Ø ÃÙ ÐÒ ÙÒØ Ö Ò Ò Ö ÞÙ Ú ÖØ Ù Òºµ Ù µ A := Ö Ò Â Ò Ú Ö Ù Ø Ò Â Æ Ø ÔÔØ Ò Ð Ö Ê Ò ÓÐ º Ω := Å Ò ÐÐ Ö Å Ò Ò Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ù Ø Òº P(A) = A = Ω ( 30 4) = = % 7 40 µ A := Ö Ò Â Ò Ú Ö Ù Ø Ò Â Æ Ò Ö Ê Ò ÓÐ Ø ÔÔغ Ω := Å Ò ÐÐ Ö Ï ÖØ Ö Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ù Ø Òº ¹ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ P(A) = p(jane) = ( = %º Ï Ö Ò¹ 30 )4 = Ð Ø Ø ÑÑ Ö ÒÓ ØÛ ½¼ Å Ð Ó ÖÓ Û ÄÓØØÓ¹ ¹ Ö µ µ Ò ÐÓ ÞÙ µ ¼¼¼¹ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ P(A) = ( 30 ) Ù A := {rrbbbgrggrbrr}º Ω := ÐÐ Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½ Ö Å Ð Å Ð ÙÒ Å Ð ÒØ ÐØ Ò ÙÒ ÓÒ Ø Ò Ù Ø Òº Ω =? Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò ½ Ö Ø Ø ÐÐØ ÈÐØÞ Ö ÃÙ ÐÒ ÚÓÖ Ø ( 3 6) Å Ð Ø Ò ÖÓØ Ò ÃÙ ÐÒ Ù ½ ÈÐØÞ ÞÙ Ú ÖØ Ð Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 7 4) Å Ð Ø Ò Ð Ù Ò ÃÙ ÐÒ Ù Ö Ò ÈÐØÞ ÞÙ ØÞ Òº Ö Ö Ò Ò ÃÙ ÐÒ Ø Ñ Ò ÒÒ Ò Ï Ð Ñ Öº Ω = ( 3 7 6) ( 4) = º Ð Ó P(A) = A Ω = =

61 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¼ º ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò ¾Ä ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò Ò Ô Þ ÐÐ Ñ Ö ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ò Ö ËØÙ Ò ÙÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ø Û Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÒÙÖ ¾ Ñ Ð Ù Ò Ø ½ ÙÒ ¼ ÌÖ Ö ÙÒ Æ Ø µº Ô Ð ¾ ÎÖ Ò Ð Û Ö ÐØ ½¼ Å Ð ÒØ Ö Ò Ò Öº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û Ö Ø Ò Ù ¹Ñ Ð Ω := Å Ò ÐÐ Ö Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½¼ Ù Ò Ò ¼ ÙÒ ½ Ù ÙØ Ò º ¼ Ò ½ Ò A := Å Ò Ö Ï ÖØ Ö Ù Ω Û Ð Ð ½ Ò Ù Å Ð ÒØ ÐØ Òº Ô ω = Aº A ÒØ ÐØ ( ) 0 3 Ð Ñ ÒØ º ÍÒ Ø Ð Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÛ Ö ÒÐ Ø p(ω) = ( 6 )3 ( 5 6 )7. Ö Ù ÓÐ Ø P(A) = ( 0 3 ) ( = )3 ( 5 6 )7 Ñ Ö ÙÒ ( 0 3) ÒÒ Ñ Ø Ñ ÌÁ Ö Ø Ö Ò Ø Û Ö Ò ( ) 0 = ncr(0,3) = 0. 3 Ò Ð ncr ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Ö Ø ÒÒ ÈÖÓ Ð ØÝ Û ÐØ ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ö

62 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ½ Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ó Ò Ô Ð Ò Ø Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø ÒÙÖ ÞÛ Ñ Ð Ò Ù Ò Ò ½ ÌÖ Öµ ÙÒ ¼ Æ Ø µº Ö ÌÖ Ö Ø ÐÐ Ñ Ø Ö Ö ÓÐ Û Ö ÒÐ Ø Ô Òº Æ Ø Ø ÒÒ ÙØÓÑ Ø Ï Ö ÒÐ Ø pºµ Ò ÓÐ ÜÔ ¹ Ö Ñ ÒØ Ø ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø Ö ÓÐ Û Ö ÒÐ Ø pº Ô Ð Ò Å Ð Û Ö ÐÒ ½ ÌÖ Öµ ¼ Æ Ø µ p Ò Ò Ö Û Ö ÐÒ Ò Ò Ö Û Ö ÐÒ 6 n¹ Ï Ö ÓÐÙÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÖÒÓÙÐÐ ¹ à ØØ Ö ÄÒ n Ñ Ø Ö ÓÐ Û Ö Ò¹ Ð Ø pº ÁÑ Ô Ð ¾ Ö ÒÒØ Ñ Ò ÐÐ Ñ Ò ÐØ Ï Ö ÒÐ Ø Ö k Ö ÓÐ Ò ¹ Ò Ö ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ö ÄÒ Ò Ø ( ) n P(A) = p k ( p) n k k Ô Ð ¾ ÁÑ Ó Ò Ô Ð ¾ Ø n = 0 k = 3 p = 6 Ñ Ö ÙÒ Ö ÁÒØ Ö ÖØ µ ( n k) Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Û Ð ÃÓ Þ ÒØ Ò Ò Ö ÒÓÑ Ò ÓÖÑ Ð Ò (a+b) n = Ô Ð ( n 0 ) a n b 0 + ( n ) a n b + ( n ) a n b + ( ) n a n 3 b (a+b) = ( ) 0 a b 0 + ( ) a b + ( ) a 0 b = a +ab+b (a+b) 3 = ( ) 3 0 a 3 b 0 + ( ) 3 a b + ( ) 3 a b + ( ) 3 a 0 b 3 = a 3 +3a b+3ab +b 3 3 ( ) n a 0 b n n ( n k) Ò Ð Ó Ò Ù Ð Ò Ñ È Ð Ò Ö º n¹ø Ð k¹ø ËÔ ÐØ µ

63 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¾ Ù Ò ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò Ù Û Å ÒÞ Ò Û Ö Ò ¾¼¹Ñ Ð ÛÓÖ Òº Ö Ò Ï Ö ÒÐ ¹ Ø µ Ò Ù ¹Ñ Ð ÏÙÖ Ð Ð¹ е ÞÙ Û Ö Òº µ Ò Ù ½¼¹Ñ Ð ÞÛ Ú Ö Ò ÏÙÖ Ð Ö º º Ã Ó Ö Ãµ ÞÙ Û Ö Òº µ Ñ Ò Ø Ò ¹Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Òº Ù ¼ Ò Ñ Ð Ö Ø Ò Ì Ð ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Å ØØ Ð Ñ º ÔÖ Ò Ð ÞÙÖ º Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÚÓÒ ¾¼ ÔÖ Ò µ Ò Ù µ Ñ Ö Ð µ ¾ ÔÖ Ö Ø Ò º Ù ½ Ç ØÑ Ð Û Ö Ò Ö Ö Ò Ò ÈÐ Ø Ð Ò Ò ÓØ Òº Ï Ö¹ ÒÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÐ ËØ ÐÐ Ù Û Ø ¼±º Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û Ò Ò Ò Ö Ë Ø Ð ÚÓÒ ¾¼ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ÙÐ ËØ ÐÐ Ù Ù ¾ Ò Ñ ÅÙÐØ ÔÐ ¹ Ó ¹Ì Ø Ñ Ø ¼ Ö Ò Û Ö Ò ÔÖÓ Ö Ú Ö ÒØÛÓÖØ Ò Ò ÓØ Ò ÚÓÒ Ò Ò Ò Ù Ò Ö Ø Øº Ò Ú ÐÐ ÒÙÒ ÐÓ È Ö ÓÒ ÐÐØ Ò Ö Ó Ò Ò Ñ Ù ÐÐ ÔÖ ÒÞ Ô Ù º Å Ø Û Ð Ö Ï Ö Ò¹ Ð Ø Û Ö Ò µ Ò Ù ½¼ Ö Ò Ö Ø ÒØÛÓÖØ Ø µ Ñ Ò Ø Ò ½¼ Ö Ò Ö Ø ÒØÛÓÖØ Ø µ ½¼ Ö Ò Ö Ø ÒØÛÓÖØ Ø À ÒÛ µ ÙÒ µ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ø ÎÓÖØ Ð Ñ Ø Ñ ÌÁ Ñ ÒÐ ØÙÒ Ñ Ä ÙÒ Ø Ð Ö Ù ½º

64 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ä ÙÒ Ò Ù Ω := {KK,ZK,KZ,ZZ}=Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ö ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ Òغ µ n = 0 k = 5 p = 4 P(A) = ( 0 5 ) ( 4 )5 ( 4 )0 5 = 5!(0 5)! ( 0! 4 )4 ( 3 4 )5 = = 0.0 º Ñ Ö ÙÒ ( 0 5) ÒÒ Ñ Ø Ñ ÌÁ Ö Ø Ö Ò Ø Û Ö Ò ( ) 0 = ncr(0,5) = Ò Ð ncr ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Ö Ø ÙÒ ÒÒ ÈÖÓ Ð ØÝ ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ö Û Ðغ µ n = 0 k = 0 p = P(A) = ( ) ( µ A := Ò Ö Ò Û Ò Ö Ð Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Òº 0 ( )0 0 ) TI = ( )0 = Ï Ö ÒÐ Ø ¼ Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 0 ) ( 4 )0 ( 4 )0 = Ï Ö ÒÐ Ø ½ Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 ) ( 4 ) ( 4 )9 = 0.0 Ï Ö ÒÐ Ø ¾ Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 ) ( 4 ) ( 4 )8 = Ï Ö ÒÐ Ø Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 3 ) ( 4 )3 ( 4 )7 = 0.34 Ï Ö ÒÐ Ø Å Ð Ãà ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 4 ) ( 4 )4 ( 4 )6 = 0.9 P(A) = ËÙÑÑ Ö Ï³ Ø Ò = 0.45 P(A) = 0.45 = º Ù ¼ µ n = 0 k = 4 p = 5 P(A) = ( 0 4 ) ( 5 )4 ( 5 )0 4 = ( ) 0 4 ( 5 )4 ( 4 5 )6 = 0.8 µ A := Ò Ö Ò Û Ò Ö Ó Ö Ò Ù Ö Ø ÔÖ ÞÙ Òº Ï Ö ÒÐ Ø Ö ¼ Ö Ø ÔÖ ( 0 0 ) ( 5 )0 ( 4 5 )0 = 0.0 ( Ï Ö ÒÐ Ø Ö ½ Ö Ø ÔÖ 0 ) ( 5 ) ( 4 5 )9 = Ï Ö ÒÐ Ø Ö ¾ Ö Ø ÔÖ ( 0 ) ( 5 ) ( 4 5 )8 = 0.4 Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ø ÔÖ ( 0 3 ) ( 5 )3 ( 4 5 )7 = 0.05 Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ø ÔÖ ( 0 4 ) ( 5 )4 ( 4 5 )6 = 0.8 P(A) = ËÙÑÑ Ö Ï³ Ø Ò = 0.63 P(A) = 0.63 = 0.37 º µ ÒÐ Û µ P(A) = ÏË Ö ¾ ÔÖ ÏË Ö ÔÖ ººº ÏË Ö ÔÖ ¼º Ù ½ Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò ÚÓÖ Ò Ö Ö Ò Ö Ò ÖÒ Ò Ë Ø Ð Ð Ø Û Ö º Þº º Ø Ö Ø ÙÐ ÞÛ Ø Ò Ø Ù Ûº Ø Ò ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø n = 0 k = 8 p = 0.3º A := Ò Ö Ò Ø Ò Ö Ö Ò ÙÐ Ò º

65 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ÏË Ò ÙÐ Ø ( 0 0) = ÏË Ò ÙÐ Ø ( 0 ) = ÏË ÞÛ ÙÐ Ò ( 0 ) = ÏË Ö ÙÐ Ò ( 0 3) = ÏË Ú Ö ÙÐ Ò ( 0 4) = ÏË Ò ÙÐ Ò ( 0 5) = ÏË ÙÐ Ò ( 0 6) = ÏË Ò ÙÐ Ò ( 0 7) = P(A) = ËÙÑÑ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò = 0.777º P(A) = Ñ Ö ÙÒ Å Ø Ñ Ì ÒÖ Ò Ö ÒÒ Ñ Ò ËÙÑÑ 7 k=0 ( ) k k k Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ö Ö Ò Òº ÞÙ Ø ÔÔØ Ñ Ò Ò Ð Þ Ð (ncr(0,k) 0.3 k 0.7 (0 k),k,0,7) Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ò ÐÙÐÙ Ù Û ÐØ ÙÒ ÒÒ ( ÙѺ ÖÞ Ù¹ ÙÒ Ð Ò Ö Ø Ñ Ô Ð ¾ Ö Òº Ù ¾ ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÄÒ n = 30 ÙÒ Ö ÓÐ Û Ö ÒÐ Ø p = 4 µ ÒÞ Ð Ö ÓÐ k = 0º P(A) = ( 30 0 ) ( 4 )0 ( 3 4 )0 = ( 0%) µ P(A) = 30 k=0 ( 30 ) k ( 4 )k ( 3 4 )30 k = ( 0%) ÞÙ Ø ÔÔØ Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò (ncr(30,k) ( 4 ) k ( 3 4 ) (30 k),k,0,30) µ P(A) = 0 ( 30 ) k=5 k ( 4 )k ( 3 4 )30 k = ( 80%) ÞÙ Ø ÔÔØ Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò (ncr(30,k) ( 4 ) k ( 3 4 ) (30 k),k,5,0)

66 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º½ Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò ½½Ä Ò Ø ÓÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ¾Ä a R Ø Ö ÒÞÛ ÖØ Ö ÓÐ (a n ) Û ÒÒ ÓÐ Ò ÐØ ε > 0 n ε N a a n < ε n > n ε. ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò lim a n n = a oder a n a n ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö ÒÞÛ ÖØ Ù Ñ Ð Ò ØÖ Ð ÓÑÑ Ò ÓÐ Ò Ð Ö a n Ñ Ø Û Ò Ñ n Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ a Ð Ò º Ô Ð ¾ Ò Ø ÓÐ a n := 3+ n º µ ÖÖ Ø Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ aº Ö Ö ÖÓ n Ø3+ n 3 lim n (3+ n ) = = a 00 a 4 = 3.5a = a 3 = 3.3 a = 4 µ ε := 0.00º Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø n ε > 0 Ó a n a < ε n > n ε. n ε = 000 a n a < ε (3+ ) 3 < 0.00 n n < 000 n > 000

67 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ô Ð ¾ Ò Ø ÓÐ a n := 8n n º µ ÖÖ Ø Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ aº Ö Ö ÖÓ n Ø 8n lim n n = 4 8n n 4 µ ε := 0.000º Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø n ε > 0 Ó a n a < ε n > n ε. a n a < ε 8n 4 < n 8n n 4(n ) n < n n 8n 4 n < n (8n 4) < n n < < n < n < n n ε = 0 000

68 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ÖÖ Ø Ò ÙÒ Ð Ò Ø n ε Ö ÒÒ Ù Ö ÒÞÛ ÖØ ÖÖ Ø Ò Ð Ò Ø ε Ö Ò Òµ ÖÖ Ø Ò Ë Ö Ö Ò Ò ÓÐ Ò (a n ) Ò Ö ÒÞÛ ÖØ a ÙÒ Ö Ò Ò Ë ÞÙ Ñ Ò Ò ε Ð Ò Ø n ε Ó a a n < ε n > n ε. µ a n = 3 n+ ε = 0. µ a n = n n ε = 0.0 µ a n = n+ 4n ε = µ a n = 3en e n + ε = 0.00 µ a n = 5n3 n 3 +6 ε = 0.00 µ a n = 5+( ) n n ε = 0.00 µ a n = 7 ε = 0.00

69 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ä ÙÒ Ò 3 µ a n a < ε n ε = 8 n+ 0 < 0. 3 n+ < 0 30 < n + 8 < nº µ a n a < ε n n < 0.0 n n n n < 00 n < < n 0 < n 0.05 < nº n ε = 0 µ a n a < ε n+ 4n < n < 4n 500 < nº n ε = 500 µ 3en e n + 4n n 4n < n < < en e n + 3(en +) e n + < e n + < e n + < < en < e n ln999 < nlne ln999 < n < nº n ε = ) 5n µ 3 5 n+6 3 < n 5(n < < (n 3 +3) (n 3 +3) (n 3 +3) < (n 3 +3) < (n 3 + 3) 7500 < n < n < n < nº n ε = 383 µ 5+( ) n n 5 < 0.00 ( ) n n < 0.00 n < < n 3.6 < nº n ε = 3º µ Ï Ò a n = 7 n N Ø a n 7 = 0 < 0.00 n Nº n ε =

70 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º¾ ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö ÒÞ Ä Ï Ö Ò Ö ÒÙÖ Ó º ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÐ Ò ØÖ Ø Ø º º ÓÐ Ò Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Òº Ñ Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ò Ò Ö ÒÞÛ Öغ À Ø Ò ÓÐ (a n ) Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ a Ó Ø Ñ Ò (a n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò aº ÓÐ Ø ÒÒ ÓÒÚ Ö Òغ Ô Ð ÐÐ Ö Ò Ò Ù Ò ÙÒ Ô Ð Ò ÖÛ ÒØ Ò ÓÐ Ò Ò ÓÒ¹ Ú Ö Òغ Â Ò Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÐ Ú Ö ÖØ ÙÒ Ø Ú Ö Òغ Ô Ð ¾ Á Ø ÓÐ a n := ( ) n ÓÒÚ Ö ÒØ Ó Ö Ú Ö ÒØ a = ( ) = a = ( ) = a 3 = ( ) 3 = a 4 = ( ) 4 = ººº ÓÐ Ô Ø Ò¹ ÙÒ Ö Ù ÙÒ º 0...a 5 = a 3 = a a = a 4 = a 6 =... Ø Ò Ð a R Ó ( ) n a Ö Ö ÖÓ nº a 000 Ð Ø ÞÛ Ö Ó Ö Ù ½ Ö Ö Ø a 00 Ð Ø ¾ Ò Ø Ò ÚÓÒ ½ ÒØ ÖÒغµ (a n ) Ú Ö ÖØ Å Ò ÒØ Ö ÖØ Ö Ò Ø ÑÑØ Ú Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò ÒÑÐ Ö ÓÐ Ò Ö Ò Ð Ö Ñ Ø Û Ò Ñ ÁÒ Ü Ð ÖÓ Û Ö Ò

71 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¼ Ò ÓÐ (a n ) Ú Ö ÖØ Ò ÍÒ Ò Ð Û ÒÒ Ö ÒÓ Ó ÖÓ Ð K > 0 Ò Ò ÁÒ Ü n K N Ø Ñ Ø a n > K n > n K º Å Ò Ö Ø ÒÒ lim a n n = oder a n n Ñ Ö ÙÒ Ç Ø Ø Ñ Ò Ù ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ò ÍÒ Ò Ð º Ô Ð ¼ µ Ø ÑÑ Ò Ë ÃÓÒÚ Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò Ö ÓÐ a n := nº µ K := 000º Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø n K N Ó º a n > K n > n K µ Ö Ö ÖÓ n Û Ö n Ð ÖÓ º lim n n = µ n K = 0 6 a n > K n > 000 n > 0 6 Ò ÓÐ (a n ) Ú Ö ÖØ Ò Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð Û ÒÒ Ö ÒÓ Ó Ð Ò Ð K < 0 Ò Ò ÁÒ Ü n K N Ø Ñ Ø a n < K n > n K º Å Ò Ö Ø ÒÒ lim a n n = oder a n n Ñ Ö ÙÒ Ç Ø Ø Ñ Ò Ù ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð º

72 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ½ Ù Ò ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö ÒÞ Ù ÃÓÒÚ Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò ÙÒØ Ö Ù Ò Ò ÓÐ Òµ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë Ó ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ó Ö Ú Ö Öغ ÁÑ ÐÐ Ö Ú Ö ÒÞ Ò ÔÐÙ»Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ë ÞÙ K := 000 ÞÛº K := 000 Ò Ð Ò Ø Ò ÁÒ Ü n K Ó a n > K n > n K bzw. a n < K n > n K µ a n := n 7 µ a n := n+5 µ a n := e n µ a n := lnn µ a n := cos((n ) π ) µ a n := n 5 4 µ a n := n 4 5 µ a n := ( )n n µ a n := ( ) n n µ a n := n ( ) n µ a n := sin(n π ) n е a n := n Ù ÃÓÒÚ Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò ÙÒØ Ö Ù Ò ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ö ÓÐ Òµ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë Ó ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ó Ö Ú Ö Öغ ÁÑ ÐÐ Ö Ú Ö ÒÞ Ò ÔÐÙ»Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ë ÞÙ K := 000 ÞÛº K := 000 Ò Ð Ò Ø Ò ÁÒ Ü n K Ó a n > K n > n K bzw. a n < K n > n K µ en e n + µ n4 n + µ n7 n À ÒÛ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Û Ò Ö ÖÓ n Ö Ú Ð Ò ÐÐ Ö Ð ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òºµ µ a n := ln(n +µ µ a n := en n Ë Ö Ò ÐÐ Ð ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ì ÒÖ Ò Ö Ð Òºµ µ a n := 3+ n n µ a n := 3n+n( )n n µ a n := n3 +n 6n n n Ì ÔÔ ØÓÖ Ö Òµ µ a n := e n

73 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¾ Ù µ lim( n 7) = Ä ÙÒ Ò a n > 000 n 7 > 000 n > 007 n > º n K = º µ lim( n+5) = a n < 000 n+5 < < n < n < nº n K = µ lime n = a n > 000 e n > 000 n > ln000 n > 6.9º n K = 6 µ lim( lnn) = º a n < 000 lnn < < lnn e 000 < nº n K = Ö Ø ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð e 000 Ø µ cos((n ) π ) = 0 n Nº ÓÐ ÓÒÚ Ö Öغ lim n cos((n ) π ) = 0) µ limn 5 4 = a n > 000 n 5 4 > 000 n > n > 5.º n K = 5 µ lim( n 4 5) = a n < 000 n 4 5 < < n < n < nº n K = 563 µ ÓÐ ÓÒÚ Ö Öغ lim n ( ) n n = 0µ µ a =,a =,a 3 = 3,a 4 = 4,...º ÓÐ Ú Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÓ Ò µ µ a =,a =,a 3 = 3,a 4 = 4,...º ÓÐ Ú Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÓ Ò µ µ ÓÐ Ñ Ð Ö Ø Ò Ó Ò ÙÒ ÙÒØ Ò ÖÒ Øº ÓÐ Ñ Æ ÒÒ Ö Ú Ö ÖØ Ò º lim sin(n π ) n = 0 º º ÓÐ ÓÒÚ Ö Öغ е ÓÐ ÓÒÚ Ö Öغ lim n = 0µ Ù µ en e n + = (en ) e n + = (en )(e n +) e n + = e n º lim en e n + = lim(en ) = º a n > 000 e n > 000 e n > 00 n > ln00 n > 6.9º n K = 6 µ n4 n + = ( n )(+n ) n + = n º lim n4 n + = lim( n ) = º a n < 000 n < < n 3.6 < nº n K = 3 µ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ö Ú Ð Ò ÐÐ Ö Û Ò Ð ÈÓØ ÒÞ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐØ lim n7 n = 0 º º ÓÐ ÓÒÚ Ö Öغ

74 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä µ Ö ÒÒ Ö ÓÐ (n +) ÐØ lim(n +) = º lim(ln(n +)) = º a n > 000 ln(n +) > 000 n + > e 000 n > e 000 n > e 000 º n K = Ö Ø ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð e 000 غ µ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ö Ú Ð Ò ÐÐ Ö Û Ò Ð ÈÓØ ÒÞ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐØ lim en n = a n > 000 en n > 000 e n > 000n º TR n = 0.03 n = 0.03 n =.9. n =.9º n K = µ 3+ n n = n(3+ n ) = 3n+º lim 3+ n = lim(3n+) = º n a n > 000 3n+ > 000 3n > 998 n > 33.6º n K = 33 µ 3n+n( )n n = 3+ ( ) n º a =,a = 5,a 3 =,a 4 = 5,... ÓÐ Ú Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÓ Ò µ µ n3 +n 6n n n = n(n +n 6) n(n ) = n(n )(n+3) n(n ) a n > 000 n+3 > 000 n > 997º n K = 997 = n+3º lim n3 +n 6n n n = lim(n+3) = µ ÒÒ Ö ÓÐ (n ) Ú Ö ÖØ Ò º lime n = º a n > 000 e n > 000 n > ln000 n > ln(000)+ n > 3.95º n K = 3º

75 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ½Ä Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ò Ò ÞÙ Ö ÒÞÛ ÖØ ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÞÙ ¹ Ø ÑÑ Ò Ò Ñ Ñ Ò Ù Ö ÒÞÛ ÖØ Ò Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÞÙÖ Öغ Ò (a n ) (b n ) ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÐ Ò Ñ Ø Ö ÐÐ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ò lim n a n = a lim n b n = b Rº Ð Ó Ò Ø Þº º lim n a n = µº ÒÒ ÐØ lim(a n +b n ) = lima n +limb n G lim(a n b n ) = lima n limb n G lim(a n b n ) = lima n limb n G3 lim a n bn = lima n limb n Ñ Ö ÙÒ ÁÒ ÑÙ Ò Ø ÖÐ limb n 0 ÐØ Òº G4 Ô Ð ½ Ö Ò Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö ÓÐ a n := 3n n n +5n+ º 3n n n +5n+ = n (3 n ) n (+ 5 n + ) = 3 n + 5 n n + n lim 3n n n +5n+ = lim 3 n + 5 n + n G4 = lim(3 n ) lim(+ 5 n + n ) G,G = lim3 lim n lim+lim 5 n +lim n = = 3 Û ÚÓÒ ½ ÙÒ ¾ Ö Û ÚÓÒ ÙÒ Þº º ÇØØÓ ÓÖ Ø Ö Ò ÐÝ ½ºµ Å Ò Ó Ø Ø ÞÙ Ö Ø Ö Ö ÐÐ Ð Ò Ó º Ö ÙÒ¹ Ð ÙÒ ÐØ x+y x + y x,y Rº Ø ÒØÙ Ø Ú Ð Öº Û Ò ÒÒØ Ñ Ò ÙÖ ÐÐÙÒØ Ö ÙÒ Ö ÎÓÖÞ Ò ÚÓÒ x ÙÒ yºµ Ñ Ø Û Ò Û Ö Ò Ë ØÞ Ò a := lima n b := limb n ÙÒ ε > 0º n,n N a n a < ε n > n b n b < ε n > n. n ε Ö Ö Ö Ò Ð Ò n,n º ÒÒ ÐØ n > n ε (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n b < ε + ε = ε. (a n b n ) (a b) = (a n a)+[ (b n b)] a n a + b n b < ε + ε = ε.

76 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ö Ò Ò Ë Ö ÒÞÛ ÖØ Ñ Ø Ð Ö Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ º Ù Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ µ µ a n := n n 5n + µ a n := n n 5n 3 + µ a n := ln(3n)+7 lnn µ a n := 3n 3 n +3 n µ a n := (n 3)3 n 3 µ a n := 4 n 5 n+5 µ a n := n(n+) ( n ) 0 n µ a n := 3n+ 4n+( ) n µ a n := 4n n+ +( 0 )n µ a n := 5n+ n ( 4 )n µ a n := (n )(n+) n n 3 е a n := (4 n ) n+ n ѵ a n := n+3 (n+) n Òµ a n := n n n n Óµ a n := n +3 n + n3 +3 5n 3 Ôµ a n := n 3 n n Ù Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ñ Ù ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÒÞ Ò ± µ µ a n := n n 5n µ a n := n3 +n n +

77 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ä ÙÒ Ò µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n n lim n n 5n + = lim n 5+ µ n 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ n n lim n n 5n 3 + = lim n 5n + = n ( n ) = n (5+ n n ) 5+ n º = lim( n ) = lim n lim(5+ n = 0 n ) 5+lim n 5 0 = 5 5n 3 + = n3 ( n n ) n 3 (5+ = n n º n 3) 5+ n 3 n = lim( n 5+ n ) n 3 lim(5+ = lim n lim n n 3) 5+lim n 3 µ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ØÞ ÒÛ Ò Ò ln(3n)+7 lnn lim ln(3n)+7 lnn = lim( ln3 lnn ++ 7 lnn µ 3 n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 3n 3 n lim 3n 3 n +3 = lim n 3 µ n 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ (n 3)3 lim (n 3)3 = ln3+lnn+7 lnn = = 0 = ln3 lnn ++ 7 lnn º ) = lim ln3 lnn ++lim 7 lnn = 0++0 = +3 = 3n ( n 3 ) = 3 n ( 3 3 n+) n+º 3 = 3 3 n+ lim( = 3 3 n+) lim( = 3 3 n)+ 0+ = 3 n = [n( 3 3 n )]3 n 3 ( = n 3 ( 3 n )3 n 3 ) n 3 ( = ( 3 n )3 n 3 ) = lim( 3 n )3 = [lim( 3 n 3 lim( n )]3 = 3 n 3 ) lim( n 3) n 3 º n = lim ( 3 3 n )3 0 = 8 Ñ Ö ÙÒ Ñ Ø Ò Û Ö Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ð Ö Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÙÒ ÒÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ÒÛ Ò Ò Û Ù ÞÙÑ Ð Öغµ µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4 n lim 4 n 5 n+5 = lim 4 n 5+ 5 µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ lim n(n+) ( n ) 0 n = lim + n 0 = = ( ) 0 = 0 5 n+5 = n(4 n ) n(5+ n 5 ) = 4 n 5+ 5 n º = lim(4 n ) = 4 lim n = 4 0 n lim(5+ 5 n ) 5+lim 5 n 5+0 = 4 5 n(n+) ( n ) 0 = n +n n ( n )0 = n (+ n n ) = + n ( n n )0n n 0 º n 0 = lim + lim n n 0 = lim(+ n n ) lim( ) 0 = +lim n lim( ) n n n n µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 3n+ 4n+( ) n = n(3+ n ) n(4+ ( )n lim 3n+ 4n+( ) n = lim 3+ n 4+ ( )n n = lim(3+ n ) lim(4+ ( )n = 3+ n º n ) 4+ ( )n n = 3+lim n n ) 4+lim ( )n n = = 3 4 µ ÁÑ Ö Ø Ò ËÙÑÑ Ò Ò n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4n n+ = 4n n(+ n ) = 4 + n lim[ 4n n+ +( 0 )n ] = lim 4 + n +lim( 0 )n = 4 ln(+ n ) +0 = 4 +lim n µ ÁÑ Ö Ø Ò ØÓÖ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 5n+ = 5+ n º lim[ 5n+ n ( 4 )n ] = lim(5+ n ) lim( 4 )n = 5 0 = 0 µ ÖÞ Ò ÙÒ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ (n )(n+) n n 3 n = n(5+ n ) n = (n )(n+) n ( n) = 4 +0 = = (n )(n+) n (n ) = (n+) n = [n(+ n )] n = n (+ n ) n = (+ n ) º lim (n )(n+) n n = lim[ (+ 3 n ) ] = lim(+ n ) = [lim(+ n )] = [] = 4 е ÁÑ ÞÛ Ø Ò ØÓÖ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n+ n = + n lim[(4 n ) n+ n ] = lim(4 n ) lim(+ n ) = 4 = 4 n = n(+ n )

78 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ѵ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n+3 (n+) n = n(+ 3 n ) n(+ n ) n = + 3 n + n lim n+3 (n+) = lim + 3 n n + n 0 = 0 Òµ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ lim n n n n = lim Óµ n ÞÛº n 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ n = lim + 3 n + n n n = n ( n n n 3) n n ( = n n 3 n 4) n n 3 = lim n lim n 3 n 4 lim n 4 n º lim n = +lim 3 n +lim n º n 4 = = 0 n +3 n + n3 +3 5n = n (+ 3 3 n ) n (+ n 3 (+ 3 n 3) n ) 5n = n n 3 n lim( n +3 n + n3 +3 5n ) = lim n 5 = 5 + lim + 3 n 3 n Ôµ ÍÑ ÓÖÑ Ò ÒÒ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n 3 n n lim( n 3 n n = n 3 = n n n n n 3 n = n 5 º lim n = = 5 = +lim 3 n +lim 3 +lim n 3 n 5 = = 3 n = n n( 3 n ) = 3 ) = lim 3 n = lim 3 n = 0 = n º Ñ Ö ÙÒ ËØ ØØ ÞÙ Ö Ø ÙÑÞÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ÒÒ Ò Ù ÞÙ Ð ÑÑ ÖÒ Û Ö Ñ Ò Ò ÐÐ Ö ÒÙÖ n Ù Ð ÑÑ ÖÒº Ö Ø Ö Ë Û Ö ÒÐ ÙÒ ¹ ÛÓ ÒØ Öºµ Ù µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n n 5n = n(n ) lim n n 5n = lim n 5 n µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n3 +n lim n3 +n n + = = n n(5 n ) 5 n º n + = n (n+) n+ = n (+ n) + = lim n+ + n = n º Ö ÒÒØÒ Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒ ÚÓÖ Ñ ÒÛ Ò Ò Ö Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ö ¹ Ø Ñ Æ ÒÒ Ö ÚÓÖ ÓÑÑ Ò ÈÓØ ÒÞ Ò Æ ÒÒ Ö ÙÒ Ð Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒº

79 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò ½Ä Ô Ð ¾ Ò Ë ÞÛ ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö Ðغ lima n = limb n = ÙÒ lim(a n +b n ) = 3 a n := n+3 b n := n a n +b n = (n+3)+( n) = 3 lim(a n +b n ) = 3 Ô Ð Ò Ë ÞÛ ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö Ðغ lima n = 0 limb n = 0 ÙÒ lim an b n = 5 a n := 5 n b n := n a n bn = 5 n n lim a n bn = 5 = 5

80 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò ÁÒ Ò Ù Ò ½¼¼ Ø Û Ð Ò Ø ÒÙÖ Ò Ö Ø Ä ÙÒ ÓÒ ÖÒ ÙÒ Ò Ð Ú Ð Å Ð Ø Òº Ù Ò Ë ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö lima n = limb n = ÐØ ÙÒ µ lim(a n +b n ) = µ lim(a n +b n ) = µ lim(a n +b n ) = µ (a n +b n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÖØ Ù Ò Ø Ò ± º Ù Ò Ë ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö lima n = 0 limb n = ÐØ ÙÒ µ lim(a n b n ) = π µ lim(a n b n ) = µ lim(a n b n ) = µ (a n b n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÖØ Ù Ò Ø Ò ± º Ù ½¼¼ Ò Ë ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö lima n = 0 limb n = 0 ÐØ ÙÒ µ lim an b n = 3 µ lim an b n = µ lim an b n = µ lim an b n = 0 µ ( an b n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÖØ Ù Ò Ø Ò ± º Ù ½¼½ Ê Ø Ó Ö Ð µ Ë Ò Ù Ò Û Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ò Ë Ö ÒØÛÓÖغ ÁÑ ÐÐ Ò Ö Ð Ò Ù Ö Ò Ò Ë Á Ö ÒØÛÓÖØ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ô Ðº µ ËÙÑÑ Ò ÓÐ (a n +b n ) ÞÛ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ö ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ø Ò ÐÐ ÓÒÚ Ö Òغ µ ËÙÑÑ Ò ÓÐ (a n +b n ) ÞÛ Ö Ú Ö ÒØ Ö ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ø Ò ÐÐ Ú Ö Òغ µ ËÙÑÑ Ò ÓÐ (a n +b n ) ÞÛ Ö Ú Ö ÒØ Ö ÓÐ Ò (a n ) (b n ) ÒÒ ÓÒÚ Ö¹ ÒØ Òº µ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ Þº º a n = 7 n Nµ Ø Ø Ø Ò Ò Ö ÒÞÛ Öغ µ Ð Ö Ò Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ò ÓÐ Ò ÖÒ Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ a ÞÛ Ö ¹ Ð Ò ÖÖ Ò Ò Ö Ò Ñ Ð º µ Á Ø ÓÐ (a n ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ø Ø Ù ÒÚ Ö ÓÐ ( a n ) ÓÒÚ Ö¹ Òغ µ Ò ÓÐ Ñ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ð ÖÒ ÚÓÒ Ð ÞÙ Ð Ð Ò Ö Û Ö Ø Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ¼º µ Ö Ð c R Ø Ò ÓÐ (a n ) Ò ÓÒÚ Ö Öغ

81 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¼ Ä ÙÒ Ò Ù µ a n := n+ b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n+( ) n b n := n Ù µ a n := n b n := nπ µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := ( ) n n b n := n Ù ½¼¼ µ a n := n 3 b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := ( )n n b n := n Ù ½¼½ µ Â Û Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ½º µ Æ Òº Ò Ô Ð a n := ( ) n b n := ( ) n+ º ÓÐ Ò Ú Ö Ö Ò Ö Ø a n +b n = 0 n Ð Ó lim(a n +b n ) = 0º µ  º Ô Ð Ë µº µ  º Á Ø a n = c R n N Ó ÐØ lima n = cº µ Æ Òº Þ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ º Ò Ô Ð a n = 7 n lima n = 7º µ Æ Òº Ö ÆÙÐÐ ÓÐ Ø Ð º Ò ÆÙÐÐ ÓÐ Ø Ò ÓÐ Ò ¼ ÓÒÚ Ö Öغµ Ò Ô Ð a n := n lima n = lim = limn = º n µ Æ Òº Ò Ô Ð a n := 5+ n º ÓÐ Û Ö ÚÓÒ Ð ÞÙ Ð Ð Ò Ö Ö Ø lima n = 5º µ  º Ë c R Ò Ð Ðº ÒÒ Ò Ö Þº º a n := c+ n º

82 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ½ º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä Ö ÒÒ ÖÙÒ Ö Ò (a n ) ÙÒ Ö Ê (s n ) ÐØ s n = a q n q (q 0) Å Ø Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ò ÓÐ Ø Ö Ù Ó ÓÖØ Ò Ê (s n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ q < º ÁÒ Ñ ÐÐ Ø ÛÓ s := lim n s n º s = a q, Û Ï Ò q < ÐØ lim n q n = 0 ÙÒ Ð Ø lims n = lima q n q G3,G4 lim( q n ) G limq n = a = a = a q q q Ô Ð =? Ê Ñ Ø a = ÙÒ q = s = a q = = Ô Ð Ò Ë = غ = Ê Ñ Ø a = 9 0 ÙÒ q = 0 s = a q = =

83 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¾ Ù Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Ö ÌÊ Ø ÒÙÖ Ò Ù ½¼ µ ÖР٠غ Ù ½¼¾ Ö Ò Ò Ë µ µ Ù ½¼ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ð Ö Ò Ö º ÐÐ ÓÒÚ Ö¹ ÖØ Ö Ò Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ s Ö ÞÙ Ö Ò Ò Ê (s n )º µ,0.75,... µ 0.75, µ 5, 3,... µ, 3,... µ,0.999,... Ù ½¼ Ë Ö Ò Ë Ð Ð ÖÞØ Ò Û ÒÐ Ò ÖÙ Û Þ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Øµº µ.89 µ Ù ½¼ ÎÓÒ Ò Ö Ò Ö ÉÙÓØ ÒØ q ÙÒ Ö Ö ÒÞÛ ÖØ s Ö ÞÙ ¹ Ö Ò Ò Ê Òº Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ð a Ö º µ q = 0.75 s = 40 µ q = s = 5.5 Ù ½¼ ÎÓÒ Ò Ö Ê Ø s ÙÒ Ö Ö ÒÞÛ ÖØ s Òº Ö Ò Ò Ë Ò ÉÙÓØ ÒØ Ò q Ö ÞÙ Ö Ò Ò º µ s = 5 s = 6 µ s = 0. s = 0 5 Ù ½¼ ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ú Ö Ð Ö Ò Ö Ø ½ º ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð µ Ø ½º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ a 5 º Ù ½¼ Ò ÒØ Ñ Ø a = 4º Ï Ð Ø Ö Ö Ø Ï ÖØ Ò Ö ÉÙÓØ ÒØ q ÒÒ Ñ Ò ÒÒ Û ÒÒ ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ö Ö ÓÐ ½¾ Ò Ø Ö¹ Ø Ò Ö Ù ½¼ Ï Ú Ð Ð Ö Ö 5,4,... ÑÙ Ñ Ò a ÒÒ Ò ¹ Ö Ò Û ÒÒ Ö ËÙÑÑ Ø Ò ÙÑ 0.00 ÚÓÑ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö Ê Û Ò ÓÐÐ

84 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù ½¼¾ Ä ÙÒ Ò µ a = 5,q = 4 º s = a q = 5 4 = = 0 3 = 6.6 µ a = 3,q = 3 º s = a q = 3 4 = 3 ( 3 ) 3 Ù ½¼ µ a =,q = 0.75º s = a q = 0.75 = 4 µ q = 0.75 = 4 3 q > º Ê ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Øº = 9 4 µ a = 5,q = 3 5 º s = a q = 5 ( 3 5 ) = = 5 8 µ q = 3 q > Ê Ú Ö Öغ µ a =,q = 0.999º s = a q = = 0.00 = 000 Ù ½¼ µ.89 = = = = = = µ = Ù ½¼ = = TR = µ s = a q 40 = a ( 0.75) 40 = a = a 4 7 a = 45 µ s = a q 5.5 = a Ù ½¼ 5.5 = a 0 a = 55 = 5 µ a = s = 5º Ò ØÞ Ò Ò s = a q º 6 = 5 q º Ù Ò Ò q 6 5 = q 5 6 = q q = 6 µ a = s = 0.º Ò ØÞ Ò Ò s = a q º 05 = 0. q º Ù Ò Ò q q = 0 q = 5 0 q = (= ) Ù ½¼ q ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ð Ö ½ Ø Ð ÖØ Ð ÙÒ 75 = a 4 q º ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ö ½ Ø Ð ÖØ 75+8 = a q º Å Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ð Ò Ö µ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ 75 = a q 4 q 56 = a q Ò Ò Î Ö Ð Ò a ÙÒ qº Ù Ò ÚÓÒ ÁÁ Ò a ÙÒ Ò ØÞ Ò Ò Á Ó Ö Ò Á ÁÁµ Ð ÖØ Ð ÙÒ = q4 º ÙÐ Ò Ò q q 4 = 8 56 q = ±3 4 º Ò ØÞ Ò Ò ÁÁ Ð ÖØ a a = 56( q) = 56( 3 4 ) = 64

85 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ó Ö a = 56( q) = 56( ( 3 7 )) = = 448 Å Ø Ö ÓÖÑ Ð a n = a q n Ã Ô Ø Ð º¾µ Ö Ò Ø Ñ Ò a 5 Ó Ö a 5 = a q 4 = 64 ( 3 4 )4 = 8 4 a 5 = a q 4 = 448 ( 3 4 )4 = Ù ½¼ s = a q = 4 q q = 3 q = 3 Ù ½¼ s = a q = 5 = 5º ËÙÑÑ s 4 n Ö Ö Ø Ò n Ð Ö ÓÐÐ ÚÓÑ ¹ 5 Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ ¾ Ò Ø Û Ø Ö Ð 0,00 ÒØ ÖÒØ Ò Ð Ó Ñ Ò Ø Ò Ò Ï ÖØ q Òº Ã Ô Ø Ð º s n = a n q º = 5 (4 5 )n 4 º Ù Ò Ò n = 5 (4 5 )n = 5[( 4 5 )n ] =( 4 5 )n = 5 ( 4 5 )n n ln 4 5 = ln(4 0 5 ) n = ln(4 0 5 ) = 45.38º n = 46 ËØ ln 4 5

86 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º ÓÑ ØÖ Ê Ò Ò Ö ÓÑ ØÖ ¾Ä Ô Ð Ù Ò Ò Ö Ð Ø ÉÙ Ö Ø µ h =? ÍÒ Ò Ð Ú Ð ÉÙ Ö Ø Ò Û Ò Ö ÒÙÒ Ö Ø ÐÐØ Ù Ò Ò Ö Ð Øº Ë Ø ÒÐÒ ÙÒØ Ö Ø Ò ÉÙ Ö Ø Ø cmº Ë Ø ÒÐÒ ÉÙ Ö Ø Ñ Ø 60% Ö Ë Ø ÒÐÒ ÖÙÒØ Ö Ð Ò Òº µ Ï Ð À Ø ÙÖ Ù Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò ÉÙ Ö Ø Ò Ø Ø µ Ï Ð Ò Ð Ò Ò ÐØ Ø ÙÖ µh = Ê Ñ Ø a = q = 0.6 h = a q = 0.6 = 5cm µa = +(0.6 ) +(0.6 ) +(0.6 3 ) +... = Ê Ñ Ø a = 4 q = 0.6 = 0.36 A = a q = = 6.5cm

87 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Ò Ö ÓÑ ØÖ Ù ½½¼ ÄÒ ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ö À Ð Ö Ó Òµ r r Ö Ë Ð Ò ÒÛ ÚÓÒ Ò ØÞØ Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò À Ð Ö Ó¹ Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ö Ò Ê Ò Ò Ñ Ø Ñ ÉÙÓØ ÒØ Ò q = Ð Òº A B µ Ö Ò Ò Ë ÄÒ Ë Ð Ò ÒÛ ÚÓÒ Ò Ù rº µ Á Ø Ö Ë Ð Ò ÒÛ Ó Ö Ö À Ð Ö Û ÚÓÒ Ò ÖÞ Ö µ Ö Ò Ò Ë Ò Ð Ò Ò ÐØ Ö ÚÓÑ ÖÓ Ò À Ð Ö Ó Ò Ö ÙÒ Ò Ö Ò À Ð Ö Ó Ò Ò ÐÓ Ò Û Ö º Ù ½½½ ÓÐ ÚÓÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ò ÉÙ Ö Ø Òµ ÁÒ Ò Ö ÓÐ ÚÓÒ ÉÙ Ö Ø Ò Q n Ò Ö Ø Ò ÍÑ Ò 4m Ø Û Ö (n +)¹Ø ÉÙ Ö Ø Ó Ù Ò¹Ø ÉÙ Ö Ø Ð Ø Ò (n+)¹ø Ò ÉÙ Ö Ø Ù Ë Ø ÒÑ ØØ Ò Ò¹Ø Ò ÉÙ Ö Ø ÞÙ Ð Ò ÓÑÑ Òº µ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ ÐÐ Ö ÍÑ Ò º µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø Ò Ó Ö ÍÑ Ò ÚÓÒ Q n Ð Ò Ö Ð ½ ÑÑ Ø Ù ½½¾ ÄÒ Ò ËØÖ ÒÞÙ µ A E C Ò Ò Ø Ò Ê Ø Ø ÄÒ ΩB = ÙÒ Ö Ø AB = º Ï Ð Ò Ø Ö Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò ËØÖ Ò ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ Ï ÚÓÒ A Ö B C D E ººº Ω Ω D B Ù ½½ ÓÐ ÚÓÒ ÃÙ ÐÒµ Ò Ö ÓÐ ÚÓÒ ÃÙ ÐÒ Ð Ò ÄÒ Ò Ö ÙÖ Ñ Ö Ò Ñ Ø 0cm ÒÒغ ËÙÑÑ Ö ÙÖ Ñ Ö ÐÐ Ö ÃÙ ÐÒ Ø mº Ö Ò Ò Ë ÎÓÐÙÑ Ò ÐÐ Ö ÃÙ ÐÒº Ù ½½ Ï Ö ÐØÙÖѵ Ò Ñ Ï Ö Ð Ñ Ø Ö Ã ÒØ ÒÐÒ ½ Ñ Û Ö Ò ÞÛ Ø Ö Ï Ö Ð Ó Ù ØÞØ Ò Ò Ö ÖÙÒ Ù Ã ÒØ ÒÑ ØØ Ò Ö Ö Ø Ò Ï Ö Ð ÞÙ Ð Ò ÓÑÑ Òº Ù Ð Ï Û Ö Ñ ÞÛ ¹ Ø Ò Ï Ö Ð Ò Ö ØØ Ö Ù ØÞØ Ù Ûº µ Ï Ó Û Ö Ö Ï Ö ÐØÙÖÑ Ö Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø Øµ µ Ö Ò Ò Ë ÌÙÖÑÚÓÐÙÑ Òº

88 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù ½½¼ Ä ÙÒ Ò µ L = π r +π r +π r +... = 4 8 π(r + r + r +...) = π r 4 8 = πr µ Ö À Ð Ö Û Ø Ö Ð ÍÑ Ò ÖÓ Ò ÃÖ L = πrº Ï Ò Ð Ð Ò º µ Þ Ò Ø A À Ð Ö Ö Ø Ò Ó Ò A ÞÛ Ø Ö Ø Ò A 3 Ö ØØ Ö Ø Ò Ù Ûº Ó ÐØ A = A A + A 3 A = r π ( r) π + ( 4 r) π ( 8 r) π +... = π [r ( r) +( 4 r) ( 8 r) +...] = π (r 4 r + 6 r 64 r +...) = π r = ( 4 ) π r 4 = πr 5 5 Ù ½½½ µ U = U +U +U 3+U = 4+ 4+( ) 4+( ) = 4 (= 8+4 ) = 3.657m µ Æ Ö ÓÖÑ Ð a n = a q n Ö Ò¹Ø Ð Ò Ö Ø 000 = 4 ( ) n º Ù Ò Ò n = ( 4000 ) n ln( ) = (n )ln( 4000 ) ln( 4000 ) = n ln( ) 3.93 = n 4.93 = n n = 5 Ù ½½¾ ½º Ë Ö ØØ Ö ACB BCD CDE ººº Ò ÐÐ ÒÐ ÞÙÑ Ö ABΩ Ö ΩBA BAC Ò Ö ØÛ Ò Ð ÙÒ Ò Ò Ï Ò Ð A Ñ Ò¹ Ѻ Ð Ò ÒÐ º Ö BCD Ø Ò ÐÐ ÒÐ ÞÙ Ò Ó Ò Ò Ö Ï Ò Ð C Ö Ð Ø Û Ö Ï Ò Ð ÚÓÑ Ö ACB Bº Í Ûº ¾º Ë Ö ØØ ÄÒ Ò Ö ÒÞ ÐÒ Ò ËØÖ Ò ËØÖ ÒÞÙ Ð Ò Ò Ñ Ø a = AB = ÙÒ q = 5 AΩ = BΩ +AB = + = 5º BC AB = BΩ AΩ = 5 CD BC = BΩ AΩ = 5 ººº º Ë Ö ØØ Ñ Ø Ö Ò Ï ÐÒ L = + 5 +( 5 ) +( 5 ) = = 9.47m 5 Ù ½½ ½º Ë Ö ØØ Ö ÒÙÒ ÚÓÒ q Ö Ö ÃÙ ÐÖ Òµº Æ Ö ÓÖÑ Ð s = a Ø = 0. q = q = 4º q q 5 5 ¾º Ë Ö ØØ Ñ Ø Ö Ò ÑØÚÓÐÙÑ Ò V = V +V +V = 4 3 r3 π r3 π r3 3π +... = 4 3 π(r3 +r 3 +r ) = 4 π[( 3 0 )3 + ( )3 +(( 4 5 ) 0 )3 +(( 4 5 )3 0 )3 +...] = 4 π[( 3 0 )3 +( 4 5 )3 ( 0 )3 +( 4 5 )6 ( 0 )3 +( 4 5 )9 ( 0 )3 +...] = 4 π( 3 0 )3 = m 3 = 8.6dm 3 = 8.6l ( 4 5 )3 Ù ½½ ÅÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ñ Ò Ð Ã ÒØ ÒÐÒ ÙÒØ Ö Ø Ò Ï Ö Ð Ñ Ø Ö ÐØ Ñ Ò Ã ÒØ ÒÐÒ ÞÛ ØÙÒØ Ö Ø Ò Ï Ö Ð Ù Ûº Ð Ó ÐØ Ö ÓÐ (a n) Ö Ï Ö Ð ÒØ Ò a = a = = a 3 = ( ) a 4 = ( ) 3 ººº µ h = a = = 3.44m = (+ )m q µ V = a = q ( ) 3 =.5469m 3

89 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä º½ Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ä Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± ¾Ä f : D R Ò ÙÒ Ø ÓÒº a R {± } Ø Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ f Ö x x µ Û ÒÒ Ö ÓÐ (x n ) D Ñ Ø x n x n µ Ö Ð ÓÐ (f(x n )) ÐØ a = lim n f(x n ). ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ò a = lim x f(x) (a = lim x f(x)) Ô Ð Ç Ò ØÐ Ö Ö ÒÞÛ Öص Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒf(x) = x º Ø ÑÑ Ò Ë lim x f(x) ÙÒ lim x f(x)º lim x x = 0 und lim x x = 0 = f(x ) y Ð ÓÐ 4 3 / = f(x ) /3 = f(x 3 ) /4 = f(x 4 ) Ò ÐÓ Þ Ò Ø Ñ Ò ÓÐ ÙÒ Ð ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ø 3 4 x x x 3 x 4 ÓÐ x

90 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ô Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ø ÑÑÙÒ ÙÖ Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ µ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒf(x) = x 3x x +5 º Ö Ò Ò Ë lim x f(x) ÙÒ lim x f(x)º x Ù Ð x 3x = x ( x x 3) 3 = +5 x (+ 5 x ) + 5 x x º lim n ± x 3x x +5 = lim n ± = lim n ± 3 x 5 = 0 +lim n ± +0 = x 3 x + 5 x = lim n ± ( 3 x ) lim n ± (+ 5 x ) Ô Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ü Ø ÖØ Ò Øµ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = cosxº Ö Ò Ò Ë lim n f(x)º Æ º Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÙ Ö ÓÐ (x n ) Ñ Ø x n Ö Ð Ö ÒÞÛ ÖØ a = lim n f(x n ) Ö¹ Ù ÓÑÑ Ò Ï Ð x n := nπº cos(nπ) = n lim n cos(nπ) = º Ï Ð x n := (n+)πº cos((n+)πn) = n lim n cos((n+)π) = º lim x cosx Ü Ø ÖØ Ò Øº

91 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ¼ Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± ÁÒ Ò ÓÐ Ò Ò Ù Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ Û ÒÒ Ñ Ò ÓÖØ Ö ÐÐ n ÙÖ x Ö ØÞغ Ù ½½ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ µ Ö Ò Ò Ë lim x f(x) ÙÒ lim x f(x)º µ f(x) := x x 5x + µ f(x) := x x 5x 3 + µ f(x) := ln(3x)+7 lnx µ f(x) := 3x 3 x +3 x µ f(x) := (x 3)3 x 3 µ f(x) := 4 x 5 x+5 µ f(x) := x(x+) ( x ) 0 x µ f(x) := 3x+ 4x+( ) x µ f(x) := 4x x+ +( 0 )x µ f(x) := 5x+ x ( 4 )x µ f(x) := (x )(x+) x x 3 е f(x) := (4 x ) x+ x ѵ f(x) := x+3 (x+) x Òµ f(x) := x x x x Óµ f(x) := x +3 x + x3 +3 5x 3 Ôµ f(x) := x 3 x x Ù ½½ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ñ Ù ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÒÞ Ò ± µ µ f(x) := x x 5x µ f(x) := x3 +x x +

92 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½ Ä ÙÒ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± Ö Ö ÒÙÒ ÚÓÒlim x f(x) Ò ÐÐ Ä ÙÒ Û ÙÒ Ä ÙÒ Ò ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ Û ÒÒ Ñ Ò ÓÖØ n ÙÖ x Ö ØÞØ Ù Ö Ò Ò Ù Ò ÙÒ µº Ö Ö ÒÙÒ ÚÓÒ lim x f(x) ÒÒ Ö Ä ÙÒ Û ÙÒØ Ö Ò ÒÑÐ Ò Ò Ù Ò Ñµ Ù ½½ µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x 5x + = x ( x ) lim x ± x x 5x + = lim x ± x 5 x µ x 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x lim x ± x x 5x 3 + = lim x ± = 0 º x (5 x ) = x 5 x = limx ± ( x ) lim x ± (5 x ) = limx ± x 5 lim x ± x 5x 3 + = x3 ( x x ) x 3 (5+ = x x x 3) 5+ x x 5+ µ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ØÞ ÒÛ Ò Ò ln(3x)+7 lnx lim x ln(3x)+7 lnx 0++0 = x 3 º = = 5 = lim x ± ( x x ) x 3 lim = lim x ± x limx ± x ± (5+ x x 3) 5+lim x ± = x 3 = ln3+lnx+7 lnx = ln3 lnx ++ 7 lnx º = lim x ( lnx lnx ++ 7 lnx ) = lim x ln3 lnx ++lim x 7 lnx = lim x f(x) Ü Ø ÖØ Ò Ø ln(x) Ò Ø Ü Ø ÖØ Ö x < 0º µ 3 x Ù Ð ÑÑ ÖÒ 3x 3 x 3 lim x 3 x x +3 = lim x 3 x +3 = 3x ( x 3 ) 3 x ( = 3 3 x+) x+º 3 3 lim x 3 x x +3 = lim x 3 x 3 lim x (3 x )+ = 0 µ x 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ (x 3)3 = 3 3 x+ lim x ( (x 3) lim 3 ( x ± x = lim 3 3 x )3 x ± = 3 3 x+) lim x ( 3 x + = 3 lim x ( = 3 x+) x = [x( 3 3 x )]3 x 3 ( x 3 ) = x 3 ( 3 x )3 x 3 ( = ( 3 x )3 x 3 ) x 3 º = 3 3 x)+ 0+ = 3 3 lim x ( 3 x )+ = = limx ± ( 3 x )3 x 3 lim = [limx ± ( 3 x ± ( x )]3 x 3 ) lim = x ± ( x 3) 3 0 = 8 Ñ Ö ÙÒ Ñ Ø Ò Û Ö Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ð Ö Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÙÒ ÒÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ÒÛ Ò Ò Û Ù ÞÙÑ Ð Öغµ µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4 x 4 lim x x 5 x+5 = lim 4 x x x+5 = x(4 x ) = 4 x x(5+ x 5 ) 5+ 5 x º = limx (4 x ) x lim x (5+ 5 x ) = 4 limx x 5 5+lim x x = = 4 5 lim x f(x) Ü Ø ÖØ Ò Ø x Ò Ø Ü Ø ÖØ Ö x < 0º µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x(x+) ( x ) 0 = x + x ( x )0 = x (+ x x ) = + x ( x x )0x x 0 x º x(x+) + lim x ( x ) 0 = lim x x x + x 0 = lim x x x lim x x 0 = n lim x (+ x ) 0 = +lim lim x ( x +0 0 = x ) lim( x) 0 0 = ( ) 0 = 0 x(x+) + lim x ( x ) 0 = lim x x x + x 0 = = lim x x x lim x x = º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ò Öغ Ø Ö Ò Ð Ò c = Ö c > 0 ÙÒ c = Ö c < 0ºµ 0 x =

93 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ¾ µ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 3x+ 4x+( ) Ø Ö Ò Ø Ò ÖØ Þº º f( x ) Ò Ø ¹ Ò ÖØ Ø Û Ð ( ) = ( ) Ò Ø Ò ÖØ Øº µ ÁÑ Ö Ø Ò ËÙÑÑ Ò Ò x Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4x x+ = 4x x(+ x ) = 4 + x lim x [ 4x x+ +( 0 )x ] = lim x 4 4 +lim x x = 4 +0 = + x lim x [ 4x x+ +( 0 )x ] = lim x 4 + x lim x 0 x = 4 +lim x x + lim x ( 0 )x = 4 lim x (+ x ) + 0 = + lim x 0 x = lim x ( 0 )x = 4 lim x (+ x ) + + = + = ÇÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ò Öغ Ø Ö Ò Ð Ò c+ = Ö c Rºµ µ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) := 5x+ x ( 4 )x Ø Ö Ò Ø Ò ÖØ Þº º f( ) Ò Ø Ò ÖØ Ø Û Ð ( 4 ) = 4 Ò Ø Ò ÖØ Øº µ ÖÞ Ò ÙÒ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ (x )(x+) x x 3 = (x )(x+) x ( x) = (x )(x+) x (x ) = (x+) x = [x(+ x )] x = x (+ x ) x = (+ x ) º (x )(x+) lim x ± x x = lim 3 x ± [ (+ x ) ] = lim x ± (+ x ) = [lim x ± (+ x )] = [] = 4 е ÁÑ ÞÛ Ø Ò ØÓÖ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x+ x = + x lim x ± [(4 x ) x+ x ] = lim x ± (4 x ) lim x ± (+ x ) = 4 = 8 x = x(+ x ) ѵ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x+3 (x+) x = x(+ 3 x ) x(+ x ) x = + 3 x + x lim x x+3 (x+) x = lim x ( + 3 x + x +lim x 3 x +lim x x x º x ) = lim x + 3 x + x lim x = +0 x +0 0 = 0 = 0 lim x x+3 (x+) x = lim x ( + 3 x + x +lim x 3 x +lim x x x ) = lim x + 3 x + x lim x = +0 x +0 = = lim x x = lim x x = ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ò Öغ Ø Ö Ò Ð Ò = Ù µµ Òµ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ lim x ± x x x x = lim x ± Óµ x ÞÛº x 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x = x ( x x x 3) x x ( = x x 3 x 4) x x 3 x 4 º x limx ± x 3 = lim x ± x 4 lim x ± x 4 x +3 x + x3 +3 5x = x (+ 3 3 x ) x 3 (+ 3 x (+ x 3 ) x ) 5x = x x 3 x lim x ± ( x +3 x + x x ) = lim 3 3 x x ± +lim x ± 3 x +lim x ± + +lim 3 x ± x 3 x 5 = Ôµ ÍÑ ÓÖÑ Ò ÒÒ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x 3 x x = x 3 = x x x x x lim x ± ( x 3 x x 3 x = x 5 º 3 + x lim 3 x ± x 5 = 5 = 5 3 x = x = x( 3 x ) 3 5 = x º = = 0 ) = lim x ± 3 x = lim x ± 3 x = 0 =

94 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ñ Ö ÙÒ ËØ ØØ ÞÙ Ö Ø ÙÑÞÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ÒÒ Ü Ù ÞÙ Ð ÑÑ ÖÒ Û Ö Ñ Ò Ò ÐÐ Ö ÒÙÖ x Ù Ð ÑÑ ÖÒº Ö Ø Ö Ë Û Ö ÒÐ ÙÒ ¹ ÛÓ ÒØ Öºµ Ù ½½ µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x 5x = x(x ) x(5 x ) = x 5 x º x lim x x ± 5x = lim x ± x = limx ± (x ) 5 x lim x ± (5 x ) = ± µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x3 +x x + = x (x+) x+ = x (+ x) + lim x ± x 3 +x x + = lim x ± x+ + x = x º Ö ÒÒØÒ Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒ ÚÓÖ Ñ ÒÛ Ò Ò Ö Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ö ¹ Ø Ñ Æ ÒÒ Ö ÚÓÖ ÓÑÑ Ò ÈÓØ ÒÞ Ò Æ ÒÒ Ö ÙÒ Ð Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒº

95 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä º¾ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R ¾Ä Å Ò Ñ Ð ÒØ Ö ÖØ Ñ Ò Ö Î Ö ÐØ Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Æ ÚÓÒ Ó º Ò Ø ÓÒ Ð Ò x 0 Rº Ò ÈÙÒ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÞÛ Ö Ò Ò Ö ÍÑ ÙÒ ÚÓÒ x 0 Ò ÖØ Ø Ò Ø Ö Ò x 0 Рغ f : D R Ò ÙÒ Ø ÓÒº a R {± } Ø Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ f Ö x x 0 R Û ÒÒ Ö ÓÐ (x n ) D Ñ Ø x n x 0 Ö Ð ÓÐ (f(x n )) ÐØ a = lim n f(x n ). ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ò a = lim x x0 f(x) Ñ Ö ÙÒ ËØ ÐÐ x 0 Ò Ö Ò Ø ÓÒ ÒÒ Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ò ÑÙ Ö Ò Øº ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð º¾ Û Ö x 0 ÑÑ Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ñ Ò Ø Ò Ã Ô Ø Ð º Ò º Ô Ð ¼ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : R\{3} R,x (x 3) º Ö Ò Ò Ë lim x 3 f(x) ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ò Ö Ô º y 4 3 lim x 3 (x 3) = x

96 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ô Ð ½ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : R \ {0} R,x x x º Ö Ò Ò Ë lim x 0 f(x) ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ò Ö Ô º x > 0 : f(x) = x x = x x = x < 0 : f(x) = x x = x x = Ê Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim f(x) = x 0,x>0 Ä Ò Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim f(x) = x 0,x<0 lim x 0 f(x) Ü Ø ÖØ Ò Øº } y x

97 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R Ù ½½ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò µ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø ÓÒ Ð x 0 º µ Ö Ò Ò Ë lim x x0 f(x) ÞÛº lim x x0,x>x 0 f(x) ÞÛº lim x x0,x<x 0 f(x)º µ Þ Ò Ò Ë Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ö Ð ØÞØ Ò Òµº ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ Ö ØÐ Ò ÏÓ Ö Ö Ô Ò Ò Ø ÛÓ ÝÑÔØÓØ Ò Ò Ò Ò Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ö ËÔÖÙÒ Ø ÐÐ ¹ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Ø º Úµ Ö Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÑ f : D R,x f(x) Òº D Þ Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÚÓÒ ºµ µ f(x) = (x ) µ f(x) = x 3 x 3 µ f(x) = (x+) 3 { µ f(x) = x, fallsx< 4 (x 4) +, fallsx> 4 µ f(x) = x µ f(x) = x+ x+ µ f(x) = x +3x x+5 µ f(x) = x+ x 3 8

98 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ù ½½ Ä ÙÒ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R µ x 0 = lim x (x ) = f : R\{} R,x (x ) µ x 0 = 3 x > 3 x 3 x 3 = x 3 x 3 = lim x 3,x>3 x 3 x 3 = x < 3 x 3 x 3 = x 3 (x 3) = lim x 3,x<3 x 3 x 3 = f : R\{3} R,x x 3 x 3 µ x 0 = lim x,x> (x+) 3 = lim x,x< (x+) 3 = f : R\{ } R,x (x+) 3 µ x 0 = 4 lim x 4,x<4 f(x) = lim x 4 x = lim x 4,x>4f(x) = lim x 4 [ (x 4) +] = { f : R\{4} R,x x, fallsx < 4 (x 4) +, fallsx > 4 µ x 0 = 0 lim x 0,x>0 x = lim x 0,x<0 x = f : R\{0} R,x x µ x 0 = x > x+ x+ = x+ x+ = lim x,x> x+ x+ = x < x+ x+ = x+ (x+) = lim x,x< x+ x+ = f : R\{ } R,x x+ x+ µ x 0 = 5 lim x 5,x> 5 x +3x x+5 = lim x 5,x< 5 x +3x x+5 = f : R\{ 5} R,x x +3x x+5 x+ µ x 0 = lim x,x> x 3 8 = lim x,x< x+ x+ x 3 8 = f : R\{} R,x x 8 Ù Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ò µ Ê Ø Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ö Ö Ø Ð Þº º x = Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ø0 غ Ñ Ôº0.000µº Ö ÉÙÓØ ÒØ Ø Ð Ö º Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ö Ø Ò ØÖ Øº Ä Ò Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ð Ò Ö Ø Ð Þº º x = Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö Û Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö ¹ Ò Ò Ø Ú Ð Ø 0 غ Ñ Ôº 0.000µº Ö ØÖ ÉÙÓØ Ò¹ Ø Ò Ø Ð Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ø Úº Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ð Ò Ò ØÖ Øº Ù Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ò µ Ë Ò Ò ÐÓ ÞÙ µ Ê Ø Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ö Ö Ø Ð ¾ Þº º x =.000 Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ø0 غ Ö ÉÙÓØ ÒØ Ø Ð Ö º Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ö Ø Ò ØÖ Øº

99 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ä Ò Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ð Ò Ö Ø Ð ¾ Þº º x =.9999 Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö Û Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö Ò Ò Ø ¹ Ú Ð Ø 0 غ Ö ØÖ ÉÙÓØ ÒØ Ò Ø Ð Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ø Úº Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ð Ò Ò ¾ ØÖ Øº µ y = (x ) µ y = x 3 x 3 3 µ y = (x+3) µ 3 9 { y = x, fallsx< 4 (x ) +, fallsx> 4 3 µ y = x µ y = x+ x+ ÁÒ µ ÙÒ µ Ò Ò ÒÙÒ Ò Ú ÖÐ Ò Øº

100 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä º ËØ Ø Ø ¾Ä Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Û ÒÒ Ö Ö Ô Ò ËÔÖ Ò Ñ Ø º º Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ô Þ Ò Ò ÒÒ Ó Ò Ò Ð Ø Ø Ò ÞÙ Ñ Òº Å Ø Ñ Ø ÔÖÞ Ò ÖØ Ñ Ò Û ÓÐ Ø f : D R Ò ÙÒ Ø ÓÒº f Ø Ø Ø Ñ ÈÙÒ Ø x 0 D Û ÒÒ Ðغ lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Ñ Ö ÙÒ Æ Ò Ø ÓÒ Ø x 0 D º º x 0 Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ð º Ò Ø ÓÒ Ð Ò x 0 Ø ÐÐØ Ð Ó Ö Ò Ö ËØ Ø Ø Ò x 0 Ö Ò Øº Ô Ð ¾ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ { x, fallsx f(x) = (x ) +, fallsx > µ Ë ÞÞ Ö Ò Ë Ò Ö Ô ÚÓÒ fº µ µ Á Ø f Ø Ø Ò x 0 = y x µ Ê Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim x,x> f(x) = lim x (x ) + = ( ) + = ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ f() = º Æ Ò

101 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½¼¼ Ô Ð Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ { x, fallsx f(x) = (x ), fallsx > µ Ò Ò Ë Ò Ö Ô ÚÓÒ fº µ µ Á Ø f Ø Ø Ò x 0 = y x µ Ä Ò Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim x,x< f(x) = lim x ( x) = Ê Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim x,x> f(x) = lim x (x ) = ( ) = ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ f() = ËÓÛÓ Ð Ð Ò ¹ Ð Ù Ö Ø Ø Ö Ä Ñ Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ñ ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ò Ö ËØ Ð¹ Ð ½ Ö Òº  ÎÓÖ Ò ÐÐ Ð Ò ¹ ÙÒ Ö Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ñ Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÖÒ ÐÐ Ò Øº

102 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½¼½ Ù ½½ ËØ Ø Øµ Ù Ò ËØ Ø Ø µ Ò Ò Ë Ò Ö Ô ÚÓÒ º ÓÐÐ Ò Ò Ò ÐÐ Ö ØÐ Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ô Ò Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ö ËÔÖÙÒ Ø ÐРܹÃÓÓÖ Ò Ø Ö ÃÒ Ø ÐÐ ÛÓ Ö Ö Ô Ò Ò ÃÒ Øµº µ Á Ø Ø Ø Ò x 0 x 0 Þ Ò Ø Û Ð Ö Ø ËØ ÐÐ ºµ Ë Ö Ò Á Ö ÒØÛÓÖØ ÐÐ Ò Ù ÖÙÒ Ö ÒÙÒ Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ò Ð Ò ¹ ÙÒ Ö Ø Ø Ò Ä Ñ Ö Ò Ò Û ÒÒ Ë Ò Ø ÛÓÐÐ Òº { µ f(x) =, falls x < e (x ), falls x { x+, falls x 3 µ f(x) = (x 3) +, falls x > 3 { cosx, falls x < 0 µ f(x) = e x, falls x 0 Ò Ø Û ÒÒ Ë ¾ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Òµ Ö Ò Òº { x+5, falls x µ f(x) = x+, falls x > e x+, falls x < µ f(x) =, falls x = x++, falls x > µ f(x) = x 3 x 3 { ax 3, falls x < µ f(x) = e x, falls x Ö Ò Ò Ë Ò È Ö Ñ Ø Ö a Ó Ø Ø Øº Ë Ñ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Þ Ò Òºµ

103 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½¼¾ Ä ÙÒ Ò ËØ Ø Ø Ù ½½ µ Ø Ø µ Ò Ø Ø Ø µ µ Ò Ø Ø Ø Ø Ø.5 π 0.69 µ Ò Ø Ø Ø.4 µ Ò Ø Ø Ø 3 µ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ñ Ò Ò Ð Ò Ï ÖØ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ x 0 = ax 3 = e x Ö x = º a 3 = e a 3 = a =

104 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ ½ Ä º½ Ò Ø ÓÒ Ö Ð ØÙÒ Ä f Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÐÐ f f(x+h) f(x) (x) := lim R h 0 h Ü Ø ÖØ Øf Ö ÒÞ Ö Ö Ò Ö ËØ ÐÐ Ü ÙÒ f (x) Ø Ð ØÙÒ ÚÓÒ f Ò Ö ËØ ÐРܺ Ñ Ö ÙÒ ËØ ØØ Ð ØÙÒ Ø Ñ Ò Ù Ö ÒØ Ð Ó Ö Ö Ö ÒØ ÐÕÙÓØ Òغ ÍÒ Ø ØØ f Ø Ù Ë Ö Û Ò dx df dy dx Ó Öy º Ö ÉÙÓØ ÒØ f(x+h) f(x) h Ó Ò Ä Ñ ÚÓÖ Ø Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ Òغ Ô Ð f(x) = xº Ö Ò Ò Ë f (x) ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ô Þ ÐÐ Ö x = ÙÒ x = 3º f(x+h) f(x) f(x+h) f(x) h Ì Ò ÒØ Ñ Ø ËØ ÙÒ f () = Ë ÒØ x Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ x+h f(x+h) f(x) h = x+h x h

105 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ = ( x+h x)( x+h+ x) h( x+h+ x) x+h x = h( x+h+ x) = x+h+ x Ö ÒØ ÐÕÙÓØ ÒØ f (x) = lim = h 0 x+h+ x f () = f (3) = 3 = 0.9 = x+ x x ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö Ð ØÙÒ ÁÒ Ö ÙÒ Ô Ð Ö ÒÒØ Ñ Ò Å Ø ÖÙÑÔ Ò Ñ h Û Ö Ë ÒØ ÑÑ Ö Ñ Ö ÞÙÖ Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô º Ð Ó Ð ØÙÒ f (x) Ø ËØ ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô ÚÓÒ f Ò Ö ËØ ÐÐ xº Ì Ò ÒØ Ñ Ø ËØ ÙÒ f (x) x

106 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ù Ò ½ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ Ù ½½ Ð ØÙÒ Ö ÒÙÒ Ñ ØØ Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ f (x) ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ô Þ ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ò ËØ ÐÐ Ò Üº µ f(x) = x x = x = x = µ f(x) = mx+q x = x = 7 x = 0 m,q R ص µ y = x x = x = x = 3 Ì ÔÔ Ò Ö Ñ Ð Ö Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ Ò Ð Ò Ñ Ñ Òµ µ f(x) = c x = x = π x = 0 c R ص

107 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ä ÙÒ Ò ½ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ Ù ½½ Ð ØÙÒ Ö ÒÙÒ Ñ ØØ Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ð ÙÒ µ µ f(x+h) f(x) h = (x+h) x h = x +xh+h x h = h(x+h) h = x + h h 0 x f (x) = x f () = = f ( ) = ( ) = 4 f ( ) = µ f(x+h) f(x) h = m(x+h)+q (mx+q) h f () = f ( 7) = f (0) = m = mx+mh+q mx q h = m h 0 mº f (x) = m µ f(x+h) f(x) h = x+h x h = x (x+h) (x+h)x h = h (x+h)x h = h 0 (x+h)x x f (x) = x f () = f () = 4 f ( 3) = 9 µ Ø Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÒ µ Ñ Ø m = 0º Ï Ö Ö Ò Ò ØÖÓØÞ Ñ Ö Ø Ò f(x+h) f(x) h = c c h = 0 h = 0 h 0 0 f (x) = 0 f () = f (π) = f (0) = 0º

108 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ º¾ Ð ØÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¾Ä ØØ Û Ò Ë ÒÒ Û Ö Ö Æ ÙÐ Ò Ò Ö Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò Ð ØÙÒ Ò Ù Ö Ò Ò Ó Û Û Ö Ñ Ð ØÞØ Ò Ò ØØ Ñ Ø Òµº Ò Ø Û ÒÒ Ò Å Ð Ñ Ø Û Ö ÙÒ Ð ØÙÒ Ò Ò Ì ÐÐ Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÓÐ Ò Ì ÐÐ ÒØ ÐØ Û Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº Ë Ø Ò¹ Ø Ñ Ø Ö Ì ÐÐ ÓÖÑ Ð Ù ÙÒ Ñ ÒØÙÑ Ù Ë Ø ¼ ÛÓ Ö Ø ËÔ ÐØ Ö Ò Ø Ù ÖØ Ø Ö ÙÒ ÞÙ Ñ ØÔÙÒ Ø ÒÓ Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ Øº f (x) f(x) 0 c c R c cx r x r x r = x x x = x x = x x = x cosx sinx +tan x = e x c e cx lna a x x lna x x x cos x sinx cosx tanx e x e cx a x ln x log a x arcsinx arccosx arctanx +x Û Ø Ø Ø Ö ØØ Ð Û Ð ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ö Ø Ò Ð Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÒ Ò º Ö ¾º Ð Û Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Ò Ò ØØ Ð Öºµ ÓÐÐØ Ò Ë Ò Ö Ñ Ò Ð Ò Å ØÙÖ Ù Û Ò ÒÒ Ò (x r ) = rx r

109 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ô Ð f(x) = x 3 f () =? º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø r = 3µ f (x) = (x 3 ) = 3x f () = 3 = Ô Ð f(x) = x f (4) =? ½º Å Ð Ø º Ð Ì ÐÐ f (x) = ( x) = x f (4) = 4 = 4 ¾º Å Ð Ø º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø r = µ f(x) = x f (x) = (x) = x = = x / x f (4) = = 4 4 Ô Ð f(x) = x f ( ) =? ½º Å Ð Ø ¾º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø c = µ f (x) = (x) = f ( ) = ¾º Å Ð Ø º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø r = µ f (x) = (x ) = x 0 = f ( ) =

110 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ù Ò ¾ Ð Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù ½¾¼ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ f (x) Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ò ËØ ÐРܺ µ f(x) = x 7 x = µ y = x 3 x = 4 µ f(x) = x 3 x = 8 µ f(x) = x x = 9 µ y = x x = µ f(x) = 8 x = π µ f(x) = 3x x = µ y = x x = 3 µ y = x x = µ f(x) = x 5 x = µ f(x) = x π x = Ù ½¾½ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ f (x) Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ò ËØ ÐРܺ µ f(x) = cosx x = π µ y = sinx x = 3π µ f(x) = tanx x = 5 µ f(x) = e x x = 5 µ y = e πx x = 3 µ y = e x π x = µ f(x) = 3 x x = µ y = ( ) x x = µ y = lnx x = µ f(x) = sin x x = 4 µ f(x) = cos x x = 0.5 е f(x) = tan x x =

111 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½¼ Ä ÙÒ Ò ¾ Ð Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù ½¾¼ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = 7x 6 f ( ) = 7 ( ) 6 = 448 µ f (x) = 3 x3 = 3 x = 3 x f (4) = 3 4 = 3 µ f (x) = 3 x 3 = 3 x 3 = 3 x 3 µ f (x) = x f (9) = 9 = 6 = 3 3 x f (8) = = 3 µ f (x) = (x ) = x = x 3 = f () = 3 = 8 = 4 = 0.8 x 3 = x 3 µ f (x) = 0 f ( π) = 0 µ f (x) = 3 f ( ) = 3 µ f (x) = x f (3) = 3 =.3 µ f (x) = x f ( ) = ( ) = 4 µ f (x) = (x 5 ) = 5x 6 = 5 x 6 f () = 5 6 = 5 64 = 0.08 µ f (x) = (x π ) = π x π = π x (π+) = π x π+ f ( ) = π ( )π+ = Ù ½¾½ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = sinx f ( π ) = sin π = µ f (x) = cosx f (3π) = cos(3π) = µ f (x) = cos x f (5) = cos 5 = (0.8) =.43 µ f (x) = e x f (5) = e 5 = 48.4 µ f (x) = πe πx f ( 3) = πe 3π = µ f (x) = π e π x f ( ) = π e π = 0.37 µ f (x) = ln3 3 x f ( ) = ln3 3 = 9 ln3 = 0. µ f (x) = (ln ) ( ) x f ( ) = (ln ) ( ) = ln = 0.7 µ f (x) = x f ( ) = = µ f (x) = x f ( 4 ) = = ( 4 ) 6 µ f (x) = x f ( ) = = ( ) 4 е f (x) = +x f ( ) = +( ) = +4 = 5 = 0. = 5 6 = 3 4 = 5 4 = 3 = 4 5 =.03 = 3 =.5

112 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½½ º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð ½Ä Ô Ð Û Ò Ø Ñ Ò Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = e x x Ò Ø Ò Ò Ì ÐÐ Òº Å Ø Ð Ö ËÙÑÑ ÒÖ Ð ÙÒ Ö ØÓÖÖ Ð ÒÒ Ñ Ò ØÖÓØÞ Ñ Ö Ò Ò Ò Ñ Ñ Ò Ù Ð ØÙÒ Ö Ò Ì Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò e x ÙÒ x ÞÙÖ Öغ Ë ØÞ ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ðµ Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òf(x) ÙÒ g(x) Ò Ö ËØ ÐÐ x Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ò Ù f(x)+g(x) ÙÒ c f(x) c Rµ ÙÒ ÐØ (f(x)+g(x)) = f (x)+g (x) Û ËÙÑÑ ÒÖ Ð f(x+h)+g(x+h) [f(x)+g(x)] h ØÓÖÖ Ð cf(x+h) cf(x) h (cf(x)) = cf (x) = c f(x+h) f(x) h = f(x+h) f(x) h + g(x+h) g(x) h 0 h f (x)+g (x)º = h 0 c f (x)º Ô Ð f(x) = x 3 3 x + lnx f (x) =? f () =? f (x) = (x 3 3 x + lnx ) = (x 3 ) 3 ( x ) + (lnx) = 3x 3 ( )+ x x = 6x x x f () = = 9.5

113 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½¾ Ù Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ù ½¾¾ ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐРܺ ÁÒ Ò Ö Ø Ò ÞÛ Ì Ð Ù Ò µ ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ù Ò Ö ËØ ÐÐ x = º µ f(x) = x 4 +x 7 µ y = 4x 3 µ f(x) = x 3 µ y = (x 3 ) 4 µ f(x) = 5x µ f(x) = x µ y = x 3 5x +6 µ y = x + x +x µ f(x) = 3 x3 +t x+ t 3 x µ f(x) = xk x k (k )(k ) µ y = cx k +x k Ù ½¾ Ï Ø Ö ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐРܺ µ f(x) = cosx+sinx µ y = e5x x 3 6 µ f(x) = 3 tanx+9 µ y = (e x )(e x +) µ f(x) = 3x +3 5cosx µ f(x) = e 7lnx e x µ y = (e x e x ) µ y = 3 (sin x+cos x) µ f(x) = sinx µ f(x) = cosx 4 4( sin x) x [ π, π ]

114 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ä ÙÒ Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ù ½¾¾ ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐРܺ ÁÒ Ò Ö Ø Ò ÞÛ Ì Ð Ù Ò µ ÙÒ µ Ö Ò Ù Ò Ö ËØ ÐÐ x = º µ f (x) = (x 4 +x 7 ) = (x 4 ) +(x 7 ) = 4x 3 +7x 6 f ( ) = 4 ( ) 3 +7 ( ) 6 = 46 µ f (x) = (4x 3 ) = 4(x 3 ) = 4 3x = x f ( ) = ( ) = 48 µ f (x) = ( x 3 ) = (x 3 ) = 3x µ f(x) = (x 3 ) 4 = 6x f (x) = (6x ) = 6 x = 9 x µ f(x) = 5x = 5 x f (x) = ( 5 x) = 5 ( x) = 5 x = 5 x µ f(x) = x = x f (x) = ( x ) = ( x ) = x µ f (x) = (x 3 5x +6) = (x 3 ) 5(x ) +(6) = 3x 0x µ f (x) = ( x + x +x) = (x )+( x ) +x = x+( x )+ = x x + µ f (x) = 3 (x3 ) +t( x) + t 3 ( x ) = 3 3x +t x + t 3 ( x 3 ) = x + t x t 6 x 3 µ f(x) = xk x k (k )(k ) = (k )(k ) (xk x k ) f (x) = (k )(k ) [(xk ) (x k ) ] = (k )(k ) [(k )xk (k )x k 3 ] = xk k xk 3 k µ f (x) = c(x k ) +(x k ) = c( k)x k +k x k Ù ½¾ Ï Ø Ö ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐРܺ µ f (x) = (cosx) +(sinx) = sinx+cosx µ f (x) = 6 [(e5x ) (x 3 ) ] = 6 (5e5x 6x ) = 5 6 e5x x µ f (x) = 3 (tanx) +9 = 3 cos x +0 = 3cos x µ f(x) = (e x )(e x +) = (e x ) = e x f (x) = (e x ) = e x µ f(x) = 3x +3 5cosx = 3x + 3 5cosx f (x) = (3x ) ( 3 ) 5(cosx) = ln3 3x +5sinx µ f(x) = e 7lnx e x = e ln(x7) e x = x 7 e x f (x) = (x 7 ) (e x ) = 4x 6 e x µ f(x) = (e x e x ) = (e x ) e x e x +(e x ) = e x +e x f (x) = (e x ) +(e x ) = e x e x = (e x e x ) µ f(x) = 3 (sin x+cos x) = 3 f (x) = ( 3 ) = 0 µ f(x) = sinx cosx 4 = tanx 4 f (x) = tan x 4 = cos x µ f(x) = 4( sin x) = sin x = cos x x [ π,π ] = cosx f (x) = cos x = sinx

115 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ º ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ä Ô Ð ËØ ÐÐ ÞÙ ÚÓÖ Ò Ö ËØ ÙÒ Ö Ò Òµ Ò Û Ð Ö ËØ ÐÐ Ü Ø Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x ËØ ÙÒ 4 Ì Ò ÒØ ÓÐÐ ËØ ÙÒ 4 Ò x =? f (x) = 4 ( x) = 4 x = 4 4 = x = x x = 4 Ô Ð ¼ Ð ÙÒ Ò Ö Ì Ò ÒØ Ö Ò Òµ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ y = e x º Ö Ò Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ö Ì Ò¹ ÒØ Ò Ò Ö Ô ÚÓÒ f Û Ð Ü¹ ½ Ò Øº x =? e x/ x = f (x) e x/ x = ex/ e x/ = ex/ (x ) 0 = ex/ (x ) e x/ 0 = e x/ ( (x ) ) x =? 0 = e x/ ( x 3 ) 0 = x 3 x = 3

116 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ð ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ f (3) = e3/ =.4 ÈÙÒ Ø Ù Ì Ò ÒØ P(3 e 3/ ) = P(3 4.48) Ò ØÞØ Ò Ò Ð Òº кy = mx+q 4.48 =.4 3+q.4 = q y =.4x.4

117 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ù Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ù ½¾ ÈÙÒ Ø Ñ Ø ÚÓÖ Ò Ö ËØ ÙÒ µ Ò Û Ð Ò ËØ ÐÐ Ò Ø Ö Ö Ô ÚÓÒ ËØ ÙÒ Ñ µ f(x) = x e x m = 0 µ y = x m = Ù ½¾ Ì Ò ÒØ Ò Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ð ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÈÙÒ Ø P(?)º f(x) = x 3 +4x 5 Ù ½¾ È Ö Ð Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë È Ö Ñ Ø Ö Ó È Ö Ð ÚÓÒ y = ax +bx+c Ñ ÈÙÒ Ø P( ) ËØ ÙÒ 4 Ø ÙÒ ÙÖ Ò ÈÙÒ Ø Q(5 8) غ Ù ½¾ ÆÓÖÑ Ð Ò Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ð ÙÒ Ö ÆÓÖÑ Ð Ò ÞÙÑ Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÈÙÒ Ø P(e?)º f(x) = lnx+ Ö ÒÒ ÖÙÒ Ò Ö Ò Ö Ø ÞÙÖ Ö Ò y = mx + q Ø Ø Ø ËØ ÙÒ m ºµ Ù ½¾ Ë Ò ØØÛ Ò Ð ÚÓÒ Ö Ô Òµ ÍÒØ Ö Û Ð Ñ Ï Ò Ð Ò Ò Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = x 3 ÙÒ g(x) = 4 x Ù ½¾ Ì Ò ÒØ ÙÖ ÚÓÖ Ò Ò ÈÙÒ Ø P Ö Ô µ Ö Ò Ò Ë Ð ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Û Ð Ò ÈÙÒ Ø P( ) ÒØ Ðغ È Ð Ø Ò Ø Ù Ñ Ö Ô ºµ Ù ½ ¼ ÓÖÑ Ð Ö Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Øµ Ù Ñ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ö Û Ò Ë Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ë Ø ÐÔÙÒ Ø Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø y = ax +bx+c Û Ò Ë º u = b a.

118 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ä ÙÒ Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ù ½¾ ÈÙÒ Ø Ñ Ø ÚÓÖ Ò Ö ËØ ÙÒ µ µ f (x) = 0 (x e x ) = 0 e x = 0 = e x x = 0 µ f (x) = x = = x x = ± Ù ½¾ Ì Ò ÒØ Ò Ð ÙÒ µ ݹÃÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ P( y) y = f( ) = ( ) 3 +4( ) 5 = 4 5 = 8 P( 8)º Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ m m = f ( ) = 3x +4 = 3( ) +4 = 3+4 = P( 8) ÙÒ m = Ò ØÞ Ò Ò y = mx+q 8 = +q q = 7º y = x 7 Ù ½¾ È Ö Ð Ð ÙÒ µ f (x) = ax+b ËØ ÙÒ º º ËØ ÐÐ ¾ ÓÐÐ 4 Ò 4 = a +b 4a+b = 4 P( ) Ö Ô = a +b +c 4a+b+c = P(5 8) Ö Ô 8 = a 5 +b 5+c 5a+5b+c = 8 Ò Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ò Ò Î Ö Ð Ò º Ìʵ a = b = c = 8 Ù ½¾ ÆÓÖÑ Ð Ò Ð ÙÒ µ f (x) = x ݹÃÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ P(e y) y = f(e) = lne+ = + = 0 P(e 0)º ËØ ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò P(e 0) m = f (e) = e ËØ ÙÒ Ö ÆÓÖÑ Ð Ò Ò P(e 0) m = m = eº P(e 0) ÙÒ m = e Ò ØÞ Ò Ò y = m x+q 0 = e +q q = e y = ex e Ù ½¾ Ë Ò ØØÛ Ò Ð ÚÓÒ Ö Ô Òµ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ò Ò ÙÒ Ö Ù º γ P α β Q f (x) = 3x g (x) = 4 x Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò Ö Ö Ô Ò x 3 = 4 x x4 = 4 x = ± º

119 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ë Ò ØØÛ Ò Ð α Ö Ì Ò ÒØ ÚÓÒ f Ñ Ø Ü¹ x = tanα = f ( ) = 3 x = 3 = 6 α = º Ë Ò ØØÛ Ò Ð β Ö Ì Ò ÒØ ÚÓÒ g Ñ Ø Ü¹ x = tanβ = g ( ) = 4 x = β = 63.4 = 63.4 Ë Ò ØØÛ Ò Ð γ Ö Ò Ö Ô Ò x = γ = 80 α β = Ù ËÝÑÑ ØÖ Ö Ò Ò Ø Ö Ë Ò ØØÛ Ò Ð È ÙÒ É Ö Ð ºµ Ù ½¾ Ì Ò ÒØ ÙÖ ÚÓÖ Ò ÈÙÒ Ø P Ö Ô µ Ö Ù ÓÐÐØ Ñ Ò Ò ÒÙÒ Ñ Òº x + x P( ) (x+ ) f (x) = x Ö Ö Ø ÐÐ Ò x Ö Ì Ò ÒØ Ñ Ø Ñ Ö Ô Ðº Ð Ø Ñ Ò Ñ Ö Ù Ò ËØ ÙÒ Ö µ f (x) = x + x+ x = x + x+ x +x = x + x +x = 0 TR x =.6 x = 0.6º ËØ ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò m = f (.6) = 3.4 m = f (0.6) =.4º P( ) ÙÒ m = 3.4 ÞÛº m =.4 Ò ØÞ Ò Ò y = mx+q = 3.4 ( )+q q =.6 y = 3.4x.6 Ù ÞÓ Ò Ö µ =.4 ( )+q q = 0.38 y =.4x 0.38 ØÖ ÐØ Ö µ Ù ½ ¼ ÓÖÑ Ð Ö Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Øµ f (x) = ax+b Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ ÑÙ 0 Ò º º ËØ ÐÐ Ë Ø ÐÔÙÒ Ø 0 = ax+b x = b a

120 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ º ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ø ¾Ä ØÞØ Ò Û Ö Ò Ñ Ã Ô Ø Ð ÒÙÖ Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÐØ º º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ð ØÙÒ f (x) R Ü Ø Öغ Ø Ò Ø ÑÑ Ö Óº f (x) := lim h 0,h<0 Ð Ò Ø Ð ØÙÒ f(x+h) f(x) h f +(x) := lim h 0,h>0 Ö Ø Ø Ð ØÙÒ f(x+h) f(x) h Ç Ò ØÐ ÐØ Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ f º Ö º º ËØ ÐÐ x f (x) = f +(x) Rº Ô Ð ½ ÃÒ µ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö ËØ ÐÐ x = º { x, x < x, x 4 3 ËØ ÙÒ ËØ ÙÒ f () = (x ) = x = f +() = (x) = = ÃÒ ÃÒ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ½ 0 3 4

121 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾¼ Ô Ð ¾ ËÔÖÙÒ µ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ { f(x) = x, x < x +, x Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö ËØ ÐÐ x = º ËØ ÙÒ 0 3 ËÔÖÙÒ f () = R Ð Ö Ñ Ø ÒÙÒ µ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ¾ f +() = ( x ) = x = Rµ ÎÓÖ Ò Ò Ò Ù Ò x =, x + = 3 ËÔÖÙÒ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ¾º 0 ËØ ÙÒ Ô Ð Î ÖØ Ð Ì Ò ÒØ µ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö ËØ ÐÐ x = 0º f (x) = ( x) = x f (0) = 0 = 0 = R º Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ¼ Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ Ð ØÞ Ò Ô Ð Ö Û ÐÐ µ Ë Ö Û 0 = Ø Ò Ø Ö Å Ò Ö Ò Ø Ö Ø Ø Ð Ò f (0) = lim h 0 f(0+h) f(0) h = lim h 0 0+h 0 h = lim h h 0 h = lim h 0 h = º Ø Ù ÙÒ Ø ÓÒ Ò = ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò ÑÙ º Ø Ñ Ò Û Ð Ñ Ö Ô Ò Ò Ò Ñ Ò 0 Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ù ÖØ Ê ÒÙÒ Ò Ø ÙÖ Ö Ò Û Ðкµ

122 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾½ Ó ØÙÒ Ò Ò Ò Ö Ô Ð Ò f Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ x Ö Ö Ô Ø ÓÖØ Ò Ò ÃÒ Ñ Ø Ò Ò ËÔÖÙÒ ÙÒ Ø Ò Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ º Ñ Ö ÙÒ ½ Ò Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ù Ð ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Û Ð Ö Ö Ô Ö ÚÓÒ ÃÒ Ò ÙÒ ËÔÖ Ò Ò Øµº Ñ Ö ÙÒ ¾ Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ØÖ Ö Ð Ò ÙÒ Ø Ø Ò Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÙØÓÑ Ø Ø Ø º ÍÑ ÖÙÒ ÐØ Ò Ø Ò Ô Ð f(x) = x Ø Ø Ø Ö Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö Ò x = 0 ÃÒ µº Ñ Ö ÙÒ Ö Û ÐÐ µ ÍÑ ÖÙÒ ÚÓÒ Ñ Ö ÙÒ ¾ ÐØ Ò Ø Ø Ö Ô Ò Ó Ò ÃÒ ÙÒ ËÔÖ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö Øº º º Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Ù Ñ Ð ØÞØ Ò Ô Ð Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ ¼ Ó ÛÓ Ð Ö Ö Ô Ò ÃÒ ÙÒ ËÔÖ Ò Øº Ï Ø Ö Ô Ð f(x) = 3 x Ø Ó Ö Ù ÒÞ R Ö ÚÓÒ ÃÒ Ò ÙÒ ËÔÖ Ò Ò Ö Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ ¼ Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ ¼µº Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö ÒÞ Ö Ö Û ÒÒ Ò Ö ËØ ÐÐ Ö ÒÞ Ö Ö Øº Ë Ò Ø Ã Ô Ø Ðº

123 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾¾ Ù Ò Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ù ½ ½ Ö ÒÞ Ö Ö Øµ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö Ö Ø Ò ËØ ÐÐ Ü Ò Ñ Ë ÙÒØ Ö Ù Ò Ó Ò ÃÒ Ò ËÔÖÙÒ Ó Ö Ò Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ ÚÓÖРغ Ò Ò Ë Ò Ö Ô Ò µ ÙÒ µ ÞÙÑ Ö Ò Î Ö ØÒ Ò ºµ { x, x < µ f(x) = x+3, x x = { µ y = 3 x3, x e x x =, x > µ y = 3 x x = 0 µ f(x) = { e x, x 0 x+, x > 0 x = 0 µ y = x 3 x = 3

124 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ä ÙÒ Ò Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ù ½ ½ Ö ÒÞ Ö Ö Øµ } f µ +() = (x ) = x = 4 f () = ( x+3) = = ÃÒ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ º } µ 3 x3 = 3 3 = 3 e x = e ËÔÖÙÒ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ º = e =.78 µ f (0) = ( x) 0 = x 0 = = 0 0 º Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ 0º } f µ (0) = (e x ) 0 = e x 0 = e 0 = f + (0) = Ò ÃÒ f º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ 0º (x+) 0 = 0 = µ ÍÑ Ð Ø Ò ÞÙ ÒÒ Ò ÑÙ Ñ Ò Ú Ö Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ò ØÖ ¹ Þ Ò ÞÙ Ö Ò Ø x 3 = x 3 ÐÐ x 3 ÙÒ x 3 = (x 3) { = x+3 ÐÐ x < 3º x 3, x 3 Ð Ó ÒÒ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ò Ð f(x) = x+3, x < 3. } f +(3) = (x 3) 3 = 3 = f (3) = ÃÒ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ 3º ( x+3) 3 = 3 = ÒÙÒ Ò µ µ Ñ Ö ÙÒ ÞÙÖ ÒÙÒ Ò µ Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 3 Ø Ö ÙÑ Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ú Ö Ó Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x º Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ ÎÓÖ Ò Ò Ò Ù Ò Ù Ö Ø ÙÒØ Ö Ù Ò Ó Ò ËÔÖÙÒ ÒÒ Ó Ò ÃÒ ÙÒ ÒÒ Ó Ò Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ ÚÓÖРغ

125 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ º À Ö Ð ØÙÒ Ò ¾Ä Á Ø f : I R Ò Ö ËØ ÐÐ x I ¹ Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ø f Ö ÒÞ Ö Öº Ð ØÙÒ f Ð Ø ÒÒ Û Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ f : I R Ù Òº Ë Ø Ò Ö ËØ ÐÐ Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ Òº f(x) = sin(x) Ô Ð Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ ÚÓÒ f(x) = sinx ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f ÙÒ f ÙÒØ Ö Ò Ò Öº π 3π π π π π 3π π f (x) = cos(x) π 3π π π π π 3π π Á Ø f Ð Ø Û Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ó ÒÒ Ñ Ò f Û Ö Ð Ø Ò Å Ò Ö ÐØ ÞÛ Ø Ð ØÙÒ f º ÒØ ÔÖ Ò Ò Ö ØØ ¹ Ð ØÙÒ f Ú ÖØ Ð ØÙÒ f (4) ººº Ò ÖØ f (5) f (6) ºººµº

126 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ô Ð Ö Ø Ò Ò Ð ØÙÒ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ð ØÙÒ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x +4x ÙÒ Þ Ò Ò Ë ÐÐ Ö Ô Ò ÙÒØ Ö Ò Ò Öº 4 3 f(x) = x +4x f (x) = x f (x) = 3 4 f (3) (x) = f (4) (x) =

127 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ù ½ ¾ Û Ø Ð ØÙÒ µ Ö Ò Ò Ë ÞÛ Ø Ð ØÙÒ º µ f(x) = x +5x 7 µ y = x µ f(x) = e x +e x µ y = x+ 3 x Ù Ò À Ö Ð ØÙÒ Ò Ù ½ ÆÓ Ö Ð ØÙÒ Òµ µ Ö Ò Ò Ë ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò y = sinx µ Ö Ò Ò Ë ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò y = cosx µ Ö Ò Ò Ë ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 4sinx+5cosx µ Ö Ò Ò Ë ¾ ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = e x º Ö Ò Ò Ë Ù Ò Ö ËØ ÐÐ ¼º Ù ½ Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë f ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ö Ô Ò ÚÓÒ f ÙÒ f Û Ð ÙÒØ Ö Ò Ò Öº µ f(x) = x µ y = x µ f(x) = e x µ f(x) = { x, x x, x > Ë Ñ Ò Ò Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ð Ö Ò ÓÐÐØ Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ö¹ ØÐ Ò ÝÑÔØÓØ Ò ÛÓ Ö Ö Ô Ò Ò Ø ËØ ÐÐ ÃÒ Ù ½ Æ Ø Ü Ø ÒÞ ÚÓÒ f µ Á Ø ÙÒ Ø ÓÒ f Ù Ó Ö Ù µ Ö ÒÞ Ö Ö º º Ü Ø ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ f

128 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ù ½ ¾ Û Ø Ð ØÙÒ µ Ö Ò Ò Ë ÞÛ Ø Ð ØÙÒ º µ f (x) = x+5 f (x) = Ä ÙÒ Ò À Ö Ð ØÙÒ Ò µ f (x) = x f (x) = (x ) = x 3 = x 3 µ f (x) = e x e x f (x) = e x +e x = f(x)µ µ y = x+ 3 x = x 3 x + 3 x = 3 x + 3 x f (x) = 6 x 3 x 3 f (x) = x 3 + x 5 Ù ½ ÆÓ Ö Ð ØÙÒ Òµ µ f (x) = cosx f (x) = sinx f (x) = cosx f (4) (x) = sinx (= f(x)) µ f (x) = sinx f (x) = cosx f (x) = sinx f (4) (x) = cosx (= f(x)) µ Ù µ ÙÒ µ ÙÒ Ö ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ Ö ØÓÖÖ Ð ÓÐ Ø f (4) (x) = 4sinx+5cosx (= f(x)) µ f (x) = e x f (x) = 4e x f (x) = 8e x... f (n) (x) = ( ) n e x n Nº f (3) (x) = ( ) 3 e x f (3) (0) = ( ) 3 e 0 = 3 Ù ½ Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Þ Ò Òµ µ 3 f(x) = x µ 4 3 f(x) = x f (x) = x f (x) = x

129 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ µ 4 3 f(x) = e x µ 4 3 f(x) = { x, x x, x > f (x) = e x 3 4 f (x) = 3 { x, x, x > Ù ½ Æ Ø Ü Ø ÒÞ ÚÓÒ f µ Æ Ò f Ø Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ ½ Ö Ö Ô ÓÖØ Ò Ò ÃÒ Øº ÙÒ Ø ÓÒ f Ü Ø ÖØ Ð Ó Ò Øºµ

130 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ º Ô Ð Ò Ö È Ý Ã Ò Ñ Ø µ ½Ä Ò Ã ÖÔ Ö Û ÐÒ Ò Ö Ö Ò sº s(t) s ÙÒ Ø ÓÒ s(t) Ò ÇÖØ s Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø t Òº Å Ò Ò ÖØ v(t) := s (t) Û Ò Ø ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t a(t) := s (t) Ð ÙÒ ÙÒ ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t Ô Ð Ð Ñ Ð ÙÒ Ø Û ÙÒ µ Ò Ã ÖÔ Ö Û ÐÒ Ò Ö Ö Ò Ñ Ö ÇÖØ ÙÒ Ø ÓÒ s(t) = a t Ñ Ø a Rº µ Ö Ò Ò Ë Ò Û Ò Ø ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t µ Ö Ò Ò Ë Ò Ð ÙÒ ÙÒ ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t µ Ò Ò Ë Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò s(t) v(t) a(t) ÙÒØ Ö Ò Ò Ö Ö Ò ÐÐ a = º µs (t) = ( a t ) = a (t ) = at µs (t) = (at) = a ÓÒ Øº кµ

131 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ ¼ µ s 4 3 s = 4 t t v v = t t a a = t

132 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ ½ Ù Ò È Ý Ù ½ Û Ò Ø ÙÒ Ð ÙÒ ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Û Ò Ø ÙÒ Ð ÙÒ ÙÒ Ù Ö ÇÖØ ÙÒ Ø ÓÒ s(t) ÞÙÑ Ò Ò ØÔÙÒ Ø tº µ s(t) = t +5t 7 t = 3 µ s(t) = t 3 +t t = µ s(t) = g t t = 3 Ö Ö ÐÐ Ñ Ø g := 9.8m/s µ µ s(t) = a t +v 0 t+s 0 Ñ Ø v 0 = 5 a = 3 t = Ð Ñ Ð ÙÒ Ø Û ÙÒ Ñ Ø Ò Ò Û Ò Ø v 0 := v(0) ÙÒ Ò Ò ÓÖØ s 0 := s(0)µ

133 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ ¾ Ä ÙÒ Ò È Ý Ù ½ Û Ò Ø ÙÒ Ð ÙÒ ÙÒ µ µ s(t) = t +5t+7 s (t) = t+5,s (t) = s (3) =,s (3) = µ s(t) = t +t = t 3 +t s (t) = 3t 4 + = 3 3 t + s (t) = t 5 = 4 t 5 s () = 3 + = = 0.8 s () = = = µ s(t) = g t s (t) = gt s (t) = g s (3) = 3g = = 9.43,s (3) = 9.8 µ s(t) = a t + v 0 t + s 0 s (t) = at + v 0 = 3t + 5 s (t) = 3 s () = 3 +5 = s () = 3

134 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ º ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð ¾Ä Ö ÒÒ ÖÙÒ Å Ø Ð Ö ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÑÔ Þ ÖØ Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ò Ò Ñ Ñ Ò Ö Ð ØÙÒ Ù Ð ØÙÒ Ò Ö Ö ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò ÞÙÖ ÖØ Ù Ò Ò ÞÙ ÑÑ Ò ØÞ Òº Ò Ð Ò Û Ò ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ðº ÈÖÓ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ù ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ðµ Ø ÓÖÑ Ð Ò Ø ÒÞ Ò ÐÓ ÞÙÖ ËÙÑÑ ÒÖ Ð º º Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ø Ð Ö (f(x) g(x)) f (x) g (x)º ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f g ¹ Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ø Ù Ö ÈÖÓ Ù Ø f g ÙÒ ÐØ (f(x) g(x)) = f (x) g(x)+f(x) g (x) ÃÙÖÞ ÓÖÑ (fg) = f g +fg Û f(x+h) g(x+h) f(x) g(x) h = f(x+h) f(x) h g(x+h)+f(x) g(x+h) g(x) h = [f(x+h) f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h) g(x)] h h 0 f (x)g(x)+f(x)g (x)º Ö Ø Ð ÙÒ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ö ÛÖØ Ö Ò Ø º º Ò Ö Ø Ò Ì ÖÑ Ò Ò Ð Ò Ò ÙÑÛ Ò ÐØ ÙÖ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òµº Ô Ð f(x) = e x cosx f (x) =? f (x) = (e x ) cosx+ex (cosx) = e x cosx e x sinx = e x (cosx sinx) ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f g ¹ Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ø Ù Ö ÉÙÓØ ÒØ f g ÐÐ g(x) 0µ ÙÒ ÐØ ÃÙÖÞ ÓÖÑ ( f g ) = f g fg g ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (x)

135 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Û Ï Ö Ò ÐÒ ÞÙ Ö Ø Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ f = ( g(x) ) g(x+h) = lim g(x) h 0 h = lim h 0 g(x+h)g(x) (g(x) g(x+h) h ) = g (x) g (x) º ÞÛ Ø Ð ÙÒ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ö ÛÖØ Ö Ò Ø º º Ò Ö Ø Ò Ì ÖÑ Ò Ò Ð Ò Ò ÙÑÛ Ò ÐØ ÙÖ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òµº ÙÔØÙÒ ÓÐ Ø ÒÙÒ Ù Ö ÈÖÓ Ù ØÖ Ð ( f(x) g(x) ) = (f(x) g(x) ) = f (x) g(x) f(x) g (x) g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (x) Ë ØÞØ Ñ Ò f = Ò Ö ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö ÐØ Ñ Ò Ò ÙÖÞ Ö Ê ÒÙÒ Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ( f(x) ) = f (x) f (x) x Ô Ð ( +3x ) =? x ( +3x ) = (x ) (+3x) x (+3x) (+3x) = x(+3x) x 3 (+3x) = x+6x 3x (+3x) = 3x +x (+3x) = x(3x+) (+3x)

136 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Ù Ò ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö Ò Ò Ë Ò Ö Ù Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ö Ò Ö Ð ØÞØ Ò Ù Ù ÞÛ Ø Ð ØÙÒ º Î Ö Ò Ò Ë Ê ÙÐØ Ø Ó Û Ø Û Ñ ¹ Ð º ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ù ½ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = (x +5x+3) µ y = (x+)(x +)(x 3 +3) µ f(x) = (x ) x Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = xe x µ y = x 3 lnx Ù ½ ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = sinxcosx µ y = cos 3 x µ f(x) = xcosx Ù ½ ¼ ÈÖÓ ºÖ Ð Ö ØÓÖ Òµ Ò Ë (fgh) = f gh+fg h+fgh µ f(x) = (lnx) µ y = xe x lnx ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ù ½ ½ ÈÓØ ÒÞ Òµ µ f(x) = 3x x 3 9x+6 µ y = x + µ f(x) = a x a+x Ù ½ ¾ ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = sinx x µ y = sinx +cos x µ f(x) = sinx cosx sinx+cosx µ y = x3 x +x Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = x lnx µ y = lnx µ f(x) = +ex e x µ y = ex x À Ö Ñ Ò Ë Ê ÙÐØ Ø Ò Ø Ú Ö Ò Ò Û ÒÒ Ë Ò Ø ÛÓÐÐ Òºµ Ï Ø Ö Ù Ò Ù ½ ÈÖÓ º ÙÒ ÉÙÓØºÖ Ðµ µ f(x) = sinxcosx x µ y = xlnx e x µ f(x) = cos x lnx Ù ½ Û Ø Ð ØÙÒ µ µ f(x) = x + x µ y = x e x µ f(x) = sinxcosx

137 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Ù ½ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ä ÙÒ Ò ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð µ f (x) = [(x +5x+3) ] = [(x +5x+3)(x +5x+3)] = (x +5x+3) (x +5x+3)+(x +5x+3)(x +5x+3) = (x +5x+3) (x +5x+3) = (4x+5)(x +5x+3) µ f (x) = [(x+)(x +)(x 3 +3)] = (x+) (x +)(x 3 +3)+(x+)(x +) (x 3 +3)+(x+)(x +)(x 3 +3) = (x +)(x 3 +3)+(x+)x(x 3 +3)+(x+)(x +)3x = (x +)(x 3 +3)+x(x+)(x 3 +3)+3x (x+)(x +) µ f (x) = [(x ) x] = (x ) x+(x )( x) = x x+ (x ) x Ù ½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = (sinxcosx) = (sinx) cosx+sinx(cosx) = cos x sin x µ f (x) = (cos 3 x) = (cosxcosxcosx) = 3(cosx) cos x = 3sinxcos x µ f (x) = ( xcosx) = ( x) cosx+ x(cosx) = cosx x xsinx Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = (xe x ) = x e x +x(e x ) = e x +xe x = e x (+x) µ f (x) = (x 3 lnx) = (x 3 ) lnx+x 3 (lnx) = 3x lnx+x 3 x = 3x lnx+x = x (3lnx+) µ f (x) = [(lnx) ] = [(lnx)(lnx)] = (lnx) lnx = lnx x µ f (x) = (xe x lnx) = x e x lnx + x(e x ) lnx + xe x (lnx) = e x lnx + xe x lnx + xe x x = e x (lnx+xlnx+) Ù ½ ¼ ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ö ØÓÖ Òµ Å Ò ÖØ Ò Û Ù ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ö ¾ ØÓÖ Ò ÞÙÖ (fgh) = ((fg)h) = (fg) h+(fg)h = (f g +fg )h+fgh = f gh+fg h+fgh ÈÓØ ÒÞ Ò Ù ½ ½ ÈÓØ ÒÞ Òµ µ f (x) = ( 3x x 3 9x+6 ) = (3x ) (x 3 9x+6) (3x )(x 3 9x+6) = 6x(x3 9x+6) 3x (3x 9) (x 3 9x+6) (x 3 9x+6) µ f (x) = x + = (x +) (x +) = x (x +) ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ f = µ µ f (x) = ( a x a+x ) = (a x) (a+x) (a x)(a+x) = (a+x) (a x) = a (a+x) (a+x) (a+x) µ f(x) = x3 x = x 7 +x 7 f (x) = ( x ) = (x +x +x 7 ) (+x ) (x 7 )(+x ) (+x ) = 7 x 5 (+x ) x 7 x (+x )

138 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Ù ½ ¾ ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = ( sinx x ) = (sinx) x (sinx)x = xcosx sinx x x µ f (x) = ( sinx +cosx ) = (sinx) (+cosx) (sinx)(+cosx) = (cosx)(+cosx) (sinx)( sinx) (+cosx) (+cosx) cosx+cos x+sin x (+cosx) = cosx+ (+cosx) = +cos x µ f (x) = ( sinx cosx sinx+cosx ) = (sinx cosx) (sinx+cosx) (sinx cosx)(sinx+cosx) (sinx+cosx) = (cosx+sinx)(sinx+cosx) (sinx cosx)(cosx sinx) = (sinx+cosx) +(cosx sinx) (sinx+cosx) (cosx+sinx) = sin x+sinxcosx+cos x+cos x sinxcosx+sin x (sinx+cosx) = (sinx+cosx) Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = ( x lnx ) = (x) lnx x(lnx) = lnx x (lnx) x (lnx) = lnx = lnx (lnx) ln x µ f (x) = ( lnx ) = (lnx) = ln x = ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ f = µ x ln x xln x µ f (x) = ( +ex ) = (+ex ) ( e x ) (+e x )( e x ) = ex ( e x ) (+e x )( e x ) e x ( e x ) ( e x ) = ex ( e x )+e x (+e x ) ( e x ) = 4ex ( e x ) µ f (x) = ( ex x ) = (ex ) x e x ( x) = e x x e x x x = x x = e x x e x x x e x x( x ) = ex x x ( ) x Ë Ö Ò Ò µ Ê ÙÐØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Û Ë ÛÓÐÐ Ò Ù Ó Ò Î Ö Ò ÙÒ ºµ Ï Ø Ö Ù Ò Ù ½ ÈÖÓ º ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ðµ µ f (x) = ( sinxcosx ) QR = (sinxcosx) x (sinxcosx)x PR = [(sinx) cosx+sinx(cosx) ]x sinxcosx x x x = [cos x sin x]x sinxcosx x µ f (x) = ( xlnx e x ) = (xlnx) e x xlnx(e x ) (e x ) = [x lnx+x(lnx) ]e x xlnxe x (e x ) = [lnx+x x ]ex xlnxe x (e x ) = e x (lnx+ xlnx) = lnx xlnx+ (e x ) e x µ f (x) = ( cos x lnx ) = (cos x) lnx cos x (lnx) = sinxcosxlnx cos x x (lnx) (lnx) cosx(sinxlnx+ cosx x = ) ln x Ù ½ Û Ø Ð ØÙÒ µ µ f (x) = ( x + x ) = ( x + x ) = f (x) = ( ) = ( ) x x µ f (x) = (x e x ) = (x ) e x +x (e x ) = xe x x e x f (x) = (xe x x e x ) = [(x) e x +x(e x ) ] [(x ) e x +x (e x ) ] = [(e x xe x ] [xe x x e x ] = e x xe x xe x +x e x = e x 4xe x +x e x = e x (x 4x+) µ f (x) = (sinxcosx) = (sinx) cosx+sin(cosx) = cos x sin x f (x) = (cos x) (sin x) = sinxcosx sinxcosx = 4sinxcosx = x 3 x 3

139 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ º½ º½º½ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ¾ Ù ÐÐ Ö Ò Ò Ø ÓÒ Å Ø À Ð ÚÓÒ Ù ÐÐ Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ö Ò ÙÖÞ ÙÒ ÔÖ Ò ÒØ Ö ¹ Òº Ω Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙѺ Ò Ù ÐÐ Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ X : Ω R ËØ ØØ Ù ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ù Ù ÐÐ Ú Ö Ð º Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø Ω := {,,3,...,64,65,66} X : Ω R,X(ij) = i+j ÓÖ Ò Ø Ñ ω = ij Ω Ù Ò ÙÑÑ ÞÙº Ö Ò Ù Ò ÙÑÑ Ø {3,, 3}, Ð Ø Ñ Ø X Ó Ö Ò {3,,3} = {ω Ω X(ω) = 4} =: {X = 4}. Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø Ø Ò {,,3,,,3} = {X 4} Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø ÙÒ Ð {,,5,6,...muehsam} = {X 4} ÁÒ Ö Ë Ö Û Ù Ò Û Ð Ö Ø Ò Ë Ø Ò Ò Ò Ó Ò Ö Ô Ð Ò Ø ÙØÙÒ Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ö ÒÒ Öº

140 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ º½º¾ Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö Ù ÐÐ Ö Ò x x ººº x n Ê Ð ¹ ÖÙÒ Ò ÚÓÒ Xº ÒÒ Ø ËÝ Ø Ñ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò P(X = x ),...,P(X = x n ) Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ Xº Ò Û Ö ÖÞ Ò Þº º P(X = x ) := P({X = x }) Ó Ò Û Ø ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ö Òº Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ P(X = ) = p() = 36 P(X = 3) = p()+p() = 36 P(X = 4) = p(3)+p()+p(3) = 3 36 P(X = 5) = p(4)+p(3)+p(3)+p(4) = 4 36 P(X = 6) = p(5)+p(4)+p(33)+p(4)+p(5) = 5 36 P(X = 7) = p(6)+p(5)+p(34)+p(43)+p(5)+p( P(X = 8) = p(6)+p(35)+p(44)+p(53)+p(6) = 5 36 P(X = 9) = p(36)+p(45)+p(54)+p(63) = 4 36 P(X = 0) = p(46)+p(55)+p(64) = 3 36

141 P(X = x i ) Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ¼ P(X = ) = p(56)+p(65) = 36 P(X = ) = p(66) = ¾ ½¼ ½½ ½¾ x i º¾ À ØÓ Ö ÑÑ Ö Ô Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ù Ò ÙÑÑ Xº ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÞÛ Ñ Ð Ï Ö ÐÒ Ö Ó Ø Þº º n = 000 Šе ÙÒ ØÖ ØØ h Å Ð Ù Ò ÙÑÑ x Ù Þº º h = 57 Å Ð x = 3µ h Å Ð x ººº h n Å Ð x n ÑÙ Ò Ø ÖÐ h h n = n Òµ Ó Ø ÙÖ Ò ØØÐ Ù Ò ÙÑÑ x h +...+x n h n n h = x n +...+x n h n n. Å Ø Û Ò Ñ n Û Ö Ñ Ø ÞÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ù Ø ÙÒ Ë Ö Ø Ö Ð Ø Ú ÀÙ Ø hi n Ö Ù Ò ÙÑÑ x i ÞÙÖ Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ù ØÖ Ø Ò h i n P(X = x i). ÙÖ Ò ØØÐ ÔÖÓ ÏÙÖ ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò Ù Ò ÙÑÑ Ø Ð Ó E(X) := x P(X = x )+...+x n P(X = x n )

142 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ½ ÐÐ Ñ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ò X Ò Ù ÐÐ Ö Ñ Ø Ò Ê Ð ÖÙÒ Ò x,...,x n º ÒÒ Ø n E(X) := x i P(X = x i ) i= Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÚÓÒ Xº ËØÓ Ø ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ó Ø EX Ò ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò Ò ÙÖ ¹ Ò ØØ Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ðµ Ö Ö ÐØ ¹ Ò Ò Ö Ò Òº Ô Ð ÓÖØ ØÞÙÒ Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒµ Ð ÙÖ Ò ØØÐ Ù Ò ÙÑÑ Ö Ù Ñ Ï Ö ÐÒ Ø ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò EX = P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4) +5P(X = 5)+6P(X = 6)+7P(X = 7) +8P(X = 8)+9P(X = 9)+0P(X = 0) +P(X = )+P(X = ) = = 36 ( ) = 7 (sieheobigeshistogramm)

143 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ¾ Ô Ð ¼ ËÔ Ð ÙØÓÑ Øµ Ö ØÖ Ö Ò ËÔ Ð ÙØÓÑ Ø Ò Ñ Ø ÒÙÖ 80% Ö Ò ØÞ Ð ËÔ Ð¹ Û ÒÒ Û Ö Ù ØØ Òº Ï Ð Ò Ò ØÞ ÑÙ Ö ÚÓÑ ËÔ Ð Ö Ú ÖÐ Ò Ò ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ½ ½ Ù Þ ¹ ÐÙÒ ÔÐ Ò Öº ¾¾ ¾ Öº ½½ ½ Öº µ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ù Þ ÐÙÒ Ω = {,,3,,,3,3,3,33} X := Ù Þ ÐÙÒ P(X = ) = p() = 4 6 = 3 = 3 P(X = ) = p() = 6 6 = 3 6 = 8 P(X = 6) = p(33) = 6 6 = 36 EX = P(X = )+P(X = )+6P(X = 6)+0P(X = = = = = 8 0.6Fr.

144 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ P(X = x i ) ¼ ½ ¾ x i À ØÓ Ö ÑÑ Ö Ô Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ Û ÒÒ Xº EX = 0.6 µ Ù Ú ÖÐ Ò Ò Ö Ò ØÞ 0.8a = 0.6 a = 0.76Fr È Ý Ð ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Û ÐÐ µ È Ý ¹ Ð ØEX Ö Ë Û ÖÔÙÒ Ø ÚÓÒ Ù Ö Ü¹ Ð Ò Ò Å ÒÔÙÒ Ø Ò Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x,...,x n ÙÒ Ò Å Ò m := P(X = x ),...,m := P(X = x n )º ÓÐ Ø Ó ÓÖØ Ù Ö Ò Ø ÓÒ S := n M i= x im i Ë Û ÖÔÙÒ Ø Ë Û Ð ÑØÑ ½ Ø M := n i= m i = º

145 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ Ù Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ù Ò Ù Ò ½ ½ ÙÒ ½ ¾ Ò ËÔ Ð Ö ÞÛ ËÔ Ð Ö Û Ö Ð Ö ¹ Þ Ò Ø Û ÒÒ Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Û ÒÒ Ö ËÔ Ð Ö Ð ¼ غ Ò Ø Ò Ø ÖÐ Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ò Ò ËÔ Ð Ö ¼ Ø Û Ð Ö ÒÒ Ö Ò Ò ÖÒ ÙØÓÑ Ø Ù ¼ غµ Ù ½ ¾ Å Ð Ï Ö ÐÒµ Û Ö Ò ÞÛ Ï Ö Ð ÛÓÖ Òº Ö Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ù ÐÐ Ö Ö ÒÞ Ð Ö ÛÓÖ Ò Ò Öº Ù ½ ½ Å Ð Ï Ö ÐÒµ Ò ËÔ Ð Ø ÓÐ Ò ÖÑ Ò Å Ò Û Ö Ø Ò Ò Ï Ö Ðº Ï Ö Ø Ñ Ò Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ö ÐØ Ñ Ò ÓÔÔ ÐØ Ù ÒÞ Ð Ò Ö Ò Ò Ù Þ Ðغ Ò ÖÒ ÐÐ ÑÙ Ñ Ò Ò ØÖ Ò À Ö Ù ÒÞ Ð Ò Ò Þ Ð Òº µ Á Ø ËÔ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ø Ð µ Ï Ð Ò Ò ØÞ ÔÖÓ ËÔ Ð Ñ Ø Ò Ú ÖÐ Ò Ò ÙÑ Ò Ö ËÔ Ð ÞÙ Ø ÐØ Ò Ù ½ À ØÔ ØÚ Ö ÖÙÒ µ Ò À ØÔ ØÚ Ö ÖÙÒ Ø ÐÐØ Ø 80% Ö Î Ö ÖÙÒ Ò Ñ Ö Ò Ò Ð ØÞØ Ò Ö Â Ö Ò Ò Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ò ½ ± Ò ± ÞÛ ÙÒ ½ ± Ö ÞÛº Ú Ö Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Òº Ò ÒÓÑÑ Ò Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ð Ø Ð Å Ø Û Ú Ð Ò Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò ÔÖÓ Î Ö ¹ ÖÙÒ Ø ÐÒ Ñ Ö Û Ö Î Ö ÖÙÒ Ò Ò Ò Ø Ò Ö Â Ö Ò Ö Ò Ò ÒÒ Ò Ù ½ ËÔ Ð Ò Ù ÍÖÒ Ó Ò ÙÖ Ð Òµ Ö Ò Ò ØÞ ÚÓÒ Öº ÒÒ Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ ËÔ Ð Ø ÐÒ Ñ Ò Ò ÍÖÒ ÒØ ÐØ ÖÓØ ÙÒ Û ÖÞ ÃÙ ÐÒº Û Ö Ò ÃÙ ÐÒ Ñ Ø Ò Ñ Ö ÞÓ Òº Ë Ò ÙÒØ Ö Ò ÞÓ Ò Ò ÃÙ ÐÒ Ñ Ò Ø Ò ¾ ÖÓØ Ó Ö ÐØ Ñ Ò ½¼ Öº Ù Þ Ðغ µ Ö Ò Ò Ë Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ò Û ÒÒ ÞÛº Î ÖÐ٠غ Á Ø ËÔ Ð Ö µ Ï Ð Ò Ò ØÞ Ñ Ø Ú ÖÐ Ò Ø Û Ö Ò Ñ Ø ËÔ Ð Ö Ø Ù ½ ¼ ÒÞ ÙÒ Ø ÄÑÔ Ò Ñ Ã ÖØÓÒµ ÁÒ Ò Ñ Ã ÖØÓÒ Ò ÄÑÔ Ò ÚÓÒ Ò Øº Ï Ó Ø ÑÙ Ñ Ò Ñ Å ØØ Ð Þ Ò Ó Ò ÙÖ Ð Òµ Ñ Ò Ò Ùµ µ Ò Ö Ù Ö ÄÑÔ Ò Ø µ ÞÛ Ö Ù Ö ÄÑÔ Ò Ø Ù ½ ½ ÌÓÒØ Ù Ò Òµ Ò ÌÓÒØ Ù Ò ØÞ Ø ÓÐ Ò Ö Ò ÌÓÒØ Ù ØÖÓ Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð Ó Å Ðº Ö ØÖ Ø ÔÖÓ Ë Ù Ñ Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø 5%º Ö Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö ÒÞ Ð Ë º Ù ½ ¾ Ï Ö ÐÒ ÙÑ Ð µ à ÖÐ Ô ÐØ Ñ Ø Ò Ö Ë Û Ø Ö Ò Ð ÙÑ Ð º Ï ÒÒ Ö Ò Ñ ÏÙÖ Ñ Ø Ú Ö Å ÒÞ Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ñ Ð Ð ÖÞ ÐØ ÓÖ ÖØ Ö ¾¾ Ö Ò Ò ÚÓÒ Öº Ï Ð Ò ØÖ Ú ÖÐ Ò Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ò Å Ö ÓÐ Û ÒÒ ËÔ Ð Ö Ò ÓÐÐ

146 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ Ä ÙÒ Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ù ½ Ω := {,,...,65,66} p() = p() =... = p(66) = 36 X := ÒÞ Ð ÛÓÖ Ò Öº P(X = ) = [p(6)+p(6)+...+p(56)]+[p(6)+p(6)+...+p(65)] = 0 36 P(X = ) = p(66) = 36 EX = P(X = )+P(X = ) = = 36 = 3 Ù ½ µ Ω := {,,3,4,5,6} p() =... = p(6) = 6 X := Û ÒÒ ËÔ Ð Ö P(X = ) = p() = 6 P(X = 4) = p() = 6 P(X = 6) = p(3) = 6 P(X = 4) = p(4) = 6 P(X = 0) = p(5) = 6 P(X = 6) = p(6) = 6 EX = P(X = )+4P(X = 4)+6P(X = 6) 4P(X = 4)+0P(X = 0) 6P(X = 6) = = ( ) 6 = 3 =.50Fr. Æ Ò Ö ËÔ Ð Ö Û ÒÒØ Ù Ð Ò Ë Ø ÙÖ Ò ØØÐ ½º ¼ Öº ÔÖÓ ËÔ Ðºµ µ.50fr. Ù ½ Ω := {a,b,c,d,e} p(a) = 0.8 p(b) = 0.5 p(c) = 0.03 p(d) = 0.0 p(e) = 0.0 X := ÒÞ Ð Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò ÔÖÓ Î Ö ÖÙÒ Ø ÐÒ Ñ Ö P(X = 0) = p(a) = 0.8 P(X = ) = p(b) = 0.5 P(X = ) = p(c) = 0.03 P(X = 3) = p(d) = 0.0 P(X = 4) = p(e) = 0.0 EX = 0P(X = 0)+P(X = )+P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4) = = 0.8

147 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ Ù ½ µ Ω := {rrr,rrs,rsr,srr;sss;ssr,srs,rss} p(rrr) = 6 p(rrs) = 6 p(rsr) = 6 p(srr) = = = 6 Ö ØÐ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ò Ò Ø Û Ø º X := Ù Þ ÐÙÒ P(X = 0) = p(rrr) +p(rrs)+p(rsr) +p(srr) = 4 6 = 3 EX = 0P(X = 0)+0P(X = 0) = 0 3 = 0 3 = 6.67Fr. ÖÛ ÖØ Ø Ö Î ÖÐÙ Ø =.33Fr. Æ Ò µ 6.67Fr. Ù ½ ¼ µ Ω := {,0,00,000}º º º ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = 0 Ñ Ö Ø Ò Ù Ò Ø ÙÒ Ñ ÞÛ Ø Ò Ò ÒÞ ÖÒ ÞÙ Þ Òºµ p() = 3 6 = p(0) = = 3 5 = 3 0 p(00) = = = 3 0 p(000) = = 5 4 = 0 X := ÒÞ Ð ÙÒ Ò ÞÙÑ Ö Ø Ò Ö Ù Ö Ò ÄÑÔ Ò EX = P(X = )+P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4) = = = 35 0 =.75 µ Ω := {;0,0;00,00,00;000,000,000,000}º º º ¹ ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = 0 Ñ Ö Ø Ò Ù Ò ÒÞ Ñ ÞÛ Ø Ò Ò Ø ÙÒ Ñ Ö ØØ Ò Ò ÒÞ ÖÒ ÞÙ Þ Òº Ð ØÞØ Ö ÒÒ Ò Ò ¼ Ò Ñ Ò Ù ÖØ Ò Ñ Ñ Ò ¾ ÒÞ ÖÒ Ò ÞÓ Ò Øºµ

148 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ p() = = 5 = 5 p(0) = p(0) = p(00) = 3 6 p(00) = 0 p(00) = 0 4 = = = = 0 p(000) = = 5 4 = 0 p(000) = 0 p(000) = 0 p(000) = 0 X := ÒÞ Ð ÙÒ Ò ÞÙÑ ÞÛ Ø Ò Ö Ù Ö Ò ÄÑÔ Òº P(X = ) = 5 P(X = 3) = 6 0 = 3 0 P(X = 4) = 3 0 P(X = 5) = 4 0 = 5 EX = P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4)+5P(X = 5) = = = = 35 0 = 3.5 Ù ½ ½ Ω := {,0,00,000,0000,00000,000000} Ð ØÞØ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = Ò Ø Ú Ö Ò µ p() = 4 p(0) = p(00) = ( 3 4 ) 4 p(000) = ( 3 4 )3 4 p(0000) = ( 3 4 )4 4 p(00000)= ( 3 4 )5 4 p(000000)= ( 3 4 )6 X := ÒÞ Ð Ë EX = P(X = )+P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4)+5P(X = 5)+6P(X = 6) = (3 4 ) 4 +4 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 )6 TR = 3.9 Ù ½ ¾ Ω = {kkkk,kkkz,...,zzzz} p(ω) = ( )4 ω Ω X = Û ÒÒ ÚÓÒ Ã ÖÐ x := ØÖ Ò Ò Ð ÚÓÒ Ã ÖÐ Ú ÖÐ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Å Ö ÓÐ º

149 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ P(X = ) = p(kkkk)+p(kkkz)+p(kkzk)+p(kzkk)+p(zkkk) = 5 ( )4 = 5 6 P(X = x) = 5 6 = 6 EX = P(X = )+xp(x = x) 5 0 = +x = 0+x x = 0 Ò Ð Ú ÖÐ Ò Ø ½¼ Öº

150 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ º Î Ö ÒÞ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ Ð Î Ö ÒÞ Ò Ö Ù ÐÐ Ö X Ò ÖØ Ñ Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ö ÕÙ ¹ Ö Ø Ò Û ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ñ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ EXº ÍÑ ÞÙ Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò Ò Ø ÓÒ ÞÙ Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ò Û Ö ÙÒ Û Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ ÚÓÖº Ï Ö Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò Ò ÐÓ ÞÙÑ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ò Ã Ô Ø Ð º¾ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ø Þº º n = 000 Šе ÙÒ ØÖ ØØ h Å Ð Ù Ò ÙÑÑ x Ù Þº º h = 57 Å Ð x = 3µ h Å Ð x ººº h n Å Ð x n ÑÙ Ò Ø ÖÐ h +...+h n = n Òµ Ó Ø ÙÖ Ò ØØÐ ÕÙ Ö Ø Û ÙÒ ÚÓÑ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ := EX (x µ) h +...+(x n µ) h n n = (x µ) h n +...+(x n µ) h n n. Å Ø Û Ò Ñ n Û Ö Ñ Ø ÞÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ù Ø ÙÒ Ë Ö Ø Ö Ð Ø Ú ÀÙ Ø hi n Ö Ù Ò ÙÑÑ x i ÞÙÖ Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ù ØÖ Ø Ò h i n P(X = x i). ÙÖ Ò ØØÐ ÔÖÓ ÏÙÖ ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò ÕÙ Ö Ø Û ÙÒ ÚÓÒ µ Ø Ö n V(X) := (x µ) P(X = x )+...+(x n µ) P(X = x n ) = (x i µ) P(X = x i ). ÐÐ Ñ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ò X Ò Ù ÐÐ Ö Ñ Ø Ò Ê Ð ÖÙÒ Ò x,...,x n ÙÒ Ñ ÖÛ Ö¹ ØÙÒ Û ÖØ µ := EXº ÒÒ Ø n V(X) := (x i µ) P(X = x i ) i= Î Ö ÒÞ ÚÓÒ Xº ËØÓ Ø ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ó Ø V(X) Ò ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò Ò ÙÖ Ò ØØ Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ðµ Ö ÕÙ Ö Ø Ò Û ÙÒ Ò Ö Ö ÐØ ¹ Ò Ò Ö Ò ÚÓÑ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ Òº i=

151 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ¼ V(X) Ø Ò Å Ö ËØÖ Ö ËØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ X ÙÑ Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µº ÏÙÖÞ Ð σ := V(X) ÒØ ÔÖ Ø ÙÒ Ö Ö ÒØÙ Ø Ú Ò ÎÓÖ Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ö ËØÖ Ö Þº º ÓÐ Ò Ô Ðµº Ù Ö Ñ Ø σ Ð Ò Ø Û Xº σ := V(X) Ø ËØ Ò Ö Û ¹ ÙÒ Ó Ö ËØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ º Ô Ð ½ ØÖ Ø Ô Ðµ Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ù ÐÐ Ö Ò X ÙÒ Y Ò ÙÖ Ò À ØÓ Ö ÑÑ Òº Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ = 5 Û Ò Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Øµº ¹ Ö Ò ËØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ X ÙÒ º P(X = x i ) P(Y = y i ) x i y i Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ Ñ Ø µ := EX = 5 Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ Ñ Ø µ := EY = 5 V(X) = (3 5) 0.+(4 5) 0.+(5 5) 0.4 +(6 5) 0.+(7 5) 0. =. σ =. V(Y) = ( 5) 0.3+(3 5) 0.+(7 5) 0. +(8 5) 0.+(9 5) 0.+(0 5) 0. =.4 σ = 3.4

152 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ½ Ô Ð ¾ ÊÓÙÐ ØØ µ Ö Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ ËØÖ ÙÙÒ Û ÒÒ ÚÓÒ ËÔ Ð Ö ÙÒ º ËÔ Ð Ö Ë ØÞØ Ø Ø ½¼ Öº Ù ÊÓغ À Ø Ö Ö Ø ØÞØ Û Ö Ñ Ö ÓÔÔ ÐØ Ò ØÞ ¾¼ Öº Ù Þ Ðغ ËÔ Ð Ö Ë ØÞØ Ø Ø ½¼ Öº Ù Ð ½ º À Ø Ö Ö Ø ØÞØ Û Ö Ñ ¾ ¹ Ò ØÞ Ù Þ Ðغ ÊÓÙÐ ØØ Ð Ò ½ ÖÓØ ½ Û ÖÞ ÙÒ ½ Ö Ò ËÔ Ð Ö X := Û ÒÒ Ù Þ ÐÙÒ ¹ Ò ØÞµ EX = 0P(X = 0)+( 0)P(X = 0) = = Fr. VX = (0 µ) P(X = 0)+( 0 µ) P(X = 0) = (0 ( 0 8 )) ( 0 ( 0 9 )) = ( ) +( 0+ ) = σ 0Fr.

Þ ÒÞÙÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ò Ö ÎÓÖ Ð Ò ÙÒ Î ÖØ Ù Ò ¹Å Ø Ó Ö ÙÓÖ ÒÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐÓÑ Ö Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò º Ò ÓÖѺ Ê Ò Ö À ÖÖÐ Ö ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº Ö Ò ÈÙÔÔ Ôк ÁÒ ÓÖѺ Ù Ä Ö ØÙ Ð Ö Ã Ò ØÐ ÁÒØ ÐÐ ÒÞ ÙÒ Ò Û Ò Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ

Mehr

Ê Ê ÙÒ ÒØ ÖÖ Ý Ó ÁÒ Ô Ò ÒØ ÙØÓÖ ÖÒ Ö Ë Ñ Ø Å Øº ÆÖº ¾ à ÒÒÞº ½ ½ ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ¾ Ì Ð Ò Ê ËÝ Ø Ñ ÖÖ Ý Å Ò Ñ ÒØ ËÓ ØÛ Ö Ê Ä Ú Ð º½ Ö «Ò Ø ÓÒ Ò ººººººººººººººººººººººººººººººº

Mehr

Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet

Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet ruhr-universität bochum Lehrstuhl für Datenverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Dr.E.h. Wolfgang Weber Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet Intrusion Detection und Intrusion Response Systeme (IDS & IRS) Seminar

Mehr

Ã Ô Ø Ð ¾ ØÙ ÐÐ Ö ËØ Ò ÙÒ Ì Ò ÒÞ Ò Ö Ã Þ¹ÁÒÒ ÒÖ ÙÑ ÖÛ ÙÒ ÁÒ ÐØ Ò ¾º½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÁÒÒ ÒÖ ÙÑ ÙØÞ Ñ Ã Þ¹ÁÒÒ ÒÖ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º

Mehr

½ Ï ÐÐ ÓÑÑ Ò ÞÙÑ ËØÙ Ý Ù ÁÒ Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Á² ½µ ÖØ Þ ÖÙÒ º Ø Ö Ö Ø ÚÓÒ Ú Ö ÃÙÖ Ò ÞÙÑ Ë Ö Ä ÒÙÜ Ò ÆÍ ÖØ Ñ Ò ØÖ ØÓÖ Ä µº Ò Ö Ò Ö ÃÙÖ Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ë ½µ Æ ØÛÓÖ Ò Æ Ì½µ ÙÒ Ë ÙÖ ¹ ØÝ Ë È½µº

Mehr

ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò À ÙÔØ Ñ Ò Ö Ñ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ½ ÈÖÓ º Öº Àº º À Ö Ò Î ÖÞ Ò Ò Ø ÙÒ Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ñ Æ ØÞ¹ ÙÒ ËÝ Ø ÑÑ Ò Ñ ÒØ Ä È Ú Ä ØÛ Ø Ö ØÓÖÝ ÈÖÓØÓÓÐ Î Ö ÓÒ Ê Ö ÒØ Ò Ö Ë ÐÐÑ

Mehr

ÍÒ Ú Ö ØØ Ã ÖÐ ÖÙ ÌÀµ Ê Ù Ø ÙÒØ Ö Ù ÙÒ ÙÒ Æ ÒÓ ØÖÙ ØÙÖ ÖÙÒ Ñ Ø Ñ Ê Ø Ö Ö ØÑ ÖÓ ÓÔ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ò ÐÝ Ò ÔÐÓÑ Ö Ø ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ËÚ Ò È ÙÐÙ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Ò Û Ò Ø È Ý ÍÒ Ú Ö ØØ Ã ÖÐ ÖÙ ¼º ÆÓÚ Ñ Ö ½ Ö Ø ÙØ Ø Ö

Mehr

Ò ĐÙ ÖÙÒ Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ø Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÃÓÒÞ ÔØ Å Ø Ó Ò ÙÒ Ï Ö Þ Ù ÞÙÖ ÒØÛ ÐÙÒ ÒØ Ö ÖØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ò Ò ÍÑ Ð ß ÎÓÖÐ ÙÒ ÙÒØ ÖÐ Ò ß Öº Å ÖØ Ò Ò Ö ÙÒ Ó Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ö ØÖ ÙÒ ¹ ÙØÓÑ Ø ÖÙÒ Å

Mehr

)XQGDPHQWDOH &3$ /DVHU QP 6WHXHUXQJ 'DWHQDXIQDKPH 9HU] JHUXQJV VWUH NH /R N,Q :HL OL KWN YHWWH KURPDWRU 3KRWRGLRGH )LOWHU,) =HUKD NHU 0RQR 3UREH

)XQGDPHQWDOH &3$ /DVHU QP 6WHXHUXQJ 'DWHQDXIQDKPH 9HU] JHUXQJV VWUH NH /R N,Q :HL OL KWN YHWWH KURPDWRU 3KRWRGLRGH )LOWHU,) =HUKD NHU 0RQR 3UREH Ã Ô Ø Ð ¾ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Å Ø Ó Ò ¾º½ ÒÐ ØÙÒ ÖÓÑÓÔÖÓØ Ò Û Ò Ò Ø Ù Ö ÓÐÓ Ê Ø ÓÒ ÙÖ Ä Ø¹ ÓÖÔØ ÓÒ ÒÞÙØÖ Òº Ù Ñ ÖÙÒ Û Ö Ò Ä Ø ØÖ Ð ÞÙÖ ÒÖ ÙÒ ÈÖÓØ Ò ÙÒ ÞÙÑ ËØ ÖØ Ö Ê Ø ÓÒ Ò Ø Øº Ñ Ø Ú Ö ÙÒ Ò Ò ÖÙÒ Ð ØÖÓÒ Ò Ù Ø

Mehr

ÎÓÖÖØÙÒ ÑØÖÐ ĐÙÖ Ò ËØÙÙÑ Ò Ò ĐÖÒ ÅØÑØ ÙÒ ÁÒÓÖÑØ Ò Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÄÔÞ ÀÖÙ Ò ÚÓÑ ËØÙÒÒ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ ÙÒ ÁÒÓÖÑØ ÏÖÙÑ Ò ÌÙØÓÖÙÑ ÅØÑØ ÁÒ ÐÐÒ ÚÓÒ ÙÒ ÖÖ ÙÐØĐØ ÒÓØÒÒ ËØÙÒĐÒÒ Ø ĐØÙÒ ÑØ ÑØÑØ Ò ËÚÖÐØÒ Ð ØÚÖ ØĐÒк

Mehr

ÔÐÓÑ Ö Ø ÈÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÐ ÒÙÒ Ñ Ø À Ð ÚÓÒ ÅÙÐØ ÒØ Ò Ý Ø Ñ Ò Ë ÄĐÙ ÔÐÓÑ Ö Ø Ñ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÓÖØÑÙÒ ½ º Ç ØÓ Ö ¾¼¼½ ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº Ã Ø Ö Ò ÅÓÖ Ôк ÁÒ ÓÖѺ ËØ Ò À Ù Ø Ò À ÖÑ Ø ØĐ Ø Ö Ø Ð Ø ØĐ Ò Ú

Mehr

Ê Ñ Ò¹ËÔ ØÖÓ ÓÔ Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ý Ø Ñ Ò ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö È Ý Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø À Ñ ÙÖ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Þ Ö ÍÐÖ Ù À Ñ ÙÖ À Ñ ÙÖ ¾¼¼¼ ÙØ Ø Ö Ö ÖØ Ø ÓÒ ÙØ Ø Ö Ö ÔÙØ Ø ÓÒ ØÙÑ Ö ÔÙØ Ø ÓÒ ËÔÖ Ö

Mehr

ÙÐØØ ÁÒ Ò ÙÖ Û Ò Ø Ò ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÔÐÓÑ Ö Ø Ö Ì Ñ ÃÓÒ ÓÐ ÖÙÒ Ò Á̹ËÝ Ø Ñ ÞÙÖ ÍÒØ Ö Ø ØÞÙÒ ÐÐ ÖØ Ö Ö Ö ËÓ ØÛ Ö Ò ØÐ ØÙÒ Ò ÚÓÖ Ð Ø ÙÖ ÌÓÖ Ø Ò ÁÖÐÒ Ö ¾¼¼ ÌÓÖ Ø Ò ÁÖÐÒ Ö ÓÑ Ö Ø Ö ÖÚ Ï Ö Ø ÙÒØ Ö Ö Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ

Mehr

ÁÈÄÇÅ Ê ÁÌ Î Ö Ð Ú Ö Ò Ö ÊÓØÓÖ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ò Ô Þ Ø Ú Ò Ö ÑÓÑ ÒØ Ò ÓÖ Ù ĐÙ ÖØ Ñ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ò Û Ò Ø Ð ØÖÓÒ ÙÒ ÉÙ ÒØ Ò Ð ØÖÓÒ Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ÙÒØ Ö ÒÐ ØÙÒ ÚÓÒ ÍÒ ÚºÈÖÓ º Ôк¹ÁÒ º ÖºØ Òº ÓÖ Ö ÙÖ Ôк¹ÁÒ

Mehr

BS Registers/Home Network HLR/AuC

BS Registers/Home Network HLR/AuC Ë Ö Ø Ñ ÅÓ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÞ Ö º Ò Ö Ø ÓÒ ÍÅÌ˵ ÃÐ Ù ÚÓÒ Ö À Ý ¾¼¼¾¹¼ ¹¾ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ò ÖÙÒ ¾ ½º½ Ï ÖÙÑ Ö ÙÔØ Ë Ö Ø ÓÒÞ ÔØ ÑÓ Ð Ö ÃÓÑÑÙÒ ¹ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Mehr

ß Ð ¹ ÓÜ¹Ï ÖÚ ÖÛ Ò ÙÒ Î Ö ĐÙ Ö Ø ÚÓÒ Ú Ö Ò Ò Ö Ø ÒÙØÞ Ö ÃÐ Ò ÞÙÖ ÁÒ Ø ÒØ ÖÙÒ ÖĐ Ò Ø ÅĐÓ Ð Ø Ò ÞÙÖ ÒÔ ÙÒ Ö Ò Ö Ú ÖÛ Ò Ö ß Ï ÖÚ ÖÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ô Þ ÐÐ ËÛ¹Ì Ð Ò Ô Þ Î Ö ÐØ Ò Ù ¹ Û Ò

Mehr

Ë ÑÙÐ Ø Ú ÍÒØ Ö Ù ÙÒ À Ò ÓÚ Ö Î Ö ÐØ Ò ÚÓÒ ÅÓ Ð ÁÈ ÞÙ Đ ØÞÐ Ñ ÃÓÒØ ÜØØÖ Ò Ö ËØ Ò Ê Ò ÓÖ ÙÒ ¹ ÙÒ Ä Ö Ò Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÎÁÁÁ ÈÖÓ º Öº Â Ò Ê Ò Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Å Ò ÐÐ Ù Ø ÓÒ Ë ÑÙÐ Ø Ú ÍÒØ Ö Ù ÙÒ À Ò ÓÚ Ö Î Ö ÐØ Ò

Mehr

Ò ĐÙ ÖÙÒ Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ø Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÃÓÒÞ ÔØ Å Ø Ó Ò ÙÒ Ï Ö Þ Ù ÞÙÖ ÒØÛ ÐÙÒ ÒØ Ö ÖØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ò Ò ÍÑ Ð ß ÎÓÖÐ ÙÒ ÙÒØ ÖÐ Ò ß Öº Å ÖØ Ò Ò Ö ÙÒ Ó Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ö ØÖ ÙÒ ¹ ÙØÓÑ Ø ÖÙÒ Å

Mehr

ÖÖ Ö Ø ÚÓÒ ÓÑÔÙØ Ö Ý Ø Ñ Ò Ë Ö ÔØ ÞÙÑ Ë Ñ Ò Ö ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ½ À Ö Ù Ö Å Ò Ö Ã Ö Ö Ü Ð ÈÖĐ Ð Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ã Ö Ð ÙØ ÖÒ ¹ ¼ Ã Ö Ð ÙØ ÖÒ Ï Ø ÖÑ ÒÝ ÁÒ ÐØ Á Ø Ò ÙØÞ ½ Ø Ò ÙØÞ ß Ö ØÐ Ä ½º½ ÏÓ Ö ÓÑÑØ

Mehr

Ë ÑÑÐÙÒ ÙÒ ÆÙØÞÙÒ Ö Ö Ê ÓÙÖ Ò Ò Ï ØÚ Ö Ö Ò ØÞ Ò Å Ð Å Ý ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ë ÑÑÐÙÒ ÙÒ ÆÙØÞÙÒ Ö Ö Ê ÓÙÖ Ò Ò Ï ØÚ Ö Ö Ò ØÞ Ò Å Ð Å Ý ÎÓÐÐ ØĐ Ò Ö ÖÙ Ö ÚÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ

Mehr

Ë Ö Ø ÒĐÙ ÖØÖ ÙÒ ĐÙ Ö ÁÒØ ÖÒ Ø Ñ ØØ Ð ÁÈË ËØÙ Ò Ö Ø ÎÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ì ÐÓ ÊÙ ÞÙÖ ÙØ ØÙÒ ÙÖ ÈÖÓ º Öº ÃÐ Ù ÖÙÒÒ Ø Ò ½ º Þ Ñ Ö ½ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø À Ñ ÙÖ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ø Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Ø ¹ ÙÒ Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÁÒ

Mehr

Ò Ö Ò Ð Ò Ö º Ä Ð ØÖÓÒ ÐÙÒ Ñ ØØ Ð Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø ĐÍ Ö Ø ÙÒ Û ÖØÙÒ ØÙ ÐÐ Ö Î Ö Ö Ò ÙÒØ Ö ÖĐÙ Ø ÙÒ ÚÓÒ ÃÖ Ø Ö Ò Ö Ë Ö Ø ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ØĐ Ø ËØÙ Ò Ö Ø ÎÓÖ Ð Ø ÞÙÖ ÙØ ØÙÒ ÙÖ Ã Ø Ö Ò Ë Ö Þ Ñ Ö ½ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Đ Ì À Å

Mehr

ÔÐÓÑ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ØØ À Ñ ÙÖ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ø Ö Æ ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Ø ¹ ÙÒ Æ ØÙÖÛ Ò Ø Òµ Ò ÁÌ¹Ë Ö Ø ÓÒÞ ÔØ Ö Ò Û Ò ØÐ ÒÖ ØÙÒ Ñ Ô Ð Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØØ À Ñ ÙÖ Ì Ð ÁÁÁ ÖÐÙØ ÖÙÒ Ò Â Ò Æ ÓÒ Ö ØÖ ¾ ¾¾ ½

Mehr

Wirtschaftlichkeit und optimaler Betrieb von KWK-Anlagen unter den neuen energiewirtschaftlichen Rahmenbedingungen

Wirtschaftlichkeit und optimaler Betrieb von KWK-Anlagen unter den neuen energiewirtschaftlichen Rahmenbedingungen Wirtschaftlichkeit und optimaler Betrieb von KWK-Anlagen unter den neuen energiewirtschaftlichen Rahmenbedingungen Bearbeitet durch Lambert Schneider Berlin, März 2000 Geschäftsstelle Freiburg Büro Berlin

Mehr

Grundtypen von Lägern

Grundtypen von Lägern º Ä Ö Ý Ø Ñ Ñ Ö Î Á¹Ê ØÐ Ò ¾ ½½ Ø Ä ÖÒ ÔÐ ÒØ Ä Ò Ö Ø ¹ Ò Ø Ò Ñ Å Ø Ö Ð Ù º Ä Ö Ø Ò Ê ÙÑ ÞÛº Ò Ð ÞÙÑ Ù Û Ö Ò ÚÓÒ ËØ ¹ ÙÒ»Ó Ö Ë ØØ ÙØ Ò ÓÖÑ ÚÓÒ ÊÓ ØÓ Ò Û ¹ ÒÔÖÓ Ù Ø Ò Ó Ö ÖØ Û Ö Ò Ñ Ò Ò¹ ÙÒ»Ó Ö Û ÖØÑ Ö Ø

Mehr

Ò ÖØ Ö ÑÙÐØ Ñ Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö Ø Ã Ö Ð ÓÖÒÖ Ò ¼ Ø ØØ Ò Ö Ø Ö ÐºÒ Ø ¾ º Å ¾¼¼½ Ù ÑÑ Ò ÙÒ Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ö Ð Ö ÒÓÖÑ Ò ÓØ Ò ÑÙÐØ Ñ Ð Ò Ò ÖØ Ò Ò ÙÒ Ò ÒØ Ö ÒØ ÙÒ Ò Ù Ì ÒÓÐÓ Ò ÙÖ ÔÖ Ø ¹ Ì Ø Ò Ù Ö ÙÒØ Ö ÄÙÔ Ò Ñ Òº

Mehr

ÃÔØÐ ÒÓÑÑÒ ¹ ÙÒ ËÙ ØØÙØÓÒ «Ø ËÐÙØÞݹÐÙÒ ÙÒ ËÐÙØ ÞµÝ ¼¹µ Ö ÏÐ ÎÓÖÞÒ Òººº Òкºº Þ Ð ß Ü Ü Ô Ô ßÞÐ ÃÖÙÞÔÖ «Ø ÞÛº ÒÒØ ÑÐ ĐÒÖÙÒÒ Þ Ð ß Ü Ü Ô Ô ÈÖ ĐÒÖÙÒ Ô ¼µØÞÛ «Ø º ĐÒÖÙÒ Ö ÖÐØÚÒ ÈÖ ËÙ ØØÙØÓÒ «Ø ¾º ĐÒÖÙÒ Ö

Mehr

ÐÙÑ Ò ÙÑÒ ØÖ ¹Ë ÙØÞ Ø Ò Ù ÐÐ ÙÑÒ ØÖ À Ö Ø ÐÐÙÒ ÙÒ Ö Ø Ö ÖÙÒ ÚÓÒ Å ÐØ Ã Ö ÔÐÓÑ Ö Ø Ò È Ý Ò ÖØ Ø Ñ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ËØÖ Ð Ò¹ ÙÒ Ã ÖÒÔ Ý ÚÓÖ Ð Ø Ö Å Ø Ñ Ø ¹Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ Ò ÙÐØĐ Ø Ö Ê Ò Ò Ö Ö ¹Ï Ð ÐÑ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ

Mehr

Stefan Michaelis E S. Lehrstuhl für Elektronische Systeme und Vermittlungstechnik. Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz

Stefan Michaelis E S. Lehrstuhl für Elektronische Systeme und Vermittlungstechnik. Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz ß ÔÐÓÑ Ö Ø ß Ì Ò Ò Ø Å Ò Ò ÞÙÖ Ò ÐÝ ÚÓÒ Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÞÛ Ö Ò Stefan Michaelis Þ Ñ Ö ¾¼¼¼ E S V Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz Lehrstuhl für Elektronische Systeme und Vermittlungstechnik Prof.

Mehr

ÁÒ Ø Ú ÖÞ Ò ½ Ò ÖÙÒ ½ ¾ Å ÒÞ Ö ÌÖ Ø Ùѹ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾º½ ÌÖ Ø Ùѹ ¹ËÔ ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Å ÒÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾º½

Mehr

ËØ Ø Ø Ò ÐÝ ÚÓÒ Î Ö Ö Ø Ò ÙÒ ÅÓ ÐÐ ÖÙÒ ÚÓÒ Î Ö Ö Ù Ñ ØØ Ð Þ ÐÐÙÐ Ö Ö ÙØÓÑ Ø Ò ÎÓÑ Ö È Ý ß Ì ÒÓÐÓ Ö Ö Ö ¹Å Ö ØÓÖ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ñ Ø ÖØ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÄÙØÞ Æ Ù ÖØ Ù

Mehr

TUM INSTITUT FÜR INFORMATIK. Internet -Buchhandel Eine Fallstudie für die Anwendung von Softwareentwicklungstechniken mit der UML

TUM INSTITUT FÜR INFORMATIK. Internet -Buchhandel Eine Fallstudie für die Anwendung von Softwareentwicklungstechniken mit der UML TUM INSTITUT FÜR INFORMATIK Internet -Buchhandel Eine Fallstudie für die Anwendung von Softwareentwicklungstechniken mit der UML Gerhard Popp, Franz Huber, Ingolf Krüger, Bernhard Rumpe, Wolfgang Schwerin

Mehr

Ð ØÛÓÖØ Ó ØÓÖÚ Ø Ö Ñ Î Ö Ð ÚÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÐÐ Ò ÙÒ Đ Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö ÒØÛ ÐØ ÛÙÖ Ò ØĐÓ Ø Ñ Ò ÑÑ Ö Û Ö Ù È Đ ÒÓÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÐÐ ÐØ Ò ÓÑÔ Ø Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ò Ö ÞÛ Ø Ò Ð Ø Û ÒÒ ÙÑ Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ðغ À

Mehr

Strategische Standortplanung in Reverse-Logistik-Netzwerken - Eine empirische und modellgestützte Analyse

Strategische Standortplanung in Reverse-Logistik-Netzwerken - Eine empirische und modellgestützte Analyse Sven Mühlthaler Strategische Standortplanung in Reverse-Logistik-Netzwerken - Eine empirische und modellgestützte Analyse Dargestellt für die Amaturenaufarbeitung kassel university press Die vorliegende

Mehr

ÖÓÒÐÝ ÒÙÒ ÎÖÖÒ ÞÙÖ ÈÁƹÖÒÙÒ ÙÒ ÈÁƹÈÖĐÙÙÒ ĐÙÖ ¹ÃÖØÒ ÖÓÒÐÝ ÒÙ ÈÁƹÎÖÖÒ ½ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ Ù ÑÑÒ ÙÒ Ö Ê ÙÐØØ ¾ ¾ ÒÙ ÎÖÖÒ ¾º½ ÈÁƹÒÖÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ ÈÁƹÒÖÖÙÒ Ù ÃÖØÒÒÓÖÑØÓÒÒ

Mehr

ËØ Ò À ÖØÑ ÒÒ Å ØÖ Ð¹ÆÖº ½ µ ÃÓÒÞ ÔØ ÓÒ ÙÒ Ú ÐÙ ÖÙÒ Ò Ö Î Ù Ð ÖÙÒ Ø Ò Ö Ñ Ò Ò Ø Ò ÚÓÒ ÓÐÓ Ò ÐÐ Ò ÔÐÓÑ Ö Ø ÈÖÓ º Öº º ÃÖ Ñ Ö ÈÖÓ ÙÖ Ö Ö Ô Ø ÒÚ Ö Ö ØÙÒ Ö ÓÐÓ ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÂÓ ÒÒ ÏÓÐ Ò Ó

Mehr

Von Zeit zu Zeit ist man gezwungen, ein fsck manuell auszuführen. Sehen Sie sich dazu einfach das folgende Beispiel an:

Von Zeit zu Zeit ist man gezwungen, ein fsck manuell auszuführen. Sehen Sie sich dazu einfach das folgende Beispiel an: º Ø Ý Ø Ñ Ö Ô Ö Ö Ò ¾ ½ mounten. Der Parameter blocksize definiert die Blockgröße des Loop-Back-Geräts. Als Nächstes wird nun die Datei linux in /mnt (oder dort, wohin Sie das Image gemountet haben) mit

Mehr

ÔÐÓÑ Ö Ø Ú ÀÓÖÒ Ö ½ ÌÀ ÖÑ Ø Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Ϻ À Ò ÔÐ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÈÖÓ º ĺ ÈÓÒ Ö ØÞ ÈĐ Ó Öº ź À Ö À ÖÙÒ ÞĐÙ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Á ß Ø Ò ÐÝ ĐÍ ÙÒ ØÖ ß ÒÖ ÙÒ Ò ÞÙÖ Æ Ù ÓÒÞ ÔØ ÓÒº Ú ÖĐÓ«ÒØÐ Ø Ð À ¹ Ö Ø Ö Ø

Mehr

9 Dynamische Programmierung (Tabellierung)

9 Dynamische Programmierung (Tabellierung) 9 (Tabellierung) PrinzipºÊ ÙÖ ÓÒ ÒÑ Ø ĐÙ ÖÐ ÔÔ Ò ÒÌ Ð Ù ÒÛ Ö Ò 9.1 Grundlagen Ì ÐÐ ÖÙÒ Ö ÖÄĐÓ ÙÒ Ò Ù Û ÖØ Ø ÙÑÛ Ö ÓÐØ ÆÞ ÒØ Ö ÙÖ Ý Ø Ñ Ø ÙÖ Ð Ù Ò ÖÌ Ð Ù ÒÙÒ Ö ÒÙÒ ÒÞÙÚ ÖÑ Òº Ì ÐÐ Ò ĐÓÒÒ Ò Ø Ø Ø ÖÁÒ Ü Ö

Mehr

Spaltung. Fusion. E/M [MeV/amu] 2 H. 1 10 100 Massenzahl M. 62 Ni 3 H 1 H

Spaltung. Fusion. E/M [MeV/amu] 2 H. 1 10 100 Massenzahl M. 62 Ni 3 H 1 H ÈÐ Ñ Ô Ý ÙÒ Ù ÓÒ ÓÖ ÙÒ Ì Ð ÁÁ Ù ÓÒ ÓÖ ÙÒ ÚÓÒ Ê ÐÔ ÙÜ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ËË ¾¼¼¾ Ë Ö ÔØ ÖØ Ù Ñ ÎÓÖÐ ÙÒ Ö ÔØ ÚÓÒ À ÖÖÒ À ÖØÑÙØ Ó Ñ ĐÙÖ Ò Ö ÙÒ Ð ÍÒØ Ö ØĐÙØÞÙÒ ÑĐÓ Ø Ñ Ù Ñ Ï Ò Òº Ã Ô Ø Ð Ø À ÖÖ ÊÙ ÓÐ Æ Ù ÞÙÖ

Mehr

Ò ÓÖ ÖÙÒ Ò Ò ÑÓ ÖÒ ÖÓÛ Ö¹ Ö Ò Ï ¹ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ËØ Ò Ê Ù Ð ÅĐ ÖÞ ¾¼¼½ ÔÐÓÑ Ö Ø Ò Ì Ð Ñ Ø ÙÖ ĐÙ ÖØ Ñ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú Ö Ö ØÙÒ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ö ØĐÙØÞØ Æ Ù Å Ò Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö Þ ÙØ Ø Ö ØÖ Ù Ö ÇºÍÒ

Mehr

ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼½ ÝÒ Ñ ËÝ Ø Ñ ¾ ÎÓÖÐ ÙÒ Ö ÔØ Ñ Ø ÄĐÓ ÙÒ Òµ Í Ó Ù Þ ÒØÖ Ð Ò ËÝ Ø Ñ Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Å Ò Ð ÖÓØÑ Ò ÂÙÐ Ñ Ò ÙÒ ÒÞÙ Ø ÈÓ Ð³ Ò Ê Ñ Ø ÍÒÛÙ Ø ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ÒÐ Ò Ä ÖÒÞ Ð Ú ½ ½ º ÔÖ Ð ¾¼¼½

Mehr

Ù ØÓÑ Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ô Å Ò Ñ ÒØ Ò ÇÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ò ÅÓ ÐÐ Ö ËØÖÙ ØÙÖ ÖÙÒ ÒÒ ØØ È ØØÐÓ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ó ØÓÖ Ö È ÐÓ ÓÔ Ò Ö Ö ØÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò ÖÐ Ò Ñ ÂÙÒ ¾¼¼ ¾ ÙØ Ø Ö ÈÖÓ º

Mehr

ËÚ Ò Æ ÙÑ ÒÒ À Ò Ä Ò Ö È Ö Ò Ò Ò ĐÙ ÖÙÒ Ò Ñ Ò ÐÐ Ò ÐÝ Ò ØĐÙÖÐ Ö ËÔÖ Ú ÎÓÖÛÓÖØ Ð Û Ö Ò Ö ¼ Ö Â Ö ÞÙÑ Ö Ø ÒÑ Ð Ä ÖÚ Ö Ò Ø ÐØÙÒ Ò ÚÓÖ Ö Ø Ø Ò Ò Ò ĐÍ Ö Ð ĐÙ Ö Ù Ë Ø Ö ÓÑÔÙØ ÖÐ Ò Ù Ø Û Ø Ø Ò È Ö¹ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ

Mehr

ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ½º½ ØÝÓ Ø Ð ÙÑ Ó ÙÑ Ð ÅÓ ÐÐÓÖ Ò ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÝØÓ Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ø Ò Ò Ò ÈÖÓØ Ò Ò ØÝÓ Ø Ð ÙÑ Ó ÙÑ

Mehr

Elektrische Feldstärke [a.u.] THz-Puls Delay [ps] Pump-Probe Delay [ps]

Elektrische Feldstärke [a.u.] THz-Puls Delay [ps] Pump-Probe Delay [ps] È ÓÒÓÒ ÒÔÖÓÞ ÙÒ Ä ÙÒ ØÖĐ Ö ÝÒ Ñ Ò À Ð Ð Ø ÖÒ ÙÒØ Ö Ù Ø Ñ Ø À Ð Ö Ø Ø Ò ÙÒ Þ Ø Ù ÐĐÓ Ø Ò Ì Ö ÖØÞ Ì Ñ ¹ ÓÑ Ò ËÔ ØÖÓ ÓÔÝ 10 Elektrische Feldstärke [a.u.] 5 0-5 3 4 5 THz-Puls Delay [ps] 6 7-1 0 1 2 3 Pump-Probe

Mehr

Superharte, unterschiedlich gradierte PVD-Kohlenstoffschichten mit und ohne Zusätze von Titan und Silizium

Superharte, unterschiedlich gradierte PVD-Kohlenstoffschichten mit und ohne Zusätze von Titan und Silizium Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 6740 Superharte, unterschiedlich gradierte PVD-Kohlenstoffschichten mit und ohne Zusätze von Titan und Silizium

Mehr

Sicher ist sicher: Backup und restore Einleitung Hallo Schatz, habe die Diskette gefunden,...... die du gestern so verzweifelt gesucht hast.

Sicher ist sicher: Backup und restore Einleitung Hallo Schatz, habe die Diskette gefunden,...... die du gestern so verzweifelt gesucht hast. Einleitung Hallo Schatz, habe die Diskette gefunden,...... die du gestern so verzweifelt gesucht hast. Ä ÒÙܹÁÒ Ó¹Ì Ù ÙÖ ¹¾ ºÅÖÞ¾¼¼ à ÖÐ ÙØ Á̹ÏÇÊÃ˺ Ǻ ̹ ÓÒ ÙÐØ Ò ²ËÓÐÙØ ÓÒ Einleitung Willkommen Karl

Mehr

Security. Privacy. Authentity

Security. Privacy. Authentity Ä Ö ÖÛ Ø Ö Ð ÙÒ Æ ØÞÛ Ö Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÍ ÑÒ ØÞ ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ë Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾

Mehr

Å Ò ØÙÖ ÖØ Ð ØÖÓ Ø Ø Ä Ò Ò Ù ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ö Ó Ù Ò Æ Ö Ô ÒÒÙÒ ¹ Ê Ø Ö Ð ØÖÓÒ ÒÑ ÖÓ ÓÔ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ö ÙÐØØ Ö È Ý Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ Ì Ò Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ê ÑÓÒ

Mehr

Ð ØÑ Ø Ö Ð ÞÙÖ ÎÓÖÐ ÙÒ ÈÖÓÞ Ö Ò ÖØ Ò Ò ØØ Ø Ê ÐÞ Ø¹ËÝ Ø Ñ µ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ½ È Ø Ö Å ÖÛ Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÁ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø µ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÓÖØÑÙÒ º ÔÖ Ð ½ Ö Ð ØØ ÜØ Ø ÒÙÖ ÞÙÖ ÒÙØÞÙÒ ÙÖ Ì ÐÒ Ñ Ö Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Øº Û Ö Ò

Mehr

Á Ãȹû¾¼¼ ¹½½ ÒØÛ ÐÙÒ Ò Ò ÐÐ Ò Ù Ð Ý Ø Ñ Ö Ñ ÒØ ØÖ ÐÑÓÒ ØÓÖ Ñ Å˹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ØÓÔ Ê Ð ½ º ÅÖÞ ¾¼¼ ÔÐÓÑ Ö Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ã ÖÒÔ Ý Á ÃÈ ÍÒ Ú Ö ØØ Ã ÖÐ ÖÙ ÌÀµ Ê Ö ÒØ ÈÖÓ º Öº Ï Ñ Ó Ö ÃÓÖÖ Ö ÒØ

Mehr

ÒÓÒÝÑ ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ë Ñ Ø Ö Ö Ø ÚÓÒ Ò Ö ÃÖÑ Ö Ö Ñ Ö º Ø Þº ÈÖÓ ÓÖ ÖÒ Ö ÈÐ ØØÒ Ö ØÖ Ù Ö Ò Æ Ø Ð Ï Ð Ö ÌÁÃ ÌÀ Ö º ÖÙ Ö ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø Ô Ô Ö ÜÔÐ Ò ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÝÑÓÙ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ø ÖÓÛ

Mehr

ÇÔ Ò ËÓÙÖ ÄÓ Ð Ò Ö Ñ Î Ö Ð ÞÙ ÓÑÑ ÖÞ ÐÐ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÔÐÓÑ Ö Ø ÚÓÒ Ì ÓÑ ËØ Ð Ó ÙÐ ÖÑ Ø Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº ÆÓÖ ÖØ ÃÖ Ö ÈÖÓ º Öº ÃÐ Ù É٠Рݹ Ö Ð Ö Ó Ø Ñ À Ø ÐÙÒ ÁÌ Öº ÖØ ÙÖ Ê Ø ÒÛ Ð ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö

Mehr

Interoperabilität. Semantische Heterogenität (Datenmodell, Schema, Instanzen) Strukturelle Heterogenität (Datenmodell, Schema, Instanzen)

Interoperabilität. Semantische Heterogenität (Datenmodell, Schema, Instanzen) Strukturelle Heterogenität (Datenmodell, Schema, Instanzen) ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÖ ÙÒ ÙÒ ÒØÛ ÐÙÒ Ñ ÒÙ Ö ÔØ ÆÓº Û ÐÐ Ò ÖØ Ý Ø ØÓÖµ ÁÒØ ÖÓÔ Ö Ð ØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ ÙÒ Ø Û Ò Ù Ñ Þ Ò Ö ËØ Ò Ö ËÙ ÒÒ È Ö Ò Ï Ð ÐÑ À Ð Ö Ò ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÇÐ Ò ÙÖ Ô ÖØÑ ÒØ ĐÙÖ ÁÒ

Mehr

Abschlussklausur Cluster-, Grid- und Cloud-Computing (CGC) 25.1.2012 Dr. Christian Baun

Abschlussklausur Cluster-, Grid- und Cloud-Computing (CGC) 25.1.2012 Dr. Christian Baun ÐÙ Ø Ö¹ Ö ¹ÙÒ ÐÓÙ ¹ ÓÑÔÙØ Ò µ Ä ÙÒ ÞÞ ÒÞÙÖ ÐÙ Ð Ù ÙÖ ¾ ºÂ ÒÙ Ö¾¼½¾ ÎÓÖÒ Ñ Æ Ñ Å ØÖ ÐÒÙÑÑ Ö ËØÙ Ò Ò À ÒÛ ÌÖ ÒË ÞÙ Ö Ø Ù ÐÐ Ò ÐØØ ÖÒ Ò Ð Ð Ð ØØ µá Ö ÒÆ Ñ Ò Ë Ö ÒË Ä ÙÒ Ò ÖÌ Ð Ù Ù Û Ð ÚÓÖ Ö Ø Ø Ð Øغ Á Ö

Mehr

Integriertes Management großer Web-Sites auf der Basis datenbankbasierter Modellierungskonzepte

Integriertes Management großer Web-Sites auf der Basis datenbankbasierter Modellierungskonzepte ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò Integriertes Management großer Web-Sites auf der Basis datenbankbasierter Modellierungskonzepte ÍÐÖ ËÓÑÑ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ

Mehr

Ö ÙÒ ÚÓÒ Ï ¹ ÖØ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØØ Ð Ê ¹Å Ø Ø Ò ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Ï ÖØ Ø Û Ò Ø Ò Öº Ö Öº ÔÓкµ ÙÖ Ò Ö Ï ÖØ Ø Û Ò Ø Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ¹ Ò ËØ Ò ÓÖØ Ò ÎÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ê Ò ÓÐ ÃÐ Ô

Mehr

Sectoral Adjustment of Employment: The Impact of Outsourcing and Trade at the Micro Level

Sectoral Adjustment of Employment: The Impact of Outsourcing and Trade at the Micro Level 145 Reihe Ökonomie Economics Series Sectoral Adjustment of Employment: The Impact of Outsourcing and Trade at the Micro Level Peter Egger, Michael Pfaffermayr, Andrea Weber 145 Reihe Ökonomie Economics

Mehr

Scheduling und Ressourcenverwaltung in Realzeitsystemen

Scheduling und Ressourcenverwaltung in Realzeitsystemen INSTITUTE FOR REAL-TIME COMPUTER SYSTEMS TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN PROFESSOR G. FÄRBER Scheduling und Ressourcenverwaltung in Realzeitsystemen Hauptseminar Realzeit-Computersysteme Wintersemester

Mehr

ÄÙ Û ßÅ Ü Ñ Ð Ò ßÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÅÓ Ð ÒØ ËÝ Ø Ñ Ö Ø ØÙÖ Ò ÈÐ ØØ ÓÖÑ ĐÙÖ Ü Ð ÁÌßÅ Ò Ñ ÒØ Ì Ò Ö Ö Ø ¼¾ ÓÖ ÖÙ ËØ Ô Ò À Ð ÖÓÒÒ Ö À ÐÑÙØ Ê Ö MNM TEAM ÅĐÙÒ Ò Ö Æ ØÞÑ Ò Ñ ÒØ Ì Ñ ÅÓ Ð

Mehr

Trustworthy Preservation Planning. Christoph Becker. nestor edition 4

Trustworthy Preservation Planning. Christoph Becker. nestor edition 4 Trustworthy Preservation Planning Christoph Becker nestor edition 4 Herausgegeben von nestor - Kompetenznetzwerk Langzeitarchivierung und Langzeitverfügbarkeit Digitaler Ressourcen für Deutschland nestor

Mehr

Ä ÖÓÒ ÅÐ ÄÓÖ ¼ º¼º¾¼¼¾ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ÒÐØÙÒ ¾ ÏÐÐÒÐØÖ ¾º ÅÜÛÐйÐÙÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä ÙÒÒ Ö ÅÜÛÐйÐÙÒÒ Ö Ò ÐÐ Öع Ò ÏÐÐÒÐØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º

Mehr

ÃÓÒÞÔØÓÒ Ò ÙØ Ò ØÒÒÜ ĐÙÖ ÓÖ ÙÒ ÞÛ Çµ ÀÖÑÒÒ ĐÓÔÔÐ ÀÒÖ ËĐÙØÞ Ù ÓÒ ÔÔÖ ÆÖº ½¾ ÃÙÖÞ ÙÒ ĐÙÖ ÏÓÖÐÏÏ ØÙÐÐ ÎÖ ÓÒ ÂÒÙÖ ½ ÊĐÙÖÒ ØØ Ò ÓÐÒ Ö ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÒØ ÙÒ ØÓÖ ÙÒ ÍÒØÖÒÑÒ ÓÖ ÙÒ ÍÒÚÖ ØĐØ ÃÖÐ ÖÙ ÌÀµ ÈÓ Ø ¼ ½¾ ÃÖÐ

Mehr

½ È ÙÒÖ¹ÒÒ Ø¹ ÊÒØÒÖØÓÑØÖ ÁÆÀÄÌËÎÊÁÀÆÁË ¾ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÒÖÙÒ ¾ ÌÓÖ ¾º½ ÒÒ ËØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ ÖØÖ ÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Mehr

½ ÍÆÀ ĐÆÁ ÊÁÆÁËË ÁÆ ÁËÃÊÌÆ ÏÀÊËÀÁÆÄÁÀÃÁÌËÅÇÄÄÆ Ù ÑÑÒ ÙÒ ÚÓÒ ØÑÖ ÈÖ ÇÐÒÙÖ ÒÒ ÓÒÖØÖ ÙÒ Ù ÚÖ ÒÒ ËÙÐĐÙÖÒ ÞÙÖ ËØÓ Ø ÛÖ ÈÖÓÐÑØ Ö Ü ØÒÞ ÙÒĐÒÖ ÖÒ ÓÐÒ Ò ÖØÒ ÏÖ Ò¹ ÐØ ÑÓÐÐÒ ÙØÖغ ÁÒ ÓÒÖ ÛÖ Ò Ò ÖØÒ ÅÓÐÐÒ ĐÙÐØ Ò ĐØÞÙÒ

Mehr

ÏÖ ØÖ¹ÁÒ ØØÙØ Ö ÒÛÒØ ÒÐÝ ÙÒ ËØÓ Ø Ñ ÓÖ ÙÒ ÚÖÙÒ ÖÐÒ ºÎº ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÁËËÆ ½½ ËÑÙÐØÓÒ Ö ËØÖÐÖØÙÒ ÚÓÒ ËØÐ ÑØ ÏÁ˹ËÀÖÈ º ÙÛÐÖ ½ º ÀÑÖ ¾ ̺ ÂÙÖ ¾ Àº¹Âº ËÔ ½ ÙÒ Ïº Ï ¾ ÙÑØØ ÔÖ ¾ ¾¼¼¾ ½ ÌÍ ÖÑ ÖÖ Ù ØÚ¹ÙÒÖ¹ËØÖº ¼

Mehr

ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ÁÒØÖÒÖ ÖØ Ö ÌÒ Ò ÙÐØØ ØÐÙÒ ÁÒÓÖÑØÓÒ ØÒ ËÖÔØ ÞÙÖ ÎÓÖÐ ÙÒ ÌÒ ÁÒÓÖÑØ Á ÅÖÓ ÀÐÖØ ËÓÑÑÖ Ñ ØÖ ¾¼¼½ ËØÒ ½º ÔÖÐ ¾¼¼½µ Ê Ë ¼ ʳ Ê Ê Ë³ Ë Å ØÖ ¼ ʳ Ê Ê É Ë Ë³ É ËÐÚ ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ÈÓ Ø ½¼ ¼½ ½ ¼½ ÐÐ ÎÓÖÛÓÖØ

Mehr

ÄÒÖ ÙÒ ÒØÐÒÖ ÊÑÒ¹ËÔØÖÓ ÓÔ Ò ÓÐÓ ÖÐÚÒØÒ ÅÓÐÐ Ý ØÑÒ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ ÒØÙÖÛ Ò ØÐÒ ÓØÓÖÖ Ö ÝÖ Ò ÂÙÐÙ ßÅÜÑÐÒ ßÍÒÚÖ ØĐØ ÏĐÙÖÞÙÖ ÚÓÖÐØ ÚÓÒ Ë ØÒ ËÐĐÙÖ Ù Ò ÏĐÙÖÞÙÖ ¾¼¼½ ÒÖØ Ñ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ Ñ ÙÒ ÈÖÑÞ ½º ÙØØÖ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Mehr

ÇÔØ ÐÑÒØ ÖÄعÜÔÖÑÒØ ÞÙÖ ÔØÖÐÒ Å ÙÒ Ö ÐÙÓÖ ÞÒÞÙ ÙØ ÚÓÒ ÄÙØ ÔÐÓÑÖØ Ò ÈÝ ÚÓÒ ËØÒ ÃÐÔ Ö ÁÆËÌÁÌÍÌ ĐÍÊ ÈÊÁÅÆÌÄÄ ÃÊÆÈÀËÁà ÍÆÁÎÊËÁÌ ĐÌ ÃÊÄËÊÍÀ ÍÆ ÁÆËÌÁÌÍÌ ĐÍÊ ÃÊÆÈÀËÁà ÇÊËÀÍÆËÆÌÊÍÅ ÃÊÄËÊÍÀ ÁÆ Ê ÀÄÅÀÇÄ̹ÅÁÆËÀÌ

Mehr

Ö ÙÖ ÍÆÁ» ÀÌÅÄ ÂĐÓÖ ÀÒÖ ÐÜÒÖ Ê ¾º ÆÓÚÑÖ ½ Á ÍÆÁ ¾ ½ ÒÙØÞÖ ¾ ¾ Ø Ý ØÑ ¾ ¾º½ ØØÝÔÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ØÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º

Mehr

PROCEEDINGS der Verbundtagung VertIS 2001

PROCEEDINGS der Verbundtagung VertIS 2001 Fachgruppe 1.1.6 Verteilte Künstliche Intelligenz (VKI), Fachgruppe 2.5.2 Entwicklungsmethoden für Informationssysteme und deren Anwendung (EMISA), Fachgruppe 5.10 Informationssystem-Architekturen: Modellierung

Mehr

ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÍÑÛÐØÛ Ò ØÒ Ö ÀÓ ÙÐ ÎØ ÁÒØ ØÓÒ ÙÒ ÊÓÒ ØÖÙØÓÒ ÚÓÒ ĐÙÒ Ò ÄÙØÐÖÒ ÑØØÐ ÙÒ ÖÖ ÓÒ ØÖÒØ ÁÒÙÙÖÐ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Öº ÖÖº Òغµ ÒÒÓÑÑÒ ÚÓÑ Ö ½ Ö ÀÓ ÙÐ ÎØ ÎÓÖÐØ Ñ ½º º ½ ÚÓÒ ÌÓÑ ÀÒÖ

Mehr

ÇÔØÑÖÙÒ Ò ØÞ ÚÓÒ Ð¹ËÙÖ¹ÙÑÙÐØÓÖÒ Ò ÈÓØÓÚÓÐعÀÝÖ¹ËÝ ØÑÒ ÙÒØÖ ÔÞÐÐÖ Ö ØÙÒ Ö ØØÖÐØÖÙÒ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ ÓØÓÖÖ Öº ÖÖº Òغ Ö ÙÐØØ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ö ÍÒÚÖ ØØ ÍÐÑ ÚÓÒ Ö ÍÛ ËÙÖ Ù ÅÒÒÑ ÍÐÑ ¾¼¼ ½º ÙØØÖ ÈÖÓº Öº º Ö ¾º

Mehr

Nachfolgend alle Unterlagen

Nachfolgend alle Unterlagen NÜRNBERGER TOP Empfehlung Für Ärzte / Tierärzte / Ingenieure / Hausfrauen Top Zusatz Infektionsklausel für Ärzte! Besonders geeignet weil! Nicht sinnvoll wenn /für! --Sehr günstiger Beitrag -- Bauberufe

Mehr

ÖÕÙÒÞÚÖÚÖÙÒ Ò ¹ËÒÐ Ö ß Ò ÍÎ¹Ä Ö Ý ØÑ ¾ ÒÑ Ö ½ ˹ È ÄÒ Ò ÉÙ ÐÖ ÔÐÓÑÖØ ÚÓÒ ÅÖØÒ Ë ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÈÝ ÂÓÒÒ ÙØÒÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÅÒÞ ÅÒÞ Ò ¾º ÙÙ Ø ¾¼¼ ½º ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÂÓÒ ÏÐÞ ¾º ÙØØÖ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÒÐØÙÒ ½ ¾ ÌÓÖ Ö ÖÕÙÒÞÚÖÓÔÔÐÙÒ

Mehr

ËÑÙÐØÓÒ ÙÒ Î ÙÐ ÖÙÒ Ò Ö ØÖÓÔÝ ÓÖ ÛÙÒÖ Ñ Ê Ö ØÓÔ ÒÖ ÑØ Ö ÍºËºËº ÒØÖÔÖ ÀÒÒ ÊÙÖ ½ ÙÒ ÒÐ Ï ÓÔ ¾ ½ ¾ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ØÖÓÒÓÑ ÙÒ ØÖÓÔÝ ÍÒÚÖ ØĐØ ÌĐÙÒÒ Ù Ö ÅÓÖÒ ØÐÐ ½¼ ¾¼ ÌĐÙÒÒ Î ÙÐ ÖÙÒ ÙÒ ÁÒØÖØÚ ËÝ ØÑ ÍÒÚÖ ØĐØ ËØÙØØÖØ

Mehr

ÐØÖÓÒ Ò ØÒ ÚÓÒ ÑÒØ ÙÒ ÑÒØÖØÒ ÃÓÐÒ ØÓ«Ò ÁËËÊÌÌÁÇÆ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ñ Ò Ö ÓØÓÖ ÖÖÙÑ ÒØÙÖÐÙÑ Öº ÖÖº Òغµ ÚÓÖÐØ Ö ÙÐØĐØ ÅØÑØ ÙÒ ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ö ÌÒ Ò ÍÒÚÖ ØĐØ Ö Ò ÚÓÒ Ôк¹ÈÝ º ËØÔÒ ÏÑÒÒ ÓÖÒ Ñ ¾º½¼º½ Ò ÊÐÒÒ ÙØØÖ ÈÖÓº

Mehr

# echo 1 > /proc/sys/net/ipv4/ip_forward

# echo 1 > /proc/sys/net/ipv4/ip_forward ¾º ÊÓÙØ Ò Áȹ ÐØ Ö Ö Û ÐÐ ÙÒ ÁȹŠÖÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ ½¼ ËÝÑÔØÓÑ ÈÖÓ Ð Ñ minicom Ò Ø Ñ Î ÖÐ Òº minicom ÐÓ ÖØ Ñ Ä Ò Ò Ò ÓÖÖ Ø ØÞØ Ò Ö ÐÐ Ò ÖØ º Ä ÙÒ Ë Ò Ò Ò Ò Ù Ë ÐÐ ÙÒ Ò Ò Ò minicom¹èöóþ Ñ Ø Ñ Ð kill -KILLº Ô

Mehr

Statistik I Hausaufgabenblatt 1. Beobachtungseinheit. Alle Besucher des Filmes Erdbeben. Ein Klausurteilnehmer. Volkseinkommen

Statistik I Hausaufgabenblatt 1. Beobachtungseinheit. Alle Besucher des Filmes Erdbeben. Ein Klausurteilnehmer. Volkseinkommen Institut für Statistik und Ökonometrie WS 2008 / 2009 Prof. Dr. Rainer Schlittgen Statistik I Hausaufgabenblatt 1 Aufgabe 1 Füllen Sie die leeren Felder so aus, dass die jeweilige Zeile die angegebenen

Mehr

NOT AND OR NAND NOR XOR

NOT AND OR NAND NOR XOR ÊÒÖ ØÖÙØÙÖÒ ÃÐÙ ÙÖÞÙ ÑÑÒ ÙÒ Ö ØÐÐØ ÚÓÒ ËÒÔ ËÖ¹ ½ ÙÐ Ý ØÑ ÙÒ ËÐØÙÒØÓÒÒ ÐÔØ Ø ÏÓÖØÐÒ Òµ Ò ¼ ½Ò ¹ µ ÃÓÒÚÒØÓÒ ½¼ ººº ¼ ½ ÍÑÖÒÙÒÒ ½¼ Þ È Ò ½ ½¼ ¼ Þ ¾ ÍÑÓÖÑÙÒ ÚÓÒ»ÞÙ ÖÖÐÒ ¾ ½ ÍÑÓÖÑÙÒ ÚÓÒ»ÞÙ ÎÖÖÐÒ ½¼ ÎÓÖÓÑÑØе

Mehr

ÎÖ ÖÙÒ ÑØÑØ ÖÙÒÐÒ ÙÒ ÖĐÙÚÖ ÖÙÒ ØÒ ÔØ ÚÓÒ ÈÖÖÖ ÄÚ ¹ÌÖÒ Åº ÈÑ º Ø Àº¹Âº Û ÐÖ ½ ÒÐØÙÒ ÙÖ ÖÙÐÖÙÒ ÙØ Ò ÎÖ ÖÙÒ ÑÖØ Ò ÙØ Ò ÄÒ ¹ ÚÖ ÖÙÒ ÙÒØÖÒÑÒ ÒÞ ÒÙ ÖØÒ Ö ØÐØÙÒ ÖÖ ÈÖÓÙØ ÖÐØÒº ÙÖ ÒÙ ÑÒ ÓÒ Ö ÐÐØĐØ Ø ØÞØ ÑĐÓÐ ÔÞ

Mehr

ÅØÓ Ù ÐÙÒ ÙÒ ÖÔÖÓÙÒ ÚÓÒ ÖÞÙ¹Ö ØÖÙØÙÖÒ ÎÓÑ Ö Å ÒÒÙ Ö ÍÒÚÖ ØØ ÀÒÒÓÚÖ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ñ Ò Ö ÓØÓÖ¹ÁÒÒÙÖ ÒÑØ ÖØØÓÒ ÚÓÒ Ôк¹ÁÒº ÅØØ ÃÖÖ ÓÖÒ Ñ ½¼º Å ½ Ò ÀÒÒÓÚÖ ¾¼¼¾ ½º ÊÖÒØ ÈÖÓº Öº¹ÁÒº ú ÈÓÔÔ ¾º ÊÖÒØ ÈÖÓº Öº¹ÁÒº º

Mehr

Ò ÓÖÑÐ ÖÙÒ Ö ÙÙØÖ ÖÒÙÒ ¹ ÖÙÒÐ ÞÙÖ ÒÔ ÙÒ ÙÒ ÒØÛÐÙÒ Ò ÁÒÓÖÑØÓÒ Ý ØÑ ¹ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ñ Ò Ö ÓØÓÖ ¹ ÁÒÒÙÖ Ò Ö ÙÐØĐØ ÙÒÒÙÖÛ Ò Ö ÙÙ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÑÖ ÎÓÖÐØ ÚÓÒ ÖÒ ÐÖ Ù ÏÓÐ ÙÖ¹ÍÒÖÓ»ÌĐÙÖº ÏÑÖ Ò ¼ º ÂÙÐ ¾¼¼¾ ÙØØÖ

Mehr

Proceedings 13. Workshop Fuzzy Systeme Dortmund, 19. - 21. November 2003

Proceedings 13. Workshop Fuzzy Systeme Dortmund, 19. - 21. November 2003 Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 69 Proceedings 13. Workshop Fuzzy Systeme Dortmund, 19. - 1. November 3 R. Mikut, M. Reischl (Hrsg.) Institut für

Mehr

ÇÔØÓÐØÖÓÒ ÖÞÙÙÒ ÙÒ ØØÓÒ ÓÖÒØÖ ÙÖ ØÖÌÀÞËØÖÐÙÒ Ö ÐÒ ÒÛÒÙÒÒ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ ÓØÓÖÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ ÎÓÖÐØ Ñ Ö ÈÝ Ö ÂÓÒÒ ÏÓÐÒ ÓØÍÒÚÖ ØØ Ò ÖÒÙÖØ Ñ ÅÒ ÚÓÒ ÃÖ ØÒ ËÖØ Ù ÖÒÙÖØ Ñ ÅÒ ÖÒÙÖØ Ñ ÅÒ ¾¼¼¾ ½µ ÚÓÑ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººÖ

Mehr

ÈÖÓº Öº ØÑÖ ÈÖ ÈÖÚØ ÃÖÒÒÚÖ ÖÙÒ ÈÃε ÏË ¾¼¼½»¼¾ Áº ÊØÐ ÙÒ ÚÖ ÖÙÒ ÑØÑØ ÖÙÒÐÒ Ö ÈÃÎ Áº½º ĐÕÙÚÐÒÞÔÖÒÞÔ Ö ÈÃÎ Áº¾º ÃÓÔ ĐÒ ÙÒ ËÒÔÖÓ Ð Áº º ÆØØÓÔÖĐÑ Áºº ÖÙØØÓÔÖĐÑ ÁÁº ØÖ ÒÔ ÙÒÒ ÁÁº½º ÐØÖÙÒ ÖĐÙ ØÐÐÙÒ ÁÁº¾º ØÒ

Mehr

Data Mining. Lehrgebiet Datenbanksysteme für neue Anwendungen. Seminarband zu Kurs 1912 im SS 2008. Vorträge der Präsenzphase am 4. und 5.

Data Mining. Lehrgebiet Datenbanksysteme für neue Anwendungen. Seminarband zu Kurs 1912 im SS 2008. Vorträge der Präsenzphase am 4. und 5. Lehrgebiet Datenbanksysteme für neue Anwendungen Seminarband zu Kurs 1912 im SS 2008 Data Mining Vorträge der Präsenzphase am 4. und 5. Juli 2008 Betreuer: Prof. Dr. Ralf Hartmut Güting Dipl.-Inform. Christian

Mehr

Neue Ansätze im IT-Service-Management. Prozessorientierung (ITIL/eTOM)

Neue Ansätze im IT-Service-Management. Prozessorientierung (ITIL/eTOM) Hauptseminar Wintersemester 2003/2004 Neue Ansätze im IT-Service-Management Prozessorientierung (ITIL/eTOM) Einführung Referenzszenario Auszug aus: Sailer, M., Klassifizierung und Bewertung von VPN Lösungen

Mehr

6. Explizite Zeit und Zeitautomaten

6. Explizite Zeit und Zeitautomaten 6. Explizite Zeit und Zeitautomaten Bisher: Zeit nur als Ordnungsrelation zwischen Zuständen/Ereignissen Jetzt: Zeit als explizite kontinuierliche Größe modelliert (reelle Werte) Uhren: stückweise kontinuierliche

Mehr

Wechselnde Rahmenbedingungen erschweren die Datensicherung zusätzlich. Hierfür sind vor allem drei Gründe zu nennen:

Wechselnde Rahmenbedingungen erschweren die Datensicherung zusätzlich. Hierfür sind vor allem drei Gründe zu nennen: ¾½½ Æ ØÞÛ Ö ¹ Ø Ò ÖÙÒ Netzwerk-Datensicherungssysteme können heterogene IT-Umgebungen mit mehreren tausend Rechnern weitgehend automatisch sichern. In der klassischen Form bewegen Netzwerk-Datensicherungssysteme

Mehr

HS Ravensburg-Weingarten. 23. September 2014. Allgemeines 2 Vorlage für Ausarbeitungen 4 Entwicklungsumgebung 8 Übungsaufgaben 10

HS Ravensburg-Weingarten. 23. September 2014. Allgemeines 2 Vorlage für Ausarbeitungen 4 Entwicklungsumgebung 8 Übungsaufgaben 10 Ö Ø ÐØØ Ö ÞÙÑ ÈÖ Ø ÙÑ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò HS Ravensburg-Weingarten 23. September 2014 Allgemeines 2 Vorlage für Ausarbeitungen 4 Entwicklungsumgebung 8 Übungsaufgaben 10 ¾ ÈÖ Ø ÙÑ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ½ ÐÐ Ñ Ò ÞÙÑ ÈÖ

Mehr

Eine Mustersprache für das Design von Autorensystemen

Eine Mustersprache für das Design von Autorensystemen Eine Mustersprache für das Design von Autorensystemen Eine Anwendung des Open-Source Entwicklungsmodells auf Entwurf und Herstellung von Lernsoftware Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades

Mehr

Proceedings 12. Workshop Fuzzy Systeme

Proceedings 12. Workshop Fuzzy Systeme Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 6767 Proceedings 12. Workshop Fuzzy Systeme Dortmund, 13.-15. November 2002 R. Mikut, M. Reischl (Hrsg.) Institut

Mehr

ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÑÒØÞ ÄÖÑØÖÐ ÈÖÒÞÔÒ Ö ËÝ ØÑÑÒ ØÖØÓÒ ÅØØ ÐÙ ÍÛ ÀÒÖ ÌÓÑ ÅÐÐÖ Ö ØÓÔ ÐÖ ½¼º ÂÙÐ ¾¼¼ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÃÓÒÞÔØÓÒ Ö ÄÖÚÖÒ ØÐØÙÒ ½º½ ÇÖÒ ØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Mehr

ENERGIE PLUTONIUM STROM und die UMWELT

ENERGIE PLUTONIUM STROM und die UMWELT Deutsche Physikalische Gesellschaft Arbeitskreis Energie ENERGIE PLUTONIUM STROM und die UMWELT 17 Vorträge der Tagungen Heidelberg (1999) und Dresden (2000) eingeschlossen das Dresdner Symposion 'Plutonium

Mehr

Programmieren II (CS104) Netzwerkaspekte

Programmieren II (CS104) Netzwerkaspekte Programmieren II (CS104) Netzwerkaspekte 15. April 2004 Prof. Dr. Christian Tschudin Departement Informatik, Universität Basel Uebersicht Netz-Implementierungsaspekte, top down Client Architektur read/eval

Mehr

Bash Style Guide und Kodierungsrichtlinie Mit ergänzenden Hinweisen zum Testen von Skripten

Bash Style Guide und Kodierungsrichtlinie Mit ergänzenden Hinweisen zum Testen von Skripten Bash Style Guide und Kodierungsrichtlinie Mit ergänzenden Hinweisen zum Testen von Skripten Fritz Mehner Fachhochschule Südwestfalen, Iserlohn mehner@fh-swf.de Inhaltsverzeichnis 1 Zeilenlänge 2 2 Einrückung

Mehr

Eröffnung eines Weiterbildungskontos für Versicherungsvermittler

Eröffnung eines Weiterbildungskontos für Versicherungsvermittler Bitte zurücksenden an: Allianz Lebensversicherungs-AG L-K-MVZB-C Reinsburgstraße 19 70178 Stuttgart Maklerakademie@allianz.de Eröffnung eines Weiterbildungskontos für Versicherungsvermittler Trusted Partner:

Mehr

17. Wahlperiode 29.08.2014 17/2812

17. Wahlperiode 29.08.2014 17/2812 Bayerischer Landtag 17. Wahlperiode 29.08.2014 17/2812 Schriftliche Anfrage der Abgeordneten Dr. Simone Strohmayr SPD vom 17.06.2014 Strafvollzug von Männern und Frauen Ich frage die Staatsregierung: 1.

Mehr