Übungsaufgaben zu Kapitel 12 bis 14

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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 0/6 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel bis Hinweis: Die Berechnung evtl. auftretender Integrale kann mit Hilfe eines Taschenrechners oder einer Formelsammlung erfolgen. Aufgabe : Es wird ein Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln durchgeführt. Die dabei erzielte Augensumme wird als diskrete Zufallsvariable betrachtet. Stellen Sie die Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen. Aufgabe : Eine Firma kauft eine bestimmte Ware bei drei verschiedenen Herstellern ein, und zwar 0% vom Hersteller I, 0% vom Hersteller II und 0% vom Hersteller III. Die Ausschussanteile bei diesen drei Herstellern seien der Reihe nach : 8%, 6% und %. Aus der gesamten Lieferung wird ein Stück zufällig herausgegriffen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Stück Ausschuss? b) Ein zufällig ausgewähltes Stück sei brauchbar. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es vom Hersteller I bzw. vom Hersteller III? Aufgabe : Bei der Herstellung eines Massenartikels weiß man aus Erfahrung, dass % der Artikel defekt sind. Alle Artikel werden vor dem Ausliefern einem Test unterzogen. Bei 98% aller defekten Artikel fällt dieser positiv aus (d.h. sie werden als defekt erkannt). Es werden aber auch % der nicht-defekten Artikel fälschlicherweise als defekt eingestuft. Angenommen, der Test fällt bei einem bestimmten Artikel positiv aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Artikel wirklich defekt ist. (Hinweis: Nutzen Sie die Ereignisse D: Artikel ist defekt und T : Test fällt positiv aus sowie die Bayessche Formel.) Aufgabe : Eine bestimmte Sorte von Getränkeflaschen habe die Füllmenge (00 + X) ml. Dabei sei X eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion { 0.006( x ) für x f(x) = 0 sonst. Ermitteln Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F (x) und berechnen Sie die Zahl c so, dass die Füllmenge einer Getränkeflasche (in ml) mit Wahrscheinlichkeit 0.9 im Intervall [ 00 c, 00 + c ] liegt. (Hinweis: Zur Berechnung von c kann der solve()-befehl des Taschenrechners verwendet werden.) Aufgabe : Gegeben ist die Funktion: f(x) = a e x + e x (mit a R). a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die Funktion f die Eigenschaften einer Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen besitzt. b) Sei X eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion gleich der gegebenen Funktion f ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich ist. weiter siehe S.

2 Aufgabe 6 : Der Betrag der Geschwindigkeit eines Gasmoleküls in einem idealen Gas kann als Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 0 für x < 0 f(x) = x x α π e α für x 0 aufgefasst werden (Maxwell-Boltzmann-Verteilung), wobei α eine positive Konstante ist. Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen. Aufgabe 7: Zur Qualitätsprüfung einer Lieferung von Bauteilen wird eine Stichprobe von 0 Stück entnommen. Wenn in der Stichprobe mehr als zwei unbrauchbare Teile gefunden werden, wird die gesamte Lieferung zurückgewiesen. Anderenfalls wird sie angenommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Lieferung, wenn diese % unbrauchbare Teile enthält? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Lieferung, wenn diese % unbrauchbare Teile enthält? c) Die Lieferung enthalte 7.% unbrauchbare Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von 0 Teilen mehr unbrauchbare Teile enthält als im Mittel zu erwarten sind? Aufgabe 8: Eine Straße wird von einer Eisenbahnstrecke gekreuzt. Beim Passieren eines Zuges wird durch Schranken der Verkehr für min unterbrochen. Die durchschnittliche Belastung der Straße beträgt 00 Kfz pro Stunde. Es wird davon ausgegangen, dass die Anzahl der Fahrzeuge einer Poisson-Verteilung unterliegt. Der Platzbedarf pro Fahrzeug beläuft sich auf durchschnittlich m. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die sich bildende Warteschlange länger als 0 m wird. Aufgabe 9: Die Weglänge, die von einem Gasmolekül zurückgelegt wird, bevor es mit einem anderen Molekül zusammentrifft, heißt freie Weglänge. Es kann angenommen werden, dass diese freie Weglänge eine exponentialverteilte Zufallsvariable ist, wobei λ = 0 gilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) die freie Weglänge einen Wert zwischen 0. und 0 annimmt b) die freie Weglänge größer als ist. Aufgabe 0: Die Kapazität eines in großer Stückzahl hergestellten Kondensators kann als eine normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert µ = 00 µf und der Standardabweichung σ = µf angesehen werden. a) Mit welchem Ausschussanteil (in %) ist zu rechnen, wenn die Kapazität höchstens um % vom Sollwert (Erwartungswert) abweichen darf? b) Wie groß ist der Ausschussanteil (in %), wenn nur Kapazitätswerte zwischen 98 µf und 0 µf toleriert werden? Aufgabe : Die Ergebnisse bestimmter Messungen werden als normalverteilte Zufallsvariable angesehen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) sich ein Messwert um mehr als die Hälfte der Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheidet? b) sich ein Messwert um weniger als drei Viertel der Standardabweichg. vom Erwartungswert unterscheidet?

3 Aufgabe : Die Massen der in einer Bäckerei hergestellten Weihnachtsstollen können als normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 000 g und der Standardabweichung σ = g angesehen werden. Es kann davon ausgegangen werden, dass die einzelnen Massen unabhängig voneinander sind. Zur Auslieferung werden die Stollen zu je 9 Stück in Kartons verpackt. Die Masse des Verpackungsmaterials beträgt 00 g. a) Die Gesamtmasse dieser Kartons werde als Zufallsvariable Z betrachtet. Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt Z (Typ der Verteilung und Kennwerte angeben)? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Masse eines Kartons weniger als 900 g beträgt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton zwischen 9 g und 9 g wiegt? Aufgabe : Die Messung des jährlichen Wasserverbrauchs von 8 Haushalten ergab die folgenden Werte (jeweils in m ): Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert, die Stichprobenvarianz und den Variationskoeffizienten. Bestimmen Sie außerdem den Median und die Spannweite der Stichprobe. Aufgabe : Die Monatsgehälter x i der Mitarbeiter einer Firma haben den Mittelwert x = 000 EUR und die Standardabweichung s = 000 EUR. Wie verändern sich x, s sowie der Variationskoeffizient v, wenn a) jedes Gehalt um 00 EUR erhöht wird bzw. b) jedes Gehalt um % erhöht wird? Aufgabe : Die Untersuchung der Temperaturabhängigkeit eines ohmschen Widerstandes führte zu der folgenden Stichprobe (Messwertepaare): i T i (in C) R i (in Ω) Berechnen Sie s T, s R und die empirische Kovarianz s T R sowie den empir. Korrelationskoeffizienten r T R. Aufgabe 6: Die Leistung eines bestimmten Typs von Fahrzeugmotoren wurde geprüft. Die Auswertung einer Stichprobe vom Umfang n = 8 ergab: x = 99. sowie s =.66 (jeweils in PS). Berechnen Sie jeweils ein Konfidenzintervall für µ und für σ bei einem Konfidenzniveau von 0.9, wenn davon ausgegangen wird, dass die Motorleistung eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Aufgabe 7: In einer Versuchsreihe wurde die Dichte X einer Eisenkugel insgesamt 0-mal gemessen, wobei nur 6 verschiedene Messwerte mit der folgenden Häufigkeitsverteilung auftraten: x i (in g/cm ) abs. Häuf. h i Bestimmen Sie anhand dieser Stichprobe ein Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert µ der als normalverteilt geltenden Messgröße X (das Konfidenzniveau sei α = 0.99). weiter siehe S.

4 Aufgabe 8 : Ein Probekörper wird mit einer Feinwaage mehrmals gewogen. Die Ergebnisse der Wägungen seien unabhängig voneinander und können durch eine N(µ, σ0 )-verteilte Zufallsvariable beschrieben werden. Dabei entspricht µ der unbekannten Masse des Probekörpers und weiterhin gelte σ0 = 0 (Angabe des Herstellers der Waage). Für µ soll mit dem Mittelwert der Messergebnisse ein Schätzwert angegeben werden. Wieviele Messungen (Wägungen des Probekörpers) müssen durchgeführt werden, damit der Schätzwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 9 % um nicht mehr als 0 vom wahren Wert abweicht? Aufgabe 9: Ein Hersteller produziert in großer Stückzahl elektrische Widerstände mit dem Sollwert µ 0 = 00 Ω. Der ohmsche Widerstand kann dabei als eine annähernd normalverteilte Zufallsvariable angesehen werden. Nach Angaben des Herstellers wird der vorgegebene Sollwert auch eingehalten. Eine Stichprobe vom Umfang n = 0 ergab jedoch einen empirischen Mittelwert von x = 0 Ω. Testen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.0 die Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 = 00 Ω gegen die Alternativhypothese H : µ µ 0. Aufgrund langjähriger Erfahrungen darf dabei von einer Standardabweichung σ = Ω ausgegangen werden. Aufgabe 0: In einem Werk werden Schrauben produziert, deren Länge X eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ 0 = mm sei. Eine Stichprobe führte zu dem folgenden Ergebnis: n = ; x = 0. mm ; s =. mm. Prüfen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.0, ob die Abweichung des beobachteten Stichprobenmittelwertes vom Sollwert signifikant oder zufallsbedingt ist. Aufgabe : Eine Maschine produziert Wellen von hoher Präzision. Als Genauigkeitsmaß wird die Standardabweichung σ 0 des Wellendurchmessers X betrachtet. Die Maschine wurde dabei so eingestellt, dass σ 0 = 0. mm beträgt. Zu Kontrollzwecken wurde eine Stichprobe vom Umfang n = entnommen. Ihre Auswertung ergab jedoch eine empirische Standardabweichung von s = 0. mm. Muss die Maschine neu eingestellt werden? Testen Sie daher mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = % die Nullhypothese H 0 : σ σ0 und treffen Sie eine Entscheidung. Ändert sich diese, wenn der Test mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = % durchgeführt wird? Ergebnisse siehe S.

5 Ergebnisse Aufgabe : x i f(x i ) 6 µ = 7, σ = 0.8 Aufgabe : a) 0.0 b) 0.9 (für Herst. I), 0.07 (für Herst. III) Aufgabe : für x < Aufgabe : F (x) = (x x ) + 0. für x für x >, c =.07 Aufgabe : a) a = π Aufgabe 6 : α π b) arctan(e) π Aufgabe 7: a) 0.99 b) c) 0.7 Aufgabe 8: 0.00 Aufgabe 9: a) b) 0. 0 Aufgabe 0: a). % b) 6.7 % Aufgabe : a) 0.67 b) 0.7 Aufgabe : a) Z N(900 g, 0 g ) b) 0.0 c) Aufgabe : x = 9., s = 60., v = 0., x =, R = 6 Aufgabe : a) x vergrößert sich (um 00 EUR), s bleibt unverändert, v wird kleiner b) x und s werden größer, v bleibt unverändert Aufgabe : s T = 8. ( C), s R = Ω, s T R =. C Ω, r T R = Aufgabe 6: µ 0. (in PS),.0 σ 9. (in (PS) ) Aufgabe 7: 7.80 µ 7.88 (in g/cm ) Aufgabe 8 : mindestens 8 Messungen Aufgabe 9: Die Hypothese H 0 wird nicht abgelehnt. Aufgabe 0: Die Hypothese H 0 wird nicht abgelehnt, d.h. die Abweichung ist nicht signifikant. Aufgabe : Die Hypothese H 0 wird in beiden Fällen abgelehnt.