Zu Aufgabe 1: Bestimmen Sie einen Fundamentalbereich der Drehsymmetriegruppe (a) des Tetraeders, und (b) des Würfels.

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1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematisches Institut apl. Prof. r. Lutz Hille r. Karin Halupczok Übungen zur Vorlesung lementare Geometrie Sommersemester 00 Musterlösung zu latt vom 8. Juni 00 erstellt von M. Holl, M. Möller,. Springer Zu ufgabe : estimmen Sie einen undamentalbereich der rehsymmetriegruppe (a) des Tetraeders, und (b) des Würfels. Lösung: M Zu (a): Sei M der Mittelpunkt (z.. Inkreismittelpunkt des regelmäßigen Tetraeders. er Lotfußpunkt des Lotes von M auf die läche sei der Punkt. ann ist das Tetraeder (die dreiseitige Pyramide) M ein undamentalbereich: Man überzeuge sich davon, dass die lemente der rehsymmetriegruppe des Tetraeders (die Tetraedergruppe), diese Pyramide auf jeweils eine der derartig konstruierten Pyramiden abbilden. amit ist auch einzusehen, dass M minimal ist. Zu (b): nalog: ein undamentalbereich des Würfels ist die Pyramide, die den Würfelmittelpunkt als Spitze und als asisfläche ein Viertelquadrat der Würfelbasisfläche besitzt. Sie ist in einem chtelwürfel enthalten, dessen ckpunkten allesamt Kantenmittelpunkt, Seiten- oder lächenmitten des großen Würfels sind. (s. Skizze)

2 Zu ufgabe : Man bilde das ntiprisma zum regelmäßigen ünfeck wie in ufgabe, latt 0. uf die asis und auf die eckfläche des ntiprismas setze man jeweils eine fünfseitige Pyramide mit fünf gleichseitigen reiecken als Mantel auf. (a) Zeigen Sie, dass der so entstandene Körper ein Ikosaeder ist, etwa indem Sie nachweisen, dass alle cken den gleichen bstand zum Körpermittelpunkt haben. (b) ür welche regelmäßigen n-cke erhält man mit der hier beschriebenen Konstruktion ein konvexes Polyeder? Welche Polyeder sind das? Lösung: Zu (a): Zunächst stellen wir fest, dass der entstandene Körper aus reiecken besteht, die je an jeder Kante mit einem weiteren reieck verbunden sind. ußerdem treffen an jeder cke fünf Kanten aufeinander. Wenn wir nun noch zeigen können, dass alle ckpunkte den gleichen bstand zum Körpermittelpunkt haben, dann wissen wir nach ufgabe von latt 9, dass es sich bei dem konstruierten Körper um einen (regulären) Ikosaeder handelt. Offensichtlich haben alle ckpunkte des ntiprismas den gleichen bstand zum Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden 5-cke. nalog haben die beiden Pyramidenspitzen den gleichen bstand zu diesem Punkt. Wir müssen zeigen, dass diese bstände gleich groß sind. er erste bstand beträgt nach dem Satz des Pythagoras + h. er zweite bstand beträgt cos α + h. Mit den Rechnungen auf dem letzten latt erkennt man, dass beide Zahlen gleich groß sind. Zu (b): Zunächst erkennen wir, dass diese Konstruktion für reiecke, Vierecke und ünfecke durchführbar ist. Schon für Sechsecke lässt sich sich keine gleichseitige Pyramide mit Grundfläche des Sechsecks bilden, da der bstand der ckpunkte zum Mittelpunkt des n-cks größer oder gleich den Seitenlängen ist. ür das reieck ergibt die Konstruktion zunächst ein Oktaeder. Setzt man auf zwei gegenüber-liegenden Seiten eine Pyramide auf, so ergibt sich in der Tat ein konvexes Polyeder. ieses besteht aus 6 Rauten. Somit erkennen wir, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind und es sich um ein Parallelotop bzw. einen Spat handelt. usgehend vom Viereck erhalten wir ebenfalls ein Polyeder, von dem wir beweisen müssen, dass es konvex ist. ies ist jedoch offensichtlich, da die Winkel zwischen einer Seitenfläche und der eckfläche des ntiprismas, sowie zwischen der eckfläche und einer Mantelfläche der Pyramide kleiner als π sind. Somit ist auch der Winkel zwischen der Mantelfläche der Pyramide und der anliegenden Seitenfläche des ntiprismas kleiner als π und der Körper konvex. lternativ kann man sehen, dass die Verbindungslinie einer cke des ntiprismas mit der gegenüberliegenden Pyramidenspitze komplett im Körper enthalten ist. er entstehende Körper kann ebenso als konvexe Hülle des ntiprismas unter Hinzufügen

3 der beiden Pyramidenspitzen beschrieben werden. s handelt sich um einen 6-flächigen eltaeder. In Teil (a) haben wir bereits bewiesen, dass bei dieser Konstruktion ausgehend von einem ünfeck ein Ikosaeder entsteht. Zu ufgabe 3: ie folgende Konstruktion der Seiten einiger regelmäßiger n-cke geht auf Leonardo da Vinci zurück: Gegeben sei ein Kreis k mit Mittelpunkt M. Um einen Punkt k zeichne man den Kreis durch M, der k in und schneide. Um zeichnet man den Kreis durch M, der in schneide. ie Gerade durch M und schneide den Kreisbogen in. Zeigen Sie: a 3, a 6, M a, a 8, a, wobei a n die Seitenlänge des k einbeschriebenen regelmäßigen n-cks bezeichne. Lösung: a a 8 a 3 a 6 r a r M Sei r der Radius von k. s ist r nach Konstruktion M ist gleichseitig M 60 r a 6 Zeichnet man nun das regelmäßige 6-ck mit ckpunkten,,... in den Kreis ein, dann ist auch ein ckpunkt. Streicht man jeden zweiten ckpunkt, erhält man das regelmäßige 3-ck. streichen ist Seite des regelmäßigen 3- cks, also a 3. M ist gleichschenklig mit asiswinkel M ist ein Tortenstück des regelmäßigen -cks, das dem Kreis mit Radius r um eingeschrieben ist. M a asiswinkel von M M Mittelpunktswinkel des regelmäßigen 8-cks a 8 M Mittelpunktswinkel des regelmäßigen -cks a 3

4 Zu ufgabe : Zeigen oder widerlegen Sie die folgende ussagen über die goldene Schnittzahl ϕ : + 5 : (a) in Trapez mit, a > b, sowie wird von einer Geraden, die parallel zu ist, in den Punkten M und N geschnitten. s a sei MN +b. ann schneiden M und N die Trapezseiten im Verhältnis ϕ. (b) er Graph eines Polynoms vierten Grades habe zwei Wendepunkte mit x-koordinaten a < b. ie x-koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden durch die Wendepunkte seien x L und x R mit x L < a < b < x R. ann gilt x L ϕa ϕ b und x R ϕb ϕ a. (c) in ünfeck sei derart, dass die iagonalen reiecke vom lächeninhalt abschneiden. ann ist der lächeninhalt des ünfecks gleich 3 + ϕ. Lösung: Zu (a): ie ehauptung ist falsch. M b l a N Sei :, da a > b, und l : MN a +b Gesucht: α : M M Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes finden wir: + M + M M M b l + M M + M M l b a l (I) (II) (III) M M I,II (l/b ) (a/l ) M III (l/b )b (a/l )l l b a l amit folgt z.. für a 7, b : α ϕ.

5 lso gibt es mindestens ein solches Trapez mit M M ϕ. em.: ie ehauptung ist richtig, wenn zusätzlich a 3b gilt. Zu (b): ie ehauptung ist wahr. Sei f R[T ] mit deg f. O..d.. können wir annehmen, dass f die Gestalt f(x) x + αx + βx, α, β R für alle x R hat. (ies werden wir im nschluss zeigen!). erechnung der Wendepunkte f (x) x + α, f (x) 0 x ±γ mit γ : α also a < b α 6 6 und f(±γ) α 36 + α α 6 ± βγ 5 36 α ± βγ. erechnung von g (Gerade durch die Wendepunkte) g(x) f(b) f(a) (x a) + f(a) b a }{{} :m m 5 36 α + βγ ( 5 36 α βγ) +γ ( γ) β g(x) βx + βγ + ( 5 36 α βγ) βx 5 36 α α 6 ( α < 0), 3. x L : ϕa ϕ b ϕ( γ) ϕ (γ) γ(ϕ + ϕ ) 5 6 α x R : ϕb ϕ a ϕγ ϕ ( γ) 5 6 α x L (Nebenrechnung: ϕ 5+, ϕ 5 ϕ + ϕ 5). f(±x R ) 5 36 α + α( 5 6 α) ± βx R 5 36 α ± βx R g(±x R ) ±βx R 5 36 α 5

6 f(x L ) g(x L ) und f(x R ) g(x R ). ies zeigt, dass x L und x R tatsächlich die bszissen der Schnittpunkte der Geraden g mit dem Graphen von f sind. Nachtrag, warum wir o..d.. f(x) x + αx + βx annehmen konnten: Sei f : R R, x a x + a 3 x 3 + a x + a x + a 0, a i R, i 0,..., ein Polynom. Grades mit genau zwei Wendestellen a < b. Sei g die Gerade durch die beiden Wendepunkte von f. Wir werden im olgenden zeigen: ann gibt es ein Polynom. Grades der orm f(x) x + b x + b x mit genau zwei Wendestellen, so dass: f(x L/R ) g(x L/R ) f( x L/R ) g( x L/R ), wobei g, x L, x R entsprechend wie g, x L, x R nur für f definiert seien. (Man mache sich noch einmal kurz klar, dass diese ussage unsere rage beantwortet.). Sei f(x) x + a 3 x 3 + a x + a x + a 0. a a a a Seien g, ḡ, x L/R entsprechend definiert. ann gilt: f(x L/R ) g(x L/R ) f( x L/R ) ḡ( x L/R ). enn die Skalierung der y-chse y y/a hat auf die ussage keinen influss. (eachte: x L/R x L/R.) Wir können also o..d.. annehmen, dass a ist.. benso hat die Translation der x-chse entlang der y-chse y y a 0 keinen influss. o..d.. a ls nächstes überzeugen wir uns davon, dass die Koordinatentransformation x x + ξ keinen influss auf die ussage hat: nnahme: f und g schneiden sich tatsächlich außer in den Wendepunkten (a, f(a)), (b, f(b)) auch noch bei x L : ϕa ϕ b und x R : ϕb ϕ a. ann schneiden sich f(x) f(x+ξ) und ḡ g(x + ξ) außer an den Wendestellen a ξ und b ξ auch noch bei x L ξ und x R ξ und genau das ist auch die ussage der ufgabe angewendet auf f: x ϕ(a ξ) ϕ (b ξ) ϕa ϕ b }{{} x L +ϕ( ξ) ϕ ( ξ) x L + (ϕ ϕ )( ξ) x L ξ, analog verifiziert man x R x R ξ. (Nebenrechnung: ϕ ϕ ( 5+) ( 5 ).) Wende dieselbe rgumentation auf f und x x ξ an. Nun brauchen wir nur noch eine geschickte Koordinatentransformation: x x b. f( x) ( x b ) ( + a3 x b ) 3 ( + a x b ) ( + a x b ) x + 0 x ies ist genau was wir wollten! (alls wir wieder einen konstanten Koeffizienten bekommen haben, wenden wir noch einmal. an.) 6

7 Weitere Informationen zu dieser ufgabe im Internet unter: Zu (c): ie ehauptung ist wahr. oder () Wir wollen einen (beliebigen) ckpunkt des gegebenen ünfecks und die übrigen vier in eine beliebig gewählte Richtung,, bzw. nennen (vgl. Skizze). (eachte die Konsequenz der Tatsache, dass die cke, die jetzt heißt, bei der Vergabe der Namen durch Nichts ausgezeichnet war!) () a die reiecke und denselben lächeninhalt besitzen (nämlich nach Voraussetzung) und eine gemeinsame Seite (nämlich ), müssen die entsprechenden Höhen (also die Lote von bzw. auf ) ebenfalls gleich sein. (eachte: Nach () ist ntsprechendes somit schon für jede iagonale gezeigt.) (3) :,!, da nach (), da nach () eachte: nach () haben wir damit entsprechende ussagen für alle solchen iagonal- reiecke gezeigt. Sämtliche reiecke im ünfeck, die eine iagonale als Seite und einen iagonalenschnittpunkt als weitere cke haben, haben dann den lächeninhalt, wie etwa das reieck 7

8 : () x : s gilt offensichtlich + + (3) + ( + x) x eachte: x ist der lächeninhalt eines reiecks, das aus einer ünfecksseite und einem weiteren iagonalenschnittpunkt als weiteren ckpunkt besteht, wie etwa das reieck : (5)! x H sei der Lotfußpunkt von auf, h : H. a und eine gemeinsame Höhe h (mit bzw. als zugehörigen Grundseiten) besitzen, gilt x (),(3) h h. H h eachte: (3), () bedeuten, dass sogar zwei beliebige iagonalen sich im Verhältnis x schneiden, wobei x wie wir wissen höchstens vom ünfeck, nicht aber von dem jeweiligen reieck abhängt. (6) KG G : J : K : L : Nach () gilt G K. K L Nach dem gleichen rgument wie in () (gleicher lächeninhalt und gleiche Grundseite gleiche Höhe) folgt: KG. () (eachte:... mittlerweile sollte klar sein, was wir gleich mitbewiesen haben!) J G 8

9 ! (7) L KG. Nach (6) gilt: KG L und K LG. lso ist LGK ein Parallelogramm L KG. (eachte:... was auch schon vorher zu beachten war! z..: L KG ) (8) Noch z.z.: x! ϕ. ies zeigen wir nun: x (5) L L L + L L + L L (7) L KG + KG KG L KG + + nach zweitem Strahlensatz und KG L (6) G (7) G G + x + x + x (und x > 0) x ± 5 (und x > 0) x ( 5 ) ϕ Weitere Informationen zu dieser ufgabe im Internet unter: 9

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