Biostatistik. Lösung

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1 Prof. Dr. Achim Klenke Fridolin Kielisch 13. Übung zur Vorlesung Biostatistik im Sommersemester 2015 Lösung Aufgabe 1: a) Ich führe einen zweiseitigen Welch-Test durch, weil ich annehme, dass die Daten der beiden Stichproben normalverteilt sind, keine natürliche Paarung der Daten vorliegt, es keinen Anlass gibt, von gleicher Varianz der beiden Stichproben auszugehen, geprüft werden soll, ob der Ertrag der Pflanzen beeinflusst wird. D.h. sowohl der Fall, dass der Erwartungswert des Ertrags mit Musik größer ist, als auch der umgekehrte Fall sind von Interesse. Bezeichne µ M den Erwartungswert der Salatgewichte mit Musik und µ S den Erwartungswert ohne Musik. Dann lauten Null- und Alternativhypothese H 0 : µ M = µ S H 1 : µ M µ S b) Ich führe einen zweiseitigen gepaarten t-test durch, weil ich annehme, dass die Daten der beiden Stichproben normalverteilt sind, eine natürliche Paarung der Daten vorliegt (beide Stichproben entstehen durch Messungen an den selben Individuen), sowohl positive Differenz der Erwartungswerte, als auch negative Differenz von Interesse sind. Bezeichne ν M den Erwartungswert der Milchleistung mit Musik und ν S den Erwartungswert ohne Musik. Dann lauten Null- und Alternativhypothese H 0 : ν M = ν S H 1 : ν M ν S c) Hier liegt nur eine Stichprobe vor. Der Erwartungswert der Daten wird mit einem festen Wert µ 0 verglichen. Ich führe einen zweiseitigen 1-Stichproben t-test durch, weil ich annehme, dass die Daten meiner Stichproben normalverteilt sind, mir die Varianz der Daten unbekannt ist sowohl der Fall, dass der erwartete Wollertrag größer ist als µ 0, als auch der ungekehrte Fall von Interesse sind. Bezeichne µ den Erwartungswert des Wollertrags mit Musik. Dann lauten Null- und Alternativhypothese:

2 Hinweise: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 In der Klausur werden Sie in vergleichbaren Aufgaben eine Angabe zur Verteilung der Daten finden. In der Praxis benötigen Sie gute Argumente, wenn Sie davon ausgehen, dass beide Stichproben die selbe Varianz besitzen (z.b. Klärung durch einen Vorversuch). In der Klausur gehen Sie bitte nur von gleicher Varianz aus, wenn ein entsprechender Hinweis im Aufgabentext zu finden ist. Aufgabe 2: a) Ich führe einen einseitigen gepaarten t-test durch, weil die Messwerte normalverteilt sind eine natürliche Paarung der Daten in beiden Stichproben vorliegt (je zwei Messungen an den selben Individuen) mich nur der Fall interessiert, dass der Erwartungswert der Glucosekonzentration nach der Fütterung zunimmt. Bezeichne µ 1 den Erwartungswert der Glucosekonzentration vor der Fütterung und µ 2 den Erwartungswert nach der Fütterung. Die Hypothesen lauten H 0 : µ 2 = µ 1 H 1 : µ 2 µ 1 Bilde die Differenzen: x (1) x (2) x = x (2) x (1) Bezeichne x = 1.16 den Mittelwert und s die empirische Standardabweichung (Stichprobenstreuung) der Differenzen. Die Statistik lautet T (x) = x s n 1 / n Verwirf H 0 falls T (x) t n 1;1 α = t 4;0.95 = Die Nullhypothese kann also nicht verworfen werden. b) Der p-wert beträgt Hinweise: p(x) = 1 t n 1 (T (x)) 1 t 4 (1.3) Der gepaarte (Zwei Stichproben-) t-test ist eigentlich ein (Ein Stichproben-) t-test der Differenzen der Messwerte gegen die Hypothese µ 0 = 0.

3 In vielen Lehrbüchern werden einseitige Testsituationen mit H 0 : µ 2 µ 1 H 1 : µ 2 µ 1 oder ähnlich notiert. In der Vorlesung finden Sie jedoch die Konvention, dass die Nullhypothese immer mit = notiert wird (stattdessen wird die Parametermenge Θ eingeschränkt). Der Unterschied ist nur formal. Runden Sie bei der Berechnung des p-werts konservativ, d.h. verkleinern Sie den p-wert nicht. Mit R sähe der Test folgendermaßen aus: x <- c(8.1, 8.3, 7.3, 7.9, 9.2) y <- c(10.7, 9.5, 5.8, 11.3, 9.3) t.test(x, y, alternative="less", paired=t) Paired t-test data: x and y t = , df = 4, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 -Inf mean of the differences Der Parameter alternative = "less"/"greater" bezieht sich immer auf die erste Stichprobe, die übergeben wird. Hier: H 1 : µ x < µ y. Der Unterschied im p-wert kommt zustande, weil R genauer rechnet, als wir mit unserer Tabelle. Aufgabe 3: Ich führe einen einseitigen ungepaarten t-test (mit Annahme gleicher Varianz) durch, da die Daten der beiden Stichproben normalverteilt sind, keine natürliche Paarung der Daten vorliegt, die Daten beider Stichproben die gleiche Varianz haben, geprüft werden soll, ob der Erwartungswert der Profiltiefen bei den neuen Reifen größer ist. Bezeichne µ neu den Erwartungswert der Profiltiefen bei der neuen Gummimischung und µ alt den Erwartungswert bei der alten Gummimischung. Dann lauten Null- und Alternativhypothese H 0 : µ neu = µ alt H 1 : µ neu µ alt

4 Die Mittelwerte der Stichproben lauten x neu = 3.88 und x alt = 3.7 Die gepoolte Stichprobenvarianz ist Die Teststatistik lautet s 2 = T = x neu x alt s 1/4 + 1/4 = Verwirf H 0 falls T t 8;0.95 = Die Nullhypothese kann also nicht verworfen werden. Der p-wert beträgt p = 1 t 8 (T ) Hinweise: Würden fünf Testfahrer zunächst die alte Gummimischung, dann die neue Mischung testen, hätten wir gepaarte Stichproben. Mit R sähe der Test folgendermaßen aus: xneu <- c(3.7, 3.8, 3.8, 3.9, 4.2) xalt <- c(3.4, 3.7, 3.6, 3.9, 3.9) t.test(xneu, xalt, alternative="greater", paired=f, var.equal=t) Two Sample t-test data: xneu and xalt t = , df = 8, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is greater than Inf mean of x mean of y Aufgabe 4: Ich führe einen einseitigen Welch-Test durch, da ich annehme, dass die Daten der beiden Stichproben normalverteilt sind, keine natürliche Paarung der Daten vorliegt, es keinen Anlass gibt, von gleicher Varianz der beiden Stichproben auszugehen, geprüft werden soll, ob der Erwartungswert der Fußlänge bei den Herren größer ist als bei den Damen. Bezeichne µ H den Erwartungswert der Fußlängen bei den Herren und µ D den Erwartungswert bei den Damen. Dann lauten Null- und Alternativhypothese

5 H 0 : µ D = µ H H 1 : µ D < µ H Mit R sieht der Test folgendermaßen aus: x <- c(23, 23.5, 24.5, 25.5, 23.5) y <- c(24.4, 23.5, 29, 31, 24.5, 25.5, 25, 28.5, 26.5) t.test(x, y, alternative="less", paired=f, var.equal=f) Welch Two Sample t-test data: x and y t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 -Inf mean of x mean of y Die Statistik hat den Wert T = und der p-wert p = Ob die Nullhypothese verworfen wird lesen Sie in der R-Ausgabe am p-wert ab: Die Nullhypothese wird zum Niveau α = 5% verworfen, da p < 0.05.